Deret (matematika): Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) |
|||
| (7 revisi perantara oleh 5 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{Kalkulus}}
[[Berkas:Geometric Segment.svg|jmpl|Deret <math>\frac{1}{2}+\frac{1}{4}4+\frac{1}{8}+\cdots</math> konvergen menuju 1]]
'''Deret''' ({{lang-en|series}}) adalah [[Penambahan|jumlah]] suku-suku dari suatu [[barisan]]. Barisan dan deret hingga mempunyai elemen pertama dan terakhir yang terdefinisi, sedangkan barisan dan deret tak terhingga berlangsung terus menerus tak terbatas.<ref>
Dalam [[matematika]], jika ada suatu barisan bilangan [[Himpunan takhingga|tak hingga]] <math>\{a_n\}</math>, maka suatu deret secara mudahnya adalah hasil dari penambahan semua elemen-elemen itu bersama-sama: <math>a_1 + a_2 + a_3 + \cdots</math>. Ini dapat ditulis lebih ringkas menggunakan [[notasi Sigma]] ∑. Contohnya adalah deret terkenal dari [[Paradoks Zeno]] dan [[1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯|representasi matematikanya]]:
Baris 11 ⟶ 10:
== Notasi ==
Simbol pada deret yaitu <math>\sum</math> menunjukkan penjumlahan dan dapat diinterpretasikan dengan mengulang hasil keliling (biasanya ditentukan di bawah penjumlahan), karena kita membutuhkan (biasanya [[bilangan bulat]]) nilai dalam rentang yang ditentukan (dari nilai awal ke batas atas), kemudian menambahkan ekspresi yang dihasilkan. Misalkan:
:<math>\sum_{k = 1}^{200} f(k) = f(1) + f(2) + \dots + f(200).</math>
Baris 20 ⟶ 19:
:<math>\sum_{k = 1}^\infty a_k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^n a_k.</math>
Jika hasilnya limit tidak ada, deret tersebut dikatakan
Suatu deret dikatakan konvergen secara absolut jika deret yang terbentuk dari [[nilai absolut]] syarat pada konvergen; yaitu, diberi urutan tak terbatas <math>\{a_k\}</math>:
:<math>\sum_{k = 1}^\infty |a_k|</math>
konvergensi.[[Berkas:Exp series.gif|ka|jmpl|[[
== Sifat dasar ==
Baris 31 ⟶ 30:
Untuk setiap [[barisan]] <math>\{a_n\}</math> [[bilangan rasional]], [[bilangan real]], [[bilangan kompleks]], [[Fungsi (matematika)|fungsi]], dan lain-lain, '''deret''' yang bersangkutan didefinisikan sebagai [[jumlah formal]] tertata
:<math>\sum_{n=0}^{\infty}a_n = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots </math>.
{{anchor|Jumlah parsial}}'''Barisan jumlah parsial''' <math>\{S_k\}</math> bersangkutan dengan suatu deret <math display="inline">\sum_{n=0}^\infty a_n</math> didefinisikan bagi setiap <math>k</math> sebagai jumlah Barisan <math>\{a_n\}</math> dari <math>a_0</math> hingga <math>a_k</math>
:<math>S_k = \sum_{n=0}^{k}a_n = a_0 + a_1 + \cdots + a_k.</math>
Berdasarkan definisi, deret <math display="inline">\sum_{n=0}^{\infty} a_n</math> '''konvergen''' menjadi suatu limit <math>L</math> jika dan hanya jika urutan yang bersangkutan dengan jumlah parsial <math>\{S_k\}</math> [[Limit barisan#Definisi formal|konvegen]] ke <math>L</math>. Definisi ini biasanya ditulis sebagai
:<math>L = \sum_{n=0}^{\infty}a_n \Leftrightarrow L = \lim_{k \rightarrow \infty} S_k.</math>
== Deret fungsi ==
{{Main|Deret fungsi}}
Baris 53:
dengan <math> a_n </math> melambangkan koefisien suku ke-<math> n </math>, <math> c </math> adalah konstanta dan <math> x </math> berubah-ubah di sekitar <math> c </math> (karena alasan ini, kadang-kadang deret seperti ini dikatakan ''berpusat'' di <math> c </math>). Deret ini biasanya berupa [[deret Taylor]] dari suatu [[fungsi]].
Pada banyak keadaan <math> c </math> sama dengan nol, contohnya pada [[
: <math>f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \ldots</math>.
Baris 100:
{{Deret (matematika)}}
{{Topik kalkulus}}
{{Authority control}}
| |||