Pi: Perbedaan antara revisi

[[Berkas:PiCM200Pi-CM.svg|ka|jmpl|200px|Simbol '''Pi''', π.]]{{Pi (konstanta matematika)}}

Bilangan '''{{pi}}''' (kadang-kadang ditulis '''pi''') adalah sebuah [[konstanta]] dalam [[matematika]] yang merupakan perbandingan keliling [[lingkaran]] dengan [[diameter]]nya. Nilai {{pi}} dalam 20 tempat desimal adalah 3,14159265358979323846. Banyak rumus dalam [[matematika]], sains, dan [[teknik]] yang menggunakan π, yang menjadikannya salah satu dari [[konstanta matematika]] yang penting. {{pi}} adalah [[bilangan irasional]], yang berarti nilai π tidak dapat dinyatakan dalam pembagian [[bilangan bulat]] (biasanya pecahan 22/7 digunakan sebagai nilai pendekatan {{pi}}; namun sebenarnya tiada satupun pecahan yang dapat mewakili nilai yang sama persis dengan {{pi}}.) Oleh karena itu pula, [[representasi desimal]] {{pi}} tidak akan pernah berakhir dan tidak akan pernah memiliki pola angka tertentu yang permanen. Digit-digit desimal {{pi}} tampaknya terdistribusikan secara acak, walaupun sampai sekarang hal ini masih belum dibuktikan. {{pi}} adalah [[bilangan transenden]]tal, yakni bilangan yang bukan akar dari polinom-polinom bukan nol manapun yang memiliki koefisien rasional. Transendensi bilangan {{pi}} memilikimenjadi implikasidalil padabahwa ketidakmungkinan[[Masalah klasik matematika kuno|teka-teki matematika kuno]] "untuk[[mengkuardatkanMempersegikan lingkaran|mengkuadratkan lingkaran]] dengan hanya [[Lukisan jangka dan mistar|menggunakan jangka dan penggaris"]] untuktidak mungkin dapat dipecahkan.

Karena definisi {{pi}} berhubungan dengan lingkaran, maka pi banyak ditemukan dalam rumus-rumus [[trigonometri]] dan [[geometri]], terutama yang menyangkut lingkaran, elips, dan bola. {{pi}} juga ditemukan pada rumus-rumus bidang ilmu lainnya seperti [[kosmologi]], [[teori bilangan]], [[statistika]], [[fraktal]], [[termodinamika]], [[mekanika]], dan [[elektromagnetisme]]. Keberadaan {{pi}} yang sangat umum menjadikannya sebagai salah satu konstanta matematika yang paling luas dikenal, baik di dalam maupuan di luar kalangan ilmuwan. Hal ini dibuktikan dari beberapa penerbitan buku yang membahas bilangan ini, perayaan [[hari Pi]], dan pemberitaan-pemberitaan yang luas dimanadi mana perhitungan digit {{pi}} berhasil memecahkan rekor perhitungan. Beberapa orang bahkan dengan kerasnya berusaha menghafal nilai bilangan {{pi}} dengan rekor 70.030 digit (Suresh Kumar Sharma, India).

Simbol yang digunakan oleh para matematikawan untuk mewakilkan rasio keliling suatu lingkaran terhadap diameternya adalah [[alfabet Yunani|huruf Yunani]] "{{pi}}". Huruf tersebut dapat dituliskan sebagi ''pi'' menggunakan huruf latin.<ref>{{cite journal|last=Holton|first=David|last2=Mackridge|first2=Peter|title=Greek: an Essential Grammar of the Modern Language|publisher=Routledge|year=2004 |isbn=0-415-23210-4|ref=harv}}, p. xi.</ref> Huruf kecil {{pi}} (atau π dalam gaya huruf [[sans-serif]]) berbeda dengan huruf besar {{PI}}<math>\Pi</math>, yang mewakili [[perkalian barisan]].

[[fileBerkas:Circle diameter circumference-id.svg|ka|jmpl|200px212x212px|Keliling sebuah lingkaran adalah sedikit lebih panjang dari tiga kali panjang diamternyadiameternya. Perbandingan antara keliling lingkaran dengan diameternya disebut {{pi}}.]]

