Aljabar: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k Bot: Penggantian teks otomatis (-algoritma, +algoritme) |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. |
||
| (96 revisi perantara oleh 36 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{multiple image
| perrow = 1 / 1
| total_width = 350
| image1 = Polynomial2.svg
| alt1 = Polynomial equation
| link1 = Polynomial equation
| caption1 = [[Aljabar elementer]] mengkaji nilai-nilai manakah yang menyelesaikan persamaan menggunakan operasi aritmetika.
| image2 = Ring of integers2.svg
| alt2 = Signature of the ring of integers
| link2 = Ring of integers
| caption2 = [[Aljabar abstrak]] mengkaji [[struktur aljabar]], seperti [[gelanggang bilangan bulat]] yang berupa himpunan dari [[bilangan bulat]] <math>(\Z)</math> bersamaan dengan dua [[Operasi aljabar|operasi]]: [[penambahan]] (<math>+</math>) dan [[perkalian]] (<math>\times</math>).
}}
'''Aljabar''' adalah cabang [[matematika]] yang mengkaji [[Sistem|sistem-sistem]] abstrak tertentu, yang dikenal sebagai [[struktur aljabar]], serta memanipulasi [[Ekspresi (matematika)|ekspresi]] di dalam sistem-sistem tersebut. Aljabar merupakan bentuk umum [[aritmetika]] yang memperkenalkan [[Variabel (matematika)|variabel]] dan [[Operasi aljabar|operasi-operasi aljabar]] selain operasi aritmetika standar seperti [[penambahan]] dan [[perkalian]].
[[Aljabar elementer]] adalah bentuk utama aljabar yang dipelajari di banyak sekolah. Aljabar elementer mempelajari pernyataan matematika menggunakan variabel sebagai nilai-nilai yang tidak diketahui dan mencari nilai manakah yang benar pada pernyataan itu. Cara menyelesaikan permasalahan itu dapat digunakan metode yang mengubah persamaan menjadi variabel yang terisolasi. [[Aljabar linear]] adalah cabang yang sangat berkaitan dengan mempelajari [[persamaan linear]] dan gabungannya yang disebut ''[[sistem persamaan linear]]''. Aljabar linear menyediakan metode mencari nilai-nilai yang menyelesaikan semua persamaan di dalam sistem di waktu yang sama, serta mengkaji himpunan solusi tersebut.
[[Aljabar abstrak]] mengkaji struktur aljabar, yang terdiri dari [[Himpunan (matematika)|himpunan]] dari [[objek matematika]] bersama dengan satu atau beberapa [[Operasi (matematika)|operasi]] yang didefinisikan pada himpunan itu. Aljabar abstrak adalah bentuk umum aljabar elementer dan aljabar linear, karena kajiannya memungkinkan objek matematika selain daripada bilangan dan operasi-operasi yang bukan aritmetika. Aljabar abstrak membedakan jenis-jenis struktur aljabar seperti [[Grup (matematika)|grup]], [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]], dan [[Lapangan (matematika)|lapangan]], berdasarkan jumlah operasi yang digunakan serta hukum yang diikuti, yang disebut [[aksioma]]. [[Aljabar universal]] dan [[teori kategori]] menyediakan kerangka yang lebih umum untuk mempelajari pola-pola abstrak yang mencirikan kelas struktur aljabar yang berbeda.
Metode aljabar pertama kali dikaji pada [[zaman kuno]] untuk menyelesaikan permasalahan spesifik dalam cabang matematika lain seperti [[geometri]]. Beberapa matematikawan kemudian menguji teknik-teknik umum untuk memecahkan permasalahan sendiri dari penerapan spesifiknya. Pada kala itu, matematikawan menjelaskan persamaan dan solusi menggunakan kata dan singkatan hingga adanya simbol-simbol formal yang dikembangkan pada abad ke-16 dan ke-17. Pada abad pertengahan ke-19, jangkauan konsep aljabar meluas yang melalui [[teori persamaan]], yang meliputi jenis-jenis operasi dan struktur aljabar yang beragam. Selain geometri, aljabar berkaitan dengan banyak cabang matematika seperti [[topologi]], [[teori bilangan]], dan [[kalkulus]], and serta cabang-cabang lain seperti [[logika]] dan [[ilmu empiris]].
== Definisi dan etimologi ==
Aljabar adalah cabang matematika yang mempelajari [[struktur aljabar|struktur-struktur aljabar]] beserta [[operasi aljabar|operasi-operasi]] yang digunakan.<ref>{{multiref | {{harvnb|Merzlyakov|Shirshov|2020|loc=Lead section}} | {{harvnb|Gilbert|Nicholson|2004|p=[https://books.google.com/books?id=paINAXYHN8kC&pg=PA4 4]}} }}</ref> Struktur aljabar disini berarti suatu [[Himpunan (matematika)|himpunan]] tak kosong yang terdiri atas [[objek matematika]] seperti [[integer|bilangan bulat]], bersamaan dengan operasi aljabar yang didefinisikan pada himpunan tersebut seperti operasi [[penambahan]] dan [[perkalian]].<ref>{{multiref | {{harvnb|Fiche|Hebuterne|2013|p=[https://books.google.com/books?id=TqkckiuuXg8C&pg=PT326 326]}} | {{harvnb|Merzlyakov|Shirshov|2020|loc=§ The Subject Matter of Algebra, Its Principal Branches and Its Connection with Other Branches of Mathematics.}} | {{harvnb|Gilbert|Nicholson|2004|p=[https://books.google.com/books?id=paINAXYHN8kC&pg=PA4 4]}} }}</ref>{{efn|Ketika dijelaskan dalam pengertian lebih luas lagi, operasi aljabar dapat diartikan sebagai suatu [[Fungsi (matematika)|fungsi]] yang dipetakan dari [[Hasil kali Cartesius|hasil kali Cartesius dari sutau himpunan ke himpunan tersebut]], yang diekspresikan secara formal sebagai {{nowrap|<math>\omega: A^n \to A</math>.}} Penambahan dari bilangan real adalah contoh operasi aljabar, karena operasi tersebut mengambil dua bilangan sebagai input, dan hasil dari operasi tersebut sebagai output. Operasi tersebut ditulis sebagai {{nowrap|<math>+: \R^2 \to \R</math>.<ref>{{harvnb|Baranovich|2023|loc=Lead section}}</ref>}}}} Aljabar mempelajari mengenai hukum, karakteristik umum, dan jenis-jenis struktur aljabar. Dalam strukrur aljabar tertentu, aljabar menguji kegunaan [[Variabel (matematika)|variabel]] dalam [[persamaan]] serta cara memanipulasi persamaan-persamaan tersebut.<ref>{{multiref | {{harvnb|Pratt|2022|loc=Lead section, § 1. Elementary Algebra, § 2. Abstract Algebra, § 3. Universal Algebra}} | {{harvnb|Merzlyakov|Shirshov|2020|loc=§ The Subject Matter of Algebra, Its Principal Branches and Its Connection with Other Branches of Mathematics.}} }}</ref>{{efn|Aljabar diliputi oleh divisi 512 di dalam [[Dewey Decimal Classification]]<ref>{{harvnb|Higham|2019|p=[https://books.google.com/books?id=ferEDwAAQBAJ&pg=PA296 296]}}</ref> dan subkelas QA 150{{hyphen}}272.5 di dalam [[Library of Congress Classification]].<ref>{{harvnb|Library of Congress|p=3}}</ref> Aljabar juga meliputi beberapa cabang di dalam [[Mathematics Subject Classification]].<ref>{{harvnb|zbMATH Open|2024}}</ref>}}
Aljabar sering kali dipahami sebagai bentuk umum dari cabang [[aritmetika]],<ref>{{multiref | {{harvnb|Maddocks|2008|p=129}} | {{harvnb|Burgin|2022|p=[https://books.google.com/books?id=rWF2EAAAQBAJ&pg=PA45 45]}} }}</ref> cabang yang mempelajari operasi-operasi penambahan, [[pengurangan]], perkalian, dan [[pembagian]], dalam domain bilangan real khusus seperti bilangan real.<ref name="auto1">{{multiref | {{harvnb|Romanowski|2008|pp=302–303}} | {{harvnb|HC Staff|2022}} | {{harvnb|MW Staff|2023}} | {{harvnb|Bukhshtab|Pechaev|2020}} }}</ref> [[Aljabar elementer]] mencakup tingkat abstraksi paling awal. Sama seperti aritmetika, aljabar elementer membatasi abstraksinya ke dalam bentuk jenis-jenis bilangan spesifik dan operasi. Aljabar elementer mengeneralisasi operas-operasi tersebut dengan mengizinkan nilai kuantitas yang tak terdefinit dalam bentuk variabel selain bilangan.<ref>{{multiref | {{harvnb|Maddocks|2008|pp=129–130}} | {{harvnb|Pratt|2022|loc=Lead section, § 1. Elementary Algebra}} | {{harvnb|Wagner|Kieran|2018|p=[https://books.google.com/books?id=uW4ECwAAQBAJ&pg=PT225 225]}} }}</ref> Tingkat abstraksi yang lebih tinggi dapat ditemukan di dalam cabang [[aljabar abstrak]], yang tidak dibatasi ke domain khusus dan malahan menguji struktur aljabar seperti [[Grup (matematika)|grup]] dan [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]]. Konsep dalam aljabar abstrak memperluas ke luar operasi-operasi aritmetika yang biasanya dengan meliputi jenis operasi lainnya.<ref>{{multiref | {{harvnb|Maddocks|2008|pp=131–132}} | {{harvnb|Pratt|2022|loc=Lead section, § 2. Abstract Algebra}} | {{harvnb|Wagner|Kieran|2018|p=[https://books.google.com/books?id=uW4ECwAAQBAJ&pg=PT225 225]}} }}</ref> Di atas cabang itu, terdapat aljabar universal yang merupakan tingkat abstraksi yang lebih tinggi, sebab konsepnya tidak mempelajari struktur aljabar spesifik, melainkan mempelajari karateristik dari struktur aljabar yang umum.<ref>{{multiref | {{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 3. Universal Algebra}} | {{harvnb|Grillet|2007|p=[https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-0-387-71568-1_15 559]}} | {{harvnb|Denecke|Wismath|2018|p=[https://books.google.com/books?id=2UlZDwAAQBAJ&pg=PR5 v]}} | {{harvnb|Cohn|2012|p=[https://books.google.com/books?id=6tbuCAAAQBAJ&pg=PR13 xiii]}} }}</ref>
[[File:Image-Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala.jpg|upright=.8|thumb|alt=Title page of The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing|Kata ''aljabar'' berasal dari judul buku [[al-Khwarizmi]], {{transliteration|ar|[[Al-Jabr]]}}.<ref>{{multiref | {{harvnb|Cresswell|2010|p=[https://books.google.com/books?id=J4i3zV4vnBAC&pg=PA11 11]}} | {{harvnb|OUP Staff}} | {{harvnb|Menini|Oystaeyen|2017|p=722}} }}</ref>]]
Istilah "aljabar" terkadang digunakan dalam pengertian yang lebih sempit, yang hanya mengacu pada aljabar elementer atau hanya aljabar abstrak.<ref>{{multiref | {{harvnb|Weisstein|2003|p=46}} | {{harvnb|Walz|2016|loc=[https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/algebra/12062 Algebra]}} }}</ref> Ketika istilah itu digunakan sebagai kata benda yang dapat dihitung (''{{Ill|countable noun|en|countable noun}}''), aljabar disini diartikan sebagai [[Aljabar atas lapangan|suatu jenis strukru aljabar spesifik]] yang melibatkan [[ruang vektor]] dilengkapi dengan [[Pemetaan bilinear|jenis operasi biner tertentu]].<ref>{{multiref | {{harvnb|Weisstein|2003|p=46}} | {{harvnb|Brešar|2014|p=[https://books.google.com/books?id=PkvPBAAAQBAJ&pg=PR33 xxxiii]}} | {{harvnb|Golan|1995|pp=[https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-94-015-8502-6_18 219–227]}} }}</ref> Selain itu, istilah "aljabar" dapat mengacu pada struktur aljabar lainnya tergantung konteks, seperti [[aljabar Lie]] atau [[aljabar asosiatif]].<ref>{{harvnb|EoM Staff|2017}}</ref>
Kata ''aljabar'' berasal dari istilah [[bahasa Arab]] {{lang|ar|الجبر}} ({{transliteration|ar|al-jabr}}), yang berarti [[Bonesetting|perlakuan operasi pada terapi tulang]]. Pada abad ke-9, istilah tersebut diambil sebagai pengertian matematis ketika matematikawan Persia [[Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi]] menggunakannya untuk menjelaskan suatu metode menyelesaikan persamaan dan juga sebagai judul di dalam risalahnya mengenai aljabar yang berjudul {{transliteration|ar|[[Al-Jabr|al-Kitāb al-Mukhtaṣar fī Ḥisāb al-Jabr wal-Muqābalah]]}}, yang kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Latin sebagai ''{{lang|la|Liber Algebrae et Almucabola}}''.{{efn|Pengertian yang lebih akurat dari istilah {{transliteration|ar|al-jabr}} dalam karya-Khwarizmi masih diperdebatkan. Ada yang mengatakan bahwa istilah tersebut mengekpresikan kuantitas yang dikecilkan melalui pengurangan dikembalikan ke nilai asalnya, serupa dengan cara ''bonesetter'' mengembalikan tulang-tulang yang retak dengan menyusunnya kembali dengan baik.<ref>{{multiref | {{harvnb|Oaks|Alkhateeb|2007|pp=45–46, 58}} | {{harvnb|Gandz|1926|p=437}} }}</ref>}} Kata tersebut kemudian masuk ke dalam [[bahasa Inggris]] pada abad ke-16 dari [[bahasa Italia]], [[Spanish language|Spanyol]], dan [[Bahasa Latin|Latin]] di abad pertengahan.<ref>{{multiref | {{harvnb|Cresswell|2010|p=[https://books.google.com/books?id=J4i3zV4vnBAC&pg=PA11 11]}} | {{harvnb|OUP Staff}} | {{harvnb|Menini|Oystaeyen|2017|p=722}} | {{harvnb|Hoad|1993|p=10}} }}</ref> Pengertian kata aljabar pada awalnya dibatasi hingga ke [[teori persamaan]], dalam artian suatu seni dalam memanipulasi [[persamaan polinomial]] dalam rangka untuk memecahkannya. Pengertian kata aljabar kemudian berubah pada abad ke-19{{efn|Perubahan tersebut dipicu oleh penemuan mengenai banyaknya permasalahan alajar lebih lama telah terpecahkan. Sebagai contoh, pembuktian [[teorema dasar aljabar]] mendemonstrasikan keberadaan dari solusi polinomial berupa kompleks<ref name="auto7">{{multiref | {{harvnb|Tanton|2005|p=10}} | {{harvnb|Kvasz|2006|p=308}} | {{harvnb|Corry|2024|loc=§ The Fundamental Theorem of Algebra}} }}</ref> dan pengenalan [[teori Galois]] yang mengkarakterisasi polinomial yang memiliki [[Solusi dalam radikal|solusi yang lebih umum]].<ref name="auto2">{{multiref | {{harvnb|Kvasz|2006|pp=314–345}} | {{harvnb|Merzlyakov|Shirshov|2020|loc=§ Historical Survey}} | {{harvnb|Corry|2024|loc=§ Galois Theory, § Applications of Group Theory}} }}</ref>}} ketika cakupan konsep aljabar meluas yang meliputi kajian berbaga jenis operasi aljabar dan struktur aljabar bersamaan dengan [[aksioma]].<ref>{{multiref | {{harvnb|Tanton|2005|p=10}} | {{harvnb|Corry|2024|loc=§ Structural Algebra}} | {{harvnb|Hazewinkel|1994|pp=[https://books.google.com/books?id=PE1a-EIG22kC&pg=PA73 73–74]}} }}</ref>
== Aljabar elementer ==
{{utama|Aljabar elementer}}
[[File:algebraic equation notation.svg|thumb|right|class=skin-invert-image|alt=Diagram of an algebraic expression|Notasi ekspresi aljabar:<br /> 1 – pangkat (eksponen)<br /> 2 – koefisien<br /> 3 – suku<br /> 4 – operator<br /> 5 – suku konstanta<br /> <math>c</math> – konstanta<br /> <math>x</math> <math>y</math> – variabel]]
Aljabar elementer adalah bentuk aljabar tertua sekaligus paling mendasar.<ref>{{multiref | {{harvnb|Arcavi|Drijvers|Stacey|2016|p=[https://books.google.com/books?id=N2R9DAAAQBAJ&pg=PA2 2]}} | {{harvnb|Benson|2003|pp=[https://books.google.com/books?id=nNbnCwAAQBAJ&pg=PA111 111–112]}} }}</ref> Aljabar elementer adalah bentuk umum dari [[aritmetika]] yang mengandalkan variabel dan mengkaji cara [[Pernyataan (matematika)|pernyataan]] matematis dapat diubah.<ref name="auto4">{{multiref | {{harvnb|Maddocks|2008|p=129}} | {{harvnb|Berggren|2015|loc=Lead section}} | {{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 1. Elementary Algebra}} | {{harvnb|Merzlyakov|Shirshov|2020|loc=§ 1. Historical Survey}} }}</ref> Aritmetika disini adalah kajian operasi perhitungan dan mengkaji bagaimana suatu bilangan digabungkan dan diubah menjadi operasi aritmetika seperti [[penambahan]], [[pengurangan]], [[perkalian]], [[pembagian]], [[eksponensiasi]], [[Akar ke-n|pengakaran]], dan [[logaritma]]. Sebagai contoh, operasi penambahan menggabungkan dua bilangan (yang disebut penambah) menjadi bilangan ketiga (yang disebut jumlah), seperti {{nowrap|<math>2 + 5 = 7</math>.<ref name="auto1"/>}}
Aljabar elementer mengandalkan operasi yang sama, meskipun variabel juga dihadirkan selain bilangan biasa. Variabel [[Simbol|melambangkan]] kuantitas yang tidak diketahui, yang dapat digunakan sebagai lambang untuk menyatakan kepada seseorang tidak mengetahui nilai pasti serta mengekpresikan hukum umum yang pernyataannya benar, apapun bilangan yang digunakan. Sebagai contoh, [[persamaan]] <math>2 \times 3 = 3 \times 2</math> milik cabang aritmetika karena mengekpresikan sebuah kesamaan hanya untuk bilangan-bilangan spesifik. Bilangan pada persamaan tersebut dapat diganti dengan variabel, yang memungkinkan untuk mengekpresikan hukum umum yang menerapkan ke sebarang kombinasi bilangan, seperti [[Sifat komutatif|sifat perkalian komutatif]], yang dinyatakan dalam persamaan {{nowrap|<math>a \times b = b \times a</math>.<ref name="auto4"/>}}
[[Ekspresi aljabar]] dibentuk dengan menggunakan operasi aritmetika untuk menggabungkan variabel dan bilangan. Berdasarkan konvensi <math>x</math>, <math>y</math>, dan <math>z</math> melambangkan variabel. Pada beberapa kasus, subskripsi juga ditambahkan untuk membedakan variabel seperti <math>x_1</math>, <math>x_2</math>, and Huruf kecil <math>a</math>, <math>b</math>, dan <math>c</math> biasanya digunakan sebagai [[Konstanta (matematika)|konstanta]] dan [[koefisien]].{{efn|Konstanta melambangkan bilangan yang nilainya tetap, dan tidak berubah dalam mengkaji permasalahan.<ref>{{harvnb|Sobolev|2015}}</ref>}} Ekspresi <math>5x + 3</math> adalah contoh ekspresi aljabar yang diciptakan dengan mengalikan bilangan 5 dengan variabel <math>x</math>, yang kemudian ditambahkan 3 sebagai hasil akhirnya. Contoh ekspresi aljabar lainnya adalah <math>32xyz</math> dan {{nowrap|<math>64x_1^2 + 7x_2 - c</math>.<ref>{{multiref | {{harvnb|Maddocks|2008|pp=129–130}} | {{harvnb|Young|2010|p=[https://books.google.com/books?id=9HRLAn326zEC&pg=RA1-PA999 999]}} | {{harvnb|Majewski|2004|p=347}} | {{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 1. Elementary Algebra}} | {{harvnb|Sorell|2000|p=[https://books.google.com/books?id=EksSDAAAQBAJ&pg=PA19 19]}} }}</ref>}}
Beberapa ekspresi aljabar mengambil bentuk pernyataan yang mengaitkan dua ekspresi ke suatu ekspresi yang lain. Persamaan adalah suatu pernyataan yang dibentuk dengan membandingkan dua ekspresi, katakanlah ekspresi itu sama. Kesamaan kedua ekspresi itu menggunakan [[equals sign|lambang sama dengan]] (<math>=</math>), seperti {{nowrap|<math>5x^2 + 6x = 3y + 4</math>.}} [[Pertidaksamaan]] melibatkan jenis perbandingan, katakanlah dua ruas sisi berbeda. Ketidaksamaan tersebut menggunakan lambang [[Lambang kurang dari|kurang dari]] (<math><</math>), [[Lambang lebih dari|lebih dari]] (<math>></math>), dan lambang tidak sama dengan (<math>\neq</math>). Tidak seperti ekspresi lainnya, pernyataan dapat benar atau salah, dan [[Nilai kebenaran|nilai kebenarannya]] biasanya bergantung pada nilai variabel. Sebagai contoh, pernyataan <math>x^2 = 4</math> benar jika <math>x</math> bernilai 2 atau −2, tetapi pernyataan sebaliknya salah.<ref>{{multiref | {{harvnb|Maddocks|2008|pp=129–130}} | {{harvnb|Tsokos|Wooten|2015|p=[https://books.google.com/books?id=zu7HBQAAQBAJ&pg=PA451 451]}} | {{harvnb|Mishra|2016|p=1.2}} }}</ref> Persamaan dengan variabel dapat dibagi menjadi persamaan identitas dan persamaan bersyarat. Persamaan identitas adalah benar untuk semua nilai yang dapat ditetapkan dengan variabel, seperti persamaan {{nowrap|<math>2x + 5x = 7x</math>.}} Sementara itu, persamaan bersyarat adalah benar untuk suatu nilai; sebagai contoh, persamaan <math>x + 4 = 9</math> adalah benar apabila <math>x</math> bernilai 5.<ref>{{multiref | {{harvnb|Musser|Peterson|Burger|2013|p=16}} | {{harvnb|Goodman|2001|p=[https://books.google.com/books?id=TvY7DQAAQBAJ&pg=PA5 5]}} | {{harvnb|Williams|2022}} }}</ref>
Tujuan utama aljabar elementer adalah menentukan nilai bila suatu pernyataan itu benar. Ini didapatkan dengan mengubah dan memanipulasi pernyataan menurut hukum-hukum tertentu. Prinsip utama yang menuntun proses tersebut adalah operasis apapun yang diterapkan ke sebelah ruas suatu persamaan harus diterapkan juga ke ruas lainnya. Sebagai contoh, jika seseorang mengurangi 5 dari ruas kiri suatu persamaan, maka seseorang juga mengurangi 5 dari ruas kanan supaya kedua ruas menjadi seimbang nilainya. Tujuan dari langkah-langkah ini biasanya [[Penyelesaian persamaan|mengisolasikan suatu variabel pada sebelah ruas persamaan]]. Sebagai contoh, persamaan <math>x - 7 = 4</math> dapat diselesaikan untuk <math>x</math> dengan menambahkan 7 pada kedua ruas, sehingga mengisolasikan <math>x</math> pada ruas kiri dan hasilnya menjadi {{nowrap|<math>x = 11</math>.<ref>{{multiref | {{harvnb|Maddocks|2008|p=130}} | {{harvnb|McKeague|1986|pp=[https://books.google.com/books?id=sq7iBQAAQBAJ&pg=PA51 51–54]}} | {{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 1. Elementary Algebra}} | {{harvnb|Merzlyakov|Shirshov|2020|loc=§ 1. Historical Survey}} }}</ref>}}
Ada banyak teknik lain yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan. Penyederhanaan (''simplification'') digunakan untuk menggantikan ekspresi yang sulit bentuknya menjadi ekspresi yang lebih mudah. Sebagai contoh, ekspresi <math>7x - 3x</math> dapat diganti dengan <math>4x</math> karena <math>7x - 3x = (7-3)x = 4x</math> menurut sifat distributif.<ref>{{multiref | {{harvnb|Tan|Steeb|Hardy|2012|p=[https://books.google.com/books?id=UDb0BwAAQBAJ&pg=PA306 306]}} | {{harvnb|Lamagna|2019|p=[https://books.google.com/books?id=8PSDDwAAQBAJ&pg=PA150 150]}} }}</ref> Untuk pernyataan dengan beberapa variabel, [[Substitusi (logika)#Aljabar|substitusi]] adalah teknik umum untuk menggantikan suatu variabel dengan suatu ekspresi ekuivalen yang tidak menggunakan variabel tersebut. Sebagai contoh, jika <math>y = 3x</math> maka ekspresi <math>7xy</math> dapat disubstitusikan sehingga hasilnya menjadi {{nowrap|<math>21x^2</math>.}} Dengan cara yang sama, jika seseorang tahu nilai suatu variabel, maka seseorang dapat menggunakan variabel itu untuk menentukan nilai dari variabel yang lain.<ref>{{multiref | {{harvnb|Berggren|2015|loc=§ Solving Systems of Algebraic Equations}} | {{harvnb|McKeague|2014|p=[https://books.google.com/books?id=nI7iBQAAQBAJ&pg=PA386 386]}} | {{harvnb|McKeague|1986|p=[https://books.google.com/books?id=sq7iBQAAQBAJ&pg=PA148 148]}} }}</ref>
[[File:Graph (y = 0.5x - 1).svg|thumb|class=skin-invert-image|alt=Graph of equation "y = 0.5x − 1"|Persamaan aljabar dapat digunakan untuk menjelaskan gambaran geometri. Semua nilai untuk <math>x</math> dan <math>y</math> yang menyelesaikan persamaan dapat dipandang sebagai titik. Kumpulan titik tersebut pada akhirnya digambarkan sebagai garis merah pada grafik ini.]]
