Pi: Perbedaan antara revisi

Pada abad ke-20 dan ke-21, para matematikawan dan ilmuan komputer menemukan pendekatan baru yang apabila digabungkan dengan daya komputasi komputer yang tinggi, mampu memperpanjang representasi desimal {{pi}} sampai dengan lebih 10 triliun (10¹³) digit.<ref name="NW"/> Penerapan bilangan {{pi}} dalam bidang sains pada umumnya tidak memerlukan lebih dari beberapa ratus digit desimal {{pi}} dan bahkan kurang. Motivasi utama penghitungan ini adalah menemukan algoritme yang lebih efisien untuk menghitung rangkaian bilangan panjang sekaligus memecahkan rekor.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=17}}</ref><ref>{{cite journal|first1=David |last1=Bailey |first2=Jonathan |last2=Borwein |first3=Peter |last3=Borwein |first4=Simon |last4=Plouffe |title=The Quest for Pi|url=https://archive.org/details/sim_mathematical-intelligencer_winter-1997_19_1/page/50 |journal=The Mathematical Intelligencer|year=1997|volume=19|issue=1|pages=50–56|doi=10.1007/bf03024340|citeseerx=10.1.1.138.7085}}</ref> Perhitungan ekstensif seperti ini juga digunakan untuk menguji kemampuan [[superkomputer]] dan [[algoritme]] perkalian presisi tinggi. Pada tahun [[1973]], manusia berhasil menemukan 1 juta digit desimal dari π.

Karena definisi {{pi}} berhubungan dengan lingkaran, maka pi banyak ditemukan dalam rumus-rumus [[trigonometri]] dan [[geometri]], terutama yang menyangkut lingkaran, elips, dan bola. {{pi}} juga ditemukan pada rumus-rumus bidang ilmu lainnya seperti [[kosmologi]], [[teori bilangan]], [[statistika]], [[fraktal]], [[termodinamika]], [[mekanika]], dan [[elektromagnetisme]]. Keberadaan {{pi}} yang sangat umum menjadikannya sebagai salah satu konstanta matematika yang paling luas dikenal, baik di dalam maupuan di luar kalangan ilmuwan. Hal ini dibuktikan dari beberapa penerbitan buku yang membahas bilangan ini, perayaan [[hari Pi]], dan pemberitaan-pemberitaan yang luas dimanadi mana perhitungan digit {{pi}} berhasil memecahkan rekor perhitungan. Beberapa orang bahkan dengan kerasnya berusaha menghafal nilai bilangan {{pi}} dengan rekor 70.030 digit (Suresh Kumar Sharma, India).

Simbol yang digunakan oleh para matematikawan untuk mewakilkan rasio keliling suatu lingkaran terhadap diameternya adalah [[alfabet Yunani|huruf Yunani]] "{{pi}}". Huruf tersebut dapat dituliskan sebagi ''pi'' menggunakan huruf latin.<ref>{{cite journal|last=Holton|first=David|last2=Mackridge|first2=Peter|title=Greek: an Essential Grammar of the Modern Language|publisher=Routledge|year=2004 |isbn=0-415-23210-4|ref=harv}}, p. xi.</ref> Huruf kecil {{pi}} (atau π dalam gaya huruf [[sans-serif]]) berbeda dengan huruf besar {{PI}}<math>\Pi</math>, yang mewakili [[perkalian barisan]].

[[fileBerkas:Circle diameter circumference-id.svg|ka|jmpl|200px212x212px|Keliling sebuah lingkaran adalah sedikit lebih panjang dari tiga kali panjang diamternyadiameternya. Perbandingan antara keliling lingkaran dengan diameternya disebut {{pi}}.]]

Rasio {{math|''C''/''d''}} bernilai konstan tak tergantung pada ukuran lingkaran. Contohnya, jika suatu lingkaran memiliki diameter dua kali lipat daripada lingkaran lainnya, ia juga akan memiliki keliling yang dua kali lipat lebih besar, sehingganya nilai rasio {{math|''C''/''d''}} akan tetap sama. Definisi {{pi}} seperti ini secara implisit menggunakan [[geometri Euklides]]. Walaupun gagasan akan lingkaran juga dapat diperluas ke dalam [[geometri non-Euklides]], namun lingkaran yang baru ini tidak akan lagi memenuhi rumus {{math|{{pi}} {{=}} ''C''/''d''}}.<ref name="Arndt" /> Terdapat pula definisi {{pi}} lainnya yang tidak menyebut-nyebut lingkaran sama sekali, yakni: {{pi}} adalah bilangan yang bernilai dua kali lipat dari bilangan positif terkecil {{math|''x''}} yang mana {{math|[[cosineKosinus|cos]](''x'')}} sama dengan 0.<ref name="Arndt" /><ref>{{cite book|last=Rudin|first=Walter|title=Principles of Mathematical Analysis|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|publisher=McGraw-Hill|year=1976|isbn=0-07-054235-X|ref=harv}}, p 183.</ref>