Rasio {{math|''C''/''d''}} bernilai konstan tak tergantung pada ukuran lingkaran. Contohnya, jika suatu lingkaran memiliki diameter dua kali lipat daripada lingkaran lainnya, ia juga akan memiliki keliling yang dua kali lipat lebih besar, sehingganya nilai rasio {{math|''C''/''d''}} akan tetap sama. Definisi {{pi}} seperti ini secara implisit menggunakan [[geometri Euklides]]. Walaupun gagasan akan lingkaran juga dapat diperluas ke dalam [[geometri non-Euklides]], namun lingkaran yang baru ini tidak akan lagi memenuhi rumus {{math|{{pi}} {{=}} ''C''/''d''}}.<ref name="Arndt" /> Terdapat pula definisi {{pi}} lainnya yang tidak menyebut-nyebut lingkaran sama sekali, yakni: {{pi}} adalah bilangan yang bernilai dua kali lipat dari bilangan positif terkecil {{math|''x''}} yang mana {{math|[[Kosinus|cos]](''x'')}} sama dengan 0.<ref name="Arndt" /><ref>{{cite book|last=Rudin|first=Walter|title=Principles of Mathematical Analysis|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|publisher=McGraw-Hill|year=1976|isbn=0-07-054235-X|ref=harv}}, p 183.</ref>

{{pi}} adalah [[bilangan transendental]], yang berarti bahwa ia bukanlah penyelesaian dari [[polinom]] non-konstan berkoefisien [[rasional]] manapun seperti <math>\scriptstyle \frac{x^5}{120}\,-\,\frac{x^3}{6}\,+\,x\,=\,0.</math><ref name="ttop">{{cite web|first=Steve|last=Mayer|url=http://dialspace.dial.pipex.com/town/way/po28/maths/docs/pi.html|title=The Transcendence of {{pi}}|accessdate=4 November 2007|archive-date=2000-09-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20000929033317/http://dialspace.dial.pipex.com/town/way/po28/maths/docs/pi.html|dead-url=yes}}</ref> Transendensi {{pi}} mempunyai dua konsekuensi penting. Pertama, {{pi}} tidak dapat diekspresikan menggunakan kombinasi bilangan rasional dan [[akar kuadrat]] ataupun [[Akar ke-n|akar pangkat ke-n]] manapun seperti <math>\scriptstyle \sqrt[3]{31}</math> atau <math>\scriptstyle \sqrt[2]{10}.</math> Kedua, oleh karena tiada bilangan transendental apapun yang dapat dikonstruksikan menggunakan jangka dan penggaris, tidaklah dimungkinkan untuk "[[mempersegikan lingkaran]]". Dengan kata lain, tidaklah mungkin untuk mengkonstruksi persegi yang luasnya sama dengan luas lingkaran tertentu hanya dengan menggunakan jangka dan penggaris.<ref>{{harvnb|Posamentier|Lehmann|2004|p=25}}</ref> Pemersegian lingkaran merupakan salah satu teka-teki geometri yang penting pada zaman [[era klasik]].<ref>{{harvnb|Eymard|Lafon|1999|p=129}}</ref> Matematikawan amatiran pada zaman modern kadang-kadang masih berusaha mempersegikan lingkaran dan mengklaim berhasil menyelesaikannya, walaupun telah diketahui hal ini tidak mungkin dilakukan.<ref>{{harvnb|Beckmann|1989|p=37}}</ref><ref>{{cite book|last=Schlager|first=Neil|last2=Lauer|first2=Josh|title=Science and Its Times: Understanding the Social Significance of Scientific Discovery|publisher=Gale Group|year=2001|isbn=0-7876-3933-8|ref=harv}}, p 185.</ref>

