Persamaan Schrödinger: Perbedaan antara revisi

Dalam [[mekanika kuantum]], '''persamaan Schrödinger''' adalah [[persamaan matematika]] yang menjelaskan perubahan tiap waktu dari sebuah sistem fisika dimanadi mana efek kuantum, seperti [[dualitas gelombang-partikel]], menjadi signifikan. Persamaan ini merupakan perumusan matematis untuk mempelajari sistem mekanika kuantum. Persamaan ini diajukan oleh [[fisikawan]] [[Erwin Schrödinger]] pada tahun [[1925]] dan mempublikasikannya pada tahun 1926. [[Erwin Schrödinger]] sendiri memperoleh [[Nobel Fisika|Hadiah Nobel Fisika]] pada tahun 1933 berkat karyanya ini.<ref>{{cite news|url=https://www.theguardian.com/technology/2013/aug/12/erwin-schrodinger-google-doodle|title=Physicist Erwin Schrödinger's Google doodle marks quantum mechanics work|date=13 August 2013|newspaper=[[The Guardian]]|accessdate=25 August 2013}}</ref><ref name="sch">{{cite journal|last=Schrödinger|first=E.|year=1926|title=An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules|url=http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schroedinger1926c.pdf|journal=[[Physical Review]]|volume=28|issue=6|pages=1049–1070|bibcode=1926PhRv...28.1049S|doi=10.1103/PhysRev.28.1049|archiveurl=https://web.archive.org/web/20081217040121/http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schroedinger1926c.pdf|archivedate=17 December 2008}}</ref> Persamaan ini berbentuk persamaan diferensial dengan tipe [[persamaan gelombang]], yang digunakan sebagai model matematika dari pergerakan gelombang.

Dalam [[mekanika klasik]], [[Hukum gerak Newton|hukum kedua Newton]] ({{math|'''F''' {{=}} ''m'''''a'''}}) digunakan untuk membuat prediksi matematika dimana jalur sebuah sistem akan mengikuti sejumlah kondisi awal yang diketahui. Dalam mekanika kuantum, analogi dari hukum Newton adalah persamaan Schrödinger untuk sistem kuantum (biasanya atom, molekul, dan partikel subatomik yang bebas, terikat, maupun terlokalisasi). Persamaan ini bukan persamaan aljabar, melainkan secara umum adalah [[persamaan diferensial parsial linear]], menjelaskan perubahan waktu dari [[fungsi gelombang]] sistem (juga disebut "fungsi keadaan").<ref name="Griffiths2004">{{citation|title=Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.)|year=2004|author=Griffiths, David J.|publisher=Prentice Hall|isbn=0-13-111892-7}}</ref>{{rp|1–2}}

Konsep fungsi gelombang adalah dasar bagi [[postulat mekanika kuantum]]. Menggunakan postulat ini, persamaan Schrödinger dapat diturunkan berdasarkan fakta bahwa operator perubahan waktu haruslah kesatuan dan oleh karena itu harus dihasilkan oleh eksponensial dari sebuah operator ''self-adjoint'', dimana itu adalah Hamiltonian kuantum.

Dalam [[interpretasi Kopenhagen]] mekanika kuantum, fungsi gelombang adalah penjelasan paling lengkap untuk berbagai sistem fisik. Penyelesaian persamaan Schrödinger tidak hanya dapat menjelaskan sistem [[Molekul|molekularmolekul]]ar, [[Atom|atomikatom]]ik, dan [[Partikel subatom|subatomik]], tapi juga [[sistem makroskopik]], mungkin juga seluruh [[alam semesta]].<ref name="Laloe">{{citation|last=Laloe|first=Franck|title=Do We Really Understand Quantum Mechanics|year=2012|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-107-02501-1}}</ref>{{rp|292ff}} Persamaan Schrödinger adalah rumusan inti bagi semua aplikasi mekanika kuantum termasuk [[teori medan kuantum]] yang menggabungkan [[relativitas khusus]] dengan mekanika kuantum. Teori [[gravitasi kuantum]], seperti [[teori dawai]], juga dapat diselesaikan dengan persamaan Schrödinger.

== Persamaan ==

=== Persamaan tergantung-waktu ===

[[FileBerkas:Wave packet (dispersion).gif|thumbjmpl|200px|Sebuah [[fungsi gelombang]] yang memenuhi persamaan Schrodinger nonrelativistik dengan {{math|''V'' {{=}} 0}}. Dengan kata lain, fungsi ini sesuai dengan partikel yang bergerak bebas melalui ruang kosong. [[