Teorema binomial: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k Robot: Perubahan kosmetika |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. Tag: VisualEditor Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Tugas pengguna baru Disarankan: tambahkan pranala |
||
| (6 revisi perantara oleh 4 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
[[Berkas:Pascal's triangle 5.svg|
Dalam [[aljabar elementer]], '''teorema binomial''' adalah [[teorema]] yang menjelaskan mengenai pengembangan [[eksponen]] dari penjumlahan antara dua variabel (binomial). Berdasarkan teorema ini, dimungkinkan untuk mengembangkan eksponen (''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup> menjadi sebuah [[penjumlahan]] dari suku-suku dengan bentuk ''ax''<sup>''b''</sup>''y''<sup>''c''</sup>, dimana eksponen ''b'' dan ''c'' adalah [[bilangan asli|bilangan bulat non negatif]] dengan {{nowrap|''b'' + ''c'' {{=}} ''n''}}, dan [[koefisien]] ''a'' dari setiap suku adalah bilangan bulat positif tertentu tergantung pada ''n'' dan ''b''. Ketika suatu eksponen adalah nol, faktor yang bereksponen nol tersebut biasanya dihilangkan dari sukunya. Contohnya,
Baris 11:
Peristiwa-peristiwa khusus terkait teorema binomial yang diketahui sejak zaman kuno diikhtisarkan berikut ini:
Abad ke-4 SM [[[[Matematika Yunani|matematikawan Yunani]]]] [[Euklides]] menyebutkan kasus khusus teorema binomial untuk eksponen 2.<ref name=wolfram>{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/BinomialTheorem.html|title=Binomial Theorem|website=Wolfram MathWorld|last=Weisstein|first=Eric W.}}</ref><ref name="Coolidge">{{cite journal|url=http://www.jstor.org/pss/2305028|title=The Story of the Binomial Theorem|first=J. L.|last=Coolidge|journal=The American Mathematical Monthly|volume=56|issue=3|date=1949|pp=147–157|doi=10.2307/2305028}}</ref> Ada bukti bahwa teorema binomial untuk [[kubus]] telah diketahui pada abad ke-6 di [[India]].<ref name=wolfram /><ref name="Coolidge" />
Koefisien binomial, seperti jumlah kombinasi yang menunjukkan banyak cara untuk memilih ''k'' objek dari ''n'' tanpa penggantian, telah menjadi perhatian orang-orang Hindu kuno. Referensi paling awal yang diketahui mengenai permasalahan kombinasi ini adalah ''Chandaḥśāstra'' karya penulis Hindu, [[Pingala]] (sekitar 200 SM), yang memuat suatu metode untuk solusinya.<ref name=Chinese>{{cite book|title=A history of Chinese mathematics |author1=Jean-Claude Martzloff|author2=S.S. Wilson|author3=J. Gernet|author4=J. Dhombres|publisher=Springer|year=1987}}</ref>{{rp|230}} Seorang peneliti bernama [[Halayudha]] dari abad ke-10 M menjelaskan mengenai metode ini menggunakan yang kini dikenal sebagai [[segitiga Pascal]].<ref name=Chinese /> Pada abad ke-6 M, matematikawan Hindu mungkin telah mengetahui cara menunjukkannya dalam sebuah persamaan <math>\frac{n!}{(n-k)!k!}</math>,<ref name="Biggs">{{cite journal|last=Biggs|first=N. L.|title=The roots of combinatorics|journal=Historia Math. |volume=6 |date=1979 |issue=2|pp=109–136|doi=10.1016/0315-0860(79)90074-0}}</ref> dan suatu pernyataan yang jelas mengenai aturan ini dapat ditemukan dalam naskah abad ke-12 ''Lilavati'' karya [[Bhāskara II|Bhaskara]].<ref name="Biggs" />
Baris 18:
| last = Landau
| first = James A.
| title = Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM] Pascal's Triangle
| work = Archives of Historia Matematica
| format = mailing list email
Baris 24:
| date = 1999-05-08
| url = http://archives.math.utk.edu/hypermail/historia/may99/0073.html
| archive-date = 2021-02-24
| archive-url = https://web.archive.org/web/20210224081637/http://archives.math.utk.edu/hypermail/historia/may99/0073.html
| dead-url = yes
}}</ref> dan [[Zhu Shijie]].<ref name="Coolidge" /> Yang Hui menghubungkan metode itu dengan naskah yang jauh lebih awal berasal dari abad ke-11 tulisan [[Jia Xian]], meskipun tulisan-tulisannya kini juga hilang.<ref name=Chinese />{{rp|142}}
Baris 43 ⟶ 46:
== Contoh ==
[[Berkas:Pascal triangle small.png|
Contoh paling dasar teorema binomial adalah rumus untuk ''x'' + ''y'' [[kuadrat (aljabar)|kuadrat]]
:<math>(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2.\!</math>
Baris 77 ⟶ 80:
=== Penjelasan geometris ===
[[Berkas:binomial expansion visualisation.svg|
Untuk setiap ''a'' dan ''b'' bernilai positif, teorema binomial dengan ''n'' = 2 adalah fakta bukti geometris bahwa sebuah bujur sangkat dengan sisi {{nowrap|''a'' + ''b''}} dapat dipotong menjadi sebuah bujur sangkar dengan sisi ''a'', sebuah bujur sangkar dengan sisi ''b'', dan dua [[persegi panjang]] dengan sisi ''a'' dan ''b''. Dengan ''n'' = 3, teorema binomial menyatakan bahwa sebuah kubus dengan sisi {{nowrap|''a'' + ''b''}} dapat dipotong-potong menjadi sebuah kubus dengan sisi ''a'', sebuah kubus dengan sisi ''b'', tiga buah kotak persegi panjang berdimensi ''a''×''a''×''b'', dan tiga buah kotak persegi panjang berdimensi ''a''×''b''×''b''.
Dalam [[
:<math>(x+\Delta x)^n = x^n + nx^{n-1}\Delta x + \tbinom{n}{2}x^{n-2}(\Delta x)^2 + \cdots.</math>
Dengan menggantinya menjadi suatu turunan melalui suatu kuosien diferensiasi dan memasukkan limit berarti bahwa suku berpangkat lebih tinggi – <math>(\Delta x)^2</math> dan lebih tinggi – sehingga diabaikan, dan menghasilkan rumus <math>(x^n)'=nx^{n-1},</math> yang diinterpretasikan sebagai
Baris 104 ⟶ 107:
|doi = 10.2307/4145193
}}
* {{cite book|last1=Graham|first1=Ronald|first2=Donald |last2=Knuth|first3= Oren|last3= Patashnik|title=Concrete Mathematics|url=https://archive.org/details/concretemathemat00grah_505|publisher=Addison Wesley|year=1994|edition=2nd|pages=
{{refend}}
{{Authority control}}
[[Kategori:Aljabar]]
| |||