Wikipedia

Pi: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Tidak ada ringkasan suntingan
Tag: Dikembalikan Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler
k Mengembalikan suntingan oleh 103.188.173.22 (bicara) ke revisi terakhir oleh WikiNgab
Tag: Pengembalian
 
(45 revisi perantara oleh 21 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{untuk|singkatan pusat perbelanjaan di Jakarta Pusat|Plaza Indonesia}}
[[Berkas:PiCM200.svg|ka|jmpl|200px|Simbol '''Pi''', π.]]
[[Berkas:Pi-CM.svg|ka|jmpl|200px|Simbol '''Pi''', π.]]{{Pi (konstanta matematika)}}
{{disambiginfo|Pi}}
Bilangan '''{{pi}}''' (kadang-kadang ditulis '''pi''') adalah sebuah [[konstanta]] dalam [[matematika]] yang merupakan perbandingan keliling [[lingkaran]] dengan [[diameter]]nya. Nilai {{pi}} dalam 20 tempat desimal adalah 3,14159265358979323846. Banyak rumus dalam [[matematika]], sains, dan [[teknik]] yang menggunakan π, yang menjadikannya salah satu dari [[konstanta matematika]] yang penting. {{pi}} adalah [[bilangan irasional]], yang berarti nilai π tidak dapat dinyatakan dalam pembagian [[bilangan bulat]] (biasanya pecahan 22/7 digunakan sebagai nilai pendekatan {{pi}}; namun sebenarnya tiada satupun pecahan yang dapat mewakili nilai yang sama persis dengan {{pi}}.) Oleh karena itu pula, [[representasi desimal]] {{pi}} tidak akan pernah berakhir dan tidak akan pernah memiliki pola angka tertentu yang permanen. Digit-digit desimal {{pi}} tampaknya terdistribusikan secara acak, walaupun sampai sekarang hal ini masih belum dibuktikan. {{pi}} adalah [[bilangan transenden]]tal, yakni bilangan yang bukan akar dari polinom-polinom bukan nol manapun yang memiliki koefisien rasional. Transendensi bilangan {{pi}} menjadi dalil bahwa [[Masalah klasik matematika kuno|teka-teki matematika kuno]] untuk[[Mempersegikan lingkaran|mengkuadratkan lingkaran]] dengan hanya [[Lukisan jangka dan mistar|menggunakan jangka dan penggaris]] tidak mungkin dapat dipecahkan.
{{Konstanta matematika}}
'''Bilangan <math>\pi\,\!</math>''' (kadang-kadang ditulis '''pi''') adalah sebuah bilangan konstanta yang ditemukan Mak Erot untuk mengukur perbandingan keliling lingkaran dan diameternya. Nilai <math>\pi\,\!</math> dalam 20 tempat desimal adalah 3,14159265358979323846. Banyak rumus dalam [[matematika]], sains, dan [[teknik]] yang menggunakan π, yang menjadikannya salah satu dari konstanta matematika yang penting. {{pi}} adalah [[bilangan irasional]], yang berarti nilai π tidak dapat dinyatakan dalam pembagian [[bilangan bulat]] (biasanya pecahan 22/7 digunakan sebagai nilai pendekatan {{pi}}; namun sebenarnya tiada satupun pecahan yang dapat mewakili nilai yang sama persis dengan {{pi}}.) Oleh karena itu pula, [[representasi desimal]] {{pi}} tidak akan pernah berakhir dan tidak akan pernah memiliki pola angka tertentu yang permanen. Digit-digit desimal {{pi}} tampaknya terdistribusikan secara acak, walaupun sampai sekarang hal ini masih belum dibuktikan. {{pi}} adalah [[bilangan transenden]]tal, yakni bilangan yang bukan akar dari polinom-polinom bukan nol manapun yang memiliki koefisien rasional. Transendensi {{pi}} memiliki implikasi pada ketidakmungkinan teka-teki matematika kuno "[[mengkuardatkan lingkaran|mengkuadratkan lingkaran]] dengan hanya menggunakan jangka dan penggaris" untuk dapat dipecahkan.
 
Selama beribu-ribu tahun, matematikawan telah berusaha untuk memperluas pemahaman akan bilangan {{pi}}. Hal ini kadang-kadang dilakukan dengan menghitung nilai bilangan {{pi}} hingga keakurasian yang sangat tinggi. Sebelum abad ke-15, para matematikawan seperti [[Archimedes]] dan [[Liu Hui]] menggunakan teknik-teknik geometris yang didasarkan pada poligon untuk memperkirakan nilai {{pi}}. Mulai abad ke-15, algoritme baru yang didasarkan pada [[deret tak terhingga]] merevolusi perhitungan nilai {{pi}}. Cara ini digunakan oleh berbagai matematikawan seperti [[Madhava dari Sangamagrama]], [[Isaac Newton]], [[Leonhard Euler]], [[Carl Friedrich Gauss]], dan [[Srinivasa Ramanujan]].
 
Pada abad ke-20 dan ke-21, para matematikawan dan ilmuan komputer menemukan pendekatan baru yang apabila digabungkan dengan daya komputasi komputer yang tinggi, mampu memperpanjang representasi desimal {{pi}} sampai dengan lebih 10 triliun (10<sup>13</sup>) digit.<ref name="NW"/> Penerapan bilangan {{pi}} dalam bidang sains pada umumnya tidak memerlukan lebih dari beberapa ratus digit desimal {{pi}} dan bahkan kurang. Motivasi utama penghitungan ini adalah menemukan algoritme yang lebih efisien untuk menghitung rangkaian bilangan panjang sekaligus memecahkan rekor.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=17}}</ref><ref>{{cite journal|first1=David |last1=Bailey |first2=Jonathan |last2=Borwein |first3=Peter |last3=Borwein |first4=Simon |last4=Plouffe |title=The Quest for Pi|url=https://archive.org/details/sim_mathematical-intelligencer_winter-1997_19_1/page/50 |journal=The Mathematical Intelligencer|year=1997|volume=19|issue=1|pages=50–56|doi=10.1007/bf03024340|citeseerx=10.1.1.138.7085}}</ref> Perhitungan ekstensif seperti ini juga digunakan untuk menguji kemampuan [[superkomputer]] dan [[algoritme]] perkalian presisi tinggi. Pada tahun [[1973]], manusia berhasil menemukan 1 juta digit desimal dari π.
 
Karena definisi {{pi}} berhubungan dengan lingkaran, maka pi banyak ditemukan dalam rumus-rumus [[trigonometri]] dan [[geometri]], terutama yang menyangkut lingkaran, elips, dan bola. {{pi}} juga ditemukan pada rumus-rumus bidang ilmu lainnya seperti [[kosmologi]], [[teori bilangan]], [[statistika]], [[fraktal]], [[termodinamika]], [[mekanika]], dan [[elektromagnetisme]]. Keberadaan {{pi}} yang sangat umum menjadikannya sebagai salah satu konstanta matematika yang paling luas dikenal, baik di dalam maupuan di luar kalangan ilmuwan. Hal ini dibuktikan dari beberapa penerbitan buku yang membahas bilangan ini, perayaan [[hari Pi]], dan pemberitaan-pemberitaan yang luas dimanadi mana perhitungan digit {{pi}} berhasil memecahkan rekor perhitungan. Beberapa orang bahkan dengan kerasnya berusaha menghafal nilai bilangan {{pi}} dengan rekor 70.030 digit (Suresh Kumar Sharma, India).
 
== Tinjauan dasar ==
=== Nama ===
Simbol yang digunakan oleh para matematikawan untuk mewakilkan rasio keliling suatu lingkaran terhadap diameternya adalah [[alfabet Yunani|huruf Yunani]] "{{pi}}". Huruf tersebut dapat dituliskan sebagi ''pi'' menggunakan huruf latin.<ref>{{cite journal|last=Holton|first=David|last2=Mackridge|first2=Peter|title=Greek: an Essential Grammar of the Modern Language|publisher=Routledge|year=2004 |isbn=0-415-23210-4|ref=harv}}, p. xi.</ref> Huruf kecil {{pi}} (atau π dalam gaya huruf [[sans-serif]]) berbeda dengan huruf besar {{PI}}<math>\Pi</math>, yang mewakili [[perkalian barisan]].
 
Pemilihan simbol π didiskusikan pada bagian [[Pi#Penggunaan simbol .CF.80|Penggunaan simbol π]]
 
=== Definisi ===
[[fileBerkas:Circle diameter circumference-id.svg|ka|jmpl|200px212x212px|Keliling sebuah lingkaran adalah sedikit lebih panjang dari tiga kali panjang diamternyadiameternya. Perbandingan antara keliling lingkaran dengan diameternya disebut {{pi}}.]]
{{pi}} umumnya didefinisikan sebagai [[rasio]] [[keliling]] [[lingkaran]] {{math|''C''}} dengan [[diameter]]nya {{math|''d''}}:<ref name="Arndt">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=8}}</ref>
:<math> \pi = \frac{C}{d}</math>
Rasio {{math|''C''/''d''}} bernilai konstan tak tergantung pada ukuran lingkaran. Contohnya, jika suatu lingkaran memiliki diameter dua kali lipat daripada lingkaran lainnya, ia juga akan memiliki keliling yang dua kali lipat lebih besar, sehingganya nilai rasio {{math|''C''/''d''}} akan tetap sama. Definisi {{pi}} seperti ini secara implisit menggunakan [[geometri Euklides]]. Walaupun gagasan akan lingkaran juga dapat diperluas ke dalam [[geometri non-Euklides]], namun lingkaran yang baru ini tidak akan lagi memenuhi rumus {{math|{{pi}} {{=}} ''C''/''d''}}.<ref name="Arndt" /> Terdapat pula definisi {{pi}} lainnya yang tidak menyebut-nyebut lingkaran sama sekali, yakni: {{pi}} adalah bilangan yang bernilai dua kali lipat dari bilangan positif terkecil {{math|''x''}} yang mana {{math|[[cosineKosinus|cos]](''x'')}} sama dengan 0.<ref name="Arndt" /><ref>{{cite book|last=Rudin|first=Walter|title=Principles of Mathematical Analysis|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|publisher=McGraw-Hill|year=1976|isbn=0-07-054235-X|ref=harv}}, p 183.</ref>
 