[[Berkas:Squaring the circle.svg|jmpl|alt=Diagram sebuah persegi dan lingkaran, keduanya dengan area identik; panjang sisi persegi adalah akar dari pi|Karena {{pi}} adalan [[bilangan transendental]], [[Mempersegikan lingkaran|Pemersegian lingkaran]] tidaklah dimungkinkan menggunakan [[jangka dan penggaris]].]]

{{pi}} adalah [[bilangan transendental]], yang berarti bahwa ia bukanlah penyelesaian dari [[polinom]] non-konstan berkoefisien [[rasional]] manapun seperti <math>\scriptstyle \frac{x^5}{120}\,-\,\frac{x^3}{6}\,+\,x\,=\,0.</math><ref name="ttop">{{cite web|first=Steve|last=Mayer|url=http://dialspace.dial.pipex.com/town/way/po28/maths/docs/pi.html|title=The Transcendence of {{pi}}|accessdate=4 November 2007|archive-date=2000-09-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20000929033317/http://dialspace.dial.pipex.com/town/way/po28/maths/docs/pi.html|dead-url=yes}}</ref> Transendensi {{pi}} mempunyai dua konsekuensi penting. Pertama, {{pi}} tidak dapat diekspresikan menggunakan kombinasi bilangan rasional dan [[akar kuadrat]] ataupun [[Akar ke-n|akar pangkat ke-n]] manapun seperti <math>\scriptstyle \sqrt[3]{31}</math> atau <math>\scriptstyle \sqrt[2]{10}.</math> Kedua, oleh karena tiada bilangan transendental apapun yang dapat dikonstruksikan menggunakan jangka dan penggaris, tidaklah dimungkinkan untuk "[[mempersegikan lingkaran]]". Dengan kata lain, tidaklah mungkin untuk mengkonstruksi persegi yang luasnya sama dengan luas lingkaran tertentu hanya dengan menggunakan jangka dan penggaris.<ref>{{harvnb|Posamentier|Lehmann|2004|p=25}}</ref> Pemersegian lingkaran merupakan salah satu teka-teki geometri yang penting pada zaman [[era klasik]].<ref>{{harvnb|Eymard|Lafon|1999|p=129}}</ref> Matematikawan amatiran pada zaman modern kadang-kadang masih berusaha mempersegikan lingkaran dan mengklaim berhasil menyelesaikannya, walaupun telah diketahui hal ini tidak mungkin dilakukan.<ref>{{harvnb|Beckmann|1989|p=37}}</ref><ref>{{cite book|last=Schlager|first=Neil|last2=Lauer|first2=Josh|title=Science and Its Times: Understanding the Social Significance of Scientific Discovery|publisher=Gale Group|year=2001|isbn=0-7876-3933-8|ref=harv}}, p 185.</ref>

Digit-digit {{pi}} tidak memiliki pola apapun dan telah melewati uji [[keacakan statistis]] meliputi uji normalitas; sebuah bilangan dengan panjang tak terhingga dikatakan normal apabila keseluruhan barisan digitnya muncul sama banyaknya.<ref name="random" /> Hipotesis bahwa {{pi}} adalah normal belum berhasil dibuktikan maupun dibantah.<ref name="random">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=22–23}}<br />{{cite news|url=http://www.lbl.gov/Science-Articles/Archive/pi-random.html|title=Are The Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold The Key|first=Paul|last=Preuss|authorlink=Paul Preuss|publisher=[[Lawrence Berkeley National Laboratory]]|date=23 July 2001|accessdate=10 November 2007|archive-date=2007-10-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20071020010208/http://lbl.gov/Science-Articles/Archive/pi-random.html|dead-url=yes}}</ref> Sejak ditemukannya komputer, sejumlah besar digit {{pi}} telah berhasil dikomputasi untuk dianalisis secara statistik. [[Yasumasa Kanada]] telah menganalisis secara detail digit-digit desimal {{pi}} dan menemukannya konsisten dengan normalitas. Tiada bukti sepuluh digit 0 sampai dengan 9 yang ditemukan memiliki pola-pola apapun.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=22, 28–30}}</ref> Walaupun digit-digit {{pi}} telah melewati uji keacakan statistik, {{pi}} mengandung beberapa barisan digit yang tampaknya tidak acak, misalnya [[titik Feynman]], yang merupakan barisan enam angka 9 secara beruruan yang dimulai dari desimal ke-762 {{pi}}.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=3}}</ref>

