Distribusi Maxwell-Boltzmann: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif

← Revisi sebelumnya

Konten dihapus Konten ditambahkan

VisualTeks wiki

Revisi per 17 Maret 2016 22.47 sunting JohnThorne (bicara \| kontrib) Pengecualian blokir IP 151.852 suntingan k menambahkan Kategori:Fisika menggunakan HotCat ← Revisi sebelumnya		Revisi terkini sejak 29 Oktober 2024 10.25 sunting balikkan Cendy00 (bicara \| kontrib) 578 suntingan Fitur saranan suntingan: 2 pranala ditambahkan. Tag: VisualEditor Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Tugas pengguna baru Disarankan: tambahkan pranala
(16 revisi perantara oleh 9 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1: {{Hide in print\|1={{Probability distribution\| \| name = Maxwell–Boltzmann\| \| type = density\| \| pdf_image = [[~~Image~~Berkas:Maxwell-~~Boltzmann_distribution~~Boltzmann distribution pdf.~~png~~svg\|325px]]\| \| cdf_image = [[~~Image~~Berkas:Maxwell-Boltzmann ~~distributionCDF~~distribution cdf.~~png~~svg\|325px]]\| \| parameters = <math>a>0\,</math>\| \| support = <math>x\in [(0;\infty)</math>\| \| pdf = <math>\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{x^2 e^{-x^2/\left(2a^2\right)}}{a^3}</math>\| \| cdf = <math>\~~textrm~~operatorname{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2} a}\right) -\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{x e^{-x^2/\left(2a^2\right)}}{a} </math> ~~where~~di mana erf ~~is the~~adalah [[~~Error~~fungsi ~~function~~galat]] \| \| mean = <math>\mu=2a \sqrt{\frac{2}{\pi}}</math>\| \| median =\| \| mode = <math>\sqrt{2} a</math>\| \| variance = <math>\sigma^2=\frac{a^2(3 \pi - 8)}{\pi}</math>\| \| skewness = <math>\gamma_1=\frac{2 \sqrt{2} (16 -5 \pi)}{(3 \pi - 8)^{3/2}}</math>\| \| kurtosis = <math>\gamma_2=4\frac{\left(-96+40\pi-3\pi^2\right)}{(3 \pi - 8)^2}</math>\| \| entropy = <math>~~\frac{1}{2}-\gamma-~~\ln\left(a\sqrt{2\pi}\right)+\gamma-\frac{1}{2}</math>\| \| mgf =\| \| char =\| }}}} Dalam [[fisika]], khususnya [[mekanika statistik]], '''distribusi Maxwell-Boltzmann''' yang menggambarkan kecepatan partikel dalam [[gas]], di mana partikel bergerak bebas antara [[tumbukan]] kecil , tetapi tidak berinteraksi satu sama lain, sebagai [[fungsi]] [[suhu]] dari sistem, massa partikel, dan kecepatan partikel. Partikel dalam konteks ini mengacu pada [[atom]] atau [[molekul]] dari gas. Tidak ada perbedaan antara keduanya dalam perkembangan dan hasilnya <ref> (2nd Edition), F. Mandl, Manchester Fisika, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 9-780471-91533 </ref> Ini merupakan [[distribusi probabilitas]] untuk kecepatan sebuah partikel yang berwujud gas - Besaran dari vektor [[kecepatan]], yang berarti pada suhu tertentu, partikel akan memiliki kecepatan yang dipilih secara acak dari distribusi, tapi lebih cenderung berada dalam satu rentang dari beberapa kecepatan yang lain <ref> University Physics – With Modern Physics (12th Edition), H.D. Young, R.A. Freedman (Original edition), Addison-Wesley (Pearson International), 1st Edition: 1949, 12th Edition: 2008, ISBN (10-) 0-321-50130-6, ISBN (13-) 978-0-321-50130-1</ref> Distribusi