[[Persamaan aljabar]] dapat dipandang [[Geometri|secara geometris]] untuk membentuk gambaran spasial dalam bentuk [[Grafik fungsi|grafik]]. Caranya adalah variabel yang berbeda di dalam persamaan dapat dipandang sebagai [[Sistem koordinat Cartesius|koordinat]] dan nilai yang menyelesaikan persamaan dipandang sebagai titik suatu grafik. Sebagai contoh, jika <math>x</math> ditetapkan bernilai nol dalam persamaan <math>y=0.5x - 1</math>, maka <math>y</math> pasti bernilai −1 supaya persamaan itu menjadi benar. Ini berarti bahwa pasangan <math>(x, y)</math> bernilai <math>(0, -1)</math> menjadi bagian dari grafik persamaan. Sebaliknya, pasangan <math>(x, y)</math> bernilai {{nowrap|<math>(0, 7)</math>}} tidak menyelesaikan persamaan dan bukan bagian dari grafik. Grafik meliputi totalitas dari pasangan <math>(x, y)</math> yang menyelesaikan suatu persamaan.<ref>{{multiref | {{harvnb|Maddocks|2008|pp=130–131}} | {{harvnb|Rohde|Jain|Poddar|Ghosh|2012|p=[https://books.google.com/books?id=vk2XbZpsBOwC&pg=PT89 89]}} | {{harvnb|Walz|2016|loc=[https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/algebra/12062 Algebra]}}}}</ref>
===
{{main|Polinomial}}
Polinomial adalah suatu ekspresi yang terdiri dari satu suku atau lebih yang ditambahkan atau dikurangi dari suku yang lain, contohnya seperti {{nowrap|<math>x^4+3xy^2+5x^3-1</math>.}} Tiap-tiap suku dapat berupa konstanta, variabel, atau hasil kali dari konstanta dan variabel. Tiap-tiap variabel dapat dinaikkan ke dalam perpangkatan bilangan bulat positif. Monomial adalah polinomial dengan satu suku, sedangkan polinomial dengan dua dan tiga suku disebut binomial dan trinomial. [[Derajat polinomial]] adalah nilai maksimum (di antara sukunya) dari penjumlahan perpangakatan variabel (contoh yang di atas adalah polinomial berderajat 4).<ref>{{multiref | {{harvnb|Bracken|Miller|2014|pp=386–387}} | {{harvnb|Kaufmann|Schwitters|2011|p=220}} | {{harvnb|Markushevich|2015}} }}</ref> Polinomial berderajat satu (atau dengan polinomial dengan derajat satu) disebut ''polinomial linear''. Aljabar linear mengkaji sistem polinomial linear.<ref>{{multiref | {{harvnb|Sahai|Bist|2002|p=[https://books.google.com/books?id=yjkgNYfApj4C&pg=PA21 21]}} | {{harvnb|Maddocks|2008|p=131}} | {{harvnb|Barrera-Mora|2023|pp=[https://books.google.com/books?id=Xmu8EAAAQBAJ&pg=PR9 ix, 1–2]}} }}</ref> Suatu polinomial dikatakan ''univariat'' atau ''multivariat'', tergantung apakah polinomial itu menggunakan satu variabel atau lebih.<ref>{{harvnb|Geddes|Czapor|Labahn|2007|p=[https://books.google.com/books?id=9fOUwkkRxT4C&pg=PA46 46]}}</ref>
[[Faktorisasi]] adalah metode menyederhanakan polinomial, sehingga terlihat mudah untuk menganalisisnya dan menentukan nilai dengan cara [[Akar fungsi|mengevaluasi polinomial bernilai nol]]. Faktorisasi berarti menulis ulang suatu polinomial sebagai hasi kali dari beberapa faktor. Sebagai contoh, polinomial <math>x^2 - 3x - 10</math> dapat difaktorkan sebagai {{nowrap|<math>(x + 2)(x - 5)</math>.}} Polinomial secara keseluruhan berniai nol [[jika dan hanya jika]] salah satu dari faktornya bernilai nol, yaitu <math>x</math> bernilai −2 atau 5.<ref>{{multiref | {{harvnb|Lukas|2022|pp=[https://books.google.com/books?id=1-dvEAAAQBAJ&pg=PA47 47–49]}} | {{harvnb|Berggren|2015|loc=§ Algebraic Expressions, § Solving Algebraic Equations}} }}</ref> Sebelum abad ke-19, studi aljabar lebih berfokus pada [[persamaan polinomial]], yaitu persamaan yang diperoleh dengan menyamakan suatu polinomial menjadi nol. Cobaan pertama menyelesaikan persamaasn polinomial adalah dengan mengekpresikan solusi dalam bentuk [[Akar ke-n|akar]]. Solusi persamaan dengan derajat dua dalam bentuk <math>ax^2 + bx + c = 0</math> dinyatakan dalam bentuk [[rumus kuadrat]]<ref>{{multiref | {{harvnb|Berggren|2015|loc=§ Solving algebraic equations}} | {{harvnb|Corry|2024|loc=§ Classical algebra}} }}</ref><math display="block">x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}.</math>Solusi untuk polinomial dengan derajat 3 dan 4 dinyatakan dalam bentuk [[rumus kubik]] dan [[rumus kuartik]]. Akan tetapi, tidak ada solusi umum yang derajatnya yang lebih tinggi, sebagaimana dibuktikan menurut [[teorema Abel–Ruffini]] pada abad ke-19.<ref name="auto3" /> Bahkan ketika solusi umum tidak ada, solusi pendekatan dapat ditemukan dengan menggunakan alat-alat numerik seperti [[metode Newton–Raphson]].<ref>{{harvnb|Igarashi|Altman|Funada|Kamiyama|2014|p=[https://books.google.com/books?id=58ySAwAAQBAJ&pg=PA103 103]}}</ref>
[[Teorema dasar aljabar]] menyatakan bahwa setiap persamaan polinomial univariat berderajat positif dengan koefisien [[Bilangan real|real]] ataupun [[Bilangan kompleks|kompleks]] stidaknya memiliki satu buah solusi kompleks. Akibatnya, setiap polinomial berderajat positif dapat [[Faktorisasi polinomial|difaktorkan]] menjadi polinomial linear. Teorema ini dibuktikan pada awal abad ke-19, tetapi hal itu tidak menutupi permasalahan karena teorema tersebut tidak menyediakan cara menghitung solusi.<ref>{{multiref | {{harvnb|Berggren|2015|loc=§ Solving algebraic equations}} | {{harvnb|Tanton|2005|p=10}} | {{harvnb|Kvasz|2006|p=308}} | {{harvnb|Corry|2024|loc=§ The Fundamental Theorem of Algebra}} }}</ref>
== Aljabar linear ==
{{main|Aljabar linear}}
Aljabar linear mempelajari kajian [[sistem persamaan linear]].<ref>{{multiref | {{harvnb|Maddocks|2008|p=131}} | {{harvnb|Barrera-Mora|2023|pp=[https://books.google.com/books?id=Xmu8EAAAQBAJ&pg=PR9 ix, 1–2], }} }}</ref> Suatu [[Persamaan linear|persamaan adalah linear]] jika persamaan itu dapat dituliskan sebagai <math>a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n = b</math>, dengan <math>a_1</math>, <math>a_2</math>, ..., <math>a_n</math> adalah <math>b</math> adalah konstanta. Contohnya seperti <math>x_1 - 7x_2 + 3x_3 = 0</math> dan <math display="inline">\frac14x - y = 4</math>. Suatu ''sistem persamaan linear'' berarti kumpulan persamaan linear yang memiliki solusi yang sama.<ref>{{multiref | {{harvnb|Anton|Rorres|2013|pp=2–3}} | {{harvnb|Maddocks|2008|p=131}} | {{harvnb|Voitsekhovskii|2011}} }}</ref>
[[Matriks (matematika)|Matriks]] adalah susunan nilai dalam bentuk persegi panjang. Matriks pada awalnya diperkenalkan dengan tujuan sebagai notasi yang kompak dan sintetik untuk sistem persamaan linear.<ref>{{multiref | {{harvnb|Saikia|2008|p=[https://books.google.com/books?id=KhM7BAAAQBAJ&pg=PA1 1]}} | {{harvnb|Lal|2017|p=[https://books.google.com/books?id=FwPNDgAAQBAJ&pg=PA31 31]}} | {{harvnb|Mirakhor|Krichene|2014|p=[https://books.google.com/books?id=G6XNAwAAQBAJ&pg=PT107 107]}} }}</ref> Sebagai contoh, sistem persamaan<math display="block"> \begin{align}
9x_1 + 3x_2 - 13x_3 &= 0 \\
2.3x_1 + 7x_3 &= 9 \\
-5x_1 - 17x_2 &= -3
\end{align}
</math>dapat ditulis sebagai<math display="block">AX=B,</math>dengan <math>A,X</math> dan <math>B</math> adalah matriks yang dinyatakan sebagai<math display="block">A=\begin{bmatrix}9 & 3 & -13 \\ 2.3 & 0 & 7 \\ -5 & -17 & 0 \end{bmatrix}, \quad X= \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix}0 \\ 9 \\ -3 \end{bmatrix}.</math>Matriks dapat [[Penambahan matriks|ditambahkan]], [[Perkalian matriks|dikalikan]], dan terkadang [[Invers matriks|diinvers]] di bawah kondisi jumlah baris dan kolom. Semua metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dapat dinyatakan sebagai manipulasi matriks melalui operasi-operasi tersebut. Sebagai contoh, ketika menghitung matriks invers <math>A^{-1}</math>, maka terdapat sifat bahwa <math>A^{-1}A = I,</math> disini <math>I</math> adalah [[matriks identitas]]. Ketika mengalikan kedua ruas pada persamaan di atas di sebelah kiri anggota oleh <math>A^{-1},</math> maka sifat invers itu berlaku dan sistem persamaan linear menjadi<ref>{{multiref | {{harvnb|Brown|2015|pp=[https://books.google.com/books?id=POlVBgAAQBAJ&pg=PA30 30–31]}} | {{harvnb|Waerden|2003|pp=70–72}} }}</ref><math display="block">X=A^{-1}B.</math>
Metode menyelesaikan sistem persamaan linear yang berkisar dari teknik pengenalan seperti substitusi<ref>{{multiref|{{harvnb|Young|2010|pp=[https://books.google.com/books?id=9HRLAn326zEC&pg=PA697 697–698]}}|{{harvnb|Maddocks|2008|p=131}}|{{harvnb|Sullivan|2010|pp=[https://books.google.com/books?id=6NKaDwAAQBAJ&pg=PA53 53–54]}}}}</ref> dan eliminasi,<ref>{{multiref|{{harvnb|Anton|Rorres|2013|pp=7–8}}|{{harvnb|Sullivan|2010|pp=[https://books.google.com/books?id=6NKaDwAAQBAJ&pg=PA55 55–56]}}|{{harvnb|Atanasiu|Mikusinski|2019|p=[https://books.google.com/books?id=VbySDwAAQBAJ&pg=PA75 75]}}}}</ref> hingga teknik yang lebih sulit menggunakan matriks seperti [[aturan Cramer]], [[eliminasi Gauss]], [[dekomposisi LU]].<ref>{{multiref|{{harvnb|Maddocks|2008|p=131}}|{{harvnb|Anton|Rorres|2013|pp=7–8, 11, 491}}}}</ref> Suatu sistem persamaan adalah [[Persamaan konsisten dan inkonsisten|inkonsisten]], yang berarti tidak adalah solusi karena persamaan saling kontradiksi dengan yang lain.<ref name="auto10">{{multiref|{{harvnb|Anton|Rorres|2013|pp=3–7}}|{{harvnb|Mortensen|2013|pp=[https://books.google.com/books?id=KYDrCAAAQBAJ&pg=PA73 73–74]}}|{{harvnb|Young|2023|pp=[https://books.google.com/books?id=pMSZEAAAQBAJ&pg=PA714 714–715]}}}}</ref>{{efn|Sebagai contoh, persamaan <math>x_1 - 3x_2 = 0</math> dan <math>x_1 - 3x_2 = 7</math> saling kontradiksi satu sama lain, karena tidak ada nilai dari <math>x_1</math> dan <math>x_2</math> untuk menyelesaikan kedua persamaan itu di waktu yang sama.<ref name="auto10"/>}} Sistem persamaan linear adalah konsisten jika mereka memiliki satu solusi tunggal atau tak berhingga banyaknya solusi.<ref name="auto11">{{multiref|{{harvnb|Maddocks|2008|p=131}}|{{harvnb|Harrison|Waldron|2011|p=[https://books.google.com/books?id=_sisAgAAQBAJ&pg=PT464 464]}}|{{harvnb|Anton|2013|p=[https://books.google.com/books?id=neYGCwAAQBAJ&pg=PA255 255]}}}}</ref>{{efn|Sistem persamaan konsisten yang memiliki solusi tunggal atau tidak tergantung pada jumlah variabel dan [[persamaan independen]]. Beberapa persamaan adalah independen dengan yang lain jika mereka tidak menyediakan informasi yang sama dan tidak dapat diturunkan satu sama lain. Suatu solusi tunggal itu ada jika jumlah variabelnya sama dengan jumlah persamaan independen. Sebaliknya, [[sistem kekurangan persamaan]] (''underdetermined systems'') memiliki jumlah variabel yang lebih banyak daripada jumlah persamaan independen serta memiliki tak berhingga jumlah solusinya jika persamaannya konsisten.<ref name="auto11"/>}}
Kajian [[ruang vektor]] dan [[pemetaan linear]] merupakan konsep bagian aljabar linear yang penting. Ruang vektor adalah struktur aljabar yang dibentuk oleh himpunan dengan operasi penambahan yang membentuk [[grup abelian]] dan [[perkalian skalar]] yang kompatibel dengan operasi penambahan. Pemetaan linear adalah suatu fungsi di antara ruang vektor yang kompatibel dengan operasi penambahan dan perkalian skalar. Pada kasus [[ruang vektor berdimensi hingga]], vektor-vektor dan pemetaan linear dapat dinyatakan dalam bentuk matriks. Dengan demikian, teori-teori mengenai matriks dan ruang vektor berdimensi hingga pada awalnya sama. Penjelasan spesifiknya, ruang vektor menyediakan cara ketiga untuk mengekpresikan serta memanipulasi sistem persamaan linear.<ref>{{multiref|{{harvnb|Valenza|2012|p=[https://books.google.com/books?id=7x8MCAAAQBAJ&pg=PR7 vii]}}|{{harvnb|Chahal|2018|loc=[https://books.google.com/books?id=BGR8DwAAQBAJ&pg=PT10 § 1.1 What is Linear Algebra?]}}|{{harvnb|Solomon|2014|pp=[https://books.google.com/books?id=BpvSBQAAQBAJ&pg=PA57 57–58, 61–62]}}|{{harvnb|Ricardo|2009|p=[https://books.google.com/books?id=s7bMBQAAQBAJ&pg=PA389 389]}}}}</ref> Dari sudut pandang tersebut, matriks dapat diartikan sebagai representasi pemetaan linear. Artinya, jika seseorang memilih suatu [[Basis (aljabar linear)|basis]] tertentu untuk menjelaskan vektor-vektor yang sedang ditransformasikan, maka entri-entri di dalam matriks memberikan hasil menerapkan pemetaan linear ke vektor basis.<ref>{{multiref|{{harvnb|Solomon|2014|p=[https://books.google.com/books?id=BpvSBQAAQBAJ&pg=PA57 57]}}|{{harvnb|Ricardo|2009|pp=[https://books.google.com/books?id=s7bMBQAAQBAJ&pg=PA395 395–396]}}}}</ref>
[[Berkas:Linear_Function_Graph.svg|al=Graph of two linear equations|jmpl|Secara geometris, persamaan linear dengan dua variabel dapat digambarkan sebagai garis. Solusi persamaan linear tersebut adalah titik yang merupakan perpotongan dari kedua garis.]]
Sistem persamaan linear dapat digambarkan secara geometris. Untuk sistem persamaan dengan dua variabel, tiap-toap persamaan mewakili suatu [[garis]] di dalam [[ruang berdimensi dua]]. Titik yang merupakan perpotongan dua garis adalah solusi dari seluruh sistem persamaan, sebab titik tersebut adalah satu-satunya solusi untuk baik persamaan pertama maupun persamaan kedua. Akan tetapi untuk sistem persamaan yang tak konsisten, dua garis malah saling sejajar, yang artinya tidak ada solusi sama sekali karena kedua garis itu tidak pernah berpotongan. Andaikata kedua persamaan itu tidak independen maka mereka menggambarkan garis yang sama, yang artinya setiap solusi dari satu persamaan juga merupakan solusi dari persamaan yang lain. Kaitan tersebut memberikan kemungkinan mencari solusi secara grafis dengan menggambarkan persamaan-persamaan dan menentukan titik mana yang mereka saling berpotongan.<ref>{{multiref|{{harvnb|Anton|Rorres|2013|pp=3–5}}|{{harvnb|Young|2010|pp=[https://books.google.com/books?id=9HRLAn326zEC&pg=PA696 696–697]}}|{{harvnb|Sneyd|Fewster|McGillivray|2022|p=[https://books.google.com/books?id=zqd3EAAAQBAJ&pg=PA211 211]}}}}</ref> Prinsip yang sama juga berlaku untuk sistem persamaan yang terdiri dari banyak variabel, tetapi yang membedakannya mereka tidak menggambarkan garis, melainkan bangunan yang berdimensi lebih tinggi. Sebagai contoh, sistem persamaan yang memiliki tiga variabel digambarkan sebagai [[Bidang (geometri)|bidang]] di dalam [[ruang berdimensi tiga]], dan titik yang merupakan perpotongan dari semua bidang merupakan solusi dari sistem persamaan tersebut.<ref>{{multiref|{{harvnb|Anton|Rorres|2013|pp=3–5}}|{{harvnb|Young|2010|p=[https://books.google.com/books?id=9HRLAn326zEC&pg=PA713 713]}}|{{harvnb|Sneyd|Fewster|McGillivray|2022|p=[https://books.google.com/books?id=zqd3EAAAQBAJ&pg=PA211 211]}}}}</ref>
== Aljabar abstrak ==
{{
Aljabar abstrak adalah kajian [[struktur aljabar]].<ref>{{multiref|{{harvnb|Gilbert|Nicholson|2004|p=[https://books.google.com/books?id=paINAXYHN8kC&pg=PA1 1]}}|{{harvnb|Dominich|2008|p=[https://books.google.com/books?id=uEedNKV3nlUC&pg=PA19 19]}}}}</ref> Struktur aljabar dapat diartikan sebagai kerangka awal mula pemahaman [[Operasi (matematika)|operasi]] pada [[objek matematika]], seperti penambahan dari bilangan-bilangan. Kalau aljabar elementer dan aljabar membatasi struktur aljabar khusus, kajian aljabar abstrak lebih berfokus pada pendekatan lebih umum yang membandingkan bagaimana struktur aljabar berbeda dengan yang lain serta struktur aljabar itu merupakan jenis apa: [[Grup (matematika)|grup]], [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]], dan [[Lapangan (matematika)|lapangan]].<ref>{{multiref|{{harvnb|Maddocks|2008|pp=131–132}}|{{harvnb|Pratt|2022|loc=Lead section, § 2. Abstract Algebra}}|{{harvnb|Gilbert|Nicholson|2004|pp=[https://books.google.com/books?id=paINAXYHN8kC&pg=PA1 1–3]}}|{{harvnb|Dominich|2008|p=[https://books.google.com/books?id=uEedNKV3nlUC&pg=PA19 19]}}}}</ref> Poin penting dari perbedaan jenis struktur aljabar terletak pada jumlah operasi yang digunakan dan hukum yang dipenuhi.<ref name="auto9" /> Dalam [[pendidikan matematika]], aljabar abtrak mengacu pada kursus sarjana yang sebagian mahasiswa ambil setelah menyelesaikan kursus aljabar linear.<ref>{{harvnb|Hausberger|2020|loc=Abstract Algebra Teaching and Learning}}</ref>
[[Berkas:Binary_operations_as_black_box.svg|al=Diagram of binary operation|class=skin-invert-image|jmpl|Banyak struktur aljabar mengandalkan operasi biner, yang mengambil dua objek sebagai input dan kemudian menggabungkannya menjadi satu objek, yaitu output; contohnya seperti penambahan dan perkalian.]]
Dalam tingkat yang formal, struktur aljabar adalah suatu [[Himpunan (matematika)|himpunan]]{{efn|Himpunan adalah kumpulan dari anggota yang berbeda yang tidak terurut. Anggota disini contohnya seperti bilangan, vektor, atau himpunan lain. [[Teori himpunan]] menjelaskan hukum dan sifat-sifat himpunan.<ref>{{multiref | {{harvnb|Tanton|2005|p=460}} | {{harvnb|Murthy|2012|p=[https://books.google.com/books?id=CBc8BAAAQBAJ&pg=PA3 1.3]}} }}</ref>}} dari objek matematika, yang disebut himpunan pendasar (''underlying set''), bersamaan dengan satu atau beberapa operasi.{{efn|Menurut beberapa definisi, struktur aljabar menyertakan anggota yang berbeda sebagai komponen tambahan, seperti pada anggota identitas dalam perkalian.<ref name="auto5">{{harvnb|Ovchinnikov|2015|p=[https://books.google.com/books?id=UMbXBgAAQBAJ&pg=PA27 27]}}</ref>}} Aljabar abstrak lebih berfokus pada [[operasi biner]],{{efn|Beberapa struktur aljabar dikaji oleh aljabar abstrak, yang mencakup [[operasi uner]] selain operasi biner. Sebagai contoh, [[ruang vektor bernorma]] memiliki [[Norma (matematika)|norma]], sebuah operasi uner yang digunakan untuk mengaitkan vektor beserta panjangnya.<ref>{{harvnb|Grillet|2007|p=[https://books.google.com/books?id=LJtyhu8-xYwC&pg=PA247 247]}}</ref>}} yang megambil sebarang dua objek dari himpunan pendasar sebagai input dan kemudian memetakannya ke objek lain ke himpunan itu sebagai output.<ref>{{multiref|{{harvnb|Whitelaw|1995|p=[https://books.google.com/books?id=f2hyf0QoB_0C&pg=PA61 61]}}|{{harvnb|Nicholson|2012|p=[https://books.google.com/books?id=w-GaLpapRcEC&pg=PA70 70]}}|{{harvnb|Fiche|Hebuterne|2013|p=[https://books.google.com/books?id=TqkckiuuXg8C&pg=PT326 326]}}|{{harvnb|Pratt|2022|loc=Lead section, § 2. Abstract Algebra}}}}</ref> Sebagai contoh, struktur aljabar <math>\langle \N, + \rangle</math> memiliki [[bilangan asli]] (<math>\N</math>) sebagai himpunan pendasarnya serta penambahan (<math>+</math>) sebagai operasi binernya.<ref name="auto5" /> Himpunan pendasar dapat mengandung objek matematika selain bilangan, dan operasi tidak dibatasi ke operasi aritmetika pada biasanya.<ref>{{multiref|{{harvnb|Maddocks|2008|pp=131–132}}|{{harvnb|Pratt|2022|loc=Lead section, § 2. Abstract Algebra}}}}</ref> Sebagai contoh, himpunan pendasar [[grup simetri]] dari suatu ojek geometris dibentuk dari [[Transformasi geometri|transformasi geometris]] seperti [[rotasi]], yang berarti setiap objek yang ditransformasi tetap [[Invarian (matematika)|tidak berubah]]. Operasi binernya adalah [[komposisi fungsi]], yang mengambil dua transformasi sebagai input dan memiliki hasil transformasi yang didapatkan dengan menerapkan transformasi pertama yang kemudian menerapkan transformasi kedua sebagai output-nya.<ref>{{multiref|{{harvnb|Olver|1999|pp=[https://books.google.com/books?id=1GlHYhNRAqEC&pg=PA55 55–56]}}|{{harvnb|Abas|Salman|1994|pp=[https://books.google.com/books?id=5snsCgAAQBAJ&pg=PA58 58–59]}}|{{harvnb|Häberle|2009|p=[https://books.google.com/books?id=McvSa-cFZCMC&pg=PA640 640]}}}}</ref>
=== Teori grup ===
{{utama|Teori grup}}
Aljabr abstrak mengklasifikasi struktur aljabar berdasarkan hukum atau [[aksioma]] yang dipatuhi operasi-operasinya beserta jumlah operasi yang digunakan. Jenis struktur aljabar yang paling mendasar adalah grup, yang memiliki satu operasi serta syarat bahwa operasi itu [[Sifat asosiatif|asosiatif]], memiliki [[Elemen identitas|anggota identitas]] dan [[Elemen invers|anggota invers]]. Suatu operasi adalah asosiatif jika urutan dari beberapa operasi tidak diperhatikan, dalam artian {{nowrap|<math>(a \circ b) \circ c</math>{{efn|Simbol <math>\circ</math> dan <math>\star</math> digunakan di artikel ini untuk melambangkan sebarang operasi yang mungkin atau tidak menyerupai operasi aritmetika.<ref>{{harvnb|Gilbert|Nicholson|2004|p=[https://books.google.com/books?id=paINAXYHN8kC&pg=PA4 4]}}</ref>}}}} sama saja dengan <math>a \circ (b \circ c)</math> untuk semua anggota. Suatu operasi memiliki anggota identitas jika terdapat suatu anggota <math>e</math> yang tidak berubah nilainya dari anggota yang lain, dalam artian jika {{nowrap|<math>a \circ e = e \circ a = a</math>.}} Suatu operasi memiliki anggota invers jika untuk sebarang anggota <math>a</math> maka terdapat anggota timbal balik (''reciprocal element'') <math>a^{-1}</math> yang membatalkan <math>a</math>. Jika suatu anggota mengoperasi pada inversnya maka hasilnya menjadi anggota identitas <math>e</math>, yang diekpresikan secara formal sebagai {{nowrap|<math>a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e</math>.}} Setiap struktur aljabar yang memenuhi semua syarat tersebut dapat dikatakan sebagai grup.<ref>{{multiref | {{harvnb|Kargapolov|Merzlyakov|2016|loc=§ Definition}} | {{harvnb|Khattar|Agrawal|2023|pp=[https://books.google.com/books?id=7-nIEAAAQBAJ&pg=PA4 4–6]}} | {{harvnb|Maddocks|2008|pp=131–132}} | {{harvnb|Pratt|2022|loc=Lead section, § 2. Abstract Algebra}} | {{harvnb|Neri|2019|p=[https://books.google.com/books?id=NMOlDwAAQBAJ&pg=PA258 258]}} }}</ref> Sebagai contoh, <math>\langle \Z, + \rangle</math> adalah grup yang dibentuk oleh himpunan dari [[bilangan bulat]] terhadap operasi penambahan. Anggota identitasnya adalah 0 dan anggota inversnya dari sebarang bilangan <math>a</math> adalah {{nowrap|<math>-a</math>.<ref>{{multiref | {{harvnb|Khattar|Agrawal|2023|pp=[https://books.google.com/books?id=7-nIEAAAQBAJ&pg=PA6 6–7]}} | {{harvnb|Maddocks|2008|pp=131–132}} | {{harvnb|Adhikari|Adhikari|2013|p=[https://books.google.com/books?id=lBO7BAAAQBAJ&pg=PA72 72]}}}}</ref>}} Sementara itu, himpunan bilangan asli terhadap operasi penambahan tidak merupakan grup karena hanya mempunyai bilangan bulat positif, sehingga tidak ada anggota invers.<ref>{{multiref | {{harvnb|McWeeny|2002|p=[https://books.google.com/books?id=x3fjIXY93TsC&pg=PA6 6]}} | {{harvnb|Kramer|Pippich|2017|p=[https://books.google.com/books?id=nvM-DwAAQBAJ&pg=PA49 49]}} }}</ref>
[[Teori grup]] mempelajari kealamian grup, yang memiliki teorema dasar seperti [[teorema dasar grup abelian hingga]] dan [[teorema Feit–Thompson]].<ref>{{multiref | {{harvnb|Tanton|2005|p=242}} | {{harvnb|Bhattacharya|Jain|Nagpaul|1994|p=[https://books.google.com/books?id=hiQ8e0b48swC&pg=PA141 141]}} | {{harvnb|Weisstein|2003|p=[https://books.google.com/books?id=D_XKBQAAQBAJ&pg=PA1020 1020]}} }}</ref> Teirema terakhir adalah langkah awal penting dalam salah satu pencapaian matematika terpenting pada abad ke-20. Pencapaian tersebut mebawa upaya kolaboratif, yang menerbitkan 10.000 jurnal kebanyakan di antara tahun 1960 dan 2004. Akibatnya, karya-karya tersebut melengkapi [[klasifikasi grup sederhana hingga]].<ref>{{multiref | {{harvnb|Elwes|2006}} | {{harvnb|Wilson|2009|p=2}} }}</ref>
=== Teori gelanggang dan teori lapangan ===
{{utama|Teori gelanggang|Lapangan (matematika)}}
Gelanggang adalah struktur aljabar dengan dua operasi yang kerjanya sama seperti operasi penambahan dan perkalian dari bilangan, serta dinamai dan dilambangkan dengan cara yang serupa pada umumnya. Gelanggang adalah [[grup komutatif]] terhadap operasi penambahan. Artinya penambahan dari gelanggang bersifat asosiatif, komutatif, serta memiliki anggota identitas dan invers. Perkaliannya bersifat asosiatif dan distributif terhadap operasi penambahan, dalam artian <math>a (b + c) = a b + a c</math> and <math>(b + c) a = b a + c a.</math> Lebih lanjut, perkalian bersifat asosiatif dan memiliki anggota identitas yang umumnya dilambangkan {{math|1}}.<ref>{{multiref|{{harvnb|Weisstein|2003|p=2579}}|{{harvnb|Maxwell|2009|pp=[https://books.google.com/books?id=yD0irRUE_u4C&pg=PA73 73–74]}}|{{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 2.3 Rings}}}}</ref>{{efn|Beberapa penulis tidak mensyaratkan keberadaan anggota identitas perkalian. Gelanggang tanpa identitas perkalian terkadang disebut{{not a typo|[[rng (aljabar)|rng]].}}<ref>{{harvnb|Silverman|2022|p=[https://books.google.com/books?id=PKFnEAAAQBAJ&pg=PA64 64]}}</ref>}} Perkalian tidak harus komutatif, karena kalau komutatif, maka [[Gelanggang komutatif|gelanggang itu juga komutatif]].<ref>{{harvnb|Geddes|Czapor|Labahn|2007|p=[https://books.google.com/books?id=9fOUwkkRxT4C&pg=PA24 24]}}</ref> [[Gelanggang bilangan bulat]] (<math>\Z</math>) adalah gelanggang komutatif paling sederhana.<ref>{{harvnb|Smith|2015|p=[https://books.google.com/books?id=MXu9CgAAQBAJ&pg=PA161 161]}}</ref>
[[Lapangan (matematika)|Lapangan]] adalah gelanggang komutatif sehingga {{tmath|1\ne 0}} dan masing-masing anggota tak nol memiliki [[invers perkalian]].<ref>{{multiref|{{harvnb|Geddes|Czapor|Labahn|2007|p=[https://books.google.com/books?id=9fOUwkkRxT4C&pg=PA24 24]}}|{{harvnb|Weisstein|2003|pp=1047, 2579}}|{{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 2.4 Fields}}}}</ref> Gelanggang bilangan bulat tidak membentuk suatu lapangan karena kekurangan invers perkalian. Sebagai contoh, invers perkalian dari <math>7</math> adalah {{nowrap|<math>\tfrac{1}{7}</math>,}} yang bukan merupakan bilangan bulat. [[Bilangan rasional]], [[bilangan real]], dan [[bilangan kompleks]] masing-masing membentuk lapangan dengan operasi penambahan dan perkalian.<ref>{{multiref|{{harvnb|Irving|2004|pp=77, 236}}|{{harvnb|Weisstein|2003|pp=1047, 2579}}|{{harvnb|Hohn|2013|pp=[https://books.google.com/books?id=9XlFu4XQ6nUC&pg=PA83 83–84]}}}}</ref>
[[Teori gelanggang]] mengkaji gelanggang, dan menjelajahi konsep seperti [[subgelanggang]], [[gelanggang kuosien]], [[gelanggang polinomial]], dan [[Ideal (teori gelanggang)|ideal]], serta juga teorema seperti [[teorema basis Hilbert]].<ref>{{multiref|{{harvnb|Serovajsky|2020|loc=§ Room 4B.5 Rings}}|{{harvnb|Kleiner|2007|p=[https://books.google.com/books?id=udj-1UuaOiIC&pg=PA63 63]}}|{{harvnb|Kline|1990|p=[https://books.google.com/books?id=8YaBuGcmLb0C&pg=PA1153 1153]}}}}</ref> Teori lapangan bersangkutan dengan lapangan, mempelajari [[ekstensi lapangan]], [[klosur aljabar]], dan [[lapangan hingga]].<ref>{{multiref|{{harvnb|Waerden|2003|pp=110–114, 231, 246}}|{{harvnb|Karpilovsky|1989|p=[https://books.google.com/books?id=-2WR0fw9gLMC&pg=PA45 45]}}|{{harvnb|Kleiner|2007|p=[https://books.google.com/books?id=udj-1UuaOiIC&pg=PA63 63]}}}}</ref> [[Teori Galois]] mempelajari kaitan antara teori lapangan dan teori grup, yang mengandalkan [[Teorema dasar teori Galois|teorema dasarnya]].<ref>{{multiref|{{harvnb|Lang|2005|pp=[https://books.google.com/books?id=Fge-BwqhqIYC&pg=PA261 261–262]}}|{{harvnb|Cox|2012|pp=[https://books.google.com/books?id=vBKrOch1AkYC&pg=PA161 161–162]}}}}</ref>
=== Teori interrelasi di antara struktur-struktur ===
[[File:Magma to group4.svg|thumb|class=skin-invert-image|alt=Diagram of relations between some algebraic structures|Diagram mengenai kaitan antara struktur aljabar. Sebagai contoh, bagian di atas kanan menunjukkan bahwa [[Magma (aljabar)|magma]] menjadi [[semigroup|semigrup]] jika operasinya bersifat asosiatif.]]
Selain grup, gelanggang, dan lapangan, terdapat banyak struktur aljabar lainnya yang dikaji dalam aljabar. Struktur aljabar tersebut meliputi [[Magma (aljabar)|magma]], [[semigroup|semigrup]], [[monoid]], [[grup abelian]], [[gelanggang komutatif]], [[Modul (matematika)|modul]], [[Lattice (order)|lattice]], [[ruang vektor]], [[aljabar atas lapangan]], serta [[aljabar asosiatif]] dan [[Aljabar non-asosiatif|non-asosiatif]]. Struktur aljabar tersebut berbeda satu sama lain dalam hal jenis objek yang dijelaskan dan syarat-syarat yang harus dipenuhi operasinya. Banyak struktur yang berkaitan dengan satu sama lain dalam hal tersebut dengan menambahkan beberapa syarat, sebuah struktur dasar yang dapat diubah menjadi struktur lebih lanjut.<ref name="auto9">{{multiref | {{harvnb|Pratt|2022|loc=Lead section, § 2. Abstract Algebra}} | {{harvnb|Merzlyakov|Shirshov|2020|loc=The Subject Matter of Algebra, Its Principal Branches and Its Connection with Other Branches of Mathematics.}} | {{harvnb|Bourbaki|1998|pp=[https://books.google.com/books?id=STS9aZ6F204C&pg=PA428 428–430, 446]}} }}</ref> Sebagai contoh, suatu magma menjadi suatu semigrup jika operasinya bersifat asosiatif.<ref>{{harvnb|Cooper|2011|p=[https://books.google.com/books?id=Fybzl6QB62gC&pg=PA60 60]}}</ref>
[[Homomorfisma]] adalah alat menguji tampilan struktur dengan membandingkan dua struktur aljabar.<ref>{{multiref | {{harvnb|Rowen|2006|p=[https://books.google.com/books?id=AhEPCgAAQBAJ&pg=PA12 12]}} | {{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 3.3 Birkhoff's Theorem}} | {{harvnb|Grätzer|2008|p=34}} }}</ref> Suatu homomorfisma adalah suatu fungsi yang dipetakan dari himpunan pendasar suatu struktur aljabar ke himpunan pendasar suatu struktur aljabar lainnya sehingga mempertahankan karakteristik struktural tertentu. Secara formal, jika dua buah struktur aljabar menggunakan operasi biner, yang ditulis dalam bentuk <math>\langle A, \circ \rangle</math> dan <math>\langle B, \star \rangle</math>, maka fungsi <math>h: A \to B</math> adalah homomorfisma apabila memenuhi syarat bahwa {{nowrap|<math>h(x \circ y) = h(x) \star h(y)</math>.}} Keberadaan homomorfisma memperlihatkan bahwa operasi <math>\star</math> pada struktur aljabar yang kedua memainkan peran yang sama seperti operasi <math>\circ</math> pada struktur aljabar yang pertama.<ref>{{multiref | {{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 3.3 Birkhoff's Theorem}} | {{harvnb|Rowen|2006|p=[https://books.google.com/books?id=AhEPCgAAQBAJ&pg=PA12 12]}} | {{harvnb|Gowers|Barrow-Green|Leader|2010|pp=[https://books.google.com/books?id=ZOfUsvemJDMC&pg=PA27 27–28]}} | {{harvnb|Adhikari|2016|pp=[https://books.google.com/books?id=MIAXDQAAQBAJ&pg=PA5 5–6]}} }}</ref> [[Isomorfisma]] adalah jenis homomorfisma khusus yang mengindikasikan tingkat kesamaan yang lebih tinggi di antara dua struktur aljabar. Suatu isomorfisma adalah homomorfisma [[Fungsi bijektif|bijektif]], yang berarti homomorfisma yang membangun kaitan korespondensi satu-satu di antara anggota dari dua buah struktur aljabar. Hal ini menyiratkan bahwa setiap anggota dari struktur aljabar pertama dipetakan ke anggota tunggal di dalam struktru aljabar kedua tanpa adanya sebarang anggota yang tidak dipetakan di dalam struktur aljabar kedua.<ref>{{multiref | {{harvnb|Neri|2019|pp=[https://books.google.com/books?id=NMOlDwAAQBAJ&pg=PA278 278–279]}} | {{harvnb|Ivanova|Smirnov|2012}} | {{harvnb|Deo|2018|p=[https://books.google.com/books?id=HjtRDwAAQBAJ&pg=PA295 295]}} | {{harvnb|Ono|2019|p=[https://books.google.com/books?id=SR2nDwAAQBAJ&pg=PA84 84]}}}}</ref>
[[File:Venn A subset B.svg|thumb|alt=Venn diagram of a set and its subset|[[Subaljabar]] membatasi operasinya ke subhimpunan dari himpunan pendasar struktur aljabar asalnya.]]
