Aturan sinus: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k bot Menambah: ca:Teorema del sinus |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. |
||
| (57 revisi perantara oleh 32 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
:''Untuk kegunaan lain, lihat [[Sinus (disambiguasi)]].''
{{multiple image|direction=horizontal|total_width=350|title=Aturan Sinus|image1=Triangle and circumcircle with notations.png|caption1=Dengan [[lingkaran luar]]|image2=Law of sines (simple).svg|caption2=Tanpa lingkaran luar|footer=Segitiga yang diberi label menyesuaikan dengan aturan sinus. Nilai sudut α, β dan γ masing-masing berasosiasi dengan titik sudut A, B, dan C. Huruf kecil a, b, dan c adalah panjang dari sisi yang menghadap sudut-sudut tersebut. (sisi a menghadap sudut α, dst.)}}Dalam [[trigonometri]], '''aturan sinus''', '''rumus sinus''', atau '''hukum sinus''' adalah sebuah persamaan yang memperbandingan panjang sisi-sisi segitiga terhadap [[Sinus (trigonometri)|sinus]] sudut-sudutnya. Aturan ini menyatakan bahwa<math display="block"> \frac{a}{\sin{\alpha}} \,=\, \frac{b}{\sin{\beta}} \,=\, \frac{c}{\sin{\gamma}} \,=\, 2R, </math>dengan {{math|''a'', ''b''}}, dan {{math|''c''}} menyatakan panjang-panjang sisi dari segitiga, dan {{math|''α'', ''β''}}, dan {{math|''γ''}} adalah besar sudut-sudut yang menghadap sisi-sisi tersebut (lihat gambar sebagai ilustrasi), sedangkan {{math|''R''}} adalah [[radius]] dari lingkaran luar segitiga. Jika radius lingkaran tidak digunakan, aturan sinus terkadang dinyatakan dalam bentuk<math display="block"> \frac{\sin{\alpha}}{a} \,=\, \frac{\sin{\beta}}{b} \,=\, \frac{\sin{\gamma}}{c}. </math>Aturan sinus berguna untuk menghitung sisi yang belum diketahui dari suatu segitiga apabila besar dua sudut dan panjang satu sisinya diketahui. Ini adalah masalah yang umum terjadi ketika melakukan [[triangulasi]]. Rumus ini juga dapat digunakan bila diketahui panjang dua sisi dan besar sudut yang tak diapit kedua sisi tersebut. Dalam kasus ini, data mungkin tidak dapat menghasilkan segitiga yang unik, sehingga rumus dapat memberikan dua nilai yang mungkin untuk sudut yang diapit. Aturan sinus juga dapat dipakai untuk menghitung jari-jari lingkaran luar segitiga.
Aturan sinus adalah salah satu dari dua persamaan trigonometrik yang umum digunakan untuk menentukan besar panjang dan sudut pada segitiga, persamaan lain yang digunakan adalah [[aturan kosinus]].