Maxwell-Boltzmann berlaku untuk [[gas ideal]] di dalam [[kesetimbangan termodinamika]] dengan efek kuantum yang dapat diabaikan dan di kecepatan non-relativistik. Ini membentuk dasar dari [[teori kinetik gas]], yang memberikan penjelasan sederhana dari banyak sifat gas fundamental, termasuk [[tekanan]] dan [[difusi]] <ref> Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC publishers, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3 </ref> Namun ada perluasan untuk kecepatan relativistik, lihat ''' distribusi Maxwell-Juttner ''' di bawah ini. Distribusi ini dinamai dari nama [[James Clerk Maxwell]] dan [[Ludwig Boltzmann]]. == Aplikasi Fisik == Biasanya distribusi Maxwell-Boltzmann mengacu pada kecepatan molekul, tetapi juga berlaku untuk distribusi [[~~momentum \|~~ momentum]] dan [[energi]] dari [[molekul]]. Untuk jumlah [[Vektor (geometris) \| vektor]] 3-dimensi, komponennya diperlakukan independen dan [[distribusi normal \| terdistribusi normal]] dengan rata-rata sama dengan 0 dan [[standar deviasi]] dari ~~<i>~~'' a ~~</i>~~''. jika ~~<i>~~''X<sub>i</sub>~~</i>~~'' didistribusikan sebagai <math>X \sim N(0, a^2)</math>, maka :<math>Z = \sqrt{X_1^2+X_2^2+X_3^2}</math> disebut sebagai distribusi Maxwell-Boltzmann dengan parameter ~~<i>~~'' a ~~</i>~~''. Terlepas dari skala parameter ~~<i>~~'' a ~~</i>~~'', distribusi identik dengan [[distribusi chi]] yang memiliki 3 derajat kebebasan. == Distribusi (dalam berbagai bentuk) == Turunan asli oleh [[James Clerk Maxwell \| Maxwell]] diasumsikan bahwa ketiga arah akan memikiki perilaku yang sama, tetapi turunan selanjutnya yang dikembangkan oleh [[Boltzmann]] mematahkan asumsi ini dengan [[teori kinetik]]. Distribusi Maxwell-Boltzmann (untuk energi) sebagian besar dapat langsung diturunkan dari [[distribusi Boltzmann]] untuk energi (lihat juga [[statistik Maxwell-Boltzmann ]] dari [[mekanika statistik]]):<ref> McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), C.B. Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3 </ref><ref> Statistical Physics (2nd Edition), F. Mandl, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 9-780471-91533 </ref>▼ ▲Turunan asli oleh [[James Clerk Maxwell \| Maxwell]] diasumsikan bahwa ketiga arah akan memikiki perilaku yang sama, tetapi turunan selanjutnya yang dikembangkan oleh [[Boltzmann]] mematahkan asumsi ini dengan [[teori kinetik]]. Distribusi Maxwell-Boltzmann (untuk energi) sebagian besar dapat langsung diturunkan dari [[distribusi Boltzmann]] untuk energi (lihat juga [[statistik Maxwell-Boltzmann ]] dari [[mekanika statistik]]):<ref> McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), C.B. Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3 </ref><ref> Statistical Physics (2nd Edition), F. Mandl, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 9-780471-91533 </ref> :<math> Baris 47 ⟶ 46: dimana: * ''i'' adalah [[Microstate (mekanika statistik) \| microstate]] (menunjukkan satu konfigurasi partikel dalam keadaan [[~~kuantum \|~~ kuantum]] - lihat [[fungsi partisi]]). * ''E''<sub>''i'' </sub> adalah tingkat energi dari microstate'' i''. * ''T'' adalah temperatur kesetimbangan sistem. * ''g<sub>i </sub>'' adalah faktor degenerasi, atau jumlah dari microstates yang mengalami [[~~Degenerate_energy_level~~Degenerate \|energy level\|degenerasi]] yang memiliki tingkat energi yang sama * ''k'' adalah [[konstanta Boltzmann.]] * ''N''<sub>''i'' </sub> adalah jumlah molekul pada suhu kesetimbangan ''T'', dalam keadaan ''i'' yang memiliki energi ''E'' <sub >''i''</sub> dan degenerasi ''g<sub>i</sub>''. * ''N'' adalah jumlah total molekul dalam sistem. Ingat bahwa kadang-kadang persamaan di atas ditulis tanpa faktor degenerasi ''g''<sub>''i''</sub>. Dalam hal ini ''i'' akan menentukan keadaan masing-masing, bukan satu set keadaan ''g''<sub>''i''</sub> yang memiliki energi ''E''<sub>''i''</sub> yang sama. Karena vektor kecepatan dan kecepatan berkaitan dengan energi, maka persamaan 1 dapat digunakan untuk menurunkan hubungan antara suhu dan kecepatan molekul dalam gas. Penyebut dalam persamaan ini dikenal sebagai [[fungsi partisi (mekanika statistik) \| fungsi partisi]] kanonik. === Distribusi untuk vektor momentum= == Berikut ini adalah turunan yang berbeda dari turunan yang dijelaskan oleh [[James Clerk Maxwell]] dan kemudian digambarkan dengan sedikit asumsi berdasarkan [[Ludwig Boltzmann]]. Sebaliknya turunan ini mirip dengan pendekatan Boltzmann pada tahun 1877. Untuk kasus sebuah "gas ideal" yang terdiri dari atom- atom yang tidak berinteraksi pada keadaan dasar, semua energinya berada dalam bentuk [[energi kinetik]], dan ''g''<sub>i</sub> konstan untuk semua ''i''. Hubungan antara [[energi kinetik dan momentum]] untuk partikel yang besar adalah :<math> Baris 66 ⟶ 65: \qquad\qquad (2) </math> dimana ''p''<sup>2</sup> adalah kuadrat dari vektor momentum '''p''' = [''p''<sub>''x''</sub>, ''p''<sub>''y''</sub>, ''p''<sub>''z''</sub>]. Dengan demikian persamaan 1 dapat ditulis sebagai: Baris 77 ⟶ 76: \qquad\qquad (3) </math> dimana''Z'' adalah [[fungsi partisi (mekanika statistik) \| fungsi partisi]], sesuai dengan penyebut pada persamaan 1. Dalam persamaan ini ''m'' adalah massa molekul gas,''T'' adalah suhu termodinamika dan''k'' adalah [[konstanta Boltzmann.]] Distribusi ''N''<sub>'''i'''</sub>/''N'' sebanding terhadap [[fungsi probabbilitas densitas]] ''f''<sub>'''p'''</sub> untuk menemukan molekul dengan nilai-nilai komponen momentum ini, maka: :<math> Baris 87 ⟶ 86: \qquad\qquad (4)</math> [[Konstanta normalisasi]] ''c'', dapat ditentukan dengan melihat kemungkinan bahwa sebuah molekul pasti memiliki nilai ''momentum'' 1. Oleh karena itu integral dari persamaan 4 untuk ''p''<sub>''x'' </sub>,''p''<sub>''y''</sub>, dan ''p''<sub>''z''</sub> harus 1. Dapat ditunjukkan bahwa: Baris 105 ⟶ 104: \qquad\qquad (6)</math> Distribusi ini adalah produk dari tiga variabel independen yang [[distribusi normal \| terdistribusi normal]] <math>p_x</math>, <math>p_y</math>, dan <math>p_z</math>, dengan variansi <math>mkT</math>. Selain itu, dapat dilihat bahwa besarnya momentum akan didistribusikan sebagai distribusi Maxwell-Boltzmann, dengan <math> a=\sqrt{mkT}</math>. Distribusi Maxwell-Boltzmann untuk momentum (atau sama untuk vektor kecepatan) dapat diperoleh lebih mendasar