Alat perbandingan lainnya adalah kaitan antara struktur aljabar dan [[subaljabar]]<nowiki/>nya.<ref name="auto8">{{multiref | {{harvnb|Indurkhya|2013|pp=[https://books.google.com/books?id=foTrCAAAQBAJ&pg=PA217 217–218]}} | {{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 3.3 Birkhoff's Theorem}} | {{harvnb|Grätzer|2008|p=34}} }}</ref> Struktur aljabar dan subaljabarnya menggunakan operasi yang sama,{{efn|Menurut beberapa definisi, subaljabar juga dapat memiliki beberapa operasi.<ref name="auto6">{{harvnb|Indurkhya|2013|pp=[https://books.google.com/books?id=foTrCAAAQBAJ&pg=PA217 217–218]}}</ref>}} yang mengikuti aksioma yang sama. Perbedaannya adalah himpunan pendasar subaljabar adalah subhimpunan dari struktur aljabar.{{efn|Ini berarti semua anggota dari himpunan pertama juga merupakan anggota dari himpunan kedua, tetapi anggota dari himpunan kedua belum tentu ditemukan di dalam himpunan pertama.<ref>{{harvnb|Efimov|2014}}</ref>}} Semua operasi di dalam subaljabar memiliki syarat bahwa mereka bersifat [[Ketertutupan (matematika)|tertutup]] di dalam himpunan pendasarnya, yang berarti mereka hanya menghasilkan anggota yang juga merupakan himpunan pendasar itu.<ref name="auto8"/> Sebagai contoh, himpunan dari [[Paritas (matematika)|bilangan bulat genap]] bersama dengan operasi penambahan merupakan subaljabar dari himpunan bilangan bulat yang penuh bersama dengan operasi penambahan. Ini dikarenakan penjumlahan dari dua bilangan genap hasilnya tetap bilangan genap. Beda halnya dengan himpunan bilangan bulat ganjil bersama dengan operasi penambahan, yang bukan merupakan subaljabar, karena tidak ada sifat ketertutupan. Artinya, dua bilangan ganjil yang dijumlahkan menghasilkan bilangan genap, tetapi bilangan itu tidak ada pada subhimpunan tersebut.<ref name="auto6"/>
[[Aljabar universal]] mengkaji struktur aljabar yang umum, dalam artian tidak melibatkan anggota spesifik yang membangun himpunan pendasar dan meganggap operasi dengan lebih dari dua input, seperti [[operasi ternary]]. Aljabar universal menyediakan suatu kerangka supaya mempelajari struktur apakah yang menampilkan kesamaan struktur aljabar yang berbeda.<ref>{{multiref|{{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 3. Universal Algebra}}|{{harvnb|Cohn|2012|p=[https://books.google.com/books?id=6tbuCAAAQBAJ&pg=PR13 xiii]}}}}</ref>{{efn|Pemahaman yang sedikit berbeda mengenai aljabar universal adalah cabang ini mempelajari satu jenis struktur aljabar yang dikenal sebagai aljabar universal. Aljabar universal didefinisikan secara umum untuk menyertakan hampir semua struktur aljabar lainnya. Sebagai contoh, grup dan gelanggang merupakan jenis aljabar universal spesial.<ref>{{multiref | {{harvnb|Smirnov|2020}} | {{harvnb|Grätzer|2008|pp=7–8}} | {{harvnb|Bahturin|2013|p=[https://books.google.com/books?id=8RbvCAAAQBAJ&pg=PA346 346]}} }}</ref>}} Salah satu tampilan struktur-struktur trsebut tersebut melibatkan identitas the [[Identitas (matematika)#Logika dan aljabar universal|identitas]] yang benar di dalam struktur aljabar yang berbeda. Identitas yang dimaksud disini adalah persamaan [[Kuantifikasi universal|universal]] equation atau persamaan yang benar untuk semua anggota dari himpunan pendasar. Sebagai contoh, komutativitas merupakan persamaan universal yang menyatakan bahwa <math>a \circ b</math> identik dengan <math>b \circ a</math> untuk semua anggota.<ref>{{multiref|{{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 3.2 Equational Logic}}|{{harvnb|Mal’cev|1973|pp=210–211}}}}</ref> [[Varietas (aljabar universal)|Varietas]] adalah kelas dari semua struktur aljabar yang memenuhi identitas-identitas tertentu. Sebagai contoh, jika dua struktur aljabar memenuhi sifat komutativitas, maka mereka bagian dari varietas yang sama.<ref>{{multiref|{{harvnb|Mal’cev|1973|pp=210–211}}|{{harvnb|Cohn|2012|p=[https://books.google.com/books?id=6tbuCAAAQBAJ&pg=PA162 162]}}|{{harvnb|Rosen|2012|p=[https://books.google.com/books?id=-oVvEAAAQBAJ&pg=PA779 779]}}|{{harvnb|Hazewinkel|1994|p=[https://books.google.com/books?id=PE1a-EIG22kC&pg=PA406 406]}}}}</ref>{{efn|Tidak setiap jenis struktur aljabar membentuk varietas. Sebagai contoh, grup dan gelanggang membentuk varietas, sedangkan lapangan tidak.<ref>{{harvnb|Cohn|1995|p=[https://books.google.com/books?id=u-4ADgUgpSMC&pg=PA8 8]}}</ref>}}{{efn|Selain identitas, aljabar universal juga tertarik dalam tampilan struktur yang dikaitkan dengan [[quasi-identity|''quasi-identities'']]. ''Quasi-identity'' berarti identitas yang hanya cukup ada menurut syarat-syarat tertentu (yang membentuk [[klause Horn]]<ref>{{harvnb|Mal’cev|1973|p=211}}</ref>). Identitas ini merupakan bentuk umum, yang berarti setiap identitas adalah ''quasi-identity'' tetapi tidak setiap ''quasi-identity'' adalah identitas. ''[[quasivariety]]'' adalah kelas dari semua struktur aljabar yang memenuhi ''quasi-identities'' tertentu.<ref>{{multiref | {{harvnb|Mal’cev|1973|pp=210–211}} | {{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 3. Universal Algebra}} | {{harvnb|Artamonov|2003|p=[https://books.google.com/books?id=sLDGY4Hk8V0C&pg=PA873 873]}} }}</ref>}}
[[Teori kategori]] menguji cara objek matematika berkaitan satu dengan yang lain menggunakan konsep [[Kategori (matematika)|kategori]]. Kategori disini berarti suatu koleksi objek bersamaan dengan koleksi [[morfisma]] atau "panah" di antara objek-objek tersebut. Kedua koleksi tersebut harus memenuhi syarat-syarat tertentu. Sebagai contoh, morfisma dapat digabung, atau ''dikomposisi''. Maksudnya adalah jika terdapat suatu morfisma dari objek <math>a</math> ke objek <math>b</math>, dan terdapat suatu morfisma yang lain dari objek <math>b</math> ke objek <math>c</math>, maka pastinya ada satu morfisma juga dari objek <math>a</math> ke objek <math>c</math>. Komposisi dari morfisma tersebut dharus asosiatif, dan pasti ada "mordisma identitas" untuk tiap objek.<ref>{{multiref|{{harvnb|Weisstein|2003|pp=347–348}}|{{harvnb|Gowers|Barrow-Green|Leader|2010|pp=[https://books.google.com/books?id=ZOfUsvemJDMC&pg=PA6 6, 165]}}|{{harvnb|Cheng|2023|p=102}}}}</ref> Kategori sering kali digunakan dalam matematika kontemporer karena menyediakan suatu kerangka satuan yang dapat menjelaskan dan menganalisis banyak konsep matematika dasar. Sebagai contoh, himpunan dapat dijelaskan dengan [[kategori himpunan]], dan sebarang grup dapat dipandang sebagai morfisma dari suatu kategori yang hanya satu objek.<ref>{{multiref|{{harvnb|Gowers|Barrow-Green|Leader|2010|pp=[https://books.google.com/books?id=ZOfUsvemJDMC&pg=PA6 6, 165]}}|{{harvnb|Borceux|1994|p=[https://books.google.com/books?id=YfzImoopB-IC&pg=PA20 20]}}|{{harvnb|Laos|1998|p=[https://books.google.com/books?id=1r7dSn4ZqogC&pg=PA100 100]}}|{{harvnb|Cheng|2023|pp=128–131}}}}</ref>
== Sejarah ==
[[Berkas:Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg|al=Rhind Papyrus|jmpl|[[Papirus Matematika Rhind]] adalah salah satu tulisan tertua yang membahas permasalahan aljabar.]]
Awal mula aljabar berasal dari konsepnya yang bertujuan memecahkan permasalahan matematika yang melibatkan perhitungan aritmetika dan kuantitas yang tidak diketahui. Pengembangan tersebut terjadi di [[Babylonia|Babilonia]], [[Ancient Egypt|Mesir]], [[Yunani Kuno|Yunani]], [[Tiongkok Kuno|Tiongkok]], dan [[India Kuno|India]]. Salah satu catatan tertua mengenai permasalahan aljabar dapat ditemukan dari [[Mesir Kuno]], [[Papirus Matematika Rhind]], yang ditulis sekitar 1650 SM.{{efn|Mengenai awal mulanya papirus ini dibuat masih diperdebatkan, dan beberapa sejarawan menyarankannya di sekitar 1550 SM.<ref>{{multiref | {{harvnb|Corry|2024|loc=§ Problem Solving in Egypt and Babylon}} | {{harvnb|Brezinski|Meurant|Redivo-Zaglia|2022|p=[https://books.google.com/books?id=4IGhEAAAQBAJ&pg=PA34 34]}} }}</ref>}} Papirus ini mendiskusikan solusi [[persamaan linear]], yang diekspresikan ke dalam bentuk permasalahan seperti "Sebuah kuantitas; kuantitas keempatnya ditambahkn ke dia. Hasilnya lima belas. Apa itu kuantitas?" [[Lauh tanah liat]] orang Babilonia yang berasal dari waktu yang sama menjelaskan metode menyelesaikan persamaan linear dan [[Persamaan kuadrat|persamaan polinomial kuadratik]], seperti metode [[menyelesaikan bentuk kuadrat]].<ref>{{multiref|{{harvnb|Tanton|2005|p=9}}|{{harvnb|Kvasz|2006|p=290}}|{{harvnb|Corry|2024|loc=§ Problem Solving in Egypt and Babylon}}}}</ref>
Banyak wawasan tersebut dapat ditemukan dari Yunani Kuno. Dimulai pada abad ke-6 SM, ketertarikan mereka adalah geometri ketimbang aljabar, tetapi mereka menggunakan metode aljabar untuk memecahkan permasalahan geometri. Sebagai contoh, mereka mempelajari bangunan geometri selagi menganggap panjang dan luas bangunan tersebut sebagai kuantitas tidak diketahui yang akan dinyatakan kemudian, seperto yang disederhanakan dalam perumusan [[Pythagoras]] mengenai metode [[selisih dua bilangan kuadrat]] dan kemudian di dalam [[Elemen Euklides|''Elemen'' Euklides]].<ref>{{multiref|{{harvnb|Tanton|2005|p=9}}|{{harvnb|Kvasz|2006|p=290}}|{{harvnb|Corry|2024|loc=§ The Pythagoreans and Euclid}}}}</ref> Pada abad ke-3 SM, [[Diophantus]] menyediakan cara yang lebih detail mengenai menyelesaikan solusi persamaan aljabar dalam kumpulan bukunya yang berjudul ''[[Arithmetica]]''. Diophantus adalah orang pertama yang bereksperimen dengan notasi simbol untuk mengekpresikan polinomial.<ref>{{multiref|{{harvnb|Merzlyakov|Shirshov|2020|loc=§ Historical Survey}}|{{harvnb|Sialaros|2018|p=[https://books.google.com/books?id=2PZYDwAAQBAJ&pg=PT55 55]}}|{{harvnb|Corry|2024|loc=§ Diophantus}}}}</ref> Karya Diophantus berdampak pada pengembahgan aljabar di Arab, dengan banyak metode Diophantus mencerminkan konsep dan teknik yang digunakan dalamm aljabar Arab pada abad pertengahan.<ref>{{multiref|{{harvnb|Hettle|2015|pp=139–141, 160–161}}|{{harvnb|Christianidis|Megremi|2019|pp=16–17}}}}</ref> Di Tiongkok Kuno, ''[[Jiuzhang Suanshu]]'', sebuah buku yang disusun di anatara abad ke-10 SM hingga abad ke-2 M,<ref>{{harvnb|Burgin|2022|p=[https://books.google.com/books?id=rWF2EAAAQBAJ&pg=PA10 10]}}</ref> membahas berbagai teknik untuk memecahkan persamaan alajbar, di antaranya kegunaan konstruksi berupa matriks.<ref>{{harvnb|Higgins|2015|p=[https://books.google.com/books?id=QANiCgAAQBAJ&pg=PA89 89]}}</ref>
Tidak ada persetujuan mengenai apakah pengembangan-pengembangan tersebut merupakan bagian aljabar atau hanya pendahulu sebelum awal mulanya konsep aljabar. Pengembangan tersebut menawarkan solusi permasalahan aljabar, tetapi tidak menggambarkannya dalam bentuk pemahaman umum dan abstrak; alih-alih hanya bertujuan pada kasus-kasus spesifik serta penerapan.<ref>{{multiref|{{harvnb|Kvasz|2006|pp=290–291}}|{{harvnb|Sialaros|2018|p=[https://books.google.com/books?id=2PZYDwAAQBAJ&pg=PT55 55]}}|{{harvnb|Boyer|Merzbach|2011|p=[https://books.google.com/books?id=bR9HAAAAQBAJ&pg=PA161 161]}}|{{harvnb|Derbyshire|2006|p=[https://books.google.com/books?id=mLqaAgAAQBAJ&pg=PT39 31]}}}}</ref> Hal tersebut berubah ketika matematikawan Persia [[al-Khwarizmi]]{{efn|Beberapa sejawaran menganggap al-Khawarzmi sebagai "bapa aljabar", tetapi julukan itu dipakai sejawaran lain kepada Diophantus.<ref>{{multiref | {{harvnb|Boyer|Merzbach|2011|p=[https://books.google.com/books?id=bR9HAAAAQBAJ&pg=PA161 161]}} | {{harvnb|Derbyshire|2006|p=[https://books.google.com/books?id=mLqaAgAAQBAJ&pg=PA31 31]}} }}</ref> }} menerbitkan karyanya [[Al-Jabr|''Al-jabr'']] pada 825 SM, yang pertama kali menyajikan perlakuan detail mengenai metode umum yang dapat memanipulasi persamaan linear dan persamaan kuadrat dengan "mengurangi" dan "menyeimbangkan" kedua ruas persamaan.<ref>{{multiref|{{harvnb|Tanton|2005|p=10}}|{{harvnb|Kvasz|2006|pp=291–293}}|{{harvnb|Merzlyakov|Shirshov|2020|loc=§ Historical Survey}}}}</ref> Beberapa kontribusi yang berdampak pada aljabar berasal dari matematikawan Arab [[Thābit ibn Qurra]] pada abad ke-9 dan matematikawan Persia [[Omar Khayyam]] pada abad ke-11 dan ke-12.<ref>{{multiref|{{harvnb|Waerden|2013|pp=3, 15–16, 24–25}}|{{harvnb|Jenkins|2010|p=[https://books.google.com/books?id=giEkCQAAQBAJ&pg=PA82 82]}}|{{harvnb|Pickover|2009|p=[https://books.google.com/books?id=JrslMKTgSZwC&pg=PA90 90]}}}}</ref>
Di India, [[Brahmagupta]] mempelajari bagaimana cara memecahkan persamaan kuadrat beserta persamasan dengan beberap variabel pada abad ke-7 SM. Di antara penemuannya Brahmagupta adalah orang yang menggunakan angka nol dan bilangan negatif di dalam persamaan aljabar.<ref>{{multiref|{{harvnb|Tanton|2005|pp=9–10}}|{{harvnb|Corry|2024|loc=§ The Equation in India and China}}}}</ref> Matematikawan India [[Mahāvīra]] pada abad ke-9 dan [[Bhāskara II]] pada abad ke-12 kemudian memperbaiki metode dan konsep Brahmagupta.<ref>{{multiref|{{harvnb|Seshadri|2010|p=[https://books.google.com/books?id=w_JdDwAAQBAJ&pg=PA156 156]}}|{{harvnb|Emch|Sridharan|Srinivas|2005|p=[https://books.google.com/books?id=qfJdDwAAQBAJ&pg=PA20 20]}}}}</ref> Pada tahun 1247, the matematikawan Tiongkok [[Qin Jiushao]] menulis [[Risalah Matematika dalam Sembilan Bab|Shushu Jiuzhang]], yang menyertakan [[Metode Horner|sebuah algoritma]] untuk [[Evaluasi polinomial|evaluasi polinomial secara numerik]], di antaranya polinomial dengan derajat yang lebih tinggi.<ref>{{multiref|{{harvnb|Smorynski|2007|p=[https://books.google.com/books?id=qY657eFq7UgC&pg=PA137 137]}}|{{harvnb|Zwillinger|2002|p=[https://books.google.com/books?id=gE_MBQAAQBAJ&pg=PA812 812]}}}}</ref>
{{multiple image
| perrow = 2
| total_width = 350
| image1 = Francois Viete.jpeg
| alt1 = Drawing of François Viète
| image2 = Frans Hals - Portret van René Descartes (cropped).jpg
| alt2 = Painting of René Descartes
| footer = [[François Viète]] (kiri) dan [[René Descartes]] (kanan) adalah penemu notasi simbol matematika untuk mengekpresikan persamaan secara abstrak dan singkat.
| align = left
}}
Ide dan teknik al-Kwarizmi dibawa oleh matematikawan Italia [[Fibonacci]] ke Eropa dalam buku-bukunya, terutama ''[[Liber Abaci]]''.<ref>{{multiref | {{harvnb|Waerden|2013|pp=32–35}} | {{harvnb|Tanton|2005|p=10}} | {{harvnb|Kvasz|2006|p=293}} }}</ref> Pada tahun 1545, polimatik Italia [[Gerolamo Cardano]] menerbitkan bukunya berjudul ''[[Ars Magna (buku Cardano)|Ars Magna]]'', yang meliputi banyak topik dalam aljabar, membahas [[bilangan imajiner]] dan juga yang pertama kali menyajikan metode umum untuk memecahkan [[persamaan kubik]] dan [[persamaan kuartik]].<ref>{{multiref | {{harvnb|Tanton|2005|p=10}} | {{harvnb|Kvasz|2006|p=293}} | {{harvnb|Corry|2024|loc=§ Cardano and the Solving of Cubic and Quartic Equations}} | {{harvnb|Miyake|2002|p=[https://books.google.com/books?id=G0P2BwAAQBAJ&pg=PA268 268]}} }}</ref> Pada abad ke-16 dan ke-17, matematikawan Prancis [[François Viète]] dan [[René Descartes]] memperkenalkan huruf dan simbol untuk melambangkan variabel dan operasi, yang memungkinkan untuk mengekpresikan persamaan secara abstrak dan singkat. Matematikawan pendahulu masih mengandalkan penjelasan secara verbal untuk permasalahan dan solusi.<ref>{{multiref | {{harvnb|Tanton|2005|p=10}} | {{harvnb|Kvasz|2006|pp=291–292, 297–298, 302}} | {{harvnb|Merzlyakov|Shirshov|2020|loc=§ Historical Survey}} | {{harvnb|Corry|2024|loc=§ Viète and the Formal Equation, § Analytic Geometry}} }}</ref> Beberapa sejarawan mengamati pengembangan ini sebagai kunci utama dalam sejarah aljabar, sekaligus menganggap sebelum adanya ide huruf dan simbol tersebut sebagai prasejarah aljabar karena kurangnya kealamian abstrak yang berdasarkan manipulasi simbolik.<ref>{{multiref | {{harvnb|Hazewinkel|1994|p=[https://books.google.com/books?id=PE1a-EIG22kC&pg=PA73 73]}} | {{harvnb|Merzlyakov|Shirshov|2020|loc=§ Historical Survey}} }}</ref>
Pada abad ke-17 dan ke-18, banyak matematikawan mencoba mencari penyelesaian umum untuk polinomial dengan derajat lima dan yang lebih tinggi, tetapi semuanya gagal.<ref name="auto3">{{multiref | {{harvnb|Tanton|2005|p=10}} | {{harvnb|Merzlyakov|Shirshov|2020|loc=§ Historical Survey}} | {{harvnb|Corry|2024|loc=§ Impasse with Radical Methods}} }}</ref> Pada akhir abad ke-18, matematikawan Jerman [[Carl Friedrich Gauss]] membuktikan [[teorema dasar aljabar]], yang menjelaskan keberadaan [[Akar fungsi|akar]] polinomial dengan sebarang derajat tanpa menyediakan solusi umum.<ref name="auto7"/> Pada awal abad ke-19, matematikawan Italia [[Paolo Ruffini]] dan matematikawan Norwegia [[Niels Henrik Abel]] [[Teorema Abel–Ruffini|dapat menunjukkan]] bahwa tidak ada solusi umum untuk polinomial dengan derajat lima atau yang lebih tinggi.<ref name="auto3"/> Sebagai balasan sekaligus setelah penemuan dari kedua matematikawan itu, matematikawan Prancis [[Évariste Galois]] mengembangkan teori yang dikenal sebagai [[teori Galois]], yang menawarkan analisis yang lebih dalam mengenai solusi polinomial selagi juga menyertakan dasar-dasar [[teori grup]].<ref name="auto2"/> Matematikawan kemudian menyadari keterkaitan teori grup dengan cabang lain dan menerapkannya ke dalam kedisiplinan cabang matematika seperti geometri dan teori bilangan.<ref>{{multiref | {{harvnb|Corry|2024|loc=§ Applications of Group Theory}} | {{harvnb|Bueno|French|2018|pp=[https://books.google.com/books?id=kmZaDwAAQBAJ&pg=PA73 73–75]}} }}</ref>
Dimulai pada pertengahan abad ke-19, ketertarikan dalam aljabar berubah dari kajian polinomial yang dikaitkan dengan aljabar elementer yang mengacu pada pertanyaan lebhi umum menjadi struktur aljabar. Hal ini menandakan kehadiran [[aljabar abstrak]]. Pendekatan ini mengkaji basis aksiomatik mengenai operasi aljabar sebarang.<ref>{{multiref | {{harvnb|Merzlyakov|Shirshov|2020|loc=§ Historical Survey}} | {{harvnb|Tanton|2005|p=10}} | {{harvnb|Corry|2024|loc=§ Structural Algebra}} | {{harvnb|Hazewinkel|1994|pp=[https://books.google.com/books?id=PE1a-EIG22kC&pg=PA73 73–74]}} }}</ref> Penemuan sistem aljabar baru berdasarkan operasi yang berbeda dan anggota menyertai pengembangan tersebut, seperti [[aljabar Boole]], [[aljabar vektor]], dan [[aljabar matriks]].<ref>{{multiref | {{harvnb|Merzlyakov|Shirshov|2020|loc=§ Historical Survey}} | {{harvnb|Tanton|2005|p=10}} | {{harvnb|Corry|2024|loc=§ Matrices, § Quaternions and Vectors}} }}</ref> Pengembangan awal yang berdampak dalam aljabar abstrak dibuat oleh matematikawan Jerman [[David Hilbert]], [[Ernst Steinitz]], dan [[Emmy Noether]] serta juga matematikawan Austria [[Emil Artin]]. Mereka meneliti bentuk struktur aljabar yang berbeda dan mengaktegorikannya berdasarkan struktur aljabar di bawah aksioma menjadi grup, gelanggang, dan lapangan.<ref>{{multiref | {{harvnb|Merzlyakov|Shirshov|2020|loc=§ Historical Survey}} | {{harvnb|Corry|2024|loc=§ Hilbert and Steinitz, § Noether and Artin}} | {{harvnb|Hazewinkel|1994|pp=[https://books.google.com/books?id=PE1a-EIG22kC&pg=PA73 73–74]}} }}</ref>
[[File:Garrett Birkhoff.jpeg|thumb|alt=Foto Garrett Birkhoff|[[Garrett Birkhoff]] mengembangkan banyak konsep dasar mengenai aljabar universal.|upright=0.8]]
Gagasan pendekatan yang lebih umum, yang dikaitkan dengan aljabar universal dirancang oleh matematikawan Inggris [[Alfred North Whitehead]] dalam bukunya ''A Treatise on Universal Algebra'' pada tahun 1898. Dimulai pada tahun 1930-an, matematikawan Amerika Serikat [[Garrett Birkhoff]] memperluas gagasan tersebut dan mengembangkan banyak konsep dasar bidang tersebut.<ref>{{multiref | {{harvnb|Grätzer|2008|p=[https://books.google.com/books?id=8lNkXPJas4wC&pg=PR7 vii]}} | {{harvnb|Chang|Keisler|1990|p=[https://books.google.com/books?id=uiHq0EmaFp0C&pg=PA603 603]}} | {{harvnb|Knoebel|2011|p=[https://books.google.com/books?id=VWS_sgO2uvgC&pg=PA5 5]}} | {{harvnb|Hazewinkel|1994|pp=[https://books.google.com/books?id=PE1a-EIG22kC&pg=PA74 74–75]}} }}</ref> Penemuan aljabar universal mengarah pada kehadiran berbagai cabang baru yang berfokus pada aljabarisasi matematika{{em dash}}maksudnya penerapan metode aljabar ke cabang matematika lain. Aljabar topologis muncul pada awal abad ke-20 yang mempelajari struktur aljabar seperti [[Grup topologi|grup topologis]] dan [[grup Lie]].<ref>{{multiref | {{harvnb|Hazewinkel|1994|pp=[https://books.google.com/books?id=PE1a-EIG22kC&pg=PA74 74–75]}} | {{harvnb|Kleiner|2007|p=[https://books.google.com/books?id=udj-1UuaOiIC&pg=PA100 100]}} | {{harvnb|Carlson|2024|loc=§ History of topology}} }}</ref> Pada tahun 1940-an dan 1950-an, [[aljabar homologi]] muncul, yang menggunakan teknik aljabar untuk mempelajari [[Homologi (matematika)|homologi]].<ref>{{multiref | {{harvnb|Hazewinkel|1994|pp=[https://books.google.com/books?id=PE1a-EIG22kC&pg=PA74 74–75]}} | {{harvnb|Weibel|1995|p=[https://books.google.com/books?id=UtIhAwAAQBAJ&pg=PR11 xi, 4]}} }}</ref> Di waktu yang sama, [[teori kategori]] dikembangkan dan memainkan peran penting dalam [[fondasi matematika]].<ref>{{multiref | {{harvnb|Krömer|2007|p=[https://books.google.com/books?id=41bHxtHxjUAC&pg=PA61 61]}} | {{harvnb|Laos|1998|p=[https://books.google.com/books?id=1r7dSn4ZqogC&pg=PA100 100]}} }}</ref> Beberapa pengembangannya adalah formulasi [[teori model]] dan kajian [[aljabar bebas]].<ref>{{multiref | {{harvnb|Hazewinkel|1994|pp=[https://books.google.com/books?id=PE1a-EIG22kC&pg=PA74 74–75]}} | {{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 6. Free Algebras}} }}</ref>
== Aplikasi ==
{{see also|Matematika terapan}}
Aljabar memberikan banyak dampak di dalam matematika dan penerapannya di bidang lain.<ref>{{multiref | {{harvnb|Houston|2004|p=[https://books.google.com/books?id=jsWL_XJt-dMC&pg=PA319 319]}} | {{harvnb|Neri|2019|p=[https://books.google.com/books?id=NMOlDwAAQBAJ&pg=PR12 xii]}} | {{harvnb|Lidl|Pilz|1997|pp=[https://books.google.com/books?id=_49AmSWo4_AC&pg=PR7 vii–viii]}} }}</ref> Aljabarisasi matematika (''algebraization of mathematics'') berarti proses mengaplikasikan metode dan prinsip-prinsip aljabar ke [[cabang matematika]] yang lain, seperti [[geometri]], [[topologi]], [[teori bilangan]], dan [[kalkulus]]. Penerapan tersebut menggunakan simbol berupa variabel untuk mengekpresikan penjelasan secara matematis pada tingkat yang lebih umum, yang memungkinkan matematikawan mengembangkan model secara formal yang menjelaskan bagaimana cara objek-objek berinteraksi dan berkaitan satu sama lain.<ref>{{multiref | {{harvnb|Kleiner|2007|p=[https://books.google.com/books?id=udj-1UuaOiIC&pg=PA100 100]}} | {{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 5. Algebraization of Mathematics}} | {{harvnb|Maddocks|2008|p=130}} | {{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 5. Algebraization of Mathematics}} | {{harvnb|Mancosu|1999|pp=[https://books.google.com/books?id=60qaEePdqcoC&pg=PA84 84–85]}} }}</ref>
[[File:Sphere Quadric.png|thumb|left|alt=Rendered image of a sphere|Persamaan aljabar <math>x^2 + y^2 + z^2 = 1</math> menggambarkan [[Bola (geometri)|bola]] berjari-jari 1 di [[Titik awal (matematika)|titik awal]].]]
Salah satu penerapan aljabar ditemukan dalam geometri, yang menggunakan pernyataan aljabar untuk menjelaskan gambaran geometris. Sebagai contoh, persamaan <math>y = 3x - 7</math> menggambarkan suatu garis di dalam ruang berdimensi dua, sedangkan persamaan <math>x^2 + y^2 + z^2 = 1</math> menggambarkan [[Bola (geometri)|bola]] dalam ruang berdimensi tiga. Beberapa cabang minat khusus [[geometri aljabar]] adalah [[varietas aljabar]],{{efn|Varietas aljabar mengkaji di dalam geometri berbeda dengan varietas lebih umum yang dikaji di dalam aljabar universal.<ref>{{multiref | {{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 1.4 Cartesian geometry, § 3. Universal Algebra}} | {{harvnb|Danilov|2006|p=[https://books.google.com/books?id=-QMWR-x66XUC&pg=PA174 174]}} }}</ref>}} yang merupakan solusi untuk [[sistem persamaan polinomial]] yang dapat digunakan untuk menjelaskan gambaran geometris yang lebih kompleks.<ref>{{multiref | {{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 5.1 Algebraic Geometry}} | {{harvnb|Danilov|2006|pp=[https://books.google.com/books?id=-QMWR-x66XUC&pg=PA172 172, 174]}} }}</ref> Selain itu, penalaran aljabar dapat memecahkan permasalashan geometris. Sebagai contoh, seseorang dapat menentukan apakah dan dimanakah garis yang dinyatakan sebagai <math>y = x + 1</math> berpotongan dengan lingkaran yang dinyatakan sebagai <math>x^2 + y^2 = 25</math> dengan memecahkan sistem persamaan dari kedua persamaan tersebut.<ref>{{harvnb|Vince|2007|p=[https://books.google.com/books?id=B574tQbP6WcC&pg=PA133 133]}}</ref> Topologi mengkaji sifat-sifat bangunan geometris atau [[ruang topologis]] yang dipertahankan di bawah operasi [[deformasi kontinu]]. [[Topologi aljabar]] mengandalkan teori-teori aljabar seperti [[teori grup]] untuk mengklasifikasi ruang-ruang topologis. Sebagai contoh, [[grup homotopi]] mengklasifikasi ruang-ruang topologis berdasarkan keberadaan [[Loop (topologi)|loop]] atau [[Lubang#Dalam matematika|lubang]] di dalamnya.<ref>{{multiref | {{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 5.3 Algebraic Topology}} | {{harvnb|Rabadan|Blumberg|2019|pp=[https://books.google.com/books?id=2967DwAAQBAJ&pg=PA49 49–50]}} | {{harvnb|Nakahara|2018|p=[https://books.google.com/books?id=p2C1DwAAQBAJ&pg=PA121 121]}} | {{harvnb|Weisstein|2003|pp=52–53}} }}</ref>
Teori bilangan melibatkan sifat-sifat dan hubungan antara bilangan bulat. [[Teori bilangan aljabar]] applies menerapkan metode dan prinsip aljabar ke cabang teori bilangan. Contoh-contohnya berupa penggunaan ekspresi aljabar untuk menjelaskan hukum yang umum seperti [[Teorema Terakhir Fermat]], dan pengunaan struktur aljabar untuk menganalisis perilaku bilangan seperti [[gelanggang bilangan bulat]].<ref>{{multiref|{{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 5.2 Algebraic Number Theory}}|{{harvnb|Jarvis|2014|p=[https://books.google.com/books?id=0j0qBAAAQBAJ&pg=PA1 1]}}|{{harvnb|Viterbo|Hong|2011|p=[https://books.google.com/books?id=d89QRR24jbMC&pg=PA127 127]}}}}</ref> Kaitan cabang lainnya adalah [[kombinatorik]], yang menggunakan teknik aljabar untuk menyelesaikan permasalahan yang berhubungan dengan pencacahan, penyusunan, dan kombinasi dari objek-objek yang diskret. Contohnya seperti [[kombinatorik aljabar]] yang merupakan penerapan teori grup untuk menganalisis [[Graf (matematika)|graf]] dan simetri.<ref>{{multiref|{{harvnb|Gowers|Barrow-Green|Leader|2010|pp=[https://books.google.com/books?id=ZOfUsvemJDMC&pg=PA550 550, 561]}}|{{harvnb|Godsil|2017|p=[https://books.google.com/books?id=hLs6DwAAQBAJ&pg=PR8 viii]}}|{{harvnb|Betten|Kohnert|Laue|Wassermann|2013|p=[https://books.google.com/books?id=G1TmCAAAQBAJ&pg=PP9 ix]}}}}</ref> Pemahaman aljabar yang relevan dengan kalkulus, yang menggunakan ekrepsi matematika untuk menguji [[laju perubahan]] dan [[Integral|akumulasi]]. Kalkulus mengandalkan aljabar, contohnya seperti memahami bagaimana ekspresi-ekspresinya dapat diubah dan variabel mana yang akan dimainkan.<ref>{{multiref|{{harvnb|Kilty|McAllister|2018|pp=x, 347, 589}}|{{harvnb|Bressoud|2021|p=[https://books.google.com/books?id=GkgHEAAAQBAJ&pg=PA64 64]}}}}</ref> [[Logika aljabar]] menggunakan metode aljabar untuk menjelaskan dan menganalisis struktur dan pola yang mendasari [[Penalaran logis|penalaran secara logika]],<ref>{{multiref|{{harvnb|Halmos|1956|p=363}}|{{harvnb|Burris|Legris|2021|loc=§ 1. Introduction}}}}</ref> menjelajahi struktur matematika yang berkaitan dan penerapannya terhadap permasalahan logika yang konkret.<ref>{{harvnb|Andréka|Németi|Sain|2001|pp=[https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-94-017-0452-6_3 133–134]}}</ref> Logika lajabar juga mencakup kajian [[aljabar Boole]] untuk menjelaskan [[logika proporsisional]]<ref>{{multiref|{{harvnb|Andréka|Madarász|Németi|2020|loc=§ Concrete Algebraic Logic}}|{{harvnb|Pratt|2022|loc=§ 5.4 Algebraic Logic}}|{{harvnb|Plotkin|2012|pp=[https://books.google.com/books?id=-v3xCAAAQBAJ&pg=PA155 155–156]}}|{{harvnb|Jansana|2022|loc=Lead section}}}}</ref> serta formulasi dan analisis struktur aljabar yang korespodensi dengan [[Logika#Sistem logika|sistem logika]] yang lebih kompleks.<ref>{{multiref|{{harvnb|Andréka|Madarász|Németi|2020|loc=§ Abstract Algebraic Logic}}|{{harvnb|Jansana|2022|loc=§ 4. Algebras}}}}</ref>
[[File:Rubik's cube.svg|thumb|upright=0.8|alt=Picture of Rubik's cube|Sisi dari [[kubus Rubik]] dapat diputar, yang dapat mengubah susunan ''patch'' yang berwarna. Permutasi yang dihasilkan membentuk suatu grup yang dikenal sebagai [[grup Kubus Rubik]].<ref>{{harvnb|Joyner|2008|p=92}}</ref>]]
Metode aljabar sering kali digunakan di dalam cabang lain, seperti [[ilmu alam]]. Sebagai contoh, metode aljabar digunakan untuk mengekspresikan [[Hukum ilmiah|hukum-hukum ilmiah]] dan menyelesaikan permasalahan di dalam [[fisika]], [[kimia]], dan [[biologi]].<ref>{{multiref | {{harvnb|Houston|2004|p=[https://books.google.com/books?id=jsWL_XJt-dMC&pg=PA319 319]}} | {{harvnb|Neri|2019|p=[https://books.google.com/books?id=NMOlDwAAQBAJ&pg=PR12 xii]}} | {{harvnb|Anton|Rorres|2010|p=[https://books.google.com/books?id=1PJ-WHepeBsC&pg=PA327 327]}} }}</ref> Penerapan yang mirip juga ditemukan di dalam cabang [[ekonomi]], [[geografi]], [[rekayasa]] (yaitu [[elektronik]] dan [[robotik]]), serta [[ilmu komputer]] untuk mengekspresikan kaitan, menyelesaikan permasalashan, dan memodelkan sistem.<ref>{{multiref | {{harvnb|Neri|2019|p=[https://books.google.com/books?id=NMOlDwAAQBAJ&pg=PR12 xii]}} | {{harvnb|Aleskerov|Ersel|Piontkovski|2011|pp=[https://books.google.com/books?id=ipcSD8ZGB8cC&pg=PA1 1–9]}} | {{harvnb|Straffin|1980|p=[https://www.jstor.org/stable/2689388 269]}} | {{harvnb|Menini|Oystaeyen|2017|p=[https://books.google.com/books?id=3mlQDwAAQBAJ&pg=PR5 v]}} | {{harvnb|Lovett|2015|p=[https://books.google.com/books?id=jRUqCgAAQBAJ&pg=PR9 ix]}} | {{harvnb|Lidl|Pilz|1997|pp=[https://books.google.com/books?id=_49AmSWo4_AC&pg=PR7 vii–viii]}} }}</ref> Aljabar lienar memainkan peran penting di dalam [[kecerdasan buatan]] dan [[machine learning]], contohnya dengan memungkinkan proses dan analisis secara efisien mengenai [[dataset]] yang cukup besar.<ref>{{multiref | {{harvnb|Wheeler|2023|p=[https://books.google.com/books?id=IqQIEQAAQBAJ&pg=PA29 29, 36–37]}} | {{harvnb|Gallier|Quaintance|2020|pp=[https://books.google.com/books?id=jWLcDwAAQBAJ&pg=PA1 1–2]}} }}</ref> Berbagai cabang yang mengandalkan struktur aljabar juga dipelajari oleh aljabar abstrak. Sebagai contoh, [[krsitalografi]] dan [[mekanika kuantum]] membuat pengunaan teori grup yang ekstensif,<ref>{{multiref | {{harvnb|Klimov|2014|p=[https://books.google.com/books?id=DZK3DwAAQBAJ&pg=PR9 ix]}} | {{harvnb|Bengtsson|Życzkowski|2017|pp=313–353}} }}</ref> yang juga digunakan untuk mengkaji teka-teki seperti [[Sudoku]] dan [[kubus Rubik]],<ref>{{harvnb|Terras|2019|pp=63–64, 142}}</ref> serta [[Matematika melipat kertas|origami]].<ref>{{harvnb|Hull|2021|p=[https://books.google.com/books?id=LdX7DwAAQBAJ&pg=PA180 180]}}</ref> [[Teori kode|Teori pengodean]] dan [[Kriptografi|kriptologi]] mengandalkan aljabar abstrak untuk memecahkan permasalahan yang berkaitan dengan [[transmisi data]], seperti menghindari efek [[derau]] dan menjaga [[keamanan data]].<ref>{{multiref | {{harvnb|Lidl|Pilz|1997|pp=183–184, 239–240}} | {{harvnb|Carstensen|Fine|Rosenberger|2011|pp=[https://books.google.com/books?id=Xo6iSxRfXz0C&pg=PA326 326–327]}} }}</ref>
== Pendidikan ==
{{See also|Pendidikan matematika}}
Hampir semua aljabar berfokus pada aljabar elementer. Cabang ini biasanya tidak diperkenalkan hingga [[pendidikan menengah]] karena membutuhkan pemahaman akan dasar-dasar aritmetika selagi menyajikan tantangan kognitif baru yang dikaitkan dengan penalran dan perumuman.<ref>{{multiref | {{harvnb|Arcavi|Drijvers|Stacey|2016|p=xiii}} | {{harvnb|Dekker|Dolk|2011|p=[https://books.google.com/books?id=7sVFaMhwackC&pg=PA69 69]}} }}</ref> Cabang tersebut ditujukan untuk murid-murid yang mengenal matematika dalam bentuk formal dengan membantu mereka memahami simbol matematika, seperti bagaimana variabel dapat digunakan untuk melambangkan kuantitas yang tak diketahui. Tidak seperti perhitungan aritmetika, kesulitan lain bagi murid-murid memahami cabang tersebut karena ekspresi aljabar sering kali sulit untuk dikerjakan secara langsung. Malahan, murid-murid perlu mempelajari cara mengubah ekspresi aljabar tersebut menurut hukum-hukum yang ada, yang umumnya memiliki tujuan untuk mencari kuantitas yang tak diketahui.<ref>{{multiref | {{harvnb|Arcavi|Drijvers|Stacey|2016|pp=2–5}} | {{harvnb|Drijvers|Goddijn|Kindt|2011|pp=[https://books.google.com/books?id=7sVFaMhwackC&pg=PA8 8–10, 16–18]}} }}</ref>
[[File:Balance scale.svg|thumb|upright=1.3|class=skin-invert-image|alt=Diagram of a balance scale|[[Timbangan|Skala timbangan]] digunakan di dalam pendidikan alajbar untuk membantu murid-murid bagaimana persamaan dapat berubah menjadi nilai-nilai tak diketahui yang akan ditentukan.<ref>{{multiref | {{harvnb|Kieran|2006|p=[https://books.google.com/books?id=OTCsKu0BZ0kC&pg=PA15 15]}} | {{harvnb|Kaput|2018|p=[https://books.google.com/books?id=1GUPEAAAQBAJ&pg=PA186 186]}} |{{harvnb|Gardella|DeLucia|2020|pp=[https://books.google.com/books?id=HBXFDwAAQBAJ&pg=PA19 19–22]}} }}</ref>]]
Beberapa alat untuk memperkenalkan murid-murid di dalam pendidikan mengenai aljabar secara abstrak yang mengandalkan model konkret dan visualisasi persamaan di antaranya adalah [[analogi]] geometris, manipulasi yang menyertakan stik atau gelas, dan "mesin fungsi" yang merepresentasikan persamaan sebagai [[diagram alir]]. Salah satu metode yang digunakan adalah [[Timbangan|skala timbangan]] sebagai pendekatan ilustrasi untuk membantu murid-murid memahami masalah-masalah aljabar yang dasar. Massa objek pada timbangan yang tidak diketahui menggunakan variabel sebagai kuantitas yang tak diketahui. Menyelesaikan persamaan dapat dianggap seperti menambahkan atau menghilangkan objek pada kedua sisi timbangan sehingga menjadi seimbang hingga hanya ada satu objek yang tersisa pada satu sisi timbangan itu, yaitu objek yang tak diketahui massanya.<ref>{{multiref | {{harvnb|Kieran|2006|p=[https://books.google.com/books?id=OTCsKu0BZ0kC&pg=PA15 15]}} | {{harvnb|Kaput|2018|p=[https://books.google.com/books?id=1GUPEAAAQBAJ&pg=PA186 186]}} |{{harvnb|Gardella|DeLucia|2020|pp=[https://books.google.com/books?id=HBXFDwAAQBAJ&pg=PA19 19–22]}} | {{harvnb|Star|Foegen|Larson|McCallum|2015|pp=16–17}} }}</ref> [[Masalah kata (pendidikan matematika)|Masalah kata]] adalah alat lain untuk memperlihatkan cara aljabar diterapkan di kehidupan nyata. Sebagai contoh, murid-murid dapat menyajikan suatu permasalahan berikut: diketahui adik Nanang memiliki dua kali lebih banyak apel yang dimiliki Nanang. Jika diketahui bahwa jumlah apel yang dimiliki Nanang beserta adiknya adalah dua belas, murid-murid kemudian ditanyakan untuk mencari suatu persamaan aljabar yang menggambarkan keadaan tersebut (<math>2x + x = 12</math>) dan kemudian menentukan berapa apel yang dimiliki Nanang {{nowrap|(<math>x = 4</math>).<ref>{{multiref | {{harvnb|Arcavi|Drijvers|Stacey|2016|pp=58–59}} | {{harvnb|Drijvers|Goddijn|Kindt|2011|p=[https://books.google.com/books?id=7sVFaMhwackC&pg=PA13 13]}} }}</ref>}}
Ketika pada tahap universitas, mahasiswa menghadapi topik aljabar lebih lanjut, yang dimulai dari aljabar linear dan aljabar abstrak. Mahasiswa yang menjenjang di awal [[sarjana]] mempelajari aljabar linear yang berfokus pada matriks, ruang vektor, dan pemetaan linear. Setelah mempelajarinya, mahasiswa biasanya diperkenalkan dengan aljabar abstrak, yang mempelajari struktur aljabar seperti grup, gelanggang,dan lapangan, serta kaitan di antara struktur-struktur tersebut. Kurikulum yang digunakan biasanya meliputi contoh-contoh struktur aljabar yang spesifik, seperti siste bilangan rasional, bilangan real, dan polinomial.<ref>{{harvnb|Hausberger|Zandieh|Fleischmann|2021|pp=147–148}}</ref>
== Referensi ==
=== Catatan ===
{{notelist}}
=== Catatan kaki ===
{{reflist|30em}}
=== Pustaka ===
{{Refbegin|30em}}
* {{cite book|last1=Abas|first1=Syed Jan|last2=Salman|first2=Amer Shaker|date=1994|url=https://books.google.com/books?id=5snsCgAAQBAJ|title=Symmetries Of Islamic Geometrical Patterns|publisher=World Scientific|isbn=978-981-4502-21-4|language=en|access-date=March 12, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Adhikari|first1=Mahima Ranjan|date=2016|url=https://books.google.com/books?id=MIAXDQAAQBAJ&pg=PA5|title=Basic Algebraic Topology and its Applications|publisher=Springer|isbn=978-81-322-2843-1|language=en|access-date=August 5, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Adhikari|first1=Mahima Ranjan|last2=Adhikari|first2=Avishek|date=2013|url=https://books.google.com/books?id=lBO7BAAAQBAJ&pg=PA72|title=Basic Modern Algebra with Applications|publisher=Springer|isbn=978-81-322-1599-8|language=en|access-date=August 5, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Aleskerov|first1=Fuad|last2=Ersel|first2=Hasan|last3=Piontkovski|first3=Dmitri|date=2011|url=https://books.google.com/books?id=ipcSD8ZGB8cC&pg=PA1|title=Linear Algebra for Economists|publisher=Springer|isbn=978-3-642-20570-5|language=en|access-date=March 11, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite web|last1=Andréka|first1=H.|last2=Madarász|first2=J. X.|date=2020|title=Algebraic Logic|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Algebraic_logic|website=Encyclopedia of Mathematics|publisher=Springer|archive-url=https://web.archive.org/web/20240124094606/https://encyclopediaofmath.org/wiki/Algebraic_logic|archive-date=January 24, 2024|access-date=October 23, 2023|last3=Németi|first3=I.|url-status=live}}
* {{cite book|last1=Andréka|first1=H.|last2=Németi|first2=I.|last3=Sain|first3=I.|date=2001|title=Handbook of Philosophical Logic|publisher=Springer|isbn=978-94-017-0452-6|language=en|chapter=Algebraic Logic|doi=10.1007/978-94-017-0452-6_3|access-date=January 24, 2024|chapter-url=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-94-017-0452-6_3|archive-url=https://web.archive.org/web/20240124094523/https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-94-017-0452-6_3|archive-date=January 24, 2024|url-status=live}}
* {{cite book|last1=Anton|first1=Howard|date=2013|url=https://books.google.com/books?id=neYGCwAAQBAJ&pg=PA255|title=Elementary Linear Algebra|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-67730-8|language=en|access-date=January 18, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Anton|first1=Howard|last2=Rorres|first2=Chris|date=2010|url=https://books.google.com/books?id=1PJ-WHepeBsC&pg=PA327|title=Elementary Linear Algebra: Applications Version|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-470-43205-1|language=en}}
* {{cite book|last1=Anton|first1=Howard|last2=Rorres|first2=Chris|date=2013|url=https://books.google.com/books?id=D9xoDwAAQBAJ|title=Elementary Linear Algebra: Applications Version|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-47422-8|language=en|access-date=January 18, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Arcavi|first1=Abraham|last2=Drijvers|first2=Paul|last3=Stacey|first3=Kaye|date=2016|url=https://books.google.com/books?id=XGR9DAAAQBAJ|title=The Learning and Teaching of Algebra: Ideas, Insights and Activities|publisher=Routledge|isbn=978-1-134-82077-1|language=en|access-date=January 24, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Artamonov|first1=V. A.|date=2003|title=Handbook of Algebra|publisher=Elsevier|isbn=978-0-08-053297-4|editor1-last=Hazewinkel|editor1-first=M.|language=en|chapter=Quasivarieties|access-date=January 21, 2024|chapter-url=https://books.google.com/books?id=sLDGY4Hk8V0C&pg=PA873}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Atanasiu|first1=Dragu|last2=Mikusinski|first2=Piotr|date=2019|url=https://books.google.com/books?id=VbySDwAAQBAJ&pg=PA75|title=A Bridge To Linear Algebra|publisher=World Scientific|isbn=978-981-12-0024-3|language=en|access-date=March 12, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Bahturin|first1=Y.|date=2013|url=https://books.google.com/books?id=8RbvCAAAQBAJ&pg=PA346|title=Basic Structures of Modern Algebra|publisher=Springer|isbn=978-94-017-0839-5|language=en|access-date=August 30, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite web|last1=Baranovich|first1=T. M.|date=2023|title=Algebraic Operation|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Algebraic_operation|website=Encyclopedia of Mathematics|publisher=Springer|archive-url=https://web.archive.org/web/20230823194536/https://encyclopediaofmath.org/wiki/Algebraic_operation|archive-date=August 23, 2023|access-date=January 11, 2023|url-status=live}}
* {{cite book|last1=Barrera-Mora|first1=Fernando|date=2023|url=https://books.google.com/books?id=Xmu8EAAAQBAJ&pg=PR9|title=Linear Algebra: A Minimal Polynomial Approach to Eigen Theory|publisher=Walter de Gruyter GmbH & Co KG|isbn=978-3-11-113591-5|language=en|access-date=January 18, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Bengtsson|first1=Ingemar|last2=Życzkowski|first2=Karol|year=2017|title=Geometry of Quantum States: An Introduction to Quantum Entanglement|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-107-02625-4|edition=2nd|author-link2=Karol Życzkowski}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Benson|first1=Donald C.|date=2003|url=https://books.google.com/books?id=nNbnCwAAQBAJ&pg=PA111|title=A Smoother Pebble: Mathematical Explorations|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-514436-9|language=en|access-date=January 16, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite web|last1=Berggren|first1=John L.|date=2015|title=Elementary Algebra|url=https://www.britannica.com/science/elementary-algebra|website=Encyclopædia Britannica|language=en|archive-url=https://web.archive.org/web/20240114180506/https://www.britannica.com/science/elementary-algebra|archive-date=January 14, 2024|access-date=January 14, 2024|url-status=live}}
* {{cite book|date=2013|url=https://books.google.com/books?id=G1TmCAAAQBAJ&pg=PP9|title=Algebraic Combinatorics and Applications|publisher=Springer|isbn=978-3-642-59448-9|editor1-last=Betten|editor1-first=Anton|language=en|editor2-last=Kohnert|editor2-first=Axel|editor3-last=Laue|editor3-first=Reinhard|editor4-last=Wassermann|editor4-first=Alfred}}
* {{cite book|last1=Bhattacharya|first1=P. B.|last2=Jain|first2=S. K.|last3=Nagpaul|first3=S. R.|date=1994|url=https://books.google.com/books?id=hiQ8e0b48swC&pg=PA141|title=Basic Abstract Algebra|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-46629-5|language=en}}
* {{cite book|last1=Borceux|first1=Francis|date=1994|url=https://books.google.com/books?id=YfzImoopB-IC&pg=PA20|title=Handbook of Categorical Algebra: Basic category theory|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-44178-0|language=en}}
* {{cite book|last1=Bourbaki|first1=N.|date=1998|url=https://books.google.com/books?id=STS9aZ6F204C&pg=PA446|title=Algebra I: Chapters 1-3|publisher=Springer|isbn=978-3-540-64243-5|language=en}}
* {{cite book|last1=Boyer|first1=Carl B.|last2=Merzbach|first2=Uta C.|date=2011|url=https://books.google.com/books?id=bR9HAAAAQBAJ&pg=PA161|title=A History of Mathematics|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-470-63056-3|language=en|access-date=January 27, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Bracken|first1=Laura J.|last2=Miller|first2=Edward S.|date=2014|title=Elementary Algebra|publisher=Cengage Learning|isbn=978-0-618-95134-5}}
* {{cite book|last1=Bressoud|first1=David M.|date=2021|url=https://books.google.com/books?id=GkgHEAAAQBAJ&pg=PA64|title=Calculus Reordered: A History of the Big Ideas|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-21878-6|language=en|access-date=September 4, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Brezinski|first1=Claude|last2=Meurant|first2=Gérard|last3=Redivo-Zaglia|first3=Michela|date=2022|url=https://books.google.com/books?id=4IGhEAAAQBAJ&pg=PA34|title=A Journey through the History of Numerical Linear Algebra|publisher=SIAM|isbn=978-1-61197-723-3|language=en|access-date=August 12, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Brešar|first1=Matej|date=2014|url=https://books.google.com/books?id=PkvPBAAAQBAJ&pg=PR33|title=Introduction to Noncommutative Algebra|publisher=Springer|isbn=978-3-319-08693-4|language=en|access-date=June 14, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Brown|first1=Jonathon D.|date=2015|url=https://books.google.com/books?id=POlVBgAAQBAJ&pg=PA30|title=Linear Models in Matrix Form: A Hands-On Approach for the Behavioral Sciences|publisher=Springer|isbn=978-3-319-11734-8|language=en}}
* {{cite book|last1=Bueno|first1=Otávio|last2=French|first2=Steven|date=2018|url=https://books.google.com/books?id=kmZaDwAAQBAJ&pg=PA73|title=Applying Mathematics: Immersion, Inference, Interpretation|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-881504-4|language=en|access-date=July 28, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite web|last1=Bukhshtab|first1=A. A.|last2=Pechaev|first2=V. I.|date=2020|title=Arithmetic|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Arithmetic|website=Encyclopedia of Mathematics|publisher=Springer|archive-url=https://web.archive.org/web/20091004230123/http://eom.springer.de/a/a013260.htm|archive-date=October 4, 2009|access-date=October 23, 2023|url-status=live}}
* {{cite book|last1=Burgin|first1=Mark|date=2022|url=https://books.google.com/books?id=rWF2EAAAQBAJ&pg=PA45|title=Trilogy Of Numbers And Arithmetic – Book 1: History Of Numbers And Arithmetic: An Information Perspective|publisher=World Scientific|isbn=978-981-12-3685-3|language=en|access-date=January 13, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite web|last1=Burris|first1=Stanley|last2=Legris|first2=Javier|date=2021|title=The Algebra of Logic Tradition|url=https://plato.stanford.edu/entries/algebra-logic-tradition/|website=The Stanford Encyclopedia of Philosophy|publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University|archive-url=https://web.archive.org/web/20240129081715/https://plato.stanford.edu/entries/algebra-logic-tradition/|archive-date=January 29, 2024|access-date=January 22, 2024|url-status=live}}
* {{cite web|last1=Carlson|first1=Stephan C.|date=2024|title=Topology – Homology, Cohomology, Manifolds|url=https://www.britannica.com/science/topology/Algebraic-topology|website=Encyclopædia Britannica|language=en|access-date=2 October 2024}}
* {{cite book|last1=Carstensen|first1=Celine|last2=Fine|first2=Benjamin|last3=Rosenberger|first3=Gerhard|date=2011|url=https://books.google.com/books?id=Xo6iSxRfXz0C&pg=PA326|title=Abstract Algebra: Applications to Galois Theory, Algebraic Geometry, and Cryptography|publisher=Walter de Gruyter|isbn=978-3-11-025008-4|language=en}}
* {{cite book|last1=Chahal|first1=J. S.|date=2018|url=https://books.google.com/books?id=BGR8DwAAQBAJ&pg=PT10|title=Fundamentals of Linear Algebra|publisher=CRC Press|isbn=978-0-429-75810-2|language=en|access-date=August 29, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Chang|first1=C. C.|last2=Keisler|first2=H. J.|date=1990|url=https://books.google.com/books?id=uiHq0EmaFp0C&pg=PA603|title=Model Theory|publisher=Elsevier|isbn=978-0-08-088007-5|language=en|access-date=January 27, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last=Cheng|first=Eugenia|year=2023|title=The Joy of Abstraction|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-108-47722-2|doi=10.1017/9781108769389|author-link=Eugenia Cheng}}
* {{cite journal|last1=Christianidis|first1=Jean|last2=Megremi|first2=Athanasia|date=2019|title=Tracing the Early History of Algebra: Testimonies on Diophantus in the Greek-speaking World (4th–7th Century CE)|journal=Historia Mathematica|volume=47|pages=16–38|doi=10.1016/j.hm.2019.02.002}}
* {{cite book|last1=Cohn|first1=P. M.|date=1995|url=https://books.google.com/books?id=u-4ADgUgpSMC&pg=PA8|title=Skew Fields: Theory of General Division Rings|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-43217-7|language=en}}
* {{cite book|last1=Cohn|first1=P. M.|date=2012|url=https://books.google.com/books?id=6tbuCAAAQBAJ&pg=PR13|title=Universal Algebra|publisher=Springer|isbn=978-94-009-8399-1|language=en|access-date=June 14, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Cooper|first1=Ellis D.|date=2011|url=https://books.google.com/books?id=Fybzl6QB62gC&pg=PA60|title=Mathematical Mechanics: From Particle to Muscle|publisher=World Scientific|isbn=978-981-4289-70-2|language=en|access-date=January 20, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite web|last1=Corry|first1=Leo|date=2024|title=Algebra|url=https://www.britannica.com/science/algebra|website=Encyclopædia Britannica|language=en|archive-url=https://web.archive.org/web/20240119233613/https://www.britannica.com/science/algebra|archive-date=January 19, 2024|access-date=January 25, 2024|url-status=live}}
* {{cite book|last1=Cox|first1=David A.|date=2012|url=https://books.google.com/books?id=vBKrOch1AkYC&pg=PA161|title=Galois Theory|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-21842-6|language=en}}
* {{cite book|last1=Cresswell|first1=Julia|date=2010|url=https://books.google.com/books?id=J4i3zV4vnBAC&pg=PA11|title=Oxford Dictionary of Word Origins|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-954793-7|language=en|access-date=January 27, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Danilov|first1=V. I.|date=2006|title=Algebraic Geometry I: Algebraic Curves, Algebraic Manifolds and Schemes|publisher=Springer|isbn=978-3-540-51995-9|language=en|chapter=II. Algebraic Varieties and Schemes|access-date=January 24, 2024|chapter-url=https://books.google.com/books?id=-QMWR-x66XUC&pg=PA172}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Dekker|first1=Truus|last2=Dolk|first2=Maarten|date=2011|title=Secondary Algebra Education: Revisiting Topics and Themes and Exploring the Unknown|publisher=Springer|isbn=978-94-6091-334-1|editor1-last=Drijvers|editor1-first=Paul|language=en|chapter=3. From Arithmetic to Algebra|access-date=January 24, 2024|chapter-url=https://books.google.com/books?id=7sVFaMhwackC&pg=PA5}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Denecke|first1=Klaus|last2=Wismath|first2=Shelly L.|date=2018|url=https://books.google.com/books?id=2UlZDwAAQBAJ&pg=PR5|title=Universal Algebra and Applications in Theoretical Computer Science|publisher=CRC Press|isbn=978-1-4822-8583-3|language=en|access-date=August 30, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Deo|first1=Satya|date=2018|url=https://books.google.com/books?id=HjtRDwAAQBAJ&pg=PA295|title=Algebraic Topology: A Primer|publisher=Springer|isbn=978-981-10-8734-9|language=en|access-date=August 5, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Derbyshire|first1=John|date=2006|title=Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra|publisher=National Academies Press|isbn=978-0-309-09657-7|language=en|chapter=2. The Father of Algebra|access-date=January 27, 2024|chapter-url=https://books.google.com/books?id=mLqaAgAAQBAJ&pg=PT39}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Dominich|first1=Sándor|date=2008|url=https://books.google.com/books?id=uEedNKV3nlUC&pg=PA19|title=The Modern Algebra of Information Retrieval|publisher=Springer|isbn=978-3-540-77659-8|language=en|access-date=January 20, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Drijvers|first1=Paul|last2=Goddijn|first2=Aad|last3=Kindt|first3=Martin|date=2011|title=Secondary Algebra Education: Revisiting Topics and Themes and Exploring the Unknown|publisher=Springer|isbn=978-94-6091-334-1|editor1-last=Drijvers|editor1-first=Paul|language=en|chapter=1. Algebra Education: Exploring Topics and Themes|access-date=January 24, 2024|chapter-url=https://books.google.com/books?id=7sVFaMhwackC&pg=PA5}}{{cbignore}}
* {{cite web|last1=Efimov|first1=B. A.|date=2014|title=Set theory|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Set_theory|website=Encyclopedia of Mathematics|publisher=Springer|archive-url=https://web.archive.org/web/20221129153653/https://encyclopediaofmath.org/wiki/Set_theory|archive-date=November 29, 2022|access-date=January 11, 2023|url-status=live}}
* {{cite web|last=Elwes|first=Richard|date=December 2006|title=An enormous theorem: the classification of finite simple groups|url=http://plus.maths.org/issue41/features/elwes/index.htmljournal|website=[[Plus Magazine]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20090202092008/http://plus.maths.org/issue41/features/elwes/index.html|archive-date=2009-02-02|access-date=2011-12-20|url-status=dead}}
* {{cite book|last1=Emch|first1=Gerard G.|last2=Sridharan|first2=R.|last3=Srinivas|first3=M. D.|date=2005|url=https://books.google.com/books?id=qfJdDwAAQBAJ&pg=PA20|title=Contributions to the History of Indian Mathematics|publisher=Springer|isbn=978-93-86279-25-5|language=en|access-date=January 27, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite web|author1=EoM Staff|date=2017|title=Algebra|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Algebra|website=Encyclopedia of Mathematics|publisher=Springer|archive-url=https://web.archive.org/web/20221129153630/https://encyclopediaofmath.org/wiki/Algebra|archive-date=November 29, 2022|access-date=January 11, 2023|url-status=live}}
* {{cite book|last1=Fiche|first1=Georges|last2=Hebuterne|first2=Gerard|date=2013|url=https://books.google.com/books?id=TqkckiuuXg8C&pg=PT326|title=Mathematics for Engineers|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-62333-6|language=en|access-date=January 13, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Gallier|first1=Jean H.|last2=Quaintance|first2=Jocelyn|date=2020|url=https://books.google.com/books?id=jWLcDwAAQBAJ&pg=PA1|title=Linear Algebra And Optimization With Applications To Machine Learning – Volume Ii: Fundamentals Of Optimization Theory With Applications To Machine Learning|publisher=World Scientific|isbn=978-981-12-1658-9|language=en}}