Digit-digit {{pi}} tidak memiliki pola apapun dan telah melewati uji [[keacakan statistis]] meliputi uji normalitas; sebuah bilangan dengan panjang tak terhingga dikatakan normal apabila keseluruhan barisan digitnya muncul sama banyaknya.<ref name="random" /> Hipotesis bahwa {{pi}} adalah normal belum berhasil dibuktikan maupun dibantah.<ref name="random">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=22–23}}<br />{{cite news|url=http://www.lbl.gov/Science-Articles/Archive/pi-random.html|title=Are The Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold The Key|first=Paul|last=Preuss|authorlink=Paul Preuss|publisher=[[Lawrence Berkeley National Laboratory]]|date=23 July 2001|accessdate=10 November 2007|archive-date=2007-10-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20071020010208/http://lbl.gov/Science-Articles/Archive/pi-random.html|dead-url=yes}}</ref> Sejak ditemukannya komputer, sejumlah besar digit {{pi}} telah berhasil dikomputasi untuk dianalisis secara statistik. [[Yasumasa Kanada]] telah menganalisis secara detail digit-digit desimal {{pi}} dan menemukannya konsisten dengan normalitas. Tiada bukti sepuluh digit 0 sampai dengan 9 yang ditemukan memiliki pola-pola apapun.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=22, 28–30}}</ref> Walaupun digit-digit {{pi}} telah melewati uji keacakan statistik, {{pi}} mengandung beberapa barisan digit yang tampaknya tidak acak, misalnya [[titik Feynman]], yang merupakan barisan enam angka 9 secara beruruan yang dimulai dari desimal ke-762 {{pi}}.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=3}}</ref>

[[Berkas:Euler's_formulas formula.svg|al=A diagram of a unit circle centered at the origin in the complex plane, including a ray from the center of the circle to its edge, with the triangle legs labeled with sine and cosine functions.|jmpl|Asosiasi antara <math>e</math> pangkat [[bilangan imajiner]] dan [[Titik (geometri)|titik-titik]] pada [[lingkaran satuan]] yang berpusat pada titik [[Pusat (matematika)|pusat]] di [[bidang kompleks]] dinyatakan oleh [[rumus Euler]].]]

Suatu [[bilangan kompleks]], katakan <math>z</math>, dapat dinyatakan menggunakan pasangan [[bilangan real]]. Dalam [[Sistem koordinat polar#Bilangan kompleks|sistem koordinat polar]], jari-jari (dilambangkan <math>r</math>) digunakan untuk menyatakan jarak <math>z</math> dari [[Titik nol|titik pusat]] ke pusat [[bidang kompleks]], sedangkan sudut (dilambangkan <math>\varphi</math>) menyatakan [[Rotasi|putaran]] berlawanan arah jarum jam dari garis bilangan real positif:<ref>{{harvnb|Ayers|1964|p=100}}</ref>

Sebanyak <math>n</math> [[bilangan kompleks]] <math>z</math> yang berbeda dalam persamaan <math>z^n = 1</math>, disebut "[[akar persatuansatuan]] ({{Lang-en|root of unity}}) kepangkat-<math>n</math>".<ref>{{MathWorld|RootofUnity|Roots of Unity}}</ref> Rumus di atas dinyatakan dalam persamaan:

Dua ayat dalam [[alkitab Ibrani]] (yang ditulis antara abad ke-8 dan ke-3 SM) medeskripsikan sebuah kolam seremonial dalam [[Bait Salomo]] yang berdiameter 10 [[kubit]] dan kelilingnya 30 kubit; ayat ini menyiratkan bahwa {{pi}} adalah sekitar tiga apabila kolam tersebut berbentuk lingkaran.<ref group="n">Ayat tersebut adalah {{bibleverse|1|Kings|7:23|NKJV}} dan {{bibleverse|2|Chronicles|4:2|NKJV}}</ref><ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=169}}, {{harvnb|Schepler|1950|p=165}}</ref><ref>{{harvnb|Beckmann|1989|pp=14–16}}.</ref><ref group="n">Gagasan bahwa kolam ini berbentuk heksagonal telah diberikan sebagai penjelasan terhadap disparitas ini. Lihat {{cite book|last=Borwein|first=Jonathan M.|last2=Bailey|first2=David H.|title=Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st century|url=https://archive.org/details/mathematicsbyexp0000borw|edition=revised 2nd|publisher=A. K. Peters|year=2008|isbn=978-1-56881-442-1|ref=harv}}, pp. 103, 136, 137.</ref> [[Rabbi Nehemiah]] menjelaskan bahwa diskrepansi ini diakibatkan oleh ketebalan pinggiran kolam. Hasil kerja paling awal Rabbi Nehemiah ''[[Mishnat ha-Middot]]'' yang ditulis sekitar tahun 150 mengambil nilai {{pi}} sebesar tiga dan sepertujuh.<ref>{{Cite book|pages=9–10|title=The Scientific & the Divine|author=James A. Arieti, Patrick A. Wilson|publisher=Rowman & Littlefield|year=2003|isbn=9780742513976|url=http://books.google.co.uk/books?id=q2MHZTL_s64C&pg=PA9|ref=harv|accessdate=2013-06-05}}</ref>