Beberapa [[Pendekatan π|pendekatan ''{{pi}}'']] meliputi:

* '''Pecahan''': Pendekatan pecahan meliputi: (diurutkan berdasarkan kenaikan akurasi) {{sfrac|22|7}}, {{sfrac|333|106}}, {{sfrac|355|113}}, {{sfrac|52163|16604}}, {{sfrac|103993|33102}}, dan {{sfrac|245850922|78256779}}.<ref name="{{Sfn|Eymard, 1999Pierre, 78"Lafon, />Jean Pierre|1999|p=78}} (Disarikan dari {{OEIS2C|id=A063674}} and {{OEIS2C|id=A063673}}.)

Dua ayat dalam [[alkitab Ibrani]] (yang ditulis antara abad ke-8 dan ke-3 SM) medeskripsikan sebuah kolam seremonial dalam [[Bait Salomo]] yang berdiameter 10 [[kubit]] dan kelilingnya 30 kubit; ayat ini menyiratkan bahwa {{pi}} adalah sekitar tiga apabila kolam tersebut berbentuk lingkaran.<ref group="n">Ayat tersebut adalah {{bibleverse|1|Kings|7:23|NKJV}} dan {{bibleverse|2|Chronicles|4:2|NKJV}}</ref><ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=169}}, {{harvnb|Schepler|1950|p=165}}</ref><ref>{{harvnb|Beckmann|1989|pp=14–16}}.</ref><ref group="n">Gagasan bahwa kolam ini berbentuk heksagonal telah diberikan sebagai penjelasan terhadap disparitas ini. Lihat {{cite book|last=Borwein|first=Jonathan M.|last2=Bailey|first2=David H.|title=Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st century|url=https://archive.org/details/mathematicsbyexp0000borw|edition=revised 2nd|publisher=A. K. Peters|year=2008|isbn=978-1-56881-442-1|ref=harv}}, pp. 103, 136, 137.</ref> [[Rabbi Nehemiah]] menjelaskan bahwa diskrepansi ini diakibatkan oleh ketebalan pinggiran kolam. Hasil kerja paling awal Rabbi Nehemiah ''[[Mishnat ha-Middot]]'' yang ditulis sekitar tahun 150 mengambil nilai {{pi}} sebesar tiga dan sepertujuh.<ref>{{Cite book|pages=9–10|title=The Scientific & the Divine|author=James A. Arieti, Patrick A. Wilson|publisher=Rowman & Littlefield|year=2003|isbn=9780742513976|url=http://books.google.co.uk/books?id=q2MHZTL_s64C&pg=PA9|ref=harv|accessdate=2013-06-05}}</ref>

Algoritme paling awal yang tercatat secara cermat menghitung nilai {{pi}} adalah pendekatan geometri menggunakan poligon. Algoritme ini ditemukan sekitar 250 SM oleh matematikawan Yunani [[Archimedes]].<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=170}}</ref> Algoritme poligon ini mendominasi selama 1.000 tahun, dan karenanya {{pi}} kadang-kadang dirujuk juga sebagai "konstanta Archimedes".<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=175, 205}}</ref> Archimedes menghitung batas atas dan bawah {{pi}} dengan menggambar poligon di luar dan di dalam sebuah lingkaran, dan secara perlahan melipatgandakan sisi-sisi poligon tersebut hingga mencapai 96-gon. Dengan menghitung keliling poligon-poligon tersebut, Archimedes membuktikan bahwa {{frac|223|71}}&nbsp;<&nbsp;{{pi}}&nbsp;<&nbsp;{{frac|22|7}} (3,1408&nbsp;<&nbsp;{{pi}}&nbsp;<&nbsp;3,1429).<ref>{{cite web|url=http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/29504-the-computation-of-pi-by-archimedes/content/html/ComputationOfPiByArchimedes.html#37 |title=The Computation of Pi by Archimedes: The Computation of Pi by ArchimedesArchimedes–File – File Exchange – MATLABExchange–MATLAB Central |publisher=Mathworks.com |date= |accessdate=2013-03-12}}</ref> Batas atas Archimedes sekitar {{frac|22|7}} membuat banyak orang percaya bahwa {{pi}} sama dengan {{frac|22|7}}.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=171}}</ref> Sekitar tahun 150, [[Ptolemaeus]] dalam [[Almagest]]-nya, memberikan nilai {{pi}} sebesar 3,1416. Hasil ini kemungkinan dia dapatkan dari Archimedes ataupun dari [[Apollonius dari Perga]].<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=176}}</ref><ref>{{harvnb|Boyer|Merzbach|1991|p=168}}<!--may be suspect--></ref> Para matematikawan kemudian menggunakan algoritme ini dan mencapai rekor 39 digit {{pi}} pada tahun 1630 sebelum dipecahkan pada tahun 1699 menggunakan deret tak terhingga.<ref name="ArPI">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=15–16, 175, 184–186, 205}}.</ref><ref group="n">Grienberger mencapai 39 digit pada tahun 1630; Sharp 71 digit pada tahun 1699.</ref>