* {{cite journal|last1=Gandz|first1=Solomon|date=1926|title=The Origin of the Term "Algebra"|journal=The American Mathematical Monthly|volume=33|issue=9|pages=437–440|doi=10.2307/2299605|jstor=2299605}}
* {{cite book|last1=Gardella|first1=Francis|last2=DeLucia|first2=Maria|date=2020|url=https://books.google.com/books?id=HBXFDwAAQBAJ&pg=PA19|title=Algebra for the Middle Grades|publisher=IAP|isbn=978-1-64113-847-5|language=en|access-date=January 24, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Geddes|first1=Keith O.|last2=Czapor|first2=Stephen R.|last3=Labahn|first3=George|date=2007|url=https://books.google.com/books?id=9fOUwkkRxT4C&pg=PA46|title=Algorithms for Computer Algebra|publisher=Springer|isbn=978-0-585-33247-5|language=en}}
* {{cite book|last1=Gilbert|first1=William J.|last2=Nicholson|first2=W. Keith|date=2004|url=https://books.google.com/books?id=paINAXYHN8kC&pg=PA4|title=Modern Algebra with Applications|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-471-46989-6|language=en|access-date=January 13, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Godsil|first1=Chris|date=2017|url=https://books.google.com/books?id=hLs6DwAAQBAJ&pg=PR8|title=Algebraic Combinatorics|publisher=Routledge|isbn=978-1-351-46750-6|language=en}}
* {{cite book|last1=Golan|first1=Jonathan S.|date=1995|title=Foundations of Linear Algebra|publisher=Springer|isbn=978-94-015-8502-6|series=Kluwer Texts in the Mathematical Sciences|volume=11|pages=219–227|language=en|chapter=Algebras Over A Field|doi=10.1007/978-94-015-8502-6_18|access-date=January 13, 2024|chapter-url=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-94-015-8502-6_18|archive-url=https://web.archive.org/web/20240112171825/https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-94-015-8502-6_18|archive-date=January 12, 2024|url-status=live}}
* {{cite book|last1=Goodman|first1=A. W.|date=2001|url=https://books.google.com/books?id=TvY7DQAAQBAJ&pg=PA5|title=Algebra From A To Z|publisher=World Scientific|isbn=978-981-310-266-8|volume=1|language=en|access-date=March 11, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|date=2010|url=https://books.google.com/books?id=ZOfUsvemJDMC&pg=PA1|title=The Princeton Companion to Mathematics|publisher=Princeton University Press|isbn=978-1-4008-3039-8|editor1-last=Gowers|editor1-first=Timothy|language=en|editor2-last=Barrow-Green|editor2-first=June|editor3-last=Leader|editor3-first=Imre}}
* {{cite book|last1=Grätzer|first1=George|date=2008|url=https://books.google.com/books?id=8lNkXPJas4wC|title=Universal Algebra|publisher=Springer|isbn=978-0-387-77487-9|edition=2|language=en|access-date=January 27, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Grillet|first1=Pierre Antoine|date=2007|title=Abstract Algebra|publisher=Springer|isbn=978-0-387-71568-1|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=242|pages=559–580|language=en|chapter=Universal Algebra|doi=10.1007/978-0-387-71568-1_15|access-date=January 13, 2024|chapter-url=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-0-387-71568-1_15|archive-url=https://web.archive.org/web/20240112171841/https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-0-387-71568-1_15|archive-date=January 12, 2024|url-status=live}}
* {{cite book|last1=Häberle|first1=L.|date=2009|title=Advances in Data Analysis, Data Handling and Business Intelligence|publisher=Springer|isbn=978-3-642-01044-6|editor1-last=Fink|editor1-first=Andreas|language=en|chapter=On Classification of Molecules and Species of Representation Rings|access-date=March 12, 2024|editor2-last=Lausen|editor2-first=Berthold|editor3-last=Seidel|editor3-first=Wilfried|editor4-last=Ultsch|editor4-first=Alfred|chapter-url=https://books.google.com/books?id=McvSa-cFZCMC&pg=PA640}}{{cbignore}}
* {{cite journal|last1=Halmos|first1=Paul R.|date=1956|title=The Basic Concepts of Algebraic Logic|journal=The American Mathematical Monthly|volume=63|issue=6|pages=363–387|doi=10.2307/2309396|issn=0002-9890|jstor=2309396}}
* {{cite book|last1=Harrison|first1=Michael|last2=Waldron|first2=Patrick|date=2011|url=https://books.google.com/books?id=_sisAgAAQBAJ&pg=PT464|title=Mathematics for Economics and Finance|publisher=Routledge|isbn=978-1-136-81921-6|language=en|access-date=January 18, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Hausberger|first1=Thomas|date=2020|title=Encyclopedia of Mathematics Education|publisher=Springer|isbn=9783030157883|editor1-last=Lerman|editor1-first=Stephen|edition=2|chapter=Abstract Algebra Teaching and Learning}}
* {{cite book|last1=Hausberger|first1=Thomas|last2=Zandieh|first2=Michelle|last3=Fleischmann|first3=Yael|date=2021|title=Research and Development in University Mathematics Education: Overview Produced by the International Network for Didactic Research in University Mathematics|publisher=Routledge|isbn=978-1-000-36924-3|editor1-last=Durand-Guerrier|editor1-first=Viviane|language=en|chapter=Abstract and Linear Algebra|editor2-last=Hochmuth|editor2-first=Reinhard|editor3-last=Nardi|editor3-first=Elena|editor4-last=Winsløw|editor4-first=Carl}}
* {{cite book|last1=Hazewinkel|first1=Michiel|date=1994|url=https://books.google.com/books?id=PE1a-EIG22kC&pg=PA73|title=Encyclopaedia of Mathematics (Set)|publisher=Springer|isbn=978-1-55608-010-4|language=en|access-date=January 27, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite web|author1=HC Staff|date=2022|title=Arithmetic|url=https://www.ahdictionary.com/word/search.html?q=arithmetic&submit.x=58&submit.y=14|website=American Heritage Dictionary|publisher=HarperCollins|archive-url=https://web.archive.org/web/20231108181459/https://www.ahdictionary.com/word/search.html?q=arithmetic&submit.x=58&submit.y=14|archive-date=November 8, 2023|access-date=October 19, 2023|url-status=live}}
* {{cite journal|last1=Hettle|first1=Cyrus|date=2015|title=The Symbolic and Mathematical Influence of Diophantus's Arithmetica|journal=Journal of Humanistic Mathematics|volume=5|issue=1|pages=139–166|doi=10.5642/jhummath.201501.08|doi-access=free}}
* {{cite book|last1=Higgins|first1=Peter M.|date=2015|url=https://books.google.com/books?id=QANiCgAAQBAJ&pg=PA89|title=Algebra: A Very Short Introduction|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-104746-6|language=en|access-date=January 27, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Higham|first1=Nicholas J.|date=2019|url=https://books.google.com/books?id=ferEDwAAQBAJ&pg=PA296|title=Handbook of Writing for the Mathematical Sciences|publisher=SIAM|isbn=978-1-61197-610-6|edition=3|language=en|access-date=March 17, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Hoad|first1=T. F.|date=1993|title=The Concise Oxford Dictionary of English Etymology|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-283098-2}}
* {{cite book|last1=Hohn|first1=Franz E.|date=2013|url=https://books.google.com/books?id=9XlFu4XQ6nUC&pg=PA83|title=Elementary Matrix Algebra|publisher=Dover Publications|isbn=978-0-486-14372-9|language=en}}
* {{cite book|last1=Houston|first1=Stephen D.|date=2004|url=https://books.google.com/books?id=jsWL_XJt-dMC&pg=PA319|title=The First Writing: Script Invention as History and Process|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-83861-0|language=en}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Hull|first1=Thomas C.|date=2021|url=https://books.google.com/books?id=LdX7DwAAQBAJ&pg=PA5|title=Origametry: Mathematical Methods in Paper Folding|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-108-47872-4|access-date=August 7, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Igarashi|first1=Yoshihide|last2=Altman|first2=Tom|last3=Funada|first3=Mariko|last4=Kamiyama|first4=Barbara|date=2014|url=https://books.google.com/books?id=58ySAwAAQBAJ&pg=PA103|title=Computing: A Historical and Technical Perspective|publisher=CRC Press|isbn=978-1-4822-2741-3|language=en|access-date=January 29, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Indurkhya|first1=Bipin|date=2013|title=Metaphor and Cognition: An Interactionist Approach|publisher=Springer|isbn=978-94-017-2252-0|language=en|chapter=6.5 Algebras and Structures|access-date=January 21, 2024|chapter-url=https://books.google.com/books?id=foTrCAAAQBAJ&pg=PA217}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Irving|first1=Ronald S.|date=2004|url=https://books.google.com/books?id=-7OM1OtOFJgC|title=Integers, Polynomials, and Rings: A Course in Algebra|publisher=Springer|isbn=978-0-387-40397-7|language=en|access-date=January 20, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite web|last1=Ivanova|first1=O. A.|last2=Smirnov|first2=D. M.|date=2012|title=Isomorphism|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Isomorphism|website=Encyclopedia of Mathematics|publisher=Springer|archive-url=https://web.archive.org/web/20240806082014/https://encyclopediaofmath.org/wiki/Isomorphism|archive-date=August 6, 2024|access-date=March 11, 2024|url-status=live}}
* {{cite web|last1=Jansana|first1=Ramon|date=2022|title=Algebraic Propositional Logic|url=https://plato.stanford.edu/entries/logic-algebraic-propositional/|website=The Stanford Encyclopedia of Philosophy|publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University|archive-url=https://web.archive.org/web/20161220155433/https://plato.stanford.edu/entries/logic-algebraic-propositional/|archive-date=December 20, 2016|access-date=January 22, 2024|url-status=live}}
* {{cite book|last1=Jarvis|first1=Frazer|date=2014|url=https://books.google.com/books?id=0j0qBAAAQBAJ&pg=PA1|title=Algebraic Number Theory|publisher=Springer|isbn=978-3-319-07545-7|language=en|access-date=January 24, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Jenkins|first1=Everett|date=2010|url=https://books.google.com/books?id=giEkCQAAQBAJ&pg=PA82|title=The Muslim Diaspora (Volume 1, 570-1500): A Comprehensive Chronology of the Spread of Islam in Asia, Africa, Europe and the Americas|publisher=McFarland|isbn=978-0-7864-4713-8|language=en|access-date=January 28, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Joyner|first1=David|date=2008|title=Adventures in Group Theory: Rubik's Cube, Merlin's Machine, and Other Mathematical Toys|publisher=Johns Hopkins University Press|isbn=978-0-8018-9012-3|edition=2}}
* {{cite book|last1=Kaput|first1=James J.|date=2018|title=Research Issues in the Learning and Teaching of Algebra: the Research Agenda for Mathematics Education, Volume 4|publisher=Routledge|isbn=978-1-135-43414-4|editor1-last=Wagner|editor1-first=Sigrid|language=en|chapter=Linking Representations in the Symbol Systems of Algebra|access-date=August 8, 2024|editor2-last=Kieran|editor2-first=Carolyn|chapter-url=https://books.google.com/books?id=1GUPEAAAQBAJ&pg=PA186}}{{cbignore}}
* {{cite web|last1=Kargapolov|first1=M. I.|last2=Merzlyakov|first2=Yu. I.|date=2016|title=Group|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Group|website=Encyclopedia of Mathematics|publisher=Springer|archive-url=https://web.archive.org/web/20221205014207/https://encyclopediaofmath.org/wiki/Group|archive-date=December 5, 2022|access-date=January 11, 2023|url-status=live}}
* {{cite book|last1=Karpilovsky|first1=G.|date=1989|url=https://books.google.com/books?id=-2WR0fw9gLMC&pg=PA45|title=Topics in Field Theory|publisher=Elsevier|isbn=978-0-08-087266-7|language=en}}
* {{cite book|last1=Kaufmann|first1=Jerome E.|last2=Schwitters|first2=Karen L.|date=2011|title=Elementary Algebra|publisher=Cengage Learning|isbn=978-1-4390-4917-4}}
* {{cite book|last1=Khattar|first1=Dinesh|last2=Agrawal|first2=Neha|date=2023|url=https://books.google.com/books?id=7-nIEAAAQBAJ&pg=PA4|title=Group Theory|publisher=Springer and Ane Books Pvt. Ltd.|isbn=978-3-031-21307-6|language=en|access-date=January 20, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Kieran|first1=Carolyn|date=2006|title=Handbook of Research on the Psychology of Mathematics Education: Past, Present and Future|publisher=Sense Publishers|isbn=978-90-77874-19-6|editor1-last=Gutiérrez|editor1-first=Angel|language=en|chapter=Research on the Learning and Teaching of Algebra|access-date=August 8, 2024|editor2-last=Boero|editor2-first=Paolo|chapter-url=https://books.google.com/books?id=OTCsKu0BZ0kC&pg=PA15}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Kilty|first1=Joel|last2=McAllister|first2=Alex|date=2018|url=https://books.google.com/books?id=YVRuDwAAQBAJ&pg=PA347|title=Mathematical Modeling and Applied Calculus|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-255813-8|language=en|access-date=January 24, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Kleiner|first1=Israel|date=2007|url=https://books.google.com/books?id=udj-1UuaOiIC&pg=PA100|title=A History of Abstract Algebra|publisher=Springer|isbn=978-0-8176-4685-1|language=en}}
* {{cite book|last1=Klimov|first1=D. M.|date=2014|url=https://books.google.com/books?id=DZK3DwAAQBAJ&pg=PR9|title=Group-Theoretic Methods in Mechanics and Applied Mathematics|publisher=CRC Press|isbn=978-1-4822-6522-4|language=en}}
* {{cite book|last1=Kline|first1=Morris|date=1990|url=https://books.google.com/books?id=8YaBuGcmLb0C&pg=PA1153|title=Mathematical Thought From Ancient to Modern Times: Volume 3|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-506137-6|language=en}}
* {{cite book|last1=Knoebel|first1=Arthur|date=2011|url=https://books.google.com/books?id=VWS_sgO2uvgC&pg=PA5|title=Sheaves of Algebras Over Boolean Spaces|publisher=Springer|isbn=978-0-8176-4218-1|language=en|access-date=January 27, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Kramer|first1=Jürg|last2=Pippich|first2=Anna-Maria von|date=2017|url=https://books.google.com/books?id=nvM-DwAAQBAJ&pg=PA49|title=From Natural Numbers to Quaternions|publisher=Springer|isbn=978-3-319-69429-0|language=en|access-date=January 20, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Krömer|first1=Ralph|date=2007|url=https://books.google.com/books?id=41bHxtHxjUAC&pg=PA61|title=Tool and Object: A History and Philosophy of Category Theory|publisher=Springer|isbn=978-3-7643-7524-9|language=en}}
* {{cite journal|last1=Kvasz|first1=L.|date=2006|title=The History of Algebra and the Development of the Form of Its Language|journal=Philosophia Mathematica|volume=14|issue=3|pages=287–317|doi=10.1093/philmat/nkj017|issn=1744-6406|doi-access=free}}
* {{cite book|last1=Lal|first1=Ramji|date=2017|url=https://books.google.com/books?id=FwPNDgAAQBAJ&pg=PA31|title=Algebra 2: Linear Algebra, Galois Theory, Representation Theory, Group Extensions and Schur Multiplier|publisher=Springer|isbn=978-981-10-4256-0|language=en}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Lamagna|first1=Edmund A.|date=2019|url=https://books.google.com/books?id=8PSDDwAAQBAJ&pg=PA150|title=Computer Algebra: Concepts and Techniques|publisher=CRC Press|isbn=978-1-351-60583-0|language=en|access-date=January 16, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Lang|first1=Serge|date=2005|url=https://books.google.com/books?id=Fge-BwqhqIYC&pg=PA261|title=Algebra|publisher=Springer|isbn=978-0-387-95385-4|language=en}}
* {{cite book|last1=Laos|first1=Nicolas K.|date=1998|url=https://books.google.com/books?id=1r7dSn4ZqogC&pg=PA100|title=Topics in Mathematical Analysis and Differential Geometry|publisher=World Scientific|isbn=978-981-02-3180-4|language=en}}
* {{cite book|author1=Library of Congress|url=https://www.loc.gov/aba/cataloging/classification/lcco/lcco_q.pdf|title=Library of Congress Classification: Class Q - Science|publisher=Library of Congress|access-date=March 17, 2024|archive-url=https://web.archive.org/web/20240405210545/https://www.loc.gov/aba/cataloging/classification/lcco/lcco_q.pdf|archive-date=April 5, 2024|url-status=live}}
* {{cite book|last1=Lidl|first1=Rudolf|last2=Pilz|first2=Günter|date=1997|url=https://books.google.com/books?id=_49AmSWo4_AC&pg=PR7|title=Applied Abstract Algebra|publisher=Springer|isbn=978-0-387-98290-8|language=en}}
* {{cite book|last1=Lovett|first1=Stephen|date=2015|url=https://books.google.com/books?id=jRUqCgAAQBAJ&pg=PR9|title=Abstract Algebra: Structures and Applications|publisher=CRC Press|isbn=978-1-4822-4891-3|language=en|access-date=July 27, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Lukas|first1=Andre|date=2022|url=https://books.google.com/books?id=1-dvEAAAQBAJ&pg=PA47|title=The Oxford Linear Algebra for Scientists|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-258347-5|language=en}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Maddocks|first1=J. R.|date=2008|url=https://www.encyclopedia.com/science-and-technology/mathematics/mathematics/algebra|title=The Gale Encyclopedia of Science|publisher=Thompson Gale|isbn=978-1-4144-2877-2|editor1-last=Lerner|editor1-first=Brenda Wilmoth|edition=4th|chapter=Algebra|access-date=January 13, 2024|editor2-last=Lerner|editor2-first=K. Lee|archive-url=https://web.archive.org/web/20240112102551/https://www.encyclopedia.com/science-and-technology/mathematics/mathematics/algebra|archive-date=January 12, 2024|url-status=live}}
* {{cite book|last1=Majewski|first1=Miroslaw|date=2004|title=MuPAD Pro Computing Essentials|publisher=Springer|isbn=978-3-540-21943-9|edition=2}}
* {{cite book|last1=Mal’cev|first1=A. I.|date=1973|title=Algebraic Systems|publisher=Springer|isbn=978-3-642-65374-2|pages=210–266|language=en|chapter=Quasivarieties|doi=10.1007/978-3-642-65374-2_5|access-date=January 21, 2024|chapter-url=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-65374-2_5|archive-url=https://web.archive.org/web/20180618183135/https://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-642-65374-2_5|archive-date=June 18, 2018|url-status=live}}
* {{cite book|last1=Mancosu|first1=Paolo|date=1999|url=https://books.google.com/books?id=60qaEePdqcoC&pg=PA84|title=Philosophy of Mathematics and Mathematical Practice in the Seventeenth Century|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-513244-1|language=en|access-date=January 24, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite web|last1=Markushevich|first1=A. I.|date=2015|title=Polynomial|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Polynomial|website=Encyclopedia of Mathematics|publisher=Springer|archive-url=https://web.archive.org/web/20240806082025/https://encyclopediaofmath.org/wiki/Polynomial|archive-date=August 6, 2024|access-date=January 11, 2023|url-status=live}}
* {{cite book|last1=Maxwell|first1=E. A.|date=2009|url=https://books.google.com/books?id=yD0irRUE_u4C&pg=PA73|title=Algebraic Structure and Matrices Book 2|publisher=Syracuse University Press|isbn=978-0-521-10905-5|language=en|access-date=January 20, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=McKeague|first1=Charles P.|date=1986|url=https://books.google.com/books?id=sq7iBQAAQBAJ&pg=PA148|title=Elementary Algebra|publisher=Academic Press|isbn=978-1-4832-6384-7|language=en}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=McKeague|first1=Charles P.|date=2014|url=https://books.google.com/books?id=nI7iBQAAQBAJ&pg=PA386|title=Intermediate Algebra: A Text/Workbook|publisher=Academic Press|isbn=978-1-4832-1417-7|language=en|access-date=January 16, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=McWeeny|first1=R.|date=2002|url=https://books.google.com/books?id=x3fjIXY93TsC&pg=PA6|title=Symmetry: An Introduction to Group Theory and Its Applications|publisher=Courier Corporation|isbn=978-0-486-42182-7|language=en|access-date=January 20, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Menini|first1=Claudia|last2=Oystaeyen|first2=Freddy Van|date=2017|url=https://books.google.com/books?id=3mlQDwAAQBAJ&pg=PA722|title=Abstract Algebra: A Comprehensive Treatment|publisher=[[CRC Press]]|isbn=978-1-4822-5817-2|language=en|access-date=January 27, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite web|last1=Merzlyakov|first1=Yu. I.|last2=Shirshov|first2=A. I.|date=2020|title=Algebra(2)|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Algebra(2)|website=Encyclopedia of Mathematics|publisher=Springer|archive-url=https://web.archive.org/web/20230407165656/https://encyclopediaofmath.org/wiki/Algebra(2)|archive-date=April 7, 2023|access-date=January 11, 2023|url-status=live}}