=== Ciri-ciri ===
{{pi}} adalah [[bilangan irasional]], yang berarti bahwa ia tidak dapat ditulis sebagai rasio dua bilangan bulat.<ref name="Arndt_i">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=5}}</ref> Karena {{pi}} irasional, maka ia memiliki digit bilangan desimal yang tak terhingga banyaknya. Terdapat beberapa bukti bahwa {{pi}} irasional. Umumnya pembuktian ini memerlukan kalkulus dan bergantung pada teknik ''[[reductio ad absurdum]]''. Sejauh mana bilangan {{pi}} dapat didekati menggunakan [[bilangan rasional]] tidaklah diketahui.<ref>{{cite journal|last1=Salikhov|first1=V.|year=2008|title=On the Irrationality Measure of pi|journal=Russian Mathematical Survey|volume=53|issue=3|page=570|ref=harv|doi=10.1070/RM2008v063n03ABEH004543|bibcode = 2008RuMaS..63..570S }}</ref>
[[Berkas:Squaring the circle.svg|jmpl|alt=Diagram sebuah persegi dan lingkaran, keduanya dengan area identik; panjang sisi persegi adalah akar dari pi|Karena {{pi}} adalan [[bilangan transendental]], [[Mempersegikan lingkaran|Pemersegian lingkaran]] tidaklah dimungkinkan menggunakan [[jangka dan penggaris]].]]
{{pi}} adalah [[bilangan transendental]], yang berarti bahwa ia bukanlah penyelesaian dari [[polinom]] non-konstan berkoefisien [[rasional]] manapun seperti <math>\scriptstyle \frac{x^5}{120}\,-\,\frac{x^3}{6}\,+\,x\,=\,0.</math><ref name="ttop">{{cite web|first=Steve|last=Mayer|url=http://dialspace.dial.pipex.com/town/way/po28/maths/docs/pi.html|title=The Transcendence of {{pi}}|accessdate=4 November 2007|archive-date=2000-09-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20000929033317/http://dialspace.dial.pipex.com/town/way/po28/maths/docs/pi.html|dead-url=yes}}</ref> Transendensi {{pi}} mempunyai dua konsekuensi penting. Pertama, {{pi}} tidak dapat diekspresikan menggunakan kombinasi bilangan rasional dan [[akar kuadrat]] ataupun [[Akar ke-n|akar pangkat ke-n]] manapun seperti <math>\scriptstyle \sqrt[3]{31}</math> atau <math>\scriptstyle \sqrt[2]{10}.</math> Kedua, oleh karena tiada bilangan transendental apapun yang dapat dikonstruksikan menggunakan jangka dan penggaris, tidaklah dimungkinkan untuk "[[mempersegikan lingkaran]]". Dengan kata lain, tidaklah mungkin untuk mengkonstruksi persegi yang luasnya sama dengan luas lingkaran tertentu hanya dengan menggunakan jangka dan penggaris.<ref>{{harvnb|Posamentier|Lehmann|2004|p=25}}</ref> Pemersegian lingkaran merupakan salah satu teka-teki geometri yang penting pada zaman [[era klasik]].<ref>{{harvnb|Eymard|Lafon|1999|p=129}}</ref> Matematikawan amatiran pada zaman modern kadang-kadang masih berusaha mempersegikan lingkaran dan mengklaim berhasil menyelesaikannya, walaupun telah diketahui hal ini tidak mungkin dilakukan.<ref>{{harvnb|Beckmann|1989|p=37}}</ref><ref>{{cite book|last=Schlager|first=Neil|last2=Lauer|first2=Josh|title=Science and Its Times: Understanding the Social Significance of Scientific Discovery|publisher=Gale Group|year=2001|isbn=0-7876-3933-8|ref=harv}}, p 185.</ref>
 
Digit-digit {{pi}} tidak memiliki pola apapun dan telah melewati uji [[keacakan statistis]] meliputi uji normalitas; sebuah bilangan dengan panjang tak terhingga dikatakan normal apabila keseluruhan barisan digitnya muncul sama banyaknya.<ref name="random" /> Hipotesis bahwa {{pi}} adalah normal belum berhasil dibuktikan maupun dibantah.<ref name="random">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=22–23}}<br />{{cite news|url=http://www.lbl.gov/Science-Articles/Archive/pi-random.html|title=Are The Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold The Key|first=Paul|last=Preuss|authorlink=Paul Preuss|publisher=[[Lawrence Berkeley National Laboratory]]|date=23 July 2001|accessdate=10 November 2007|archive-date=2007-10-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20071020010208/http://lbl.gov/Science-Articles/Archive/pi-random.html|dead-url=yes}}</ref> Sejak ditemukannya komputer, sejumlah besar digit {{pi}} telah berhasil dikomputasi untuk dianalisis secara statistik. [[Yasumasa Kanada]] telah menganalisis secara detail digit-digit desimal {{pi}} dan menemukannya konsisten dengan normalitas. Tiada bukti sepuluh digit 0 sampai dengan 9 yang ditemukan memiliki pola-pola apapun.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=22, 28–30}}</ref> Walaupun digit-digit {{pi}} telah melewati uji keacakan statistik, {{pi}} mengandung beberapa barisan digit yang tampaknya tidak acak, misalnya [[titik Feynman]], yang merupakan barisan enam angka 9 secara beruruan yang dimulai dari desimal ke-762 {{pi}}.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=3}}</ref>
 
=== Pecahan kontinu ===
Baris 38 ⟶ 37:
 
Penghentian pecahan kontinu pada titik pembagian manapun akan memberikan nilai pendekatan {{pi}}; dua pecahan 22/7 dan 355/113 secara historis digunakan sebagai pendekatan terhadap {{pi}}. Walauapun pecahan kontinu yang sederhana (seperti pada contoh di atas) untuk {{pi}} tidak memiliki pola-pola tertentu,<ref name="ReferenceA">
{{SloanesRef|sequencenumber=A001203|name=Continued fraction for Pi}} Retrieved 12 April 2012.</ref> matematikawan telah menemukan beberapa pecahan kontinu generalisasi yang memiliki pola tertentu, misalnya:<ref>{{cite journal|title=An Elegant Continued Fraction for {{pi}}|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1999-05_106_5/page/456|first=L. J.|last=Lange|journal=[[The American Mathematical Monthly]]|volume=106|issue=5|month=May|year=1999|pages=456–458|jstor=2589152|doi=10.2307/2589152|ref=harv}}</ref>
:<math>\pi=\textstyle \cfrac{4}{1+\textstyle \frac{1^2}{2+\textstyle \frac{3^2}{2+\textstyle \frac{5^2}{2+\textstyle \frac{7^2}{2+\textstyle \frac{9^2}{2+\ddots}}}}}}
=3+\textstyle \frac{1^2}{6+\textstyle \frac{3^2}{6+\textstyle \frac{5^2}{6+\textstyle \frac{7^2}{6+\textstyle \frac{9^2}{6+\ddots}}}}}
Baris 44 ⟶ 43:
 
=== Nilai pendekatan/taksiran ===
Beberapa [[Pendekatan π|pendekatan ''{{pi}}'']] meliputi:
* '''Bilangan bulat''': [[3 (angka)|3]]
* '''Pecahan''': Pendekatan pecahan meliputi: (diurutkan berdasarkan kenaikan akurasi) {{sfrac|22|7}}, {{sfrac|333|106}}, {{sfrac|355|113}}, {{sfrac|52163|16604}}, {{sfrac|103993|33102}}, dan {{sfrac|245850922|78256779}}.<ref name="{{Sfn|Eymard, 1999Pierre, 78"Lafon, />Jean Pierre|1999|p=78}} (Disarikan dari {{OEIS2C|id=A063674}} and {{OEIS2C|id=A063673}}.)
* '''Desimal''': Limapuluh desimal pertama adalah {{gaps|3,14159|26535|89793|23846|26433|83279|50288|41971|69399|37510...}}<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=240}}</ref> {{OEIS2C|id=A000796}}
* '''[[Sistem bilangan biner|Biner]]''': Pendekatan [[Radiks|basis]] 2 hingga 48 digit adalah {{gaps|11,0010|0100|0011|1111|0110|1010|1000|1000|1000|0101|1010|0011...}}
* '''[[Heksadesimal]]''': Pendekatan [[Radix|basis]] 16 hingga 20 digit adalah {{gaps|3,243F|6A88|85A3|08D3|1319...}}<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=242}}</ref>
* '''[[Seksagesimal]]''': Pendekatan basis 60 hingga lima digit seksagesimal adalah 3;8,29,44,0,47<ref>{{citation|title=Abu-r-Raihan al-Biruni, 973-1048|last=Kennedy|first=E. S.|journal=Journal for the History of Astronomy|volume=9|page=65|bibcode=1978JHA.....9...65K|doi=10.1177/002182867800900106}}.</ref><ref group="n">[[Ptolemaeus]] menggunakan pendekatan tiga-digit-seksagesimal, dan [[Jamshīd al-Kāshī]] mengembangkan pendekatan ini hingga sembilan digit; lihat {{Citation |last= Aaboe |first= Asger |authorlink = Asger Aaboe |year= 1964 |title= Episodes from the Early History of Mathematics |series = New Mathematical Library |volume = 13 |publisher= Random House |publication-place= New York |page=125|url=http://books.google.com/books?id=5wGzF0wPFYgC&pg=PA125}}.</ref>
 
=== Bilangan kompleks dan identitas Euler ===
[[Berkas:Euler's formula.svg|al=A diagram of a unit circle centered at the origin in the complex plane, including a ray from the center of the circle to its edge, with the triangle legs labeled with sine and cosine functions.|jmpl|Asosiasi antara <math>e</math> pangkat [[bilangan imajiner]] dan [[Titik (geometri)|titik-titik]] pada [[lingkaran satuan]] yang berpusat pada titik [[Pusat (matematika)|pusat]] di [[bidang kompleks]] dinyatakan oleh [[rumus Euler]].]]
Suatu [[bilangan kompleks]], katakan <math>z</math>, dapat dinyatakan menggunakan pasangan [[bilangan real]]. Dalam [[Sistem koordinat polar#Bilangan kompleks|sistem koordinat polar]], jari-jari (dilambangkan <math>r</math>) digunakan untuk menyatakan jarak <math>z</math> dari [[Titik nol|titik pusat]] ke pusat [[bidang kompleks]], sedangkan sudut (dilambangkan <math>\varphi</math>) menyatakan [[Rotasi|putaran]] berlawanan arah jarum jam dari garis bilangan real positif:<ref>{{harvnb|Ayers|1964|p=100}}</ref>
 