Pada zaman Cina kuno, nilai {{pi}} adalah 3,1547 (sekitar tahun 1 Masehi), <math>\scriptstyle \sqrt{10}</math> (tahun 100, sekitar 3,1623), dan 142/45 (abad ke-3, sekitar 3,1556).<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=176–177}}</ref> Sekitar tahun 265, matematikawan dari [[Kerajaan Wei]], [[Liu Hui]], menemukan [[algoritme π Liu Hui|algoritmealgoritma iteratif berbasis poligon]] yang digunakan dengan 3072-gon untuk menghasilkan nilai {{pi}} sebesar 3,1416.<ref name="autogenerated202">{{harvnb|Boyer|Merzbach|1991|p=202}}</ref><ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=177}}</ref> Liu kemudian menciptakan metode yang lebih cepat dan mendapatkan nilai 3,14 dengan menggunakan 96-gon.<ref name="autogenerated202" /> Matematikawan Cina [[Zu Chongzhi]] sekitar tahun 480 menghitung bahwa {{pi}}&nbsp;≈&nbsp;{{frac|355|113}} (pecahan ini dinamakan pecahan [[Milü]] dalam bahasa Cina) dengan menggunakan algoritme Liu Hui dan menerapkannya menggunakan 12.288-gon. Nilai yang didapatkannya adalah 3,141592920... dan akurat sebanyak tujuh digit. Nilai pendekatan ini merupakan nilai yang paling akurat selama 800 tahun ke depan.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=178}}</ref>

Astronom Persia [[Jamshīd al-Kāshī]] menghasilkan 16 digit nilai {{pi}} pada tahun 1424 menggunakan poligon bersisi 3×2²⁸,<ref>{{cite journal| first1=Mohammad K. | last1=Azarian | title=al-Risāla al-muhītīyya: A Summary | journal=Missouri Journal of Mathematical Sciences | volume=22 | issue=2 | year=2010 | pages=64–85 | url=<!-- http://www.xs4all.nl/~nirmala/Azarian2.pdf -->[{{cite journal | first1=Mohammad K. | last1=Azarian | title=al-Risāla al-muhītīyya: A Summary | journal=Missouri Journal of Mathematical Sciences | volume=22 | issue=2 | year=2010 | pages=64–85 | urldoi=<!-- http://www10.xs4all.nl35834/~nirmalamjms/Azarian2.pdf -->[http://nirmala.home.xs4all.nl/Azarian2.pdf]{{dead link1312233136|date=June 2013}} | format=PDF | separator=, | ref=harv }}{{Pranala mati|date=Maret 2021 |bot=InternetArchiveBot |fixdoi-attempted=yes }}]{{dead link|date=June 2013}} | format=PDF | separator=,| refaccess=harvfree}}</ref><ref>{{cite web|author=O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. | year=1999 | title=Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi | work=[[MacTutor History of Mathematics archive]] | url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Al-Kashi.html | accessdate=Augustus 11, 2012 | separator=,}}</ref>. Ini kemudian menciptakan rekor untuk 180 tahun.<ref name="Arndt_f">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=182}}</ref> Matematikawan Prancis [[François Viète]] pada tahun 1579 mencapai 9 digit menggunakan poligon bersisi 3×2¹⁷.<ref name="Arndt_f" /> Matematikawan [[Flandria]] mencapai 15 digit desimal pada tahun 1593.<ref name="Arndt_f" /> Pada tahun 1596, matematikawan Belanda [[Ludolph van Ceulen]] mencapai 20 digit, dan rekor ini dipecahkan oleh dirinya sendiri mencapai 35 digit.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=182–183}}</ref> Ilmuwan Belanda [[Willebrord Snellius]] mencapai 34 digit pada tahun 1621,<ref name="Arndt_g">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=183}}</ref> dan astronom Austria [[Christoph Grienberger]] mencapai 38 digit pada tahun 1630,<ref>{{cite book|first=Christophorus|last=Grienbergerus|authorlink=[[Christoph Grienberger|language=Latin|year=1630|title={{lang|la|ElementaGrienberger, Trigonometrica|nocat=true}}|url=Christoph]] (1960), ''[https://web.archive.org/web/20140201234124/http://librarsi.comune.palermo.it/gesuiti2/06.04.01.pdf|format= Elementa Trigonometrica]'' (PDF|access-date=2013-08-06|archive-date=2014-02-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20140201234124/) (dalam bahasa Latin) Diarsipkan dari [http://librarsi.comune.palermo.it/gesuiti2/06.04.01.pdf|dead-url=yes}} aslinya] (PDF) pada tanggal 1 Februari 2014. Pendekatannya adalah 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 < π < 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199.</ref><ref group="n">Nilai evaluasinya sebesar 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 < {{pi}} < 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199.</ref> adalah nilai terakurat yang didapatkan secara perhitungan manual menggunakan pendekatan poligon.<ref name="Arndt_g" />

