Integral substitusi: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k Bot: Perubahan kosmetika |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. |
||
| (16 revisi perantara oleh 7 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{Kalkulus|Integral}}
Dalam bidang [[kalkulus]], '''integral substitusi''' atau '''substitusi-u''' adalah salah satu metode untuk mencari [[integral]] dengan mensubstitusi salah satu variabel dan mengubahnya menjadi bentuk yang lebih sederhana.
==
Sebelum menyatakan hasilnya dengan teliti, mari kita periksa kasus sederhana menggunakan [[integral tak tentu]].
=== Contoh pertama ===▼
Perhatikan integral berikut:▼
Menghitung <math>\textstyle\int(2x^3+1)^7(x^2)\,dx</math>.<ref>{{time interval|1983||se0=}} {{harvnb|Swokowsi|1983|loc=p. 258}}</ref>
Kumpulan nilai <math>u=2x^3+1</math>. Hal tersebut berarti <math>\textstyle\frac{du}{dx}=6x^2</math>, atau, dalam [[bentuk diferensial]] pada <math>du=6x^2\,dx</math>. Sekarang
:<math>\int(2x^3 +1)^7(x^2)\,dx = \frac{1}{6}\int\underbrace{(2x^3+1)^{7}}_{u^{7}}\underbrace{(6x^2)\,dx}_{du}=\frac{1}{6}\int u^{7}\,du=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{8}u^{8}\right)=\frac{1}{48}(2x^3+1)^{8}+C.</math>
Prosedur tersebut sering digunakan, tetapi tidak semua integral dalam bentuk yang memungkinkan penggunaannya. Bagaimanapun, hasil harus diverifikasi dengan membedakan dan membandingkan dengan integral asli.
:<math>\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{48}(2x^3+1)^{8}\right]=\frac{1}{6}(2x^3+1)^{7}(6x^2) = (2x^3+1)^7(x^2).</math>
Untuk integral tertentu, batas integrasi juga harus disesuaikan, tetapi prosedurnya sebagian besar sama.
== Integral tentu ==
Misalkan {{math|''φ'' : [''a'',''b''] → ''I''}} menjadikan fungsi yang dapat dibedakan dengan turunan kontinu, darimana {{math|''I'' ⊆ '''R'''}} adalah sebuah interval. Seandainya nilai pada {{math|''f'' : ''I'' → '''R'''}} adalah [[fungsi berkelanjutan]]. Kemudian, apakah {{math|''u'' {{=}} ''φ''(''x'')}}<ref>{{time interval|2011||}} {{harvnb|Briggs|Cochran|2011|loc=pg.361}}</ref>
:<math>
\int_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\, dx = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)\,du.
</math>
Dalam notasi Leibniz, substitusi pada {{math|''u'' {{=}} ''φ''(''x'')}} menghasilkan nilai
:<math>\frac{du}{dx} = \varphi'(x).</math>
Bekerja secara [[Heuristika|heuristik]] dengan [[infinitesimal]], menghasilkan persamaan
:<math>du = \varphi'(x)\,dx,</math>
Hasil rumus substitusi di atas. (Persamaan ini dapat diletakkan di atas dasar yang kuat dengan menafsirkannya sebagai pernyataan tentang [[bentuk diferensial]].) Seseorang dapat melihat metode integrasi dengan substitusi sebagai justifikasi parsial pada [[notasi Leibniz]] untuk integral dan turunan.