: <math>z = r\cdot(\cos\varphi + i\sin\varphi)</math>,
 
dengan <math>i</math> adalah [[unit imajiner]] dari <math>i^2 = -1</math>. Kemunculan penggunaan <math>\pi</math> dalam [[analisis kompleks]] dapat dihubungkan dengan perilaku [[fungsi eksponensial]] variabel kompleks, yang dijelaskan oleh [[rumus Euler]]:<ref name="EF2">{{harvnb|Bronshteĭn|Semendiaev|1971|p=592}}</ref>
 
: <math>e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi</math>,
 
dengan [[E (konstanta matematika)|konstanta {{math|''e''}}]] adalah basis [[logaritma natural]]. Rumus ini menghasilkan hubungan antara <math>e</math> pangkat bilangan imajiner dan titik-titik pada [[lingkaran satuan]] yang berpusat pada [[Titik nol|titik pusat]] di [[bidang kompleks]]. Substitusi <math>\varphi = \pi</math> dalam rumus Euler menghasilkan [[identitas Euler]], disambut gembira oleh para matematikawan karena mengandung lima konstanta matematika paling penting:<ref name="EF2" /><ref>{{cite|author=Maor, Eli|title=E: The Story of a Number|publisher=Princeton University Press|year=2009|page=160|ISBN=978-0-691-14134-3}} ("lima tetapan terpenting").</ref>
 
: <math>e^{i \pi} + 1 = 0</math>.
 
Sebanyak <math>n</math> [[bilangan kompleks]] <math>z</math> yang berbeda dalam persamaan <math>z^n = 1</math>, disebut "[[akar satuan]] pangkat-<math>n</math>".<ref>{{MathWorld|RootofUnity|Roots of Unity}}</ref> Rumus di atas dinyatakan dalam persamaan:
 
: <math>e^\frac{2 \pi i k}{n} \qquad (k = 0, 1, 2, \dots, n - 1)</math>.
 
== Sejarah ==
Baris 63 ⟶ 80:
Di India sekitar tahun 600 SM, catatan [[Sutra Shulba]] dalam bahasa [[Sanskerta]] memuat nilai {{pi}} sebesar ({{frac|9785|5568}})<sup>2</sup>&nbsp;≈&nbsp;3,088.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=168–169}}</ref> Pada tahun 150 SM, sumber-sumber catatan dari India memperlakukan {{pi}} sama dengan <math>\scriptstyle \sqrt{10}</math>&nbsp;≈&nbsp;3,1622.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=169}}</ref>
 
Dua ayat dalam [[alkitab Ibrani]] (yang ditulis antara abad ke-8 dan ke-3 SM) medeskripsikan sebuah kolam seremonial dalam [[Bait Salomo]] yang berdiameter 10 [[kubit]] dan kelilingnya 30 kubit; ayat ini menyiratkan bahwa {{pi}} adalah sekitar tiga apabila kolam tersebut berbentuk lingkaran.<ref group="n">Ayat tersebut adalah {{bibleverse|1|Kings|7:23|NKJV}} dan {{bibleverse|2|Chronicles|4:2|NKJV}}</ref><ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=169}}, {{harvnb|Schepler|1950|p=165}}</ref><ref>{{harvnb|Beckmann|1989|pp=14–16}}.</ref><ref group="n">Gagasan bahwa kolam ini berbentuk heksagonal telah diberikan sebagai penjelasan terhadap disparitas ini. Lihat {{cite book|last=Borwein|first=Jonathan M.|last2=Bailey|first2=David H.|title=Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st century|url=https://archive.org/details/mathematicsbyexp0000borw|edition=revised 2nd|publisher=A. K. Peters|year=2008|isbn=978-1-56881-442-1|ref=harv}}, pp. 103, 136, 137.</ref> [[Rabbi Nehemiah]] menjelaskan bahwa diskrepansi ini diakibatkan oleh ketebalan pinggiran kolam. Hasil kerja paling awal Rabbi Nehemiah ''[[Mishnat ha-Middot]]'' yang ditulis sekitar tahun 150 mengambil nilai {{pi}} sebesar tiga dan sepertujuh.<ref>{{Cite book|pages=9–10|title=The Scientific & the Divine|author=James A. Arieti, Patrick A. Wilson|publisher=Rowman & Littlefield|year=2003|isbn=9780742513976|url=http://books.google.co.uk/books?id=q2MHZTL_s64C&pg=PA9|ref=harv|accessdate=2013-06-05}}</ref>
 
=== Zaman pendekatan poligon ===
[[Berkas:Archimedes pi.svg|350px|ka|jmpl|alt=diagram of a hexagon and pentagon circumscribed outside a circle|{{pi}} dapat diperkirakan dengan menghitung keliling poligon luar dan dalam lingkaran.]]
Algoritme paling awal yang tercatat secara cermat menghitung nilai {{pi}} adalah pendekatan geometri menggunakan poligon. Algoritme ini ditemukan sekitar 250 SM oleh matematikawan Yunani [[Archimedes]].<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=170}}</ref> Algoritme poligon ini mendominasi selama 1.000 tahun, dan karenanya {{pi}} kadang-kadang dirujuk juga sebagai "konstanta Archimedes".<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=175, 205}}</ref> Archimedes menghitung batas atas dan bawah {{pi}} dengan menggambar poligon di luar dan di dalam sebuah lingkaran, dan secara perlahan melipatgandakan sisi-sisi poligon tersebut hingga mencapai 96-gon. Dengan menghitung keliling poligon-poligon tersebut, Archimedes membuktikan bahwa {{frac|223|71}}&nbsp;<&nbsp;{{pi}}&nbsp;<&nbsp;{{frac|22|7}} (3,1408&nbsp;<&nbsp;{{pi}}&nbsp;<&nbsp;3,1429).<ref>{{cite web|url=http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/29504-the-computation-of-pi-by-archimedes/content/html/ComputationOfPiByArchimedes.html#37 |title=The Computation of Pi by Archimedes: The Computation of Pi by ArchimedesArchimedes–File – File Exchange – MATLABExchange–MATLAB Central |publisher=Mathworks.com |date= |accessdate=2013-03-12}}</ref> Batas atas Archimedes sekitar {{frac|22|7}} membuat banyak orang percaya bahwa {{pi}} sama dengan {{frac|22|7}}.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=171}}</ref> Sekitar tahun 150, [[Ptolemaeus]] dalam [[Almagest]]-nya, memberikan nilai {{pi}} sebesar 3,1416. Hasil ini kemungkinan dia dapatkan dari Archimedes ataupun dari [[Apollonius dari Perga]].<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=176}}</ref><ref>{{harvnb|Boyer|Merzbach|1991|p=168}}<!--may be suspect--></ref> Para matematikawan kemudian menggunakan algoritme ini dan mencapai rekor 39 digit {{pi}} pada tahun 1630 sebelum dipecahkan pada tahun 1699 menggunakan deret tak terhingga.<ref name="ArPI">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=15–16, 175, 184–186, 205}}.</ref><ref group="n">Grienberger mencapai 39 digit pada tahun 1630; Sharp 71 digit pada tahun 1699.</ref>
[[Berkas:Domenico-Fetti Archimedes 1620.jpg|jmpl|lurus|alt=A painting of a man studying|[[Archimedes]] mengembangkan algoritme poligon untuk menghitung nilai pendekatan {{pi}}.]]
Pada zaman Cina kuno, nilai {{pi}} adalah 3,1547 (sekitar tahun 1 Masehi), <math>\scriptstyle \sqrt{10}</math> (tahun 100, sekitar 3,1623), dan 142/45 (abad ke-3, sekitar 3,1556).<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=176–177}}</ref> Sekitar tahun 265, matematikawan dari [[Kerajaan Wei]], [[Liu Hui]], menemukan [[algoritme π Liu Hui|algoritmealgoritma iteratif berbasis poligon]] yang digunakan dengan 3072-gon untuk menghasilkan nilai {{pi}} sebesar 3,1416.<ref name="autogenerated202">{{harvnb|Boyer|Merzbach|1991|p=202}}</ref><ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=177}}</ref> Liu kemudian menciptakan metode yang lebih cepat dan mendapatkan nilai 3,14 dengan menggunakan 96-gon.<ref name="autogenerated202" /> Matematikawan Cina [[Zu Chongzhi]] sekitar tahun 480 menghitung bahwa {{pi}}&nbsp;≈&nbsp;{{frac|355|113}} (pecahan ini dinamakan pecahan [[Milü]] dalam bahasa Cina) dengan menggunakan algoritme Liu Hui dan menerapkannya menggunakan 12.288-gon. Nilai yang didapatkannya adalah 3,141592920... dan akurat sebanyak tujuh digit. Nilai pendekatan ini merupakan nilai yang paling akurat selama 800 tahun ke depan.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=178}}</ref>
 
Astronom India [[Aryabhata]] menggunakan nilai 3,1416 dalam [[Āryabhaṭīya]] (tahun 499).<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=179}}</ref> [[Fibonacci]] pada tahun &nbsp;1220 menghitung nilai {{pi}} dan mendapatkan hasil 3,1418 menggunakan metode poligon.<ref name="Arndt_e">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=180}}</ref>
 
Astronom Persia [[Jamshīd al-Kāshī]] menghasilkan 16 digit nilai {{pi}} pada tahun 1424 menggunakan poligon bersisi 3×2<sup>28</sup>,<ref>{{cite journal| first1=Mohammad K. | last1=Azarian | title=al-Risāla al-muhītīyya: A Summary | journal=Missouri Journal of Mathematical Sciences | volume=22 | issue=2 | year=2010 | pages=64–85 | url=<!-- http://www.xs4all.nl/~nirmala/Azarian2.pdf -->[{{cite journal | first1=Mohammad K. | last1=Azarian | title=al-Risāla al-muhītīyya: A Summary | journal=Missouri Journal of Mathematical Sciences | volume=22 | issue=2 | year=2010 | pages=64–85 | urldoi=<!-- http://www10.xs4all.nl35834/~nirmalamjms/Azarian2.pdf -->[http://nirmala.home.xs4all.nl/Azarian2.pdf]{{dead link1312233136|date=June 2013}} | format=PDF | separator=, | ref=harv }}{{Pranala mati|date=Maret 2021 |bot=InternetArchiveBot |fixdoi-attempted=yes }}]{{dead link|date=June 2013}} | format=PDF | separator=,| refaccess=harvfree}}</ref><ref>{{cite web|author=O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. | year=1999 | title=Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi | work=[[MacTutor History of Mathematics archive]] | url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Al-Kashi.html | accessdate=Augustus 11, 2012 | separator=,}}</ref>. Ini kemudian menciptakan rekor untuk 180 tahun.<ref name="Arndt_f">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=182}}</ref> Matematikawan Prancis [[François Viète]] pada tahun 1579 mencapai 9 digit menggunakan poligon bersisi 3×2<sup>17</sup>.<ref name="Arndt_f" /> Matematikawan [[Flandria]] mencapai 15 digit desimal pada tahun 1593.<ref name="Arndt_f" /> Pada tahun 1596, matematikawan Belanda [[Ludolph van Ceulen]] mencapai 20 digit, dan rekor ini dipecahkan oleh dirinya sendiri mencapai 35 digit.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=182–183}}</ref> Ilmuwan Belanda [[Willebrord Snellius]] mencapai 34 digit pada tahun 1621,<ref name="Arndt_g">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=183}}</ref> dan astronom Austria [[Christoph Grienberger]] mencapai 38 digit pada tahun 1630,<ref>{{cite book|first=Christophorus|last=Grienbergerus|authorlink=[[Christoph Grienberger|language=Latin|year=1630|title={{lang|la|ElementaGrienberger, Trigonometrica|nocat=true}}|url=Christoph]] (1960), ''[https://web.archive.org/web/20140201234124/http://librarsi.comune.palermo.it/gesuiti2/06.04.01.pdf|format= Elementa Trigonometrica]'' (PDF|access-date=2013-08-06|archive-date=2014-02-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20140201234124/) (dalam bahasa Latin) Diarsipkan dari [http://librarsi.comune.palermo.it/gesuiti2/06.04.01.pdf|dead-url=yes}} aslinya] (PDF) pada tanggal 1 Februari 2014. Pendekatannya adalah 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 < π < 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199.</ref><ref group="n">Nilai evaluasinya sebesar 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 < {{pi}} < 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199.</ref> adalah nilai terakurat yang didapatkan secara perhitungan manual menggunakan pendekatan poligon.<ref name="Arndt_g" />
 
=== Deret tak hinggatakhingga ===
Perhitungan {{pi}} direvolusi oleh berkembangnya teknik [[deret tak hinggatakhingga]] pada abad ke-16 dan 17. Deret tak hinggatakhingga merupakan penjumlahan deretan suku-suku yang tak terhingga banyaknya.<ref name="Ais">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=185–191}}</ref> Hal ini memungkinkan matematikawan menghitung nilai {{pi}} dengan presisi yang melebihi metode [[Archimedes]].<ref name="Ais" /> Walaupun metode deret tak hinggatakhingga utamanya digunakan oleh matematikawan Eropa untuk menghitung nilai {{pi}}, pendekatan ini pertama kali ditemukan di [[India]] antara tahun 1400 dan 1500.<ref name="Roypp"/><ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=185–186}}</ref> Deskripsi tertulis pertama mengenai deret tak hinggatakhingga yang dapat digunakan untuk menghitung {{pi}} terdapat dalam ayat Sanskerta yang ditulis oleh astronom India [[Nilakantha Somayaji]] dalam buku ''[[Tantrasamgraha]]'' sekitar tahun 1500.<ref name="Roypp">{{harvnb|Roy|1990|pp=101–102}}</ref> Deret ini diberikan tanpa pembuktian, walaupun pembuktian ini kemudian diberikan kemudian dalam [[Yuktibhāṣā]] sekitar tahun 1530. Nilakantha memberi kredit penemuan deret ini kepada matematikawan India [[Madhava dari Sangamagrama]] yang hidup antara tahun 1350&nbsp;– c.&nbsp;1425.<ref name="Roypp" /> Beberapa deret tak terhingga dijelaskan, meliputi deret untuk sinus, tangen, dan kosinus, yang dikenal sebagai [[deret Madhava]] atau [[deret Gregory-Leibniz]].<ref name="Roypp" /> Madhava menggunakan deret tak hinggatakhingga untuk memperkirakan nilai {{pi}} sampai dengan 11 digit sekitar tahun 1400. Namun rekor tersebut dikalahkan oleh matematikawan Persia [[Jamshīd al-Kāshī]] pada tahun 1430 menggunakan algoritme poligon.<ref>{{harvnb|Joseph|1991|p=264}}</ref>
[[Berkas:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg|jmpl|lurus|alt=A formal portrait of a man, with long hair|[[Isaac Newton]] menggunakan deret tak hinggatakhingga untuk menghitung nilai {{pi}} sampai 15 digit.<ref name="Newton" />]]
Deret tak hinggatakhingga yang ditemukan di Eropa pertama kali adalah [[perkalian tak hinggatakhingga]] (daripada [[penjumlahan tak hinggatakhingga]]), yang ditemukan oleh matematikawan Prancis [[François Viète]] pada tahun 1593:<ref name="Arndt_h">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=187}}</ref>
 
: <math> \frac2\pi = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdots</math>
 
Deret tak hinggatakhingga kedua yang ditemukan di Eropa oleh [[John Wallis]] pada tahun 1655 juga merupakan perkalian tak hinggatakhingga.<ref name="Arndt_h" /> Penemuan [[kalkulus]] oleh [[Isaac Newton]] dan [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] pada tahun 1660-an mendorong perkembangan banyak deret tak hinggatakhingga untuk menghitung nilai {{pi}}. Newton sendiri menggunakan deret arka sinus untuk menghitung {{pi}} sampai dengan 15 digit pada tahun 1665 atau 1666.<ref name="Newton">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=188}}. Newton quoted by Arndt.</ref>
 
Di Eropa, rumus Madhava ditemukan ulang oleh matematikawan Skotlandia [[James Gregory (matematikawan)|James Gregory]] pada tahun 1671, dan oleh Leibniz pada tahun 1674:<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=188–189}}</ref><ref name="LS" />
Baris 90 ⟶ 107:
</math>
 
Rumus ini, yang disebut deret Gregory-Leibniz, sama dengan <math>\scriptstyle \pi/4</math> ketika dievaluasi bersama dengan {{math|''z''}}&nbsp;=&nbsp;1.<ref name="LS">{{harvnb|Eymard|Lafon|1999|pp=53–54}}</ref> Pada tahun 1699, matematikawan Inggris [[Abraham Sharp]] menggunakan deret ini untuk menghitung {{pi}} sampai dengan 71 digit, dan memecahkan rekor 39 digit sebelumnya.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=189}}</ref> Deret Gregory-Leibniz cukup sederhana, namun ber[[deret konvergen|konvergen]] sangat lambat, sehingga ia tidak digunakan pada zaman modern untuk menghitung {{pi}}.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=156}}</ref>
 
Pada tahun 1706, [[John Machin]] menggunakan deret Gregory-Leibniz untuk menghasilkan algoritme yang berkonvergen lebih cepat:<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=192–193}}</ref>
Baris 99 ⟶ 116:
 
==== Laju konvergensi ====
Beberapa deret tak hinggatakhingga untuk {{pi}} berkonvergen lebih cepat daripada yang lainnya. Matematikawan biasanya akan menggunakan deret yang lebih cepat berkonvergen untuk menghemat waktu sampai dengan tingkat akurasi tertentu.<ref name="Aconverge">{{cite journal|last=Borwein|first=J. M.|last2=Borwein|first2=P. B.|title=Ramanujan and Pi|year=1988|journal=Scientific American|volume=256|issue=2|pages=112–117|ref=harv|bibcode=1988SciAm.258b.112B|doi=10.1038/scientificamerican0288-112}}<br />{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=15–17, 70–72, 104, 156, 192–197, 201–202}}</ref> Deret tak terhingga untuk {{pi}} yang sederhana misalnya [[rumus Leibniz untuk π|deret Gregory-Leibniz]]:<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=69–72}}</ref>
:<math> \pi = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} + \frac{4}{13} - \cdots</math>
akan perlahan-lahan mendekati {{pi}}. Nilainya berkonvergen sangat lambat. Sampai dengan suku ke 500.000, deret ini hanya menghasilkan lima digit desimal yang benar untuk {{pi}}.<ref>{{cite journal|last=Borwein|first=J. M.|last2=Borwein|first2=P. B.|last3=Dilcher|first3=K.|year=1989|title=Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1989-10_96_8/page/681|journal=American Mathematical Monthly|volume=96|issue=8|pages=681–687|doi=10.2307/2324715|ref=harv }}</ref>
 
Deret yang lebih cepat berkonvergen adalah (digunakan oleh Nilakantha pada abad ke-15):<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=223}}</ref><ref group="n">(formula 16.10). Perhatikan bahwa (''n''&nbsp;−&nbsp;1)''n''(''n''&nbsp;+&nbsp;1) = ''n''<sup>3</sup>&nbsp;−&nbsp;''n''.</ref><ref>{{cite book|last=Wells|first=David|page=[https://archive.org/details/penguindictionar0000well_f3y1/page/35 35]|title=The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers|url=https://archive.org/details/penguindictionar0000well_f3y1|edition=revised|publisher=Penguin|year=1997|isbn=978-0-140-26149-3|ref=harv}}</ref>
 
: <math> \pi = 3 + \frac{4}{2\times3\times4} - \frac{4}{4\times5\times6} + \frac{4}{6\times7\times8} - \frac{4}{8\times9\times10} + \cdots </math>
Baris 111 ⟶ 128:
{|class="wikitable" style="text-align: center; "
|-
! Deret tak hinggatakhingga untuk {{pi}} !! Setelah suku ke-1 !! Setelah suku ke-2 !! Setelah suku ke-3 !! Setelah suku ke-4 !! Setelah suku ke-5 !! Berkonvergen ke:
|-
| <math>\scriptstyle \pi = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} + \frac{4}{13} \cdots.</math>
Baris 127 ⟶ 144:
:<math> \frac{\pi^2}{6} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots</math>
 
Ilmuwan Swiss [[Johann Heinrich Lambert]] pada tahun 1761 membuktikan bahwa {{pi}} adalah [[bilangan irasional|irasional]], yang berarti ia bukanlah hasil dari pembagian dua bilangan bulat manapun.<ref name="Arndt_i" /> Pembuktian Lambert menggunakan representasi pecahan kontinu dari fungsi tangen.<ref>Lambert, Johann, "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques", reprinted in {{harvnb|Berggren|Borwein|Borwein|1997|pp=129–140}}</ref> Matematikawan Prancis [[Adrien-Marie Legendre]] pada tahun 1794 membuktikan bahwa {{pi}}<sup>2</sup> jugalah irasional. Pada tahun 1882, matematikawan Jerman [[Ferdinand von Lindemann]] membuktikan bahwa {{pi}} adalah [[bilangan transendental|transendental]], yang kemudian berhasil mengonfirmasi konjektur yang dibuat oleh [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] dan [[Euler]].<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=196}}</ref>
 
=== Penggunaan simbol {{pi}} ===
Baris 149 ⟶ 166:
}}
 
Perkembangan komputer yang pesat pada pertengahan abad ke-20 merevolusi perhitungan digit desimal {{pi}}. Matematikawan Amerika [[John Wrench]] dan Levi Smith berhasil menghitung nilai pi sampai dengan 1.120 digit menggunakan kalkulator meja.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=205}}</ref> Dengan menggunakan deret tak terhingga [[Fungsi invers trigonometri|invers tangen]] (arctan), sekelompok tim yang dipimpin oleh George Reitwiesner dan [[John von Neumann]] pada tahun yang sama berhasil mencapai 2.037 digit menggunakan komputer [[ENIAC]] dengan lama perhitungan selama 70 jam.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=197}}. See also {{harvnb|Reitwiesner|1950}}.</ref> Rekor ini terus dipecahkan menggunakan deret arctan (7.480 digit pada tahun 1957; 10.000 digit pada tahun 1958; 100.000 digit pada tahun 1961), sampai dengan 1 juta digit pada tahun 1973.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=197}}</ref>
 
Perkembangan lebih jauh sekitar tahun 1980 kemudian mempercepat kemampuan komputasi {{pi}}. Pertama, penemuan [[algoritme iteratif]] baru yang lebih cepat daripada deret tak terhingga; dan kedua, penemuan [[algoritme perkalian|algoritme perkalian cepat]] yang mampu mengalikan bilangan besar dengan sangat cepat.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=15–17}}</ref> Algoritme ini sangat penting karena waktu yang dihabiskan oleh komputasi komputer kebanyakan berkutat pada perkalian.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=131}}</ref> Algoritme seperti ini contohnya [[algoritme Karatsuba]], [[perkalian Toom-CookToom–Cook]], dan [[perkalian FFT|metode berbasis transformasi Fourier]].<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=132, 140}}</ref>
 
Algoritme iteratif secara independen dipublikasikan pada tahun 1975-1976 oleh fisikawan Amerika [[Eugene Salamin (matematikawan)|Eugene Salamin]] dan ilmuwan Australia [[Richard Brent (ilmuwan)|Richard Brent]].<ref name="Arndt_j">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=87}}</ref> Algoritme ini membuat komputasi digit pi bebas dari deret tak terhingga. Algoritme iteratif mengulangi perhitungan tertentu dengan tiap iterasi menggunakan hasil iterasi sebelumnya sebagai input dan setahap demi setahap menghasilkan nilai perhitungan yang berkonvergen ke nilai yang kita inginkan.
Baris 173 ⟶ 190:
:<math>\pi^k = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \left(\frac{a}{q^n-1} + \frac{b}{q^{2n}-1} + \frac{c}{q^{4n}-1}\right)</math>
dengan <math>\mathit{q}</math> adalah [[konstanta Gelfond|{{math|e}}<sup>{{pi}}</sup>]] (konstanta Gelfond), <math> \mathit{k}</math> adalah [[bilangan ganjil]], dan <math>\mathit{a, b, c}</math> adalah bilangan rasional tertentu yang dikomputasi Plouffe.<ref>{{cite web|first=Simon|last=Plouffe|authorlink=Simon Plouffe|title=Identities inspired by Ramanujan's Notebooks (part 2)|date=April 2006|url=<!-- http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired2.pdf -->http://plouffe.fr/simon/inspired2.pdf|accessdate=10 April 2009}}</ref>
 
=== Metode Monte Carlo ===
{{multiple image
|direction=horizontal
|footer=[[Metode Monte Carlo]], berdasarkan percobaan acak, dapat digunakan untuk mengaproksimasi {{pi}}.
|width1=166
|image1=Buffon needle.svg
|caption1=[[Jarum Buffon]]. Jarum ''a'' dan ''b'' dijatuhkan secara acak.
|alt1=Jarum dengan panjang ''ℓ'' terpencar pada garis dengan lebar ''t''
|width2=100
|image2=Pi 30K.gif|
|caption2=Noktah-noktah acak diletakkan pada kuadran persegi dengan satu lingkaran di dalamnya.
|alt2=Ratusan noktah secara acak menutupi suatu persegi dan suatu lingkaran yang disisipkan dalam persegi.
}}
 
[[Metode Monte Carlo]], yang mengevaluasi hasil dari banyak percobaan acak, dapat digunakan untuk membuat aproksimasi {{pi}}.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=39}}</ref> [[Jarum Buffon]] adalah salah satu tekniknya: Jika sebuah jarum dengan panjang {{math|''ℓ''}} dijatuhkan {{math|''n''}} kali di atas permukaan yang di atasnya digambar garis paralel yang dipisahkan sebesar {{math|''t''}} satuan, dan jika dari {{math|''x''}} kali ia jatuh melintasi garis ({{math|''x''}}&nbsp;>&nbsp;0), maka aproksimasi {{pi}} dapat ditentukan berdasarkan perhitungan:<ref name="bn">{{cite journal|last=Ramaley|first=J. F.|date=October 1969|title=Buffon's Noodle Problem|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1969-10_76_8/page/916|journal=The American Mathematical Monthly|volume=76|issue=8|pages=916–918|doi=10.2307/2317945|jstor=2317945|ref=harv}}</ref>
 
: <math>\pi \approx \frac{2n\ell}{xt}</math>
Metode Monte Carlo lainnya untuk menghitung {{pi}} adalah dengan menggambar sebuah lingkaran dalam sebuah persegi, dan meletakkan noktah-noktah secara acak di dalam perseegi. Perbandingan noktah di dalam lingkaran terhadap jumlah noktah total akan kira-kira sama dengan {{math|π/4}}.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=39–40}}</ref><ref>{{harvnb|Posamentier|Lehmann|2004|p=105}}</ref>
 
Metode Monte Carlo untuk memperkirakan {{pi}} sangat lambat dibandingkan metode lainnya, dan tidak pernah digunakan untuk memperkirakan {{pi}} ketika diperlukan kecepatan atau akurasi.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=43}}</ref><ref>{{harvnb|Posamentier|Lehmann|2004|pp=105–108}}</ref>
 
=== Algoritme keran ===
Dua algoritme baru yang ditemukan pada tahun 1995 membuka jalan baru bagi riset {{pi}}. Algoritme ini dinamakan [[algoritme keran]], karena seperti air yang menetes dari sebuah keran, algoritme ini menghasikan satu digit tunggal {{pi}} yang tidak akan digunakan kembali setelah dihitung.<ref name="Arndtpp" /><ref name="Gibbons">Gibbons, Jeremy, [http://www.cs.ox.ac.uk/jeremy.gibbons/publications/spigot.pdf "Unbounded Spigot Algorithms for the Digits of Pi"], 2005. Gibbons produced an improved version of Wagon's algorithm.</ref> Algoritme ini berbeda dari algoritme-algoritme deret tak terhingga dan iteratif yang menyisakan dan menggunakan semua digit-digit intermediat sampai penyelesaian akhirnya dihasilkan.<ref name="Arndtpp">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=77–84}}</ref>
 
Matematikawan Amerika [[Stan Wagon]] dan Stanley Rabinowitz menemukan algoritme keran sederhana pada tahun 1995.<ref name="Gibbons" /><ref name="Arndt_k">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=77}}</ref><ref>{{cite journal|first1=Stanley|last1=Rabinowitz|last2=Wagon|first2=Stan|year=1995|month=March|title=A spigot algorithm for the digits of Pi|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1995-03_102_3/page/195|journal=American Mathematical Monthly|volume=102|issue=3|pages=195–203|doi=10.2307/2975006|ref=harv}}</ref><ref group="n">Sebuah program komputer juga telah diciptakan untuk mengimplementasikan algoritme keran Wagon tersebut hanya dalam perangkat lunak berjumlah karakter 120.</ref> Kecepatan konvergensi algoritme ini sebanding dengan algoritme arctan, namun tidak secepat algoritme iteratif.<ref name="Arndt_k" />
 
Algoritme keran lainnya, [[algoritme ekstraksi digit]] [[rumus Bailey-Borwein-Plouffe|BBP]] ditemukan pada tahun 1995 oleh Simon Plouffe:<ref name="Arndtpp_a">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=117, 126–128}}</ref><ref name="bbpf">{{cite journal|author=[[David H. Bailey|Bailey, David H.]]; [[Peter Borwein|Borwein, Peter B.]]; and [[Simon Plouffe|Plouffe, Simon]]|year=1997| month=April|title=On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants|journal=Mathematics of Computation|volume=66| issue=218|pages=903–913|url=<!-- http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/digits.pdf -->http://crd-legacy.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/digits.pdf|format=PDF|doi=10.1090/S0025-5718-97-00856-9|ref=harv}}</ref>
Baris 190 ⟶ 228:
 