=== Deret tak hinggatakhingga ===

Perhitungan {{pi}} direvolusi oleh berkembangnya teknik [[deret tak hinggatakhingga]] pada abad ke-16 dan 17. Deret tak hinggatakhingga merupakan penjumlahan deretan suku-suku yang tak terhingga banyaknya.<ref name="Ais">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=185–191}}</ref> Hal ini memungkinkan matematikawan menghitung nilai {{pi}} dengan presisi yang melebihi metode [[Archimedes]].<ref name="Ais" /> Walaupun metode deret tak hinggatakhingga utamanya digunakan oleh matematikawan Eropa untuk menghitung nilai {{pi}}, pendekatan ini pertama kali ditemukan di [[India]] antara tahun 1400 dan 1500.<ref name="Roypp"/><ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=185–186}}</ref> Deskripsi tertulis pertama mengenai deret tak hinggatakhingga yang dapat digunakan untuk menghitung {{pi}} terdapat dalam ayat Sanskerta yang ditulis oleh astronom India [[Nilakantha Somayaji]] dalam buku ''[[Tantrasamgraha]]'' sekitar tahun 1500.<ref name="Roypp">{{harvnb|Roy|1990|pp=101–102}}</ref> Deret ini diberikan tanpa pembuktian, walaupun pembuktian ini kemudian diberikan kemudian dalam [[Yuktibhāṣā]] sekitar tahun 1530. Nilakantha memberi kredit penemuan deret ini kepada matematikawan India [[Madhava dari Sangamagrama]] yang hidup antara tahun 1350&nbsp;– c.&nbsp;1425.<ref name="Roypp" /> Beberapa deret tak terhingga dijelaskan, meliputi deret untuk sinus, tangen, dan kosinus, yang dikenal sebagai [[deret Madhava]] atau [[deret Gregory-Leibniz]].<ref name="Roypp" /> Madhava menggunakan deret tak hinggatakhingga untuk memperkirakan nilai {{pi}} sampai dengan 11 digit sekitar tahun 1400. Namun rekor tersebut dikalahkan oleh matematikawan Persia [[Jamshīd al-Kāshī]] pada tahun 1430 menggunakan algoritme poligon.<ref>{{harvnb|Joseph|1991|p=264}}</ref>

[[Berkas:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg|jmpl|lurus|alt=A formal portrait of a man, with long hair|[[Isaac Newton]] menggunakan deret tak hinggatakhingga untuk menghitung nilai {{pi}} sampai 15 digit.<ref name="Newton" />]]

Deret tak hinggatakhingga yang ditemukan di Eropa pertama kali adalah [[perkalian tak hinggatakhingga]] (daripada [[penjumlahan tak hinggatakhingga]]), yang ditemukan oleh matematikawan Prancis [[François Viète]] pada tahun 1593:<ref name="Arndt_h">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=187}}</ref>

Deret tak hinggatakhingga kedua yang ditemukan di Eropa oleh [[John Wallis]] pada tahun 1655 juga merupakan perkalian tak hinggatakhingga.<ref name="Arndt_h" /> Penemuan [[kalkulus]] oleh [[Isaac Newton]] dan [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] pada tahun 1660-an mendorong perkembangan banyak deret tak hinggatakhingga untuk menghitung nilai {{pi}}. Newton sendiri menggunakan deret arka sinus untuk menghitung {{pi}} sampai dengan 15 digit pada tahun 1665 atau 1666.<ref name="Newton">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=188}}. Newton quoted by Arndt.</ref>

