Aritmetika: Perbedaan antara revisi

'''Aritmetika''' (kadangbentuk salahtidak dieja sebagaibaku: '''aritmatika''', berasal dari [[bahasa Yunani]] ''αριθμός'' - ''arithmos'' = angka) atau; dulu disebut '''ilmu hitung''') merupakanadalah cabangbagian (atau pendahulu)dasar [[matematika]] yang mempelajari ''operasi'' dasar bilangan. Olehseperti orang[[penambahan]], awam[[pengurangan]], kata[[perkalian]], "aritmetika"dan sering[[pembagian]]. dianggapDalam sebagaipengertian sinonimyang darilebih luas, aritmetika juga mencakup [[teorieksponensiasi]], [[akar bilangan]]., Silakan lihatdan [[angkalogaritma]] untuk mengetahui lebih dalam tentang teori bilangan.

Catatan tertulis paling awal menunjukkan [[matematika Mesir | Mesir]] dan [[matematika Babilonia|Babilonia]] menggunakan semua operasi [[aritmetika dasar]] sejak 2000 SM. Artefak ini tidak selalu mengungkapkan proses spesifik yang digunakan untuk memecahkan masalah, tetapi karakteristik [[sistem angka]] tertentu sangat mempengaruhi kompleksitas metode. Sistem hieroglif untuk [[angka Mesir]], seperti kemudian [[angka Romawi]], diturunkan dari [[tanda penghitungan]] yang digunakan untuk menghitung. Dalam kedua kasus, asal ini menghasilkan nilai yang menggunakan basis [[desimal]], tetapi tidak menyertakan [[notasi posisi]]. Perhitungan kompleks dengan angka Romawi membutuhkan bantuan dari [[papan hitung]] (atau [[swipoa Romawi]]) untuk mendapatkan hasil.

[[Angka Yunani]] digunakan oleh [[Archimedes]], [[Diophantus]] dan lainnya dalam [[notasi posisi]] yang tidak jauh berbeda dari notasi modern. Orang Yunani kuno tidak memiliki simbol nol sampai periode Helenistik, dan mereka menggunakan tiga set simbol terpisah sebagai [[digit numerik|digit]]: satu set untuk tempat satuan, satu untuk tempat puluhan, dan satu untuk ratusan. Untuk tempat ribuan, mereka akan menggunakan kembali simbol untuk tempat satuan, dan seterusnya. Algoritma penjumlahan mereka identik dengan metode modern, dan algoritma perkaliannya hanya sedikit berbeda. [[Algoritma|Algoritme]] pembagian panjangnya sama, dan [[Metode penghitungan akar kuadrat#Penghitungan digit demi digit|algoritme akar kuadrat digit demi digit]], populer digunakan baru-baru ini pada abad ke-20, dikenal oleh Archimedes (yang mungkin telah menemukannya). Dia lebih memilihnya daripada [[Metode Heron]] dari perkiraan berturut-turut karena, setelah dihitung, sebuah digit tidak berubah, dan akar kuadrat dari kuadrat sempurna, seperti 7485692. Untuk bilangan dengan bagian pecahan, seperti 546,934, mereka menggunakan pangkat negatif 60 bukan pangkat negatif 10 untuk bagian pecahan 0,934.<ref>''Karya Archimedes'', Bab IV, ''Aritmatika di Archimedes'', diedit oleh T.L. Heath, Dover Publications Inc, New York, 2002.</ref>

Orang Cina kuno memiliki studi aritmatika lanjutan yang berasal dari Dinasti Shang dan berlanjut hingga [[Dinasti Tang]], dari angka dasar hingga aljabar lanjutan. The orang Cina kuno menggunakan notasi posisi yang mirip dengan orang Yunani. Karena mereka juga kekurangan simbol untuk [[nol]], mereka memiliki satu set simbol untuk tempat satuan, dan set kedua untuk puluhan. Untuk tempat ratusan, mereka kemudian menggunakan kembali simbol untuk tempat satuan, dan seterusnya. Simbol mereka didasarkan pada [[batang penghitung]] kuno. Waktu pasti di mana orang Tionghoa mulai menghitung dengan representasi posisi tidak diketahui, meskipun diketahui bahwa adopsi dimulai sebelum 400 SM.<ref>Joseph Needham, ''Sains dan Peradaban di Cina'', Vol. 3, p. 9, Cambridge University Press, 1959.</ref> Orang Cina kuno adalah orang pertama yang menemukan, memahami, dan menerapkan angka negatif secara bermakna. Ini dijelaskan di ''[[Sembilan Bab tentang Seni Matematika]]'' (''Jiuzhang Suanshu''), yang ditulis oleh [[Liu Hui]] berasal dari abad ke-2 SM.