* {{cite book|last1=Mirakhor|first1=Abbas|last2=Krichene|first2=Noureddine|date=2014|url=https://books.google.com/books?id=G6XNAwAAQBAJ&pg=PT107|title=Introductory Mathematics and Statistics for Islamic Finance|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-77972-9|language=en|access-date=August 7, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Mishra|first1=Sanjay|date=2016|title=Fundamentals of Mathematics: Algebra|publisher=Pearson India|isbn=978-93-325-5891-5|language=en}}
* {{cite book|last1=Miyake|first1=Katsuya|date=2002|title=Number Theoretic Methods: Future Trends|publisher=Springer|isbn=978-1-4419-5239-4|editor1-last=Kanemitsu|editor1-first=Shigeru|chapter=Some Aspects on Interactions between Algebraic Number Theory and Analytic Number Theory|access-date=August 7, 2024|editor2-last=Jia|editor2-first=Chaohua|chapter-url=https://books.google.com/books?id=G0P2BwAAQBAJ&pg=PA268}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Mortensen|first1=C. E.|date=2013|url=https://books.google.com/books?id=KYDrCAAAQBAJ&pg=PA73|title=Inconsistent Mathematics|publisher=Springer|isbn=978-94-015-8453-1|language=en|access-date=January 18, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Murthy|first1=Swamy and|date=2012|url=https://books.google.com/books?id=CBc8BAAAQBAJ&pg=PA3|title=Algebra: Abstract and Modern|publisher=Pearson Education India|isbn=978-93-325-0993-1|language=en|access-date=August 5, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Musser|first1=Gary L.|last2=Peterson|first2=Blake E.|last3=Burger|first3=William F.|date=2013|url=https://books.google.com/books?id=8jh7DwAAQBAJ|title=Mathematics for Elementary Teachers: A Contemporary Approach|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-48700-6|language=en|access-date=March 11, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite web|author1=MW Staff|date=2023|title=Definition of Arithmetic|url=https://www.merriam-webster.com/dictionary/arithmetic|website=Merriam-Webster|language=en|archive-url=https://web.archive.org/web/20231114193352/https://www.merriam-webster.com/dictionary/arithmetic|archive-date=November 14, 2023|access-date=October 19, 2023|url-status=live}}
* {{cite book|last1=Nakahara|first1=Mikio|date=2018|url=https://books.google.com/books?id=p2C1DwAAQBAJ&pg=PA121|title=Geometry, Topology and Physics|publisher=Taylor & Francis|isbn=978-1-4200-5694-5|language=en|access-date=January 24, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Neri|first1=Ferrante|date=2019|url=https://books.google.com/books?id=NMOlDwAAQBAJ&pg=PR12|title=Linear Algebra for Computational Sciences and Engineering|publisher=Springer|isbn=978-3-030-21321-3|language=en|access-date=January 24, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Nicholson|first1=W. Keith|date=2012|url=https://books.google.com/books?id=w-GaLpapRcEC&pg=PA70|title=Introduction to Abstract Algebra|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-13535-8|language=en|access-date=August 30, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite journal|last1=Oaks|first1=Jeffrey A.|last2=Alkhateeb|first2=Haitham M.|date=2007|title=Simplifying equations in Arabic algebra|journal=Historia Mathematica|volume=34|issue=1|pages=45–61|doi=10.1016/j.hm.2006.02.006}}
* {{cite book|last1=Olver|first1=Peter J.|date=1999|url=https://books.google.com/books?id=1GlHYhNRAqEC&pg=PA55|title=Classical Invariant Theory|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-55821-1|language=en|access-date=March 12, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Ono|first1=Hiroakira|date=2019|url=https://books.google.com/books?id=SR2nDwAAQBAJ&pg=PA84|title=Proof Theory and Algebra in Logic|publisher=Springer|isbn=978-981-13-7997-0|language=en}}{{cbignore}}
* {{cite web|author=OUP Staff|title=Algebra|url=http://www.lexico.com/definition/algebra|website=[[Lexico]]|publisher=[[Oxford University Press]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20131120000000/http://www.lexico.com/definition/algebra|archive-date=November 20, 2013|url-status=dead}}
* {{cite book|last1=Ovchinnikov|first1=Sergei|date=2015|url=https://books.google.com/books?id=UMbXBgAAQBAJ&pg=PA27|title=Number Systems|publisher=American Mathematical Society|isbn=978-1-4704-2018-5|language=en|access-date=January 20, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Pickover|first1=Clifford A.|date=2009|url=https://books.google.com/books?id=JrslMKTgSZwC&pg=PA90|title=The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics|publisher=Sterling Publishing Company, Inc.|isbn=978-1-4027-5796-9|language=en|access-date=January 28, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Plotkin|first1=B.|date=2012|url=https://books.google.com/books?id=-v3xCAAAQBAJ&pg=PA155|title=Universal Algebra, Algebraic Logic, and Databases|publisher=Springer|isbn=978-94-011-0820-1|language=en|access-date=January 24, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite web|last1=Pratt|first1=Vaughan|date=2022|title=Algebra|url=https://plato.stanford.edu/entries/algebra/|website=The Stanford Encyclopedia of Philosophy|publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University|archive-url=https://web.archive.org/web/20240129081755/https://plato.stanford.edu/entries/algebra/|archive-date=January 29, 2024|access-date=January 11, 2024|url-status=live}}
* {{cite book|last1=Rabadan|first1=Raul|last2=Blumberg|first2=Andrew J.|date=2019|url=https://books.google.com/books?id=2967DwAAQBAJ&pg=PA49|title=Topological Data Analysis for Genomics and Evolution: Topology in Biology|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-107-15954-9|language=en|access-date=January 24, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Ricardo|first1=Henry|date=2009|url=https://books.google.com/books?id=s7bMBQAAQBAJ&pg=PA389|title=A Modern Introduction to Linear Algebra|publisher=CRC Press|isbn=978-1-4398-9461-3|language=en|access-date=August 29, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Rohde|first1=Ulrich L.|last2=Jain|first2=G. C.|last3=Poddar|first3=Ajay K.|last4=Ghosh|first4=A. K.|date=2012|url=https://books.google.com/books?id=vk2XbZpsBOwC&pg=PT89|title=Introduction to Differential Calculus: Systematic Studies with Engineering Applications for Beginners|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-13014-8|language=en|access-date=January 16, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Romanowski|first1=Perry|date=2008|url=https://www.encyclopedia.com/science-and-technology/mathematics/mathematics/arithmetic|title=The Gale Encyclopedia of Science|publisher=Thompson Gale|isbn=978-1-4144-2877-2|editor1-last=Lerner|editor1-first=Brenda Wilmoth|edition=4th|chapter=Arithmetic|access-date=January 13, 2024|editor2-last=Lerner|editor2-first=K. Lee|archive-url=https://web.archive.org/web/20231101124957/https://www.encyclopedia.com/science-and-technology/mathematics/mathematics/arithmetic|archive-date=November 1, 2023|url-status=live}}
* {{cite book|last1=Rosen|first1=Kenneth|date=2012|url=https://books.google.com/books?id=-oVvEAAAQBAJ&pg=PA779|title=Discrete Maths and Its Applications Global Edition 7e|publisher=McGraw Hill|isbn=978-0-07-715151-5|language=en}}
* {{cite book|last1=Rowen|first1=Louis Halle|date=2006|url=https://books.google.com/books?id=AhEPCgAAQBAJ&pg=PA12|title=Graduate Algebra: Commutative View: Commutative View|publisher=American Mathematical Society|isbn=978-0-8218-0570-1|language=en|access-date=June 14, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Sahai|first1=Vivek|last2=Bist|first2=Vikas|date=2002|url=https://books.google.com/books?id=yjkgNYfApj4C&pg=PA21|title=Linear Algebra|publisher=CRC Press|isbn=978-0-8493-2426-0|language=en}}
* {{cite book|last1=Saikia|first1=Promode Kumar|date=2008|url=https://books.google.com/books?id=KhM7BAAAQBAJ&pg=PA1|title=Linear Algebra|publisher=Pearson Education India|isbn=978-81-317-4276-1|language=en|access-date=August 5, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Serovajsky|first1=Simon|date=2020|url=https://books.google.com/books?id=6EX1DwAAQBAJ&pg=SA3-PA89|title=Architecture of Mathematics|publisher=CRC Press|isbn=978-0-429-89353-7|language=en}}
* {{cite book|last1=Seshadri|first1=C. S.|date=2010|url=https://books.google.com/books?id=w_JdDwAAQBAJ&pg=PA156|title=Studies in the History of Indian Mathematics|publisher=Springer|isbn=978-93-86279-49-1|language=en|access-date=January 27, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Sialaros|first1=Michalis|date=2018|url=https://books.google.com/books?id=2PZYDwAAQBAJ&pg=PT55|title=Revolutions and Continuity in Greek Mathematics|publisher=Walter de Gruyter GmbH & Co KG|isbn=978-3-11-056527-0|language=en|access-date=January 27, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Silverman|first1=Joseph H.|date=2022|url=https://books.google.com/books?id=PKFnEAAAQBAJ&pg=PA64|title=Abstract Algebra: An Integrated Approach|publisher=American Mathematical Society|isbn=978-1-4704-6860-6|language=en}}
* {{cite web|last1=Smirnov|first1=D. M.|date=2020|title=Universal Algebra|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Universal_algebra|website=Encyclopedia of Mathematics|publisher=Springer|archive-url=https://web.archive.org/web/20240301115432/https://encyclopediaofmath.org/wiki/Universal_algebra|archive-date=March 1, 2024|access-date=August 30, 2024|url-status=live}}
* {{cite book|last1=Smith|first1=Jonathan D. H.|date=2015|url=https://books.google.com/books?id=MXu9CgAAQBAJ&pg=PA161|title=Introduction to Abstract Algebra|publisher=CRC Press|isbn=978-1-4987-3162-1|language=en|access-date=June 14, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Smorynski|first1=Craig|date=2007|url=https://books.google.com/books?id=qY657eFq7UgC&pg=PA137|title=History of Mathematics: A Supplement|publisher=Springer|isbn=978-0-387-75481-9|language=en|access-date=January 27, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Sneyd|first1=James|last2=Fewster|first2=Rachel M.|last3=McGillivray|first3=Duncan|date=2022|url=https://books.google.com/books?id=zqd3EAAAQBAJ&pg=PA211|title=Mathematics and Statistics for Science|publisher=Springer|isbn=978-3-031-05318-4|language=en}}{{cbignore}}
* {{cite web|last1=Sobolev|first1=S. K.|date=2015|title=Constant|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Algebraic_logic|website=Encyclopedia of Mathematics|publisher=Springer|archive-url=https://web.archive.org/web/20240124094606/https://encyclopediaofmath.org/wiki/Algebraic_logic|archive-date=January 24, 2024|access-date=October 23, 2023|url-status=live}}
* {{cite book|last1=Solomon|first1=Bruce|date=2014|url=https://books.google.com/books?id=BpvSBQAAQBAJ&pg=PA57|title=Linear Algebra, Geometry and Transformation|publisher=CRC Press|isbn=978-1-4822-9930-4|language=en|access-date=August 29, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Sorell|first1=Tom|date=2000|url=https://books.google.com/books?id=EksSDAAAQBAJ&pg=PA19|title=Descartes: A Very Short Introduction|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-285409-4|language=en|access-date=March 11, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Star|first1=Jon R.|last2=Foegen|first2=Anne|last3=Larson|first3=Matthew R.|last4=McCallum|first4=William G.|last5=Porath|first5=Jane|last6=Zbiek|first6=Rose Mary|date=2015|title=Teaching Strategies for Improving Algebra Knowledge in Middle and High School Students|publisher=U.S. Department of Education / Institute of Education Sciences|oclc=5867417164}}
* {{cite journal|last1=Straffin|first1=Philip D.|date=1980|title=Linear Algebra in Geography: Eigenvectors of Networks|url=https://www.jstor.org/stable/2689388|journal=Mathematics Magazine|volume=53|issue=5|pages=269–276|doi=10.2307/2689388|issn=0025-570X|jstor=2689388}}
* {{cite book|last1=Sullivan|first1=Michael|date=2010|url=https://books.google.com/books?id=6NKaDwAAQBAJ&pg=PA53|title=Finite Mathematics: An Applied Approach|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-470-87639-8|language=en|access-date=January 18, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Tan|first1=Kiat Shi|last2=Steeb|first2=Willi-Hans|last3=Hardy|first3=Yorick|date=2012|url=https://books.google.com/books?id=UDb0BwAAQBAJ&pg=PA306|title=SymbolicC++:An Introduction to Computer Algebra Using Object-Oriented Programming: An Introduction to Computer Algebra Using Object-Oriented Programming|publisher=Springer|isbn=978-1-4471-0405-6|language=en|access-date=January 16, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Tanton|first1=James|date=2005|title=Encyclopedia of Mathematics|publisher=Facts On File|isbn=978-0-8160-5124-3}}
* {{cite book|last1=Terras|first1=Audrey|date=2019|title=Abstract Algebra with Applications|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-107-16407-9}}
* {{cite book|last1=Tsokos|first1=Chris P.|last2=Wooten|first2=Rebecca D.|date=2015|url=https://books.google.com/books?id=zu7HBQAAQBAJ&pg=PA451|title=The Joy of Finite Mathematics: The Language and Art of Math|publisher=Academic Press|isbn=978-0-12-802985-5|language=en}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Valenza|first1=Robert J.|date=2012|url=https://books.google.com/books?id=7x8MCAAAQBAJ&pg=PR7|title=Linear Algebra: An Introduction to Abstract Mathematics|publisher=Springer|isbn=978-1-4612-0901-0|language=en|access-date=August 29, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Vince|first1=John|date=2007|url=https://books.google.com/books?id=B574tQbP6WcC&pg=PA133|title=Vector Analysis for Computer Graphics|publisher=Springer|isbn=978-1-84628-803-6|language=en|access-date=August 5, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Viterbo|first1=Emanuele|last2=Hong|first2=Yi|date=2011|title=Wireless Communications Over Rapidly Time-Varying Channels|publisher=Academic Press|isbn=978-0-08-092272-0|editor1-last=Hlawatsch|editor1-first=Franz|language=en|chapter=3.4 Algebraic Number Theory|access-date=January 24, 2024|editor2-last=Matz|editor2-first=Gerald|chapter-url=https://books.google.com/books?id=d89QRR24jbMC&pg=PA127}}{{cbignore}}
* {{cite web|last1=Voitsekhovskii|first1=M. I.|date=2011|title=Linear Equation|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Linear_equation|website=Encyclopedia of Mathematics|publisher=Springer|archive-url=https://web.archive.org/web/20231123235759/https://encyclopediaofmath.org/wiki/Linear_equation|archive-date=November 23, 2023|access-date=January 10, 2024|url-status=live}}
* {{cite book|last1=Waerden|first1=Bartel L. van der|date=2003|title=Algebra|publisher=Springer|isbn=0-387-40624-7|volume=1}}
* {{cite book|last1=Waerden|first1=Bartel L. van der|date=2013|url=https://books.google.com/books?id=W6DwCAAAQBAJ|title=A History of Algebra: From al-Khwārizmī to Emmy Noether|publisher=Springer|isbn=978-3-642-51599-6|language=en|access-date=January 27, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Wagner|first1=Sigrid|last2=Kieran|first2=Carolyn|date=2018|url=https://books.google.com/books?id=uW4ECwAAQBAJ&pg=PT225|title=Research Issues in the Learning and Teaching of Algebra: The Research Agenda for Mathematics Education|publisher=Routledge|isbn=978-1-135-43421-2|volume=4|language=en|access-date=January 13, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Walz|first1=Guido|date=2016|url=https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/algebra/12062|title=Lexikon der Mathematik: Band 1: A bis Eif|publisher=Springer|isbn=978-3-662-53498-4|language=de|trans-title=Encyclopedia of Mathematics: Volume 1: A to Eif|chapter=Algebra|access-date=January 13, 2024|archive-url=https://web.archive.org/web/20240112171819/https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/algebra/12062|archive-date=January 12, 2024|url-status=live}}
* {{cite book|last1=Weibel|first1=Charles A.|date=1995|url=https://books.google.com/books?id=UtIhAwAAQBAJ&pg=PR11|title=An Introduction to Homological Algebra|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-139-64307-8|language=en}}
* {{cite book|last1=Weisstein|first1=Eric W.|date=2003|title=CRC Concise Encyclopedia of Mathematics|publisher=Chapman & Hall/CRC|isbn=978-1-58488-347-0|edition=2nd}}
* {{cite book|last1=Wheeler|first1=Jeffrey Paul|date=2023|url=https://books.google.com/books?id=IqQIEQAAQBAJ&pg=PA29|title=An Introduction to Optimization with Applications in Machine Learning and Data Analytics|publisher=CRC Press|isbn=978-1-003-80359-1|language=en}}
* {{cite book|last1=Whitelaw|first1=T. A.|date=1995|url=https://books.google.com/books?id=f2hyf0QoB_0C&pg=PA61|title=Introduction to Abstract Algebra, Third Edition|publisher=CRC Press|isbn=978-0-7514-0147-9|language=en}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Williams|first1=G. Arnell|date=2022|url=https://books.google.com/books?id=581CEAAAQBAJ&pg=PT62|title=Algebra the Beautiful: An Ode to Math's Least-Loved Subject|publisher=Basic Books|isbn=978-1-5416-0070-6|language=en|access-date=March 11, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last=Wilson|first=Robert A.|year=2009|title=The Finite Simple Groups|publisher=[[Springer-Verlag]]|isbn=978-1-84800-987-5|series=[[Graduate Texts in Mathematics]]|volume=251|doi=10.1007/978-1-84800-988-2|zbl=1203.20012|author-link=Robert Arnott Wilson}}
* {{cite book|last1=Young|first1=Cynthia Y.|date=2010|url=https://books.google.com/books?id=9HRLAn326zEC&pg=RA1-PA999|title=Precalculus|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-471-75684-2|language=en|access-date=January 16, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite book|last1=Young|first1=Cynthia Y.|date=2023|url=https://books.google.com/books?id=pMSZEAAAQBAJ&pg=PA714|title=Precalculus|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-119-86940-5|language=en|access-date=January 18, 2024}}{{cbignore}}
* {{cite web|author1=zbMATH Open|date=2024|title=Classification|url=https://zbmath.org/classification/|website=zbMATH Open|publisher=Mathematical Reviews and zbMATH Open|language=en|archive-url=https://web.archive.org/web/20200719184539/https://zbmath.org/classification/|archive-date=July 19, 2020|access-date=March 17, 2024|url-status=live}}
* {{cite book|last1=Zwillinger|first1=Daniel|date=2002|url=https://books.google.com/books?id=gE_MBQAAQBAJ&pg=PA812|title=CRC Standard Mathematical Tables and Formulae|publisher=CRC Press|isbn=978-1-4200-3534-6|language=en|access-date=January 27, 2024}}{{cbignore}}
{{Refend}}
== Pranala luar ==
* [http://www.khanacademy.org/math/algebra Khan Academy: Konseptual video dan contoh bekerja]
* [https://www.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-algebra/overview_hist_alg/v/origins-of-algebra Khan Academy: asal-Usul Aljabar, online gratis micro kuliah] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130509005401/https://www.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-algebra/overview_hist_alg/v/origins-of-algebra |date=2013-05-09 }}
* [http://algebrarules.com Algebrarules.com: open source sumber daya untuk belajar dasar-dasar Aljabar]
* [http://www.gresham.ac.uk/event.asp?PageId=45&EventId=620 4000 Tahun dari Aljabar] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20071004172100/http://www.gresham.ac.uk/event.asp?PageId=45&EventId=620 |date=2007-10-04 }}, kuliah oleh Robin Wilson, di Gresham College, 17 oktober 2007 (tersedia untuk MP3 dan MP4 download, juga sebagai file teks).
* (Inggris)<span id="cxmwA_Q" tabindex="0"> Entri </span>[http://plato.stanford.edu/entries/{{{1}}} Algebra]{{Pranala mati|date=Januari 2021 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}<span id="cxmwA_Q" tabindex="0"> di </span>''[[Stanford Encyclopedia of Philosophy]]''
{{Aljabar|expanded}}
{{Bidang matematika|collapsed}}
[[Kategori:
[[Kategori:Halaman dengan rujukan yang memiliki parameter duplikat]]
| |||