Rumus ini, yang disebut deret Gregory-Leibniz, sama dengan <math>\scriptstyle \pi/4</math> ketika dievaluasi bersama dengan {{math|''z''}}&nbsp;=&nbsp;1.<ref name="LS">{{harvnb|Eymard|Lafon|1999|pp=53–54}}</ref> Pada tahun 1699, matematikawan Inggris [[Abraham Sharp]] menggunakan deret ini untuk menghitung {{pi}} sampai dengan 71 digit, dan memecahkan rekor 39 digit sebelumnya.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=189}}</ref> Deret Gregory-Leibniz cukup sederhana, namun ber[[deret konvergen|konvergen]] sangat lambat, sehingga ia tidak digunakan pada zaman modern untuk menghitung {{pi}}.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=156}}</ref>

Beberapa deret tak hinggatakhingga untuk {{pi}} berkonvergen lebih cepat daripada yang lainnya. Matematikawan biasanya akan menggunakan deret yang lebih cepat berkonvergen untuk menghemat waktu sampai dengan tingkat akurasi tertentu.<ref name="Aconverge">{{cite journal|last=Borwein|first=J. M.|last2=Borwein|first2=P. B.|title=Ramanujan and Pi|year=1988|journal=Scientific American|volume=256|issue=2|pages=112–117|ref=harv|bibcode=1988SciAm.258b.112B|doi=10.1038/scientificamerican0288-112}}<br />{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=15–17, 70–72, 104, 156, 192–197, 201–202}}</ref> Deret tak terhingga untuk {{pi}} yang sederhana misalnya [[rumus Leibniz untuk π|deret Gregory-Leibniz]]:<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=69–72}}</ref>

Deret yang lebih cepat berkonvergen adalah (digunakan oleh Nilakantha pada abad ke-15):<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=223}}</ref><ref group="n">(formula 16.10). Perhatikan bahwa (''n''&nbsp;−&nbsp;1)''n''(''n''&nbsp;+&nbsp;1) = ''n''³&nbsp;−&nbsp;''n''.</ref><ref>{{cite book|last=Wells|first=David|page=[https://archive.org/details/penguindictionar0000well_f3y1/page/35 35]|title=The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers|url=https://archive.org/details/penguindictionar0000well_f3y1|edition=revised|publisher=Penguin|year=1997|isbn=978-0-140-26149-3|ref=harv}}</ref>

! Deret tak hinggatakhingga untuk {{pi}} !! Setelah suku ke-1 !! Setelah suku ke-2 !! Setelah suku ke-3 !! Setelah suku ke-4 !! Setelah suku ke-5 !! Berkonvergen ke:

Ilmuwan Swiss [[Johann Heinrich Lambert]] pada tahun 1761 membuktikan bahwa {{pi}} adalah [[bilangan irasional|irasional]], yang berarti ia bukanlah hasil dari pembagian dua bilangan bulat manapun.<ref name="Arndt_i" /> Pembuktian Lambert menggunakan representasi pecahan kontinu dari fungsi tangen.<ref>Lambert, Johann, "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques", reprinted in {{harvnb|Berggren|Borwein|Borwein|1997|pp=129–140}}</ref> Matematikawan Prancis [[Adrien-Marie Legendre]] pada tahun 1794 membuktikan bahwa {{pi}}² jugalah irasional. Pada tahun 1882, matematikawan Jerman [[Ferdinand von Lindemann]] membuktikan bahwa {{pi}} adalah [[bilangan transendental|transendental]], yang kemudian berhasil mengonfirmasi konjektur yang dibuat oleh [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] dan [[Euler]].<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=196}}</ref>

Perkembangan komputer yang pesat pada pertengahan abad ke-20 merevolusi perhitungan digit desimal {{pi}}. Matematikawan Amerika [[John Wrench]] dan Levi Smith berhasil menghitung nilai pi sampai dengan 1.120 digit menggunakan kalkulator meja.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=205}}</ref> Dengan menggunakan deret tak terhingga [[Fungsi invers trigonometri|invers tangen]] (arctan), sekelompok tim yang dipimpin oleh George Reitwiesner dan [[John von Neumann]] pada tahun yang sama berhasil mencapai 2.037 digit menggunakan komputer [[ENIAC]] dengan lama perhitungan selama 70 jam.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=197}}. See also {{harvnb|Reitwiesner|1950}}.</ref> Rekor ini terus dipecahkan menggunakan deret arctan (7.480 digit pada tahun 1957; 10.000 digit pada tahun 1958; 100.000 digit pada tahun 1961), sampai dengan 1 juta digit pada tahun 1973.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=197}}</ref>