Perkembangan bertahap dari [[sistem angka Hindu-Arab]] secara independen menciptakan konsep nilai tempat dan notasi posisi, yang menggabungkan metode sederhana untuk komputasi dengan basis desimal, dan penggunaan digit yang mewakili [[0 (angka)|0]]. Hal ini memungkinkan sistem untuk secara konsisten mewakili bilangan bulat besar dan kecil, sebuah pendekatan yang pada akhirnya menggantikan semua sistem lainnya. Di awal {{nowrap|Abad ke-6 Masehi,}} matematikawan asal India [[Aryabhata]] memasukkan versi yang ada dari sistem ini dalam karyanya, dan bereksperimen dengan notasi yang berbeda. Pada abad ke-7, [[Brahmagupta]] menetapkan penggunaan 0 sebagai bilangan terpisah, dan menentukan hasil perkalian, pembagian, penambahan dan pengurangan nol dan semua bilangan lainnya — kecuali untuk hasil [[pembagian dengan nol]]. Sesamannya, uskup [[Kristen Siria|Siria]] [[Severus Sebokht]] (650 M) berkata, "Orang [[India]] memiliki metode perhitungan yang tidak dapat dipuji oleh satu kata pun. Sistem matematika rasional mereka, atau metode perhitungan mereka. Maksud saya sistemnya menggunakan sembilan simbol."<ref>Referensi: Revue de l'Orient Chretien oleh François Nau hlm. 327–338. (1929)</ref> Orang Arab juga mempelajari metode baru ini dan menyebutnya ''hesab''.

Operasi aritmatika dasar adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian, meskipun mata pelajaran ini juga mencakup operasi yang lebih maju, seperti manipulasi [[persentase]],<ref name=":2" /> [[akar kuadrat]] s, [[eksponen]], [[fungsi logaritmik]], dan bahkan [[fungsi trigonometri]], dalam nada yang sama seperti logaritma ([[prosthaphaeresis]]). Ekspresi aritmatika harus dievaluasi sesuai dengan [[urutan operasi]] yang dimaksudkan. Ada beberapa metode untuk menentukan ini, baik yang paling umum, bersama dengan [[notasi infix]], secara eksplisit menggunakan tanda kurung dan bergantung pada [[Urutan operasi aturan prioritas]], atau menggunakan notasi [[Notasi Polandia|awalan]] atau [[Notasi Polandia terbalik|postfix]], yang secara unik memperbaiki urutan eksekusi sendiri. Kumpulan objek apa pun di mana keempat operasi aritmatika (kecuali [[pembagian dengan nol]]) dapat dilakukan, dan di mana keempat operasi ini mematuhi hukum biasa (termasuk distribusi), disebut [[bidang matematika|bidang]].<ref name=Oxford>{{cite book

Menambahkan banyak angka secara tak terbatas dapat dipandang sebagai penjumlahan sederhana yang berulang; prosedur ini dikenal sebagai [[penjumlahan]], istilah yang juga digunakan untuk menunjukkan definisi untuk "menambahkan bilangan tak terhingga" dalam [[deret (matematika)|deret tak hingga]]. Penambahan berulang dari angka [[1 (angka)|1]] adalah bentuk paling dasar dari [[menghitung]]; hasil penambahan {{math|1}} biasanya disebut [[fungsi penerus|penerus]] dari [[bilangan asli]].

Divisi, dilambangkan dengan simbol <math>\div</math> or <math>/</math>,<ref name=":0" /> pada dasarnya adalah operasi kebalikan dari perkalian. Pembagian menemukan '' hasil bagi '' dari dua angka, '' pembilang '' dibagi dengan '' pembagi ''. Setiap dividen [[pembagian dengan nol | dibagi dengan nol]] tidak ditentukan. Untuk bilangan positif berbeda, jika pembagi lebih besar dari pembagi, hasil bagi lebih besar dari 1, jika tidak, kurang dari 1 (aturan serupa berlaku untuk angka negatif). Hasil bagi dikalikan dengan pembagi selalu menghasilkan dividen.

Pembagian tidak bersifat komutatif atau asosiatif. Demikian seperti yang dijelaskan di {{Section link||Pengurangan}}, konstruksi pembagian dalam aljabar modern dibuang demi membangun elemen invers sehubungan dengan perkalian, seperti yang diperkenalkan di {{Section link||Perkalian}}. Oleh karena itu, pembagian adalah perkalian dividen dengan [[pembalikan perkalian | kebalikan]] dari pembagi sebagai faktor, yaitu, {{math|''a'' ÷ ''b'' {{=}} ''a'' × {{sfrac|1|''b''}}.}}

'''Teorema dasar aritmatika'''menyatakan bahwa bilangan bulat apa pun yang lebih besar dari 1 memiliki [[faktorisasi prima]] unik (representasi bilangan sebagai hasil kali faktor prima), tidak termasuk urutan faktor. Misalnya, 252 hanya memiliki satu faktorisasi prima: