Sambungan dan pertemuan (matematika): Perbedaan antara revisi

Dalam [[matematika]], khususnya [[teori order]], '''gabungansambungan''' dari [[himpunan bagian]] ''S'' dari [[himpunan terurut parsial]] ''P'' adalah [[supremum]] (batas atas terkecil) dari ''S'' dirumuskan sebagai ⋁''S'', untuk '''bertemupertemuan''' dari ''S'' adalah [[infimum]] (batas bawah terbesar), dirumuskan sebagai ⋀''S''. Secara umum, gabungansambungan dan bertemupertemuan dari himpunan bagian adalah himpunan berurutanterurut parsial. GabunganSambungan dan bertemupertemuan adalah [[dualitasKedualan (teori urutan)|dualitasganda]] dengan relasi untuk inversibalikan urutan.

Himpunan berurutanterurut parsial dimana semua relasi menggunakan gabungansambungan adalah [[semikisisambungan gabungansemikekisi]]. DualitasSecara ganda, himpunan berurutanterurut parsial dimana semua relasi menggunakan bertemupertemuan adalah [[semikisisemikekisi bertemu]]. Himpunan terurut parsial merupakan semikisisambungan gabungansemikekisi dan semikisisemikekisi bertemu adalah [[kisiKekisi (tatanan)|kisikekisi]]. KisiSebuah dimanakekisi yang mana setiap himpunan bagian, untuk relasi menggunakan bertemupertemuan dan gabungansambungan adalah [[kisikekisi komplekslengkap]]. Mendefinisikan [[kisikekisi parsial]], dimana tidak semua relasi bertemu atau bergabung, operasi (jika ditentukan) memenuhi aksioma tertentu.{{sfn|Grätzer|1996|p=[https://books.google.com/books?id=SoGLVCPuOz0C&pg=PA52 52]}}

Jika himpunan ''S'' dari himpunan berurutanterurut parsial ''P'' merupakan (atas) [[himpunan terarah]], maka gabungan disebut ''gabungan terarah'' atau ''supremum terarah''. DualitasSecara ganda, jika ''S'' adalah himpunan terarah ke bawah, maka bertemupertemuan adalah ''bertemupertemuan terarah'' atau ''infimum terarah''.

Misalkan ''A'' adalah himpunan dengan [[urutan parsial]] ≤, dan misalkan ''x'' dan ''y'' adalah dua elemen dalam ''A''. Elemen ''z'' dari ''A'' adalah bertemupertemuan (atau batas bawah terbesar atau paling kecil) dari ''x'' dan ''y'', jika dua kondisi berikut:

Jika bertemupertemuan ''x'' dan ''y'', karena ''z'' dan ''z''′ adalah batas bawah terbesar dari '' x '' dan ''y'', maka {{nowrap|''z'' ≤ ''z''′′}} dan {{nowrap|''z''′′ ≤ ''z''}}, dan {{nowrap begin}}''z'' = ''z''′′{{nowrap end}}. Jika bertemupertemuan diatas tersebut dirumuskan sebagai {{nowrap|''x'' ∧ ''y''}}. Beberapa relasi elemen dalam ''A'' tidak menggunakan pertemuan, baik karena tidak memiliki batas bawah sama sekali, atau karena tidak ada batas bawah yang lebih besar dari yang lainnya. Jika semua relasi elemen dari ''A'' bertemu adalah [[operasi biner]] pada ''A'', dan mudah untuk melihat bahwa operasi memenuhi tiga kondisi berikut: untuk elemen ''x'', ''y'', dan ''z'' dalam ''A'',

Menurut definisi, [[operasi biner]] ∧ pada himpunan ''A'' adalah ''bertemu'' jika memenuhi tiga kondisi '''a''', '''b''', dan '''c'''. Relasi (''A'', ∧) kemudian menjadi [[semikisipertemuan bertemusemikekisi]]. Selain itu, mendefinisikan [[relasi biner]] ≤ atas ''A'', dengan {{Nowrap|''x'' ≤ ''y''}} jika dan hanya jika {{Nowrap begin}}''x'' ∧ ''y'' = ''x''{{Nowrap end}}. Faktanya, relasi ini adalah [[urutan parsial]] pada ''A''. Untuk elemen ''x'', ''y'', dan ''z'' dalam ''A'' adalah

Perhatikan bahwa dua bertemupertemuan dan gabungansambungan menggunakan definisi ini: beberapa operasi bertemupertemuan dan gabungansambungan yang terkait menghasilkan pesanan parsial yang merupakan kebalikan dari satu sama lain. Memilih salah satu dari urutan sebagai yang utama, satu memperbaiki operasi dimana adalah bertemupertemuan (yang memberi urutan yang sama) dan dimana adalah gabungansambungan (yang lain).

=== PendekatanKesetaraan ekuivalenpendekatan ===

Jika (''A'', ≤) adalah [[himpunan terurut parsial]], setiap relasi elemen dalam ''A'' menggunakan pertemuan, maka {{Nowrap begin}}''x'' ∧ ''y'' = ''x''{{Nowrap end}} jika dan hanya jika {{Nowrap|''x'' ≤ ''y''}}, karena dalam kasus terakhir memang ''x'' adalah batas bawah dari ''x'' dan ''y'', karena jelas ''x'' adalah batas bawah ''terbesar ''jika dan hanya jika adalah batas bawah. Jadi, urutan parsial yang ditentukan oleh bertemupertemuan dalam pendekatan aljabar universal bertepatan dengan urutan parsial asli.

Sebaliknya, jika (''A'', ∧) adalah [[semikisipertemuan bertemusemikekisi]], dan urutan parsial ≤ didefinisikan dalam pendekatan aljabar universal, dan {{Nowrap begin}}''z'' = ''x'' ∧ ''y''{{Nowrap end}} untuk beberapa elemen ''x'' dan ''y'' dalam ''A'', maka ''z'' adalah batas bawah terbesar dari ''x'' dan ''y'' dengan ≤, maka

== BertemuPertemuan mengenai himpunan bagian umum ==

Jika (''A'', ∧) adalah semikisipertemuan bertemusemikekisi, maka bertemupertemuan diperluas ke bertemupertemuan yang ditentukandidefinisikan dengan baik dari setiapsuatu himpunan himpunanhingga [[himpunan kosong|tidak-kosongtakkosong]], dengan teknik yang dijelaskan dalam [[operasi biner teriterasi]]. Atau, jika bertemu menentukan atau ditentukan oleh urutan parsial, beberapa himpunan bagian dari ''A'' menggunakan infimum dengan relasi, dan untuk mempertimbangkan sedikit mungkin bertemu himpunan bagian tersebut. Untuk himpunan bagian hingga tidak kosong, dua pendekatan tersebut menghasilkan hasil yang sama, maka dua pendekatan tersebut sebagai definisi pertemuan. Dalam kasus dimana ''setiap'' himpunan bagian dari bertemu ''A'', maka (''A'', ≤) adalah [[kisikekisi komplekslengkap]]; untuk detailnya, lihat [[kelengkapan (teori order)]].