Perkembangan lebih jauh sekitar tahun 1980 kemudian mempercepat kemampuan komputasi {{pi}}. Pertama, penemuan [[algoritme iteratif]] baru yang lebih cepat daripada deret tak terhingga; dan kedua, penemuan [[algoritme perkalian|algoritme perkalian cepat]] yang mampu mengalikan bilangan besar dengan sangat cepat.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=15–17}}</ref> Algoritme ini sangat penting karena waktu yang dihabiskan oleh komputasi komputer kebanyakan berkutat pada perkalian.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=131}}</ref> Algoritme seperti ini contohnya [[algoritme Karatsuba]], [[perkalian Toom-CookToom–Cook]], dan [[perkalian FFT|metode berbasis transformasi Fourier]].<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=132, 140}}</ref>

Matematikawan Amerika [[Stan Wagon]] dan Stanley Rabinowitz menemukan algoritme keran sederhana pada tahun 1995.<ref name="Gibbons" /><ref name="Arndt_k">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=77}}</ref><ref>{{cite journal|first1=Stanley|last1=Rabinowitz|last2=Wagon|first2=Stan|year=1995|month=March|title=A spigot algorithm for the digits of Pi|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1995-03_102_3/page/195|journal=American Mathematical Monthly|volume=102|issue=3|pages=195–203|doi=10.2307/2975006|ref=harv}}</ref><ref group="n">Sebuah program komputer juga telah diciptakan untuk mengimplementasikan algoritme keran Wagon tersebut hanya dalam perangkat lunak berjumlah karakter 120.</ref> Kecepatan konvergensi algoritme ini sebanding dengan algoritme arctan, namun tidak secepat algoritme iteratif.<ref name="Arndt_k" />

[[Berkas:Circle Area.svg|lang=id|jmpl|ka|Luas lingkaran di atas adalah sama dengan {{pi}} kali luas daerah yang diarsir.|pra=Berkas:Circle_Area.svg%3Flang=id]]

* [[Luas permukaan]] bola dengan jari-jari {{math|''r''}} adalah <math> 4 \pi r^2</math>

Fungsi-fungsi trigonometri pada umumnya memiliki periode yang merupakan kelipatan dari {{pi}}, sebagai contohnya sinus dan kosinus memiliki periode 2{{pi}},<ref name="WCS">{{harvnb|Bronshteĭn|Semendiaev|1971|pp=210–211}}</ref> sehingga untuk suautu sudut ''θ'' apapun dan suatu bilangan bulat {{math|''k''}} apapun, <math>\sin\theta = \sin\left(\theta + 2\pi k \right)</math> dan <math>\cos\theta = \cos\left(\theta + 2\pi k \right).</math><ref name="WCS" />

==== MetodeRumus Monteintegral CarloCauchy ====

: <math>\pif \approx(z_{0}) = \frac{2n1}{ 2\ellpi i } \oint_\gamma {xt f(z) \over z-z_0 }\,dz</math>

[[Fungsi zeta Riemann]] {{math|''ζ''(''s'')}} digunakan dalam banyak bidang matematika. Ketika dievaluasi pada {{math|1=''s'' = 2}}, fungsi ini dapat ditulis sebagai:

