Pemetaan harmonik: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
←Membuat halaman berisi 'Pemetaan (halus) φ:''M''→''N'' antara manifold Riemannian ''M'' dan ''N'' disebut '''harmonik''' jika ia adalah titik kritis dari fungsional e...' |
k Penambahan pranala dalam dan perbaikan ejaan. |
||
(7 revisi perantara oleh 6 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{rapikan}}
Pemetaan (halus) φ:''M''→''N'' antara [[manifold Riemannian]] ''M'' dan ''N'' disebut '''harmonik''' jika ia adalah [[Kalkulus variasi|titik kritis]] dari [[fungsional energi]] ''E''(φ).
Fungsional ''E'' ini akan didefinisikan secara [[presisidi]] bawah - satu cara memahaminya adalah membayangkan bahwa ''M'' dibuat dari [[karet]] dan ''N'' dibuat dari pualam (bentuk mereka diberikan oleh masing-masing mereka [[Tensor metrik|metrik]]), dan bahwasannya pemetaan φ:''M''→''N'' menentukan bagaimana kita "menerapkan" karet ke pualam: ''E''(φ) kemudian mewakili jumlah total [[energi potensial elastik]] yang dihasilkan dari tegangan dalam karet. Dalam istilah ini, φ adalah pemetaan harmonik jika karet, ketika "dilepaskan" masih terkendala untuk tinggal di setiap tempat kontak dengan pualam, telah menemukan dirinya sendiri dalam posisi keseimbangan dan oleh karenanya tidak "mengancing" ke bentuk lain.
Pemetaan harmonik diperkenalkan pada tahun [[1964]] oleh [[J. Eells]] dan [[J.H. Sampson]].<ref>J. Eells and J.H. Sampson, Harmonic mappings of Riemannian manifolds, ''Amer. J. Math.'' '''86''' (1964),
== '''Definisi matematika''' ==
Diberikan ''M'', ''N'' dan φ seperti di atas, nyatakan dengan ''g'' dan ''h'' [[Tensor metrik|metrik]] pada ''M'' dan ''N''. Maka '''energi'''
Dalam [[koordinat lokal]], sisi sebelah kanan dari persamaan ini terbaca <math>\textstyle\frac12g^{ij}h_{\alpha\beta}\frac{\partial\varphi^\alpha}{\partial x^i}\frac{\partial\varphi^\beta}{\partial x^j}</math>.
Jika ''M'' adalah [[kompak]], definisikan '''energi total''' pemetaan φ sebagai ''E''(φ)=<math>\textstyle\int</math><sub>''M''</sub>''e''(φ)dv<sub>''g''</sub> (dimana dv<sub>''g''</sub> menyatakan [[Ukuran (matematika)|
Maka φ disebut '''pemetaan harmonik''' jika ia adalah titik kritis fungsional energi ''E''. Definisi ini diperluas terhadap kasus dimana ''M'' tidak kompak dengan menanyakan pembatasan φ terhadap setiap domain kompak menjadi harmonik [http://en.wiki-indonesia.club/wiki/Harmonic_map].
== '''Referensi''' ==
{{reflist}}
{{Authority control}}
[[Kategori:Geometri]]
|