=== Geometri dan trigonometri ===
[[Berkas:Circle Area.svg|lang=id|jmpl|ka|Luas lingkaran di atas adalah sama dengan {{pi}} kali luas daerah yang diarsir.|pra=Berkas:Circle_Area.svg%3Flang=id]]
{{pi}} muncul dalam rumus-rumus perhitungan luas dan volume yang berkaitan dengan lingkaran, misalnya [[elips]], [[bola]], [[kerucut]], dan [[torus]]. Beberapa rumus-rumus umum yang melibatkan {{pi}} misalnya:<ref>{{harvnb|Bronshteĭn|Semendiaev|1971|pp=200, 209}}</ref>
* Keliling lingkaran dengan jari-jari {{math|''r''}} adalah <math> 2 \pi r</math>
* Luas lingkaran dengan jari-jari {{math|''r''}} adalah <math> \pi r^2</math>
* Volume bola dengan jari-jari {{math|''r''}} adalah <math> \tfrac43\pi r^3</math>
* [[Luas permukaan]] bola dengan jari-jari {{math|''r''}} adalah <math> 4 \pi r^2</math>
 
{{pi}} muncul dalam [[integral|integral tertentu]] yang mendeskripsikan keliling, luas, dan volume bentuk yang dihasilkan oleh lingkaran. Sebagai contohnya, integral yang mendeskripsikan luas setengah lingkaran dengan jar-jari satu adalah:<ref name="udi">{{MathWorld|Semicircle|Semicircle}}</ref>
Baris 203 ⟶ 241:
[[Fungsi trigonometri]] bergantung pada sudut, dan para matematikawan umumnya menggunakan radian sebagai satuan pengukuran sudut tersebut. {{pi}} memainkan peran penting dalam sudut yang diukur dalam [[radian]], yang didefinsikan sedemikian rupanya satu lingkaran penuh memiliki sudut 2{{pi}} radian.<ref name="WR">{{harvnb|Ayers|1964|p=60}}</ref> Hal ini berarti 180° sama dengan {{pi}} radian, dan 1° = {{pi}}/180 radian.<ref name="WR" />
 
Fungsi-fungsi trigonometri pada umumnya memiliki periode yang merupakan kelipatan dari {{pi}}, sebagai contohnya sinus dan kosinus memiliki periode 2{{pi}},<ref name="WCS">{{harvnb|Bronshteĭn|Semendiaev|1971|pp=210–211}}</ref> sehingga untuk suautu sudut ''θ'' apapun dan suatu bilangan bulat {{math|''k''}} apapun, <math>\sin\theta = \sin\left(\theta + 2\pi k \right)</math> dan <math>\cos\theta = \cos\left(\theta + 2\pi k \right).</math><ref name="WCS" />
<math>\scriptstyle \sin\theta = \sin\left(\theta + 2\pi k \right)</math> and <math>\scriptstyle \cos\theta = \cos\left(\theta + 2\pi k \right).</math><ref name="WCS" />
 
==== MetodeRumus Monteintegral CarloCauchy ====
[[Rumus integral Cauchy]] mengelola [[fungsi integral kompleks]] dan menghasilkan hubungan penting antara integrasi dan diferensiasi, termasuk kenyataan bahwa nilai fungsi kompleks dalam suatu batas tertutup seluruhnya ditentukan oleh nilai pada batasan:<ref>{{MathWorld|CauchyIntegralFormula|Cauchy Integral Formula}}</ref><ref>{{cite|author=Joglekar, S.D.|title=Mathematical Physics|publisher=Universities Press|year=2005|page=166|ISBN=978-81-7371-422-1}}.</ref>
{{multiple image
|direction=horizontal
|footer=[[Metode Monte Carlo]], berdasarkan percobaan acak, dapat digunakan untuk mengaproksimasi {{pi}}.
|width1=166
|image1=Buffon needle.svg
|caption1=[[Jarum Buffon]]. Jarum ''a'' dan ''b'' dijatuhkan secara acak.
|alt1=Jarum dengan panjang ''ℓ'' terpencar pada garis dengan lebar ''t''
|width2=100
|image2=Pi 30K.gif|
|caption2=Noktah-noktah acak diletakkan pada kuadran persegi dengan satu lingkaran di dalamnya.
|alt2=Ratusan noktah secara acak menutupi suatu persegi dan suatu lingkaran yang disisipkan dalam persegi.
}}
[[Metode Monte Carlo]], yang mengevaluasi hasil dari banyak percobaan acak, dapat digunakan untuk membuat aproksimasi {{pi}}.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=39}}</ref> [[Jarum Buffon]] adalah salah satu tekniknya: Jika sebuah jarum dengan panjang {{math|''ℓ''}} dijatuhkan {{math|''n''}} kali di atas permukaan yang di atasnya digambar garis paralel yang dipisahkan sebesar {{math|''t''}} satuan, dan jika dari {{math|''x''}} kali ia jatuh melintasi garis ({{math|''x''}}&nbsp;>&nbsp;0), maka aproksimasi {{pi}} dapat ditentukan berdasarkan perhitungan:<ref name="bn">{{cite journal|last=Ramaley|first=J. F.|title=Buffon's Noodle Problem|jstor=2317945|journal=The American Mathematical Monthly|volume=76|issue=8|date=October 1969|pages=916–918|doi=10.2307/2317945|ref=harv}}</ref>
 
: <math>\pif \approx(z_{0}) = \frac{2n1}{ 2\ellpi i } \oint_\gamma {xt f(z) \over z-z_0 }\,dz</math>
 
=== Himpunan Mandelbrot ===
Metode Monte Carlo lainnya untuk menghitung {{pi}} adalah dengan menggambar sebuah lingkaran dalam sebuah persegi, dan meletakkan noktah-noktah secara acak di dalam perseegi. Perbandingan noktah di dalam lingkaran terhadap jumlah noktah total akan kira-kira sama dengan {{math|π/4}}.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=39–40}}</ref><ref>{{harvnb|Posamentier|Lehmann|2004|p=105}}</ref>
[[Berkas:Mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg|al=An complex black shape on a blue background.|jmpl|{{pi}} dapat dihitung dari [[himpunan Mandelbrot]], dengan menghitung jumlah iterasi yang diperlukan sebelum titik divergen <math>(-0,75;\varepsilon)</math>.]]
Keberadaan {{pi}} dalam [[fraktal]] [[himpunan Mandelbrot]] ditemukan oleh warga negara Amerika David Boll pada tahun 1991.<ref name="KA2">{{cite journal|last1=Klebanoff|first1=Aaron|year=2001|title=Pi in the Mandelbrot set|url=http://home.comcast.net/~davejanelle/mandel.pdf|dead-url=no|journal=Fractals|volume=9|issue=4|pages=393–402|doi=10.1142/S0218348X01000828|archiveurl=https://www.webcitation.org/66iUmBi3B?url=https://home.comcast.net/~davejanelle/mandel.pdf|archivedate=2012-04-06|accessdate=14 April 2012|ref=harv}}</ref> Dia mempelajari perilaku humpunan Mandelbrot dekat "leher" pada <math>(-0,75;0)</math>. Jika dianggap titik dengan koordinat <math>(-0,75;\varepsilon)</math>, dengan <math>\varepsilon</math> cenderung nol, jumlah iterasi sampai perbedaan untuk jalur dikalikan dengan <math>\varepsilon</math> konvergen menuju {{pi}}. Titik <math>(0,25;\varepsilon)</math> di titik puncak "lembah" besar di sisi kanan himpunan Mandelbrot berperilaku sama: jumlah iterasi sampai divergensi dikalikan dengan akar kuadrat <math>\varepsilon</math> cenderung mendekati {{pi}}.<ref name="KA2" /><ref>Peitgen, Heinz-Otto, ''Chaos and fractals: new frontiers of science'', Springer, 2004, pp. 801–803, ISBN 978-0-387-20229-7.</ref>
 
=== Fungsi gamma ===
Metode Monte Carlo untuk memperkirakan {{pi}} sangat lambat dibandingkan metode lainnya, dan tidak pernah digunakan untuk memperkirakan {{pi}} ketika diperlukan kecepatan atau akurasi.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=43}}</ref><ref>{{harvnb|Posamentier|Lehmann|2004|pp=105–108}}</ref>
[[Fungsi gamma]] memperluas konsep [[faktorial]] (biasanya didefinisikan hanya untuk bilangan bulat taknegatif) ke semua bilangan kompleks, kecuali bilangan bulat real negatif. Ketika fungsi gamma dievaluasi untuk bilangan setengah bulat, hasilnya berisi {{pi}}; sebagai contoh
 
: <math> \Gamma(1/2) = \sqrt{\pi} </math>
=== Bilangan dan analisis kompleks ===
: dan
[[Berkas:Euler's formula.svg|jmpl|alt=A diagram of a unit circle centered at the origin in the complex plane, including a ray from the center of the circle to its edge, with the triangle legs labeled with sine and cosine functions.|Asosiasi antara daya imajiner dengan bilangan {{math|''e''}} dan [[Titik (geometri)|titik-titik]] pada [[satuan lingkaran]] yang berpusat pada [[Pusat (matematika)|pusat]] [[bidang kompleks]] dinyatakan oleh [[formula Euler]].]]
: <math>\Gamma(5/2) = \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} </math>.<ref>{{harvnb|Bronshteĭn|Semendiaev|1971|pp=191–192}}</ref>
 
Fungsi gamma dapat digunakan untuk membuat pendekatan sederhana seperti {{math|''n''!}} untuk {{math|''n''}} besar:
[[Bilangan kompleks]] apapun, sebut saja {{math|''z''}}, dapat dinyatakan menggunakan pasangan [[bilangan nyata]]. Dalam [[Sistem koordinat polar#Bilangan kompleks|sistem koordinat polar]], satu bilangan (jari-jari atau ''r'') digunakan untuk menyatakan jarak {{math|''z''}} dari [[Pusat (matematika)|pusat]] [[bidang kompleks]] sedangkan (sudut atau {{math|φ}}) menyatakan a [[putaran]] berlawanan arah jarum jam dari garis nyata positif sebagai berikut:<ref>{{harvnb|Ayers|1964|p=100}}</ref>
:<math>z = r\cdot(\cos\varphi + i\sin\varphi),</math>
 
: <math> n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n</math>
dengan {{math|''i''}} adalah [[satuan imajiner]] dari {{math|''i''<sup>2</sup>}} = −1. Setingnya penggunaan {{pi}} dalam [[analisis kompleks]] dapat dihubungkan dengan perilaku [[fungsi eksponential]] variabel kompleks, yang dijelaskan oleh [[formula Euler]]:<ref name="EF">{{harvnb|Bronshteĭn|Semendiaev|1971|p=592}}</ref>
:<math>e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi,</math>
 
dengan [[E (tetapan matematika)|tetapan {{math|''e''}}]] adalah basis [[logaritma natural]]. Formula ini menghasilkan hubungan antara daya imajiner {{math|''e''}} dan titik-titik pada [[satuan lingkaran]] yang berpusat pada pusat bidang kompleks. Pengaturan {{math|''φ''}} = {{pi}} dalam formula Euler menghasilkan [[identitas Euler]], disambut gembira oleh para matematikawan karena mengandung lima tetapan matematika paling penting:<ref name="EF" /><ref>{{cite|author=Maor, Eli|title=E: The Story of a Number|publisher=Princeton University Press|year=2009|page=160|ISBN=978-0-691-14134-3}} ("lima tetapan terpenting").</ref>
:<math>e^{i \pi} + 1 = 0.</math>
 
Sebanyak {{math|''n''}} [[bilangan kompleks]] {{math|''z''}} yang berbeda dalam persamaan {{math|1=''z''<sup>''n''</sup> = 1}}, disebut "[[akar persatuan]] (''root of unity'') ke {{math|''n''}}".<ref>{{MathWorld|RootofUnity|Roots of Unity}}</ref> Mereka dinyatakan dalam persamaan:
:<math>e^{2 \pi i k/n} \qquad (k = 0, 1, 2, \dots, n - 1).</math>
 
[[Formula integral Cauchy]] mengelola [[fungsi integral kompleks]] dan menghasilkan hubungan penting antara integrasi dan diferensiasi, termasuk kenyataan bahwa nilai fungsi kompleks dalam suatu batas tertutup seluruhnya ditentukan oleh nilai pada batasan:<ref>{{MathWorld|CauchyIntegralFormula|Cauchy Integral Formula}}</ref><ref>{{cite|author=Joglekar, S.D.|title=Mathematical Physics|publisher=Universities Press|year=2005|page=166|ISBN=978-81-7371-422-1}}.</ref>
:<math>f (z_{0}) = \frac{1}{ 2\pi i } \oint_\gamma { f(z) \over z-z_0 }\,dz</math>
 
[[Berkas:Mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg|alt=An complex black shape on a blue background.|jmpl|{{pi}} dapat dihitung dari [[himpunan Mandelbrot]], dengan menghitung jumlah iterasi yang diperlukan sebelum titik divergen (-0,75, ε).]]
Keberadaan {{pi}} dalam [[fraktal]] [[himpunan Mandelbrot]] ditemukan oleh warga negara Amerika David Boll pada tahun 1991.<ref name="KA">{{cite journal|last1=Klebanoff|first1=Aaron|year=2001|title=Pi in the Mandelbrot set|journal=Fractals|volume=9|issue=4|pages=393–402|url=http://home.comcast.net/~davejanelle/mandel.pdf|archiveurl=https://www.webcitation.org/66iUmBi3B?url=https://home.comcast.net/~davejanelle/mandel.pdf|archivedate=2012-04-06|accessdate=14 April 2012|doi=10.1142/S0218348X01000828|ref=harv|dead-url=no}}</ref> Dia mempelajari perilaku humpunan Mandelbrot dekat "leher" pada (-0,75, 0). Jika dianggap titik dengan koordinat (-0,75, ε), dengan ε cenderung nol, jumlah iterasi sampai perbedaan untuk jalur dikalikan dengan ε konvergen menuju {{pi}}. Titik (0,25, ε) di titik puncak "lembah" besar di sisi kanan himpunan Mandelbrot berperilaku sama: jumlah iterasi sampai divergensi dikalikan dengan akar kuadrat ε cenderung mendekati {{pi}}.<ref name="KA" /><ref>Peitgen, Heinz-Otto, ''Chaos and fractals: new frontiers of science'', Springer, 2004, pp. 801–803, ISBN 978-0-387-20229-7.</ref>
 
[[Fungsi gama]] memperluas konsep [[faktorial]] (biasanya didefinisikan hanya untuk bilangan bulat non-negatif) ke semua bilangan kompleks, kecuali bilangan bulat nyata negatif. Ketika fungsi gama dievaluasi untuk bilangan setengah bulat, hasilnya berisi {{pi}}; sebagai contoh
:<math> \Gamma(1/2) = \sqrt{\pi} </math>
:dan
:<math>\Gamma(5/2) = \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} </math>.<ref>{{harvnb|Bronshteĭn|Semendiaev|1971|pp=191–192}}</ref>
 
Fungsi gama dapat digunakan untuk membuat pendekatan sederhana seperti {{math|''n''!}} untuk {{math|''n''}} besar:
:<math> n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n</math>
yang dikenal sebagai [[aproksimasi Stirling]].<ref>{{harvnb|Bronshteĭn|Semendiaev|1971|p=190}}</ref>
 
=== Teori bilangan dan fungsi zeta Riemann ===
[[Fungsi zeta Riemann]] {{math|''ζ''(''s'')}} digunakan dalam banyak bidang matematika. Ketika dievaluasi pada {{math|1=''s'' = 2}}, fungsi ini dapat ditulis sebagai:
:<math> \zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots</math>
 
Menemukan [[PersamaanEkspresi bentuk tertutup|penyelesaian sederhana]] untuk deret tak hingga ini merupakan masalah populer dalam matematika yang disebut [[masalah Basel]]. [[Leonhard Euler]] memecahkannya pada tahun 1735 ketika ia menunjukkan bahwa itu sama dengan {{math|π<supmath display="inline">\frac{\pi^2}{6}</supmath>/6}}.<ref name="Posamentier" /> Hasil Euler mengarah pada [[teori bilangan]] yaitu probabilitas dua angka acak yang bersifat [[prima relatif prima]] (tidak memiliki faktor bersama) adalah sama dengan {{math|6/π<supmath display="inline">\frac{6}{\pi^2}</supmath>}}.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=41–43}}</ref><ref group="n">Teorema ini dibuktikan oleh [[Ernesto Cesàro]] pada tahun 1881. Untuk lebih jelasnya, lihat Hardy, G. H., ''An Introduction to the Theory of Numbers'', Oxford University Press, 2008, ISBN 978-0-19-921986-5, teorema 332.</ref> Probabilitas ini berdasarkan pengamatan bahwa probabilitas bilangan sembarang [[Pembagi|dapat dibagi]] dengan suatu bilangan prima {{<math|''>p''}}</math> adalah {{<math| display="inline">\frac{1/''}{p''}}</math> (sebagai contoh, setiap bilangan bulat ke-7 dapat dibagi dengan 7.) Sehingga probabilitas dua bilangan yang keduanya dapat dibagi dengan bilangan prima ini adalah {{<math| display="inline">\frac{1/''}{p''<sup>^2}</supmath>}}, dan probabilitas bahwa sekurang-kurangnya satu di antaranya tidak dapat dibagi adalah {{<math| display="inline">1 - \frac{1/''}{p''<sup>^2}</supmath>}}. Untuk bilangan prima yang berbeda, kasus dapat dibagi ini bersifat independen; sehingga probabilitas bahwa dua bilangan adalah prima relatif diberikan oleh hasil pembagian seluruh bilangan prima:<ref>[[C. Stanley Ogilvy|Ogilvy, C. S.]]; Anderson, J. T., ''Excursions in Number Theory'', Dover Publications Inc., 1988, pp. 29–35, ISBN 0-486-25778-9.</ref>
 
: <math>\prod_p^{\infty} \left(1-\frac{1}{p^2}\right) = \left( \prod_p^{\infty} \frac{1}{1-p^{-2}} \right)^{-1} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots } = \frac{1}{\zeta(2)} = \frac{6}{\pi^2} \approx 61\% </math>
Baris 272 ⟶ 280:
Bidang [[probabilitas]] dan [[statistik]] sering kali menggunakan [[distribusi normal]] sebagai model sederhana untuk fenomena kompleks; sebagai contoh, ilmuwan umumnya berasumsi bahwa kesalahan pengamatan dalam kebanyakan percobaan mengikuti sebuah distribusi normal.<ref>Feller, W. ''An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1'', Wiley, 1968, hlm. 174–190.</ref> [[Fungsi Gauss]] (yang merupakan [[fungsi kepekatan probabilitas]] distribusi normal) dengan rata-rata {{math|μ}} dan [[simpangan baku]] {{math|σ}}, pada dasarnya adalah {{pi}}:<ref name="GaussProb">{{harvnb|Bronshteĭn|Semendiaev|1971|pp=106–107, 744, 748}}</ref>
 
:: <math>f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-(x-\mu )^2/(2\sigma^2)}</math>
 
Agar ini dapat menjadi kepekatan probabilitas, wilayah di bawah grafik f harus sama dengan satu. Hal ini diperoleh dari perubahan variabel dalam [[integral Gauss]]:<ref name="GaussProb" />
Baris 279 ⟶ 287:
 
sehingga luas daerah yang berada di bawah kurva lonceng sederhana sama dengan akar kuadrat π.
 
