Pemetaan harmonik: Perbedaan antara revisi

Pemetaan (halus) φ:''M''→''N'' antara [[manifold Riemannian]] ''M'' dan ''N'' disebut '''harmonik''' jika ia adalah [[Kalkulus variasi|titik kritis]] dari [[fungsional energi]] ''E''(φ).

Fungsional ''E'' ini akan didefinisikan secara [[presisidi]] bawah - satu cara memahaminya adalah membayangkan bahwa ''M'' dibuat dari [[karet]] dan ''N'' dibuat dari pualam (bentuk mereka diberikan oleh masing-masing mereka [[Tensor metrik|metrik]]), dan bahwasannya pemetaan φ:''M''→''N'' menentukan bagaimana kita "menerapkan" karet ke pualam: ''E''(φ) kemudian mewakili jumlah total [[energi potensial elastik]] yang dihasilkan dari tegangan dalam karet. Dalam istilah ini, φ adalah pemetaan harmonik jika karet, ketika "dilepaskan" masih terkendala untuk tinggal di setiap tempat kontak dengan pualam, telah menemukan dirinya sendiri dalam posisi keseimbangan dan oleh karenanya tidak "mengancing" ke bentuk lain.

Pemetaan harmonik diperkenalkan pada tahun [[1964]] oleh [[J. Eells]] dan [[J.H. Sampson]].<ref>J. Eells and J.H. Sampson, Harmonic mappings of Riemannian manifolds, ''Amer. J. Math.'' '''86''' (1964), 109&ndash;160109–160</ref><ref>J. Eells and L. Lemaire, A report on harmonic maps, ''Bull. London Math. Soc.'' '''10''' (1978), 1&ndash;681–68</ref><ref>J. Eells and L. Lemaire, Another report on harmonic maps, ''Bull. London Math. Soc.'' '''20''' (1988), 385&ndash;524385–524</ref>

== '''Definisi matematika''' ==

Diberikan ''M'', ''N'' dan φ seperti di atas, nyatakan dengan ''g'' dan ''h'' [[Tensor metrik|metrik]] pada ''M'' dan ''N''. Maka '''energi''' [[Fi|φ]] pada titik ''x'' dalam ''M'' didefinisikan sebagai ''e''(φ)(''x'')=<math>\textstyle\frac12</math>trace_''g''φ^*h.

Jika ''M'' adalah [[kompak]], definisikan '''energi total''' pemetaan φ sebagai ''E''(φ)=<math>\textstyle\int</math>_''M''''e''(φ)dv_''g'' (dimana dv_''g'' menyatakan [[Ukuran (matematika)|mengukurukuran]] pada ''M'' yang diinduksi oleh metriknya).