Algoritme paling awal yang tercatat secara cermat menghitung nilai {{pi}} adalah pendekatan geometri menggunakan poligon. Algoritme ini ditemukan sekitar 250 SM oleh matematikawan Yunani [[Archimedes]].<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=170}}</ref> Algoritme poligon ini mendominasi selama 1.000 tahun, dan karenanya {{pi}} kadang-kadang dirujuk juga sebagai "konstanta Archimedes".<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=175, 205}}</ref> Archimedes menghitung batas atas dan bawah {{pi}} dengan menggambar poligon di luar dan di dalam sebuah lingkaran, dan secara perlahan melipatgandakan sisi-sisi poligon tersebut hingga mencapai 96-gon. Dengan menghitung keliling poligon-poligon tersebut, Archimedes membuktikan bahwa {{frac|223|71}}&nbsp;<&nbsp;{{pi}}&nbsp;<&nbsp;{{frac|22|7}} (3,1408&nbsp;<&nbsp;{{pi}}&nbsp;<&nbsp;3,1429).<ref>{{cite web|url=http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/29504-the-computation-of-pi-by-archimedes/content/html/ComputationOfPiByArchimedes.html#37 |title=The Computation of Pi by Archimedes: The Computation of Pi by ArchimedesArchimedes–File – File Exchange – MATLABExchange–MATLAB Central |publisher=Mathworks.com |date= |accessdate=2013-03-12}}</ref> Batas atas Archimedes sekitar {{frac|22|7}} membuat banyak orang percaya bahwa {{pi}} sama dengan {{frac|22|7}}.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=171}}</ref> Sekitar tahun 150, [[Ptolemaeus]] dalam [[Almagest]]-nya, memberikan nilai {{pi}} sebesar 3,1416. Hasil ini kemungkinan dia dapatkan dari Archimedes ataupun dari [[Apollonius dari Perga]].<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=176}}</ref><ref>{{harvnb|Boyer|Merzbach|1991|p=168}}<!--may be suspect--></ref> Para matematikawan kemudian menggunakan algoritme ini dan mencapai rekor 39 digit {{pi}} pada tahun 1630 sebelum dipecahkan pada tahun 1699 menggunakan deret tak terhingga.<ref name="ArPI">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=15–16, 175, 184–186, 205}}.</ref><ref group="n">Grienberger mencapai 39 digit pada tahun 1630; Sharp 71 digit pada tahun 1699.</ref>

Pada zaman Cina kuno, nilai {{pi}} adalah 3,1547 (sekitar tahun 1 Masehi), <math>\scriptstyle \sqrt{10}</math> (tahun 100, sekitar 3,1623), dan 142/45 (abad ke-3, sekitar 3,1556).<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=176–177}}</ref> Sekitar tahun 265, matematikawan dari [[Kerajaan Wei]], [[Liu Hui]], menemukan [[algoritme π Liu Hui|algoritmealgoritma iteratif berbasis poligon]] yang digunakan dengan 3072-gon untuk menghasilkan nilai {{pi}} sebesar 3,1416.<ref name="autogenerated202">{{harvnb|Boyer|Merzbach|1991|p=202}}</ref><ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=177}}</ref> Liu kemudian menciptakan metode yang lebih cepat dan mendapatkan nilai 3,14 dengan menggunakan 96-gon.<ref name="autogenerated202" /> Matematikawan Cina [[Zu Chongzhi]] sekitar tahun 480 menghitung bahwa {{pi}}&nbsp;≈&nbsp;{{frac|355|113}} (pecahan ini dinamakan pecahan [[Milü]] dalam bahasa Cina) dengan menggunakan algoritme Liu Hui dan menerapkannya menggunakan 12.288-gon. Nilai yang didapatkannya adalah 3,141592920... dan akurat sebanyak tujuh digit. Nilai pendekatan ini merupakan nilai yang paling akurat selama 800 tahun ke depan.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=178}}</ref>