Aturan sinus dapat diperumum ke dimensi yang lebih tinggi, yakni pada permukaan dengan kurvatur yang bernilai konstan.<ref name="mathworld">{{cite web|title=Generalized law of sines|url=http://mathworld.wolfram.com/GeneralizedLawofSines.html|website=mathworld}}</ref>
== Sejarah ==
Hukum sinus bagi [[Trigonometri bola|segitiga yang terletak pada bola]] ditemukan pada abad ke-10. Penemuan ini banyak diatribusikan kepada [[Abu-Mahmud Khojandi]], [[Abul Wafa Muhammad Al Buzjani]], [[Nasir al-Din al-Tusi|Nashiruddin ath-Thusi]], dan [[Abu Nashr Mansur]].<ref name="Sesiano">Sesiano hanya mencatat al-Wafa sebagai seorang kontributor. Sesiano, Jacques (2000) "Islamic mathematics" pp. 137–157, dalam {{citation|title=Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics|first1=Helaine|last1=Selin|first2=Ubiratan|last2=D'Ambrosio|year=2000|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|isbn=1-4020-0260-2}}
"... .Spherical geometry was based on Menelaus's Spherics (and, in particular, its theorem IIIJ.1) and gave rise through Abu'l-Wafii' al-Buzjani (940-997/8) to the law of sines for spherical triangles,
<math>\frac{\sin a}{\sin \alpha} = \frac{\sin b}{\sin \beta} = \frac{\sin c}{\sin \gamma}</math>
where <math>a,\,b,\,c</math> are the sides and <math>\alpha,\,\beta,\,\gamma</math> the opposite angles</ref>
Pada abad ke-11, buku [[Ibn Muʿādh al-Jayyānī]]' mengandung hukum sinus secara umum.<ref name="MacTutor Al-Jayyani">{{MacTutor|id=Al-Jayyani|title=Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani}}</ref><ref name=":0">{{Cite book|date=1997|url=https://www.worldcat.org/oclc/37996126|title=Histoire des sciences arabes|location=Paris|isbn=2-02-030355-8|others=Rushdī Rāshid, Régis Morelon|oclc=37996126}}</ref> Hukum sinus pada bidang [datar] kemudian dinyatakan oleh [[Nasir al-Din al-Tusi|Nashiruddin ath-Thusi]] pada abad ke-13.<ref name=":0" /> Dalam karyanya ''Tentang Gambar Sektor'', <!-- Bahasa Inggris: On the Sector Figure. Saya menerjemahkan dengan menggunakan asumsi Sector memiliki artian yang sama dengan definisi kata "sektor" di KBBI, "tembereng tajam". Tolong koreksi. --Kekavigi -->ia menuliskan hukum sinus untuk bidang datar dan untuk permukaan bola, dan memberikan rumus untuk kedua hukum ini.<ref>{{cite book|last=Berggren|first=J. Lennart|year=2007|title=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook|url=https://archive.org/details/mathematicsofegy0000unse|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-11485-9|page=[https://archive.org/details/mathematicsofegy0000unse/page/518 518]|chapter=Mathematics in Medieval Islam}}</ref>
Pada abad ke-15, matematikawan Jerman [[Regiomontanus]] menggunakan hukum sinus sebagai fondasi solusi tentang masalah yang berkaitan dengan [[segitiga siku-siku]]. Solusi yang tertulis pada Buku IV-nya pada gilirannya menjadi dasar solusi masalah yang berkaitan dengan segitiga secara umum.<ref>Glen Van Brummelen (2009). "''[https://books.google.com/books?id=bHD8IBaYN-oC&pg=&dq&hl=en#v=onepage&q=&f=false The mathematics of the heavens and the earth: the early history of trigonometry]''". Princeton University Press. p.259. {{isbn|0-691-12973-8}}</ref>
== Bukti ==
<div style="float:right;margin:0 0 1em 1em;">[[Berkas:Law of sines proof.png]]</div>
Dapat diamati bahwa:
:<math>\sin A = \frac{h}{b}</math>
Dari persamaan tersebut, dapat diturunkan dua bentuk dari ''h''
:<math>h = b\,\sin A = a\,\sin B</math>
sehingga diperoleh
:<math>\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}.</math>
:<math>\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}</math>
== Kasus ambigu ==
Ketika menggunakan aturan sinus untuk menentukan panjang sisi suatu segitiga, kasus ambigu dapat terjadi ketika terdapat dua segitiga dapat dibuat dari informasi yang diketahui (dengan kata lain, akan menghasilkan dua solusi berbeda). Kasus ini mungkin saja terjadi karena ada dua nilai sudut yang benar antara 0° dan 180° yang memiliki nilai sinus yang sama.