== Rumus dengan π ==
{| class="wikitable" style="border-collapse: collapse;"
!Bentuk
!Rumus
|-
|Keliling [[lingkaran]] dengan [[jari-jari]] ''r'' dan [[diameter]] ''d''
|<math>K = \pi d = 2 \pi r \,\!</math>
|-
|Luas lingkaran dengan jari-jari ''r'' dan diameter ''d''
|<math>L = \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi d^2 \,\!</math>
|-
|[[Volume]] bola dengan jari-jari ''r'' atau diameter ''d''
|<math>V = \frac{4}{3} \pi r^3 \,\!</math> atau <math>V = \frac{1}{6} \pi d^3 \,\!</math>
|-
|[[Luas permukaan]] bola dengan jari-jari ''r'' atau diameter ''d''
|<math>L = 4 \pi r^2 \,\!</math> atau <math>L = \pi d^2 \,\!</math>
|-
|Volume [[silinder]] setinggi ''h'' dan berjari-jari ''r''
|<math>V = \pi r^2 h \,\!</math>
|-
|Luas permukaan silinder setinggi ''h'' dan berjari-jari ''r''
|<math>L = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) h = 2 \pi r (r + h) \,\!</math>
|-
|Volume [[kerucut]] setinggi ''h'' dan berjari-jari ''r''
|<math>V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \,\!</math>
|-
|Luas permukaan kerucut setinggi ''h'' dan berjari-jari ''r''
|<math>L = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 = \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!</math>
|}
 
== Di luar matematika ==
 
=== Penggambaran fenomena fisika ===
Meskipun bukan [[konstanta fisika]], {{pi}} hadir secara rutin dalam persamaan-persamaan yang menjelaskan prinsip-prinsip fundamental alam semesta, sering karena hubungan antara {{pi}} dengan lingkaran dan dengan [[sistem koordinat sferis]]. Rumus sederhana dari bidang [[mekanika klasik]] memberikan aproksimasi periode {{math|''T''}} [[pendulum]] sederhana dengan panjang {{math|''L''}}, yang mengayun dengan amplitudo {{math|''g''}} adalah [[Gravitasi bumi|percepatan gravitasi bumi]]):<ref>{{cite|authors=Halliday, David; Resnick, Robert; Walker, Jearl|title=Fundamentals of Physics|edition=5th|publisher=John Wiley & Sons|year=1997|page=381|isbn=0-471-14854-7}}</ref>
Baris 319 ⟶ 296:
:<math> \Delta x\, \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}</math>
 
Dalam ranah [[kosmologi]], {{pi}} muncul dalam [[persamaan medan Einstein]], suatu formularumus fundamental yang menjadi dasar [[Relativitas umum|teori relativitas umum]] dan menjelaskan [[interaksi fundamental]] [[gravitasi]] sebagai hasil [[lengkungan|pelengkungan]] [[ruang waktu]] oleh [[materi]] dan [[energi]]:<ref>{{cite|author=Yeo, Adrian|title=The pleasures of pi, e and other interesting numbers|publisher=World Scientific Pub|year=2006|page=21|ISBN=978-981-270-078-0}}.</ref><ref>{{cite|author=Ehlers, Jürgen|title=Einstein's Field Equations and Their Physical Implications|publisher=Springer|year=2000|page=7|ISBN=978-3-540-67073-5}}.</ref>
:<math> R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik}</math>
dengan <math>R_{\mu\nu}</math> adalah [[tensor lengkungan Ricci]], {{math|''R''}} adalah [[lengkungan skalar]], <math>g_{\mu\nu}</math> adalah [[tensor metrik (relativitas umum)|tensor metrik]], {{math|Λ}} adalah [[tetapan kosmologi]], {{math|''G''}} adalah [[tetapan gravitasi|tetapan gravitasi Newton]], {{math|''c''}} adalah [[kecepatan cahaya]] dalam ruang hampa, dan <math>T_{\mu\nu}</math> adalah [[tensor energi tegangan]].
Baris 331 ⟶ 308:
dengan {{math|''m''}} adalah massa elektron.
 
{{pi}} hadir dalam beberapa formula rekayasa struktur, seperti rumus ''[[buckling]]'' yang diturunkan oleh Euler, yang memberikan muatan aksial {{math|''F''}} maksimum <!--that a long, slender column of length-->dengan panjang kolom {{math|''L''}}, [[elastisitas modulus]] {{math|''E''}}, dan [[momen inersia area]] {{math|''I''}} dapat mengangkut tanpa ''buckling'':<ref>{{cite|author=Low, Peter|title=Classical Theory of Structures Based on the Differential Equation|publisher=CUP Archive|year=1971|pages=116–118|ISBN=978-0-521-08089-7}}.</ref>
:<math>F =\frac{\pi^2EI}{L^2}</math>
 
Baris 341 ⟶ 318:
 
<!--
Under ideal conditions (uniform gentle slope on an homogeneously erodible substrate), the [[sinuosity]] of a [[meander]]ing river approaches {{pi}}. The sinuosity is the ratio between the actual length and the straight-line distance from source to mouth. Faster currents along the outside edges of a river's bends cause more erosion than along the inside edges, thus pushing the bends even farther out, and increasing the overall loopiness of the river. However, that loopiness eventually causes the river to double back on itself in places and "short-circuit", creating an [[ox-bow lake]] in the process. The balance between these two opposing factors leads to an average ratio of {{pi}} between the actual length and the direct distance between source and mouth.<ref>{{cite journal|journal=[[Science (journal)|Science]]|volume=271|issue=5256|date=22 March 1996|pages=1710–1713|doi=10.1126/science.271.5256.1710|title=River Meandering as a Self-Organization Process|url=https://archive.org/details/sim_science_1996-03-22_271_5256/page/1710|author=Hans-Henrik Stølum|bibcode=1996Sci...271.1710S|ref=harv}}</ref><ref>{{harvnb|Posamentier|Lehmann|2004|pp=140–141}}</ref>
 
The Wallis formula for pi can be obtained directly from the [[Calculus of variations|variational approach]] to the [[Bohr model|spectrum of the hydrogen atom]] in spaces of arbitrary dimensions greater than one, including the physical three dimensions.<ref>{{cite journal|doi=10.1063/1.4930800|author=T. Friedmann ; C.R. Hagen|title=Quantum mechanical derivation of the Wallis formula for pi|journal=Journal of Mathmatical Physics|volume=56|issue=11|year=2015}}</ref>
Baris 355 ⟶ 332:
 
== Lihat pula ==
* [[DeretAproksimasi (matematika)Stirling]]
*[[Daftar tetapan matematis]]
* [[Urutan]]
 
== Referensi ==
Baris 372 ⟶ 349:
* {{cite book|last=Beckmann|first=Peter|title=History of Pi|url=https://archive.org/details/historyofpisymbo00beck|publisher=St. Martin's Press|year=1989|origyear=1974|isbn=978-0-88029-418-8|ref=harv}}
* {{cite book|last=Borwein|first=Jonathan|author1-link=|last2=Borwein|first2=Peter|author2-link=|title=Pi and the AGM: a Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity|publisher=Wiley|year=1987|isbn=978-0-471-31515-5|ref=harv}}
* {{cite book|last=Boyer|first=Carl B.|last2=Merzbach|first2=Uta C.|year=1991|title=A History of Mathematics|url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye|edition=2|publisher=Wiley|isbn=978-0-471-54397-8|ref=harv}}<!-- Year from ISBN. Original citatation was just to Boyer. Possible that edition is wrong and therefore page is wrong. Editions: Boyer 1968, Boyer/Merzbach 1989, Boyer/Merzbach 1991, Merzbach/Boyer 2010, Merzbach/Boyer 2011. Verify second: Hui and 3072-sided polygon is on cited page 202 of 1991 edition; page 228 of 1968 edition. Google snippet has a hit for 3.1456 on page 168 for 1991, but does not show the number. -->
* {{cite book|last=Bronshteĭn|first=Ilia|last2=Semendiaev|first2=K. A.|title=A Guide Book to Mathematics|publisher=H. Deutsch|year=1971|isbn= 978-3-871-44095-3|ref=harv}}
* {{cite book|last=Eymard|first=, Pierre|last2=, Lafon|first2=, Jean Pierre|year=1999|title=The Number Pi|url=https://archive.org/details/numberpi0000eyma|publisher=American Mathematical Society|year=1999|isbn=978-0-8218-3246-2|ref=harv}}, English translation by Stephen Wilson.
* {{cite book|last=Joseph|first=George Gheverghese|title=The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics|publisher=Princeton University Press|year=1991|isbn=978-0-691-13526-7|url=http://books.google.com/?id=c-xT0KNJp0cC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false%7C|ref=harv|accessdate=2013-06-05}}<!-- This ISBN is for the third edition from 2011! -->
* {{cite book|last=Posamentier|first=Alfred S.|last2=Lehmann|first2=Ingmar|title=Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number|url=https://archive.org/details/pi00alfr_0|publisher=Prometheus Books|year=2004|isbn=978-1-59102-200-8|ref=harv}}
* {{cite journal|last=Reitwiesner|first=George|title=An ENIAC Determination of pi and e to 2000 Decimal Places|journal=Mathematical Tables and Other Aids to Computation|year=1950|volume=4|issue= 29|pages=11–15|doi=10.2307/2002695|ref=harv }}
* {{cite journal|last=Roy|first=Ranjan|title=The Discovery of the Series Formula for pi by Leibniz, Gregory, and Nilakantha|url=https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1990-12_63_5/page/291|journal=Mathematics Magazine|volume=63|issue= 5|year=1990|pages=291–306|doi=10.2307/2690896|ref=harv }}
* {{cite journal|last=Schepler|first=H. C.|title=The Chronology of Pi|journal=Mathematics Magazine|publisher=Mathematical Association of America|year=1950|volume=23|issue=3|pages= 165–170 (Jan/Feb), 216–228 (Mar/Apr), and 279–283 (May/Jun)|doi=10.2307/3029284|ref=harv }}. [<!-- http://www.jstor.org/stable/3029284 -->http://www.jstor.org/discover/10.2307/3029284 issue 3 Jan/Feb], [http://www.jstor.org/stable/3029832 issue 4 Mar/Apr], [http://www.jstor.org/stable/3029000 issue 5 May/Jun]
{{refend}}
Baris 385 ⟶ 362:
* [http://sia.akprind.ac.id/jack/geometri.pas.txt Program dalam Pascal tentang pemakaian π]{{Pranala mati|date=Mei 2021 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
* [http://www.exploratorium.edu/pi/history_of_pi/index.html Sejarah singkat tentang π]
* [http://pidifferent.pi.funpic.de/index-en.html Pi-memory] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080319051557/http://pidifferent.pi.funpic.de/index-en.html |date=2008-03-19 }}
 
{{Authority control}}
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Pi"