Astronom Persia [[Jamshīd al-Kāshī]] menghasilkan 16 digit nilai {{pi}} pada tahun 1424 menggunakan poligon bersisi 3×2²⁸,<ref>{{cite journal| first1=Mohammad K. | last1=Azarian | title=al-Risāla al-muhītīyya: A Summary | journal=Missouri Journal of Mathematical Sciences | volume=22 | issue=2 | year=2010 | pages=64–85 | url=<!-- http://www.xs4all.nl/~nirmala/Azarian2.pdf -->[{{cite journal | first1=Mohammad K. | last1=Azarian | title=al-Risāla al-muhītīyya: A Summary | journal=Missouri Journal of Mathematical Sciences | volume=22 | issue=2 | year=2010 | pages=64–85 | urldoi=<!-- http://www10.xs4all.nl35834/~nirmalamjms/Azarian2.pdf -->[http://nirmala.home.xs4all.nl/Azarian2.pdf]{{dead link1312233136|date=June 2013}} | format=PDF | separator=, | ref=harv }}{{Pranala mati|date=Maret 2021 |bot=InternetArchiveBot |fixdoi-attempted=yes }}]{{dead link|date=June 2013}} | format=PDF | separator=,| refaccess=harvfree}}</ref><ref>{{cite web|author=O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. | year=1999 | title=Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi | work=[[MacTutor History of Mathematics archive]] | url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Al-Kashi.html | accessdate=Augustus 11, 2012 | separator=,}}</ref>. Ini kemudian menciptakan rekor untuk 180 tahun.<ref name="Arndt_f">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=182}}</ref> Matematikawan Prancis [[François Viète]] pada tahun 1579 mencapai 9 digit menggunakan poligon bersisi 3×2¹⁷.<ref name="Arndt_f" /> Matematikawan [[Flandria]] mencapai 15 digit desimal pada tahun 1593.<ref name="Arndt_f" /> Pada tahun 1596, matematikawan Belanda [[Ludolph van Ceulen]] mencapai 20 digit, dan rekor ini dipecahkan oleh dirinya sendiri mencapai 35 digit.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=182–183}}</ref> Ilmuwan Belanda [[Willebrord Snellius]] mencapai 34 digit pada tahun 1621,<ref name="Arndt_g">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=183}}</ref> dan astronom Austria [[Christoph Grienberger]] mencapai 38 digit pada tahun 1630,<ref>[[Christoph Grienberger|Grienberger, Christoph]] (1960), ''[https://web.archive.org/web/20140201234124/http://librarsi.comune.palermo.it/gesuiti2/06.04.01.pdf Elementa Trigonometrica]'' (PDF) (dalam bahasa Latin) Diarsipkan dari [http://librarsi.comune.palermo.it/gesuiti2/06.04.01.pdf aslinya] (PDF) pada tanggal 1 Februari 2014. Pendekatannya adalah 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 < π < 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199.</ref><ref group="n">Nilai evaluasinya sebesar 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 < {{pi}} < 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199.</ref> adalah nilai terakurat yang didapatkan secara perhitungan manual menggunakan pendekatan poligon.<ref name="Arndt_g" />

Ilmuwan Swiss [[Johann Heinrich Lambert]] pada tahun 1761 membuktikan bahwa {{pi}} adalah [[bilangan irasional|irasional]], yang berarti ia bukanlah hasil dari pembagian dua bilangan bulat manapun.<ref name="Arndt_i" /> Pembuktian Lambert menggunakan representasi pecahan kontinu dari fungsi tangen.<ref>Lambert, Johann, "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques", reprinted in {{harvnb|Berggren|Borwein|Borwein|1997|pp=129–140}}</ref> Matematikawan Prancis [[Adrien-Marie Legendre]] pada tahun 1794 membuktikan bahwa {{pi}}² jugalah irasional. Pada tahun 1882, matematikawan Jerman [[Ferdinand von Lindemann]] membuktikan bahwa {{pi}} adalah [[bilangan transendental|transendental]], yang kemudian berhasil mengonfirmasi konjektur yang dibuat oleh [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] dan [[Euler]].<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=196}}</ref>