menggunakan [[teorema-H]] pada kesetimbangan dalam kerangka [[teori kinetik]]. === Distribusi Energi= == Menggunakan ''p''² = 2''mE'', dan fungsi distribusi untuk besaran momentum (lihat [[# Distribusi untuk kecepatan \| di bawah]]), kita mendapatkan persamaan distribusi energi: :<math> Baris 135 ⟶ 134: dimana <math>\epsilon</math> adalah energi per derajat kebebasan. Pada kesetimbangan, distribusi ini akan berlaku untuk sejumlah derajat kebebasan. Misalnya, jika partikelnya merupakan dipol massa yang kaku, partikel tersebut akan memiliki tiga derajat kebebasan translasi dan dua derajat kebebasan rotasi tambahan. Energi dari setiap derajat kebebasan akan dijelaskan sesuai dengan distribusi chi-kuadrat dengan satu derajat kebebasan, dan total energi akan didistribusikan menurut distribusi chi-kuadrat dengan lima derajat kebebasan. Hal ini memiliki implikasi pada teori [[specific heat]] gas. Distribusi Maxwell-Boltzmann juga dapat diperoleh dengan menganggap gas menjadi jenis [[gas dalam kotak \| gas kuantum]]. === Distribusi dari vektor kecepatan= == Mengetahui bahwa densitas probabilitas vektor kecepatan ''f''<sub>'''v'''</sub> sebanding dengan fungsi densitas probabilitas momentum oleh Baris 161 ⟶ 160: </math> Seperti momentum, distribusi ini dipandang sebagai produk dari tiga variabel independen [[distribusi normal \| terdistribusi normal]] yaitu <math>v_x</math>, <math>v_y</math>, and <math>v_z</math>, namun dengan variansi <math>\frac{kT}{m}</math>. Hal ini dapat juga menunjukkan bahwa distribusi vektor kecepatan Maxwell-Boltzmann untuk vektor kecepatan [''v''<sub>''x''</sub>, ''v''<sub>''y''</sub>, ''v''<sub>''z''</sub>] adalah produk dari distribusi untuk masing-masing arah: :<math> Baris 179 ⟶ 178: Setiap komponen dari vektor kecepatan memiliki [[distribusi normal]] dengan rata-rata <math>\mu_{v_x} = \mu_{v_y} = \mu_{v_z} = 0</math> dan standar deviasi <math>\sigma_{v_x} = \sigma_{v_y} = \sigma_{v_z} = \sqrt{\frac{kT}{m}}</math>, sehingga vektor memiliki distribusi normal 3-dimensi, disebut juga distribusi "multinormal", dengan rata-rata <math> \mu_{\mathbf{v}} = {\mathbf{0}} </math> dan standar deviasi <math>\sigma_{\mathbf{v}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}</math>. === Distribusi kecepatan= == [[~~Image~~Berkas:MaxwellBoltzmann-en.svg\|~~right~~ka\|~~thumb~~jmpl\|360px\|Fungsi kecepatan kepadatan probabilitas kecepatan beberapa [[gas mulia]] es pada suhu 298,15 K (25 ° C). Dimana ''y''-axis adalah dalam s / m sehingga daerah di bawah setiap bagian dari kurva (yang merupakan probabilitas dari kecepatan berada di kisaran itu) adalah tidak berdimensi.]] Biasanya, kita lebih tertarik pada kecepatan molekul daripada vektor kecepatan komponennya. Distribusi Maxwell-Boltzmann untuk kecepatan diambil dari distribusi vektor kecepatan, di atas. Perhatikan bahwa kecepatan adalah Baris 190 ⟶ 189: :<math> dv_x\, dv_y\, dv_z = v^2 \sin \phi\, dv\, d\theta\, d\phi </math> dimana <math>\theta</math> dan <math>\phi</math> adalah "arah" (azimut dari vector kecepatan) dan "path angle" (elevasi sudut dari vektor kecepatan). Integrasi vektor kecepatan dari fungsi densitas