: [[Berkas:PictureAmbitext_(Greek_angles).svg|319x319px|Kasus ambigu penggunaan aturan sinus untuk mencari panjang sisi segitiga. Apabila diberikan besar sudut <math>\alpha</math>, juga panjang sisi <math>a</math> dan <math>c</math>, maka kedua-dua segitiga {{math|''ABC''}} dan {{math|''ABC′''}} adalah benar.|jmpl]]
Untuk sembarang segitiga, kasus ambigu terjadi apabila kondisi-kondisi berikut terpenuhi:
* Informasi yang tersedia tentang segitiga hanyalah sudut {{math|''α''}} dan panjang {{math|''a''}} dan {{math|''c''}}.
* Sudut {{math|''α''}} lancip (yakni, besar sudut {{math|''α''}} < 90°).
* Sisi {{math|''a''}} lebih pendek daripada sisi {{math|''c''}} (yakni, besar {{math|''a'' < ''c''}}).
* Sisi {{math|''a''}} lebih panjang daripada ketinggian {{math|''h''}} ketika diukur dari titik {{math|''B''}} (artinya {{math|''a'' > ''h''}}), dengan nilai {{math|1=''h'' = ''c'' sin ''α''}}.
Jika semua kondisi tersebut terpenuhi, maka sudut {{math|''β''}} dan {{math|''β′''}} menghasilkan dua segitiga yang valid tapi berbeda, mengartikan dua persamaan berikut benar:<math display="block"> {\gamma}' = \arcsin\frac{c \sin{\alpha}}{a} \quad \text{atau} \quad {\gamma} = \pi - \arcsin\frac{c \sin{\alpha}}{a}.</math>Dari persamaan di atas, dapat ditentukan besar sudut {{math|''β''}} dan panjang sisi {{math|''b''}}, atau besar sudut {{math|''β′''}} dan panjang sisi {{math|''b′''}}, jika diperlukan.
== Contoh ==
[[Berkas:Law_of_sines_(example_01).svg|ka|jmpl|Contoh 1]]
Diberikan informasi: panjang sisi {{math|1=''a'' = 20}}, sisi {{math|1=''c'' = 24}}, dan sudut {{math|1=''γ'' = 40°}}, sedangkan nilai sudut {{math|''α''}} ingin dicari. Menggunakan aturan sinus, disimpulkan bahwa<math display="block">\frac{\sin \alpha}{20} = \frac{\sin (40^\circ)}{24}.</math> Sehingga dengan menggunakan invers dari fungsi sinus, [[arcsinus]], didapatkan <math display="block"> \alpha = \arcsin\left( \frac{20\sin (40^\circ)}{24} \right) \approx 32.39^\circ. </math>Solusi lain dari arcsin adalah nilai {{math|1=''α'' = 147.61°}}. Namun ini tidak digunakan karena akan menghasilkan solusi dengan total sudut segitiga {{math|''α'' + ''β'' + ''γ'' > 180°}}.
== Hubungan dengan lingkaran luar segitiga ==
Pada identitas<math display="block"> \frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{b}{\sin{\beta}} = \frac{c}{\sin{\gamma}},</math>ketiga pecahan tersebut memiliki nilai yang sama dengan panjang [[diameter]] dari [[lingkaran luar]] segitiga. Bukti mengenai hal ini dapat ditelusuri sampai ke [[Ptolemy]].<ref>Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. ''Geometry Revisited''. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 1–3, 1967</ref><ref name=":02">{{Cite web|title=Law of Sines|url=http://www.pballew.net/lawofsin.html|website=www.pballew.net|access-date=2018-09-18|archive-date=2018-09-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20180910164536/http://www.pballew.net/lawofsin.html|dead-url=yes}}</ref>
=== Bukti ===
[[Berkas:Sinelaw_radius_(Greek_angles).svg|jmpl|Membuktikan nilai rasio pada aturan sinus sama dengan panjang diameter lingkaran luar segitiga. Perhatikan bahwa segitiga {{math|''ADB''}} melalui pusat lingkaran yang berdiameter {{math|''d''}}.]]