Menemukan [[PersamaanEkspresi bentuk tertutup|penyelesaian sederhana]] untuk deret tak hingga ini merupakan masalah populer dalam matematika yang disebut [[masalah Basel]]. [[Leonhard Euler]] memecahkannya pada tahun 1735 ketika ia menunjukkan bahwa itu sama dengan {{math|π<supmath display="inline">\frac{\pi^2}{6}</supmath>/6}}.<ref name="Posamentier" /> Hasil Euler mengarah pada [[teori bilangan]] yaitu probabilitas dua angka acak yang bersifat [[prima relatif prima]] (tidak memiliki faktor bersama) adalah sama dengan {{math|6/π<supmath display="inline">\frac{6}{\pi^2}</supmath>}}.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=41–43}}</ref><ref group="n">Teorema ini dibuktikan oleh [[Ernesto Cesàro]] pada tahun 1881. Untuk lebih jelasnya, lihat Hardy, G. H., ''An Introduction to the Theory of Numbers'', Oxford University Press, 2008, ISBN 978-0-19-921986-5, teorema 332.</ref> Probabilitas ini berdasarkan pengamatan bahwa probabilitas bilangan sembarang [[Pembagi|dapat dibagi]] dengan suatu bilangan prima {{<math|''>p''}}</math> adalah {{<math| display="inline">\frac{1/''}{p''}}</math> (sebagai contoh, setiap bilangan bulat ke-7 dapat dibagi dengan 7.) Sehingga probabilitas dua bilangan yang keduanya dapat dibagi dengan bilangan prima ini adalah {{<math| display="inline">\frac{1/''}{p''<sup>^2}</supmath>}}, dan probabilitas bahwa sekurang-kurangnya satu di antaranya tidak dapat dibagi adalah {{<math| display="inline">1 - \frac{1/''}{p''<sup>^2}</supmath>}}. Untuk bilangan prima yang berbeda, kasus dapat dibagi ini bersifat independen; sehingga probabilitas bahwa dua bilangan adalah prima relatif diberikan oleh hasil pembagian seluruh bilangan prima:<ref>[[C. Stanley Ogilvy|Ogilvy, C. S.]]; Anderson, J. T., ''Excursions in Number Theory'', Dover Publications Inc., 1988, pp. 29–35, ISBN 0-486-25778-9.</ref>

:: <math>f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-(x-\mu )^2/(2\sigma^2)}</math>

Dalam ranah [[kosmologi]], {{pi}} muncul dalam [[persamaan medan Einstein]], suatu formularumus fundamental yang menjadi dasar [[Relativitas umum|teori relativitas umum]] dan menjelaskan [[interaksi fundamental]] [[gravitasi]] sebagai hasil [[lengkungan|pelengkungan]] [[ruang waktu]] oleh [[materi]] dan [[energi]]:<ref>{{cite|author=Yeo, Adrian|title=The pleasures of pi, e and other interesting numbers|publisher=World Scientific Pub|year=2006|page=21|ISBN=978-981-270-078-0}}.</ref><ref>{{cite|author=Ehlers, Jürgen|title=Einstein's Field Equations and Their Physical Implications|publisher=Springer|year=2000|page=7|ISBN=978-3-540-67073-5}}.</ref>

{{pi}} hadir dalam beberapa formula rekayasa struktur, seperti rumus ''[[buckling]]'' yang diturunkan oleh Euler, yang memberikan muatan aksial {{math|''F''}} maksimum <!--that a long, slender column of length-->dengan panjang kolom {{math|''L''}}, [[elastisitas modulus]] {{math|''E''}}, dan [[momen inersia area]] {{math|''I''}} dapat mengangkut tanpa ''buckling'':<ref>{{cite|author=Low, Peter|title=Classical Theory of Structures Based on the Differential Equation|publisher=CUP Archive|year=1971|pages=116–118|ISBN=978-0-521-08089-7}}.</ref>

* [[DeretAproksimasi (matematika)Stirling]]

* {{cite book|last=Boyer|first=Carl B.|last2=Merzbach|first2=Uta C.|year=1991|title=A History of Mathematics|url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye|edition=2|publisher=Wiley|isbn=978-0-471-54397-8|ref=harv}}<!-- Year from ISBN. Original citatation was just to Boyer. Possible that edition is wrong and therefore page is wrong. Editions: Boyer 1968, Boyer/Merzbach 1989, Boyer/Merzbach 1991, Merzbach/Boyer 2010, Merzbach/Boyer 2011. Verify second: Hui and 3072-sided polygon is on cited page 202 of 1991 edition; page 228 of 1968 edition. Google snippet has a hit for 3.1456 on page 168 for 1991, but does not show the number. -->

* {{cite book|last=Eymard|first=, Pierre|last2=, Lafon|first2=, Jean Pierre|year=1999|title=The Number Pi|url=https://archive.org/details/numberpi0000eyma|publisher=American Mathematical Society|year=1999|isbn=978-0-8218-3246-2|ref=harv}}, English translation by Stephen Wilson.

* {{cite book|last=Posamentier|first=Alfred S.|last2=Lehmann|first2=Ingmar|title=Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number|url=https://archive.org/details/pi00alfr_0|publisher=Prometheus Books|year=2004|isbn=978-1-59102-200-8|ref=harv}}

* [http://pidifferent.pi.funpic.de/index-en.html Pi-memory] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080319051557/http://pidifferent.pi.funpic.de/index-en.html |date=2008-03-19 }}