probabilitas normal di atas, selama berada di arah (dari 0 hingga <math>2\pi</math>) dan path angle (dari 0 hingga <math>\pi</math>),dengan substitusi kecepatan untuk jumlah kuadrat komponen vektor, menghasilkan fungsi densitas probabilitas :<math> f(v) = \sqrt{\frac{2}{\pi}\left(\frac{m}{kT}\right)^3}\, v^2 \exp \left(\frac{-mv^2}{2kT}\right) </math> Baris 196 ⟶ 195: untuk kecepatan. Persamaannya menjadi [http://mathworld.wolfram.com/MaxwellDistribution.html Maxwell distribution] dengan parameter distribusi <math>a=\sqrt{\frac{kT}{m}}</math>. Kita ~~seringkali~~sering kali lebih tertarik dalam jumlah seperti kecepatan rata-rata partikel daripada distribusi sebenarnya. Kecepatan rata-rata, kecepatan yang paling mungkin (mode), dan [[akar kuadrat]] rata-rata dapat diperoleh dari sifat distribusi Maxwell. === Distribusi untuk kecepatan relatif= == Kecepatan relatif diartikan sebagai <math>u = {v \over v_p}</math>, dimana <math>v_p = \sqrt { \frac{2kT}{m} } = \sqrt { \frac{2RT}{M} }</math> adalah kecepatan yang paling mungkin. Distribusi kecepatan relatif memungkinkan perbandingan gas yang berbeda, bergantung pada suhu dan berat molekul. === Typical speeds= == Walaupun persamaan di atas memberikan distribusi untuk kecepatan atau, dengan kata lain, sebagian kecil waktu dari molekul yang memiliki kecepatan tertentu, kita ~~seringkali~~sering kali lebih tertarik pada jumlah seperti kecepatan rata-rata daripada distribusi keseluruhan. '''Kecepatan yang paling mungkin''', ''v''<sub>''p''</sub>, adalah kecepatan yang paling mungkin dimiliki oleh setiap molekul (dengan massa yang sama ''m'' ) dalam sistem dan sesuai dengan nilai maksimum atau [[Mode (statistik) \| mode]] dari ''f''(''v''). Untuk menemukannya, kita menghitung ''df''/''dv'', mengubahnya ke nol dan mencari nilai untuk ''v'' :<math>\frac{df(v)}{dv} = 0</math> Baris 214 ⟶ 213: :<math>v_p = \sqrt { \frac{2kT}{m} } = \sqrt { \frac{2RT}{M} }</math> Dimana ''R'' adalah [[konstanta gas]] dan ''M'' = [[Avogadro konstan \|''N<sub>A</sub>'']] ''m'' adalah [[massa molar]] dari molekul. Untuk nitrogen diatomik (N<sub>2</sub>, komponen utama dari [[udara]]) pada [[suhu kamar]] (300 [[derajat Kelvin \| K]]), hal ini menghasilkan <math>v_p = 422 </math>m/s Kecepatan rata-rata adalah rata-rata matematika dari distribusi kecepatan Baris 229 ⟶ 228: Typical speeds dihubungkan sebagai berikut: :<math> 0.886 \langle v \rangle = v_p < \langle v \rangle < v_\mathrm{rms} = 1.085 \langle v \rangle. </math> === Distribusi kecepatan relativistik= == [[~~Image~~Berkas:Plot showing Maxwell-Juttner distribution (relativistic Maxwellian) for electron gas at different temperatures.png\|~~thumbnail~~ jmpl\| ~~right~~ ka\| 400px \| Distribusi kecepatan Maxwell–Juttner (Relativistik Maxwellian)untuk gas elektron pada temperatur yang berbeda]] Ketika suhu gas meningkat dan ''kT'' mendekati atau melewati ''mc<sup>2</sup>'', distribusi probabilitas untuk <math>\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}</math> dalam relativistik Maxwellian untuk gas dinyatakan dengan distribusi Maxwell–Juttner:<ref name="Synge"> {{cite book \|last=Synge\|first=J.L Baris 