Topologi: Perbedaan antara revisi

'''Topologi''' (dari [[bahasa Yunani]] τόπος, "tempat", dan λόγος, "ilmu") merupakan cabang [[matematika]] yang bersangkutan dengan tata ruang yang tidak berubah dalam deformasi dwikontinu (yaitu ruang yang dapat ditekuk, dilipat, disusut, direntangkan, dan dipilin, tetapi tidak diperkenankan untuk dipotong, dirobek, ditusuk atau dilekatkan). Karena sifat ini, topologi disebut pula geometri karet.<ref>{{Cite news|url=https://uwaterloo.ca/pure-mathematics/about-pure-math/what-is-pure-math/what-is-topology|title=What is Topology? {{!}} Pure Mathematics|date=2015-10-16|newspaper=Pure Mathematics|language=en|access-date=2018-04-03}}</ref>. Ia muncul melalui pengembangan konsep dari [[geometri]] dan [[teori himpunan]], seperti ruang, dimensi, bentuk, dan transformasi.

Ide yang sekarang diklasifikasikan kedalam topologi telah dinyatakan semenjak 1736, dan pada akhir abad ke-19 sebuah ilmu yang jelas terpisah dikembangkan. Ilmu ini disebut dalam bahasa Latin sebagai geometria situs ( "geometri dari tempat") atau analisis situs (Yunani-Latin untuk "pengkajian tempat "), dan kemudian memperoleh nama mutakhir topologi. Di tengah-tengah abad ke-20, ilmutopologi initelah adalahmenjadi kawasansalah pertumbuhansatu yangcabang penting dalamutama matematika.

Kata topologi digunakan baik untuk cabang matematika dan untuk keluarga [[himpunan]] dengan beberapa propertisifat yang digunakan untuk menentukan [[ruang topologi]], objek dasar dari topologi. Beberapa yang penting adalah [[homeomorfisme]] yang dapat didefinisikan sebagai [[fungsi malar]] dengan balikan malar pula. Misalnya, fungsi ''y = x33x'' adalah homeomordismehomeomorfisme dari [[deretgaris nyatabilangan real]] ke dirinya sendiri.

* [[Topologi umum|Topologi titik-himpunan]], yang menetapkan dasar aspek topologi dan menyelidiki konsep yang hakiki pada ruang topologi - contoh dasar adalah [[Ruang kompak|kekompakan]] dan [[kesinambunganketerhubungan]].

* [[Topologi Aljabar|Topologi aljabar]], yang umumnya mencoba untuk mengukur tingkat kesinambungan menggunakan konstruksi aljabar seperti kelompok homotopi, homologyhomologi

* [[Topologi geometris]] yang terutamanya mengkaji manifoldkeragaman dan pembenamannya (penempatannya) di manifoldkeragaman lainnya.

== Konsep Dasardasar ==

=== Topologi terhadap Himpunanhimpunan ===

Secara formal, misalkan ''X'' sebuah himpunan dan ''τ'' adalah keluarga subhimpunan dari ''X''. Maka ''τ'' disebut topologi atasterhadap ''X'' jika:

# [[Himpunan kosong]] dan ''X'' adalah anggota dari ''τ''. <math>\emptyset,X \in \tau</math>

# [[Gabungan (teori himpunan)|Gabungan]] anggota-anggota jumlahnya sembarang dari ''τ'' dengan jumlah sembarang adalah anggota dari ''τ''. <math>{ \bigcap_forall \mathcal{i=1A}^ \subset \tau: \bigcup_{nA\leqin \inftymathcal{A}A_i} A \in \tau </math>

# [[Irisan Teori Himpunan|Irisan]] anggota-anggota yang jumlahnya berhingga dari ''τ'' yang jumlahnya berhingga adalah anggota dari ''τ''. <math>\forall n\in\mathbb{N},\forall A_1,A_2,\ldots,A_n \in \tau: \bigcap_{i=1}^{n<\infty}A_i}nA_i \in \tau </math>

Anggota dari ''τ'' disebut [[himpunan terbuka]] di dalam ''X''. Sebuah subhimpunan ''A'' dari ''X'' disebut [[Himpunan tertutup|tertutup]] jika komplemennya ada di dalam ''τ'' (komplemennya terbuka, X ∖ ''A'' ϵ ''τ''). Sebuah subhimpunan dari ''X'' dapat merupakan himpunan terbuka, tertutup, terbuka dan tertutup, atau tidak kedua-duanya. Himpunan kosong dan ''X'' sendiri masing-masing selalu tertutup dan terbuka. Sebuah subhimpunan ''N(x)'' dari ''X'' yang merupakan superhimpunan dari sebuah himpunan terbuka ''U'' yang memiliki sebagai salah satu anggotanya adalah ''x'' disebut [[TetanggaLingkungan (Topologimatematika)|tetanggalingkungan]] dari ''x'' (<math>x \in U \subset N(x): U \in \tau</math>).

Dalam bidang topologi, homeomorfisme atau isomorfisme topologi (dari bahasa Yunani, ''homeos'' = identik dan ''morphe'' = bentuk) adalah isomorfisme khusus antara ruang topologi yang memenuhi sifat-sifat topologi. Dua ruang dengan homeomorfisme antara mereka disebut homeomorfis. Dari tinjauan topologi mereka adalah sama. Pengertian isomorfisme sendiri adalah kemiripan yang tampak antara dua makhluk yang sebenarnya memiliki asal-usul berbeda dan kelas yang berbeda.

=== Sifat-sifat Topologitopologi ===

Dalam topologi dan bidang matematika terkait, sifat topologi atau invarian topologi adalah sifat ruang topologi yang invarian dalam homeomorfisme. Jika diberikan dua ruang topologi ''X'' dan ''Y'' dan homeomorfisme ''f'' antara mereka, sifat topologi untuk sub himpunan ''A'' dari ''X'' berlaku [[jika dan hanya jika]] ia berlaku untuk ''f(A)''.