<!--The formula is used to transform one integral into another integral that is easier to compute. Thus, the formula can be read from left to right or from right to left in order to simplify a given integral. When used in the former manner, it is sometimes known as '''''u''-substitution''' or '''''w''-substitution''' in which a new variable is defined to be a function of the original variable found inside the composite function multiplied by the derivative of the inner function. The latter manner is commonly used in [[trigonometric substitution]], replacing the original variable with a [[trigonometric function]] of a new variable and the original differential with the [[differential of a function|differential]] of the trigonometric function.-->
Integrasi dengan substitusi dapat diturunkan dari [[teorema dasar kalkulus]] sebagai berikut. Mari cari nilai {{math|''f''}} dan {{math|''φ''}} menjadi dua fungsi yang memenuhi [[hipotesis]] di atas itu {{math|''f''}} terus menerus {{math|''I''}} dan {{math|''φ''′}} dapat diintegrasikan pada interval tertutup {{math|[''a'',''b'']}}. Setelah itu fungsi pada {{math|''f''(''φ''(''x''))''φ''′(''x'')}} <!--is also integrable on {{math|[''a'',''b'']}}. Hence the integrals-->
:<math>\int_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\,dx</math>
dan
:<math>\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)\,du</math>
darimana {{math|''u'' {{=}} ''φ''(''x'')}} pada kenyataannya ada, dan tetap menunjukkan bahwa mereka setara.
<!--Since {{math|''f''}} is continuous, it has an [[antiderivative]] {{math|''F''}}. The [[function composition|composite function]] {{math|''F'' ∘ ''φ''}} is then defined.-->Setelah {{math|''φ''}} dapat dibedakan, menggabungkan [[aturan rantai]] dan definisi pemberian antiturunan
:<math>(F \circ \varphi)'(x) = F'(\varphi(x))\varphi'(x) = f(\varphi(x))\varphi'(x).</math>
Menerapkan [[teorema dasar kalkulus]] dua kali memberi
:<math>
\begin{align}
\int_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\,dx
&= \int_a^b (F \circ \varphi)'(x)\,dx \\
&= (F \circ \varphi)(b) - (F \circ \varphi)(a) \\
&= F(\varphi(b)) - F(\varphi(a)) \\
&= \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)\,du,
\end{align}
</math>
yang merupakan aturan substitusi.
▲; Perhatikan integral berikut:
:<math>
\int_{0}^2 x \cos(x^2+1) \,dx
Baris 19 ⟶ 77:
Perlu diingat bahwa di sini batas bawah ''x'' = 0 diganti dengan ''u'' = 0<sup>2</sup> + 1 = 1, dan batas atas ''x'' = 2 diganti dengan ''u'' = 2<sup>2</sup> + 1 = 5, sehingga dalam kasus ini ''u'' tidak perlu diubah kembali menjadi ''x''.
; Untuk integral▼
▲== Contoh 2 ==
▲Untuk integral
:<math>
\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\; dx
Baris 31 ⟶ 88:
</math>
dimana <math>cos^2 u = \frac{1+cos 2u}{2}</math>
; Metode substitusi dapat digunakan untuk mencari [[antiturunan]], yaitu dengan menentukan hubungan antara ''x'' dan ''u'' serta ''dx'' dan ''du''. Berikut adalah contohnya:
:<math>
Baris 40 ⟶ 98:
\end{align}
</math>
== Catatan ==
{{Reflist}}
== Referensi ==
*{{citation|first1=William|last1=Briggs|first2=Lyle|last2=Cochran|year=2011|title=Kalkulus/Transendental Awal|edition=Single Variable|publisher=Addison-Wesley|isbn=978-0-321-66414-3}}
*
* {{citation|first=D.H.|last=Fremlin|title=Measure Theory, Volume 2|publisher=Torres Fremlin|year=2010|isbn=978-0-9538129-7-4}}.▼
* {{citation|
* {{citation|first1=Edwin|last1=Hewitt|first2=Karl|last2=Stromberg|authorlink1=Edwin Hewitt|title=Analisis Nyata dan Abstrak|publisher=Springer-Verlag|year=1965|isbn=978-0-387-04559-7}}.
* {{citation|first=V.|last=Katz|title=
* {{citation|first=
* {{citation|first=Earl W.|last=Swokowski|title=Kalkulus dengan geometri analitik|edition=alternate|year=1983|publisher=Prindle, Weber & Schmidt|isbn=0-87150-341-7}}
▲* {{citation|first=
{{matematika-stub}}
| |||