Matematikawan Amerika [[Stan Wagon]] dan Stanley Rabinowitz menemukan algoritme keran sederhana pada tahun 1995.<ref name="Gibbons" /><ref name="Arndt_k">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=77}}</ref><ref>{{cite journal|first1=Stanley|last1=Rabinowitz|last2=Wagon|first2=Stan|year=1995|month=March|title=A spigot algorithm for the digits of Pi|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1995-03_102_3/page/195|journal=American Mathematical Monthly|volume=102|issue=3|pages=195–203|doi=10.2307/2975006|ref=harv}}</ref><ref group="n">Sebuah program komputer juga telah diciptakan untuk mengimplementasikan algoritme keran Wagon tersebut hanya dalam perangkat lunak berjumlah karakter 120.</ref> Kecepatan konvergensi algoritme ini sebanding dengan algoritme arctan, namun tidak secepat algoritme iteratif.<ref name="Arndt_k" />

[[Berkas:Circle Area.svg|lang=id|jmpl|ka|Luas lingkaran di atas adalah sama dengan {{pi}} kali luas daerah yang diarsir.|pra=Berkas:Circle_Area.svg%3Flang=id]]

* [[Luas permukaan]] bola dengan jari-jari {{math|''r''}} adalah <math> 4 \pi r^2</math>

[[Berkas:Mandel_zoom_00_mandelbrot_setMandel zoom 00 mandelbrot set.jpg|al=An complex black shape on a blue background.|jmpl|{{pi}} dapat dihitung dari [[himpunan Mandelbrot]], dengan menghitung jumlah iterasi yang diperlukan sebelum titik divergen <math>(-0,75;\varepsilon)</math>.]]

:: <math>f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-(x-\mu )^2/(2\sigma^2)}</math>

{{pi}} hadir dalam beberapa formula rekayasa struktur, seperti rumus ''[[buckling|]]''buckling'']] yang diturunkan oleh Euler, yang memberikan muatan aksial {{math|''F''}} maksimum <!--that a long, slender column of length-->dengan panjang kolom {{math|''L''}}, [[elastisitas modulus]] {{math|''E''}}, dan [[momen inersia area]] {{math|''I''}} dapat mengangkut tanpa ''buckling'':<ref>{{cite|author=Low, Peter|title=Classical Theory of Structures Based on the Differential Equation|publisher=CUP Archive|year=1971|pages=116–118|ISBN=978-0-521-08089-7}}.</ref>

* {{cite book|last=Boyer|first=Carl B.|last2=Merzbach|first2=Uta C.|year=1991|title=A History of Mathematics|url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye|edition=2|publisher=Wiley|isbn=978-0-471-54397-8|ref=harv}}<!-- Year from ISBN. Original citatation was just to Boyer. Possible that edition is wrong and therefore page is wrong. Editions: Boyer 1968, Boyer/Merzbach 1989, Boyer/Merzbach 1991, Merzbach/Boyer 2010, Merzbach/Boyer 2011. Verify second: Hui and 3072-sided polygon is on cited page 202 of 1991 edition; page 228 of 1968 edition. Google snippet has a hit for 3.1456 on page 168 for 1991, but does not show the number. -->

* {{cite book|last=Eymard, Pierre, Lafon, Jean Pierre|year=1999|title=The Number Pi|url=https://archive.org/details/numberpi0000eyma|publisher=American Mathematical Society|isbn=978-0-8218-3246-2|ref=harv}}, English translation by Stephen Wilson.

* {{cite book|last=Posamentier|first=Alfred S.|last2=Lehmann|first2=Ingmar|title=Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number|url=https://archive.org/details/pi00alfr_0|publisher=Prometheus Books|year=2004|isbn=978-1-59102-200-8|ref=harv}}

* [http://pidifferent.pi.funpic.de/index-en.html Pi-memory] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080319051557/http://pidifferent.pi.funpic.de/index-en.html |date=2008-03-19 }}