242 ⟶ 241: \|publisher=[[North-Holland]] \|id={{LCCN\|57\|\|003567}} }}</ref>: :<math> f(\gamma) = \frac {\gamma^2 \beta }{\theta K_2(1/\theta)} Baris 265 ⟶ 264: \|year=2009 \|title=On the Manifestly Covariant Juttner Distribution and Equipartition Theorem \|journal=arXiv:0910.1625v1 \|url=http://arxiv.org/abs/0910.1625\|accessdate=2011-10-22}}</ref> ==~~See~~ ~~also~~Lihat pula == * [[Persamaan Boltzmann ~~distribution~~kuantum]]▼ * [[~~Maxwell–Boltzmann~~Statistika ~~statistics~~Maxwell–Boltzmann]] ▲* [[Boltzmann distribution]] * [[Distribusi Maxwell–Jüttner]] * [[Maxwell speed distribution]] * [[~~Boltzmann~~Distribusi ~~factor~~Boltzmann]] * [[~~Rayleigh~~Faktor ~~distribution~~Boltzmann]] * [[~~Ideal~~Distribusi ~~gas law~~Rayleigh]] * [[~~James~~Teori ~~Clerk~~kinetika ~~Maxwell~~gas]] * [[Boltzmann\|Ludwig Eduard Boltzmann]] * [[Kinetic theory]] ==~~References~~ Referensi == {{reflist}} == Bacaan lebih lanjut == ~~==Further reading==~~ * Physics for Scientists and Engineers -– with Modern Physics (6th Edition), P. A. Tipler, G. Mosca, Freeman, 2008, ~~ISBN~~ {{isbn\|0 -7167 -8964 -7}}▼ * Thermodynamics, From Concepts to Applications (2nd Edition), A. Shavit, C. Gutfinger, CRC Press (Taylor and Francis Group, USA), 2009, ~~ISBN (13-)~~ {{isbn\|978-1-4200-7368-3}}▼ * Chemical Thermodynamics, D.J.G. Ives, University Chemistry, Macdonald Technical and Scientific, 1971, ~~ISBN 0356~~{{isbn\|0-356-03736-3}}▼ * Elements of Statistical Thermodynamics (2nd Edition), L.K. Nash, Principles of Chemistry, Addison-Wesley, 1974, ~~ISBN~~ {{isbn\|0-201-05229-6}}▼ * Ward, CA & Fang, G 1999, 'Expression for predicting liquid evaporation flux: Statistical rate theory approach', Physical Review E, vol. 59, no. 1, pp. 429–40. * Rahimi, P & Ward, CA 2005, 'Kinetics of Evaporation: Statistical Rate Theory Approach', International Journal of Thermodynamics, vol. 8, no. 9, pp. 1–14. * {{Commonscat\|Maxwell–Boltzmann distributions}} ▲* Physics for Scientists and Engineers - with Modern Physics (6th Edition), P. A. Tipler, G. Mosca, Freeman, 2008, ISBN 0 7167 8964 7 ▲* Thermodynamics, From Concepts to Applications (2nd Edition), A. Shavit, C. Gutfinger, CRC Press (Taylor and Francis Group, USA), 2009, ISBN (13-) 978-1-4200-7368-3 ▲* Chemical Thermodynamics, D.J.G. Ives, University Chemistry, Macdonald Technical and Scientific, 1971, ISBN 0356-03736-3 ▲* Elements of Statistical Thermodynamics (2nd Edition), L.K. Nash, Principles of Chemistry, Addison-Wesley, 1974, ISBN 0-201-05229-6 == Pranala luar == * {{en}} [http://demonstrations.wolfram.com/TheMaxwellSpeedDistribution/ "The Maxwell Speed Distribution"] ~~from~~dari The Wolfram Demonstrations Project atdi [[Mathworld]] {{Authority control}} ~~{{ProbDistributions\|continuous-semi-infinite}}~~ ~~{{Physics equations navbox}}~~ {{DEFAULTSORT:~~Maxwell–Boltzmann~~Distribusi ~~Distribution~~Maxwell-Boltzmann}} ~~[[Kategori:Continuous distributions]]~~ [[Kategori:Gas]] [[Kategori:James Clerk Maxwell]] [[Kategori:~~Normal~~Distribusi ~~distribution~~normal]] [[Kategori:~~Particle~~Distribusi ~~distributions~~partikel]] [[Kategori:Fisika]] [[Kategori:Statistika]]