Seperti terlihat pada gambar, misalkan ada sebuah lingkaran yang memuat segitiga <math> \triangle ABC</math>, dan memuat segitiga lain <math> \triangle ADB</math> yang sisinya melewati pusat lingkaran '''O'''.<ref group="nb">Memuat, dalam artian semua titik sudut segitiga terletak pada lingkaran.</ref> Sudut <math> \angle AOD</math> memiliki [[sudut pusat]] sebesar <math> 180^\circ</math>, sehingga sudut <math> \angle ABD = 90^\circ</math>. Karena merupakan segitiga siku-siku, pada segitiga <math> \triangle ABD</math> berlaku<math display="block"> \sin{\delta}= \frac{\text{depan}}{\text{miring}}= \frac{c}{2R},</math>
dengan <math display="inline"> R= \frac{d}{2}</math> adalah jari-jari dari lingkaran yang memuat segitiga.<ref name=":02" /> Sudut <math>{\gamma}</math> dan <math>{\delta}</math> memiliki sudut pusat yang sama, sehingga besar sudut mereka sama: <math>{\gamma} = {\delta}</math>. Maka disimpulkan,<math display="block"> \sin{\delta} = \sin{\gamma} = \frac{c}{2R}.</math>Dengan menyusun kembali suku-suku, dihasilkan<math display="block"> 2R = \frac{c}{\sin{\gamma}}.</math>Proses di atas dapat diulangi dengan membentuk <math> \triangle ADB</math> yang berbeda, sehingga menghasilkan persamaan
{{equation box 1|equation=<math> \frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{b}{\sin{\beta}} = \frac{c}{\sin{\gamma}}=2R.</math>}}
=== Hubungan dengan luas segitiga ===
Menggunakan notasi yang sama dengan bagian sebelumnya, luas dari segitiga <math> \triangle ABC</math> adalah <math display="inline">L = \frac{1}{2}ab \sin \gamma</math>, dengan <math>\gamma</math> adalah sudut yang diapit oleh sisi {{math|''a''}} dan {{math|''b''}}. Mensubtitusi aturan sinus pada persamaan luas segitiga menghasilkan<ref>{{Citation|last=Mr. T's Math Videos|title=Area of a Triangle and Radius of its Circumscribed Circle|date=2015-06-10|url=https://www.youtube.com/watch?v=t6QNGDPG4Og|archive-url=https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211211/t6QNGDPG4Og|archive-date=2021-12-11|url-status=live|access-date=2018-09-18}}{{cbignore}}</ref> <math display="block">L=\frac{1}{2}ab \cdot \frac {c}{2R} = \frac{abc}{4R}. </math>Dapat ditunjukkan bahwa persamaan tersebut mengimplikasikan<math display="block">\begin{align}
\frac{abc} {2L}
& = \frac{abc} {2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}} \\[6pt]
& = \frac {2abc} {\sqrt{{(a^2+b^2+c^2)}^2-2(a^4+b^4+c^4) }},
\end{align}</math>dengan <math>s</math> adalah [[Semiperimeter|panjang setengah keliling]] segitiga, yakni <math display="inline">s = \frac{a+b+c}{2}.</math> Persamaan ini dapat disederhanakan menjadi [[Teorema Heron|rumus Heron]] untuk menghitung luas segitiga.
Aturan sinus juga dapat digunakan untuk menghasilkan rumus berikut untuk menghitung luas lingkaran. Dengan menyatakan <math display="inline">S =\frac {\sin A + \sin B + \sin C}{2}</math>, dapat ditunjukkan<ref>Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sines," ''Mathematical Gazette'' 93, March 2009, 108–109.</ref>
{{equation box 1|equation=<math>T = 4R^{2} \sqrt{S \left(S - \sin A\right) \left(S - \sin B\right) \left(S - \sin C\right)}</math>}}
== Kasus hiperbolik ==
{{See also|segitiga hiperbolik}}
Dalam [[geometri hiperbolik]] dengan kurvatur bernilai −1, aturan sinus berubah menjadi<math display="block">\frac{\sin A}{\sinh a} = \frac{\sin B}{\sinh b} = \frac{\sin C}{\sinh c} \,.</math>Pada kasus khusus dengan {{math|''B''}} berupa sudut siku-siku, dihasilkan<math display="block">\sin C = \frac{\sinh c}{\sinh b} </math>yang mirip dengan rumus pada [[geometri Euklides]], yang menyatakan sinus sebagai perbandingan panjang sisi berlawanan dengan sisi hipotenusa.
== Pada permukaan bola ==
[[Berkas:Spherical_trigonometry_vectors.svg|ka|jmpl|200x200px|Ilustrasi dari setiap label untuk aturan sinus pada permukaan bola.]]
Aturan sinus pada permukaan bola memberikan hubungan trigonometrik pada segitiga yang sisi-sisinya berupa [[lingkaran besar]].
Misalkan radius dari bola adalah 1. Misalkan pula {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, dan {{math|''c''}} adalah panjang dari segmen-segmen lingkaran besar yang menjadi sisi-sisi segitiga. Karena bola berupa bola satuan, panjang {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, dan {{math|''c''}} sama dengan besar-besar sudut (dalam [[radian]]) dari pusat bola, yang membentuk segmen-segmen lingkaran besar. Misalkan juga {{math|''A''}}, {{math|''B''}}, dan {{math|''C''}} adalah sudut-sudut yang berhadapan dengan masing-masing sisi segitiga. Aturan sinus pada permukaan bola menyatakan bahwa<math display="block">\frac{\sin A}{\sin a} = \frac{\sin B}{\sin b} = \frac{\sin C}{\sin c}.</math>
== Pada permukaan dengan kurvatur konstan ==
Pada permukaan secara umum, fungsi sinus dapat diperumum sebagai berikut:<math display="block">\sin_K x = x - \frac{K x^3}{3!} + \frac{K^2 x^5}{5!} - \frac{K^3 x^7}{7!} + \cdots.</math>yang nilainya juga bergantung kurvatur {{math|''K''}} di posisi <math>x</math> berada. Aturan sinus pada permukaan kurvatur bernilai konstan {{math|''K''}} menyatakan bahwa<ref name="mathworld" /><math display="block">\frac{\sin A}{\sin_K a} = \frac{\sin B}{\sin_K b} = \frac{\sin C}{\sin_K c} \,.</math>Mensubtitusi nilai {{math|1=''K'' = 0}}, {{math|1=''K'' = 1}}, dan {{math|1=''K'' = −1}}, secara berurutan akan menghasilkan aturan sinus pada permukaan Euklides, bola, dan hiperbolik, yang dijelaskan pada bagian-bagian sebelumnya. Misalkan {{math|''p''<sub>''K''</sub>(''r'')}} menyatakan keliling lingkaran berdiameter {{math|''r''}} pada ruang dengan kurvatur konstan {{math|''K''}}. Maka {{math|1=''p''<sub>''K''</sub>(''r'') = 2''π'' sin<sub>''K''</sub> ''r''}}. Akibatnya, aturan sinus juga dapat ditulis ulang sebagai:<math display="block">\frac{\sin A}{p_K(a)} = \frac{\sin B}{p_K(b)} = \frac{\sin C}{p_K(c)} \,.</math>Rumus ini ditemukan oleh [[János Bolyai]].<ref>{{cite book|last=Katok|first=Svetlana|year=1992|url=https://archive.org/details/fuchsiangroups00kato|title=Fuchsian groups|location=Chicago|publisher=University of Chicago Press|isbn=0-226-42583-5|page=[https://archive.org/details/fuchsiangroups00kato/page/n31 22]|author-link=Svetlana Katok|url-access=limited}}</ref>
== Lihat pula ==
* [[
* [[
== Catatan ==
<references group="nb" />
== Rujukan ==
{{Reflist}}
[[Kategori:Trigonometri]]
[[Kategori:Segitiga]]
[[Kategori:Sudut]]
[[Kategori:Persamaan trigonometri]]
[[Kategori:Persamaan matematika]]
[[Kategori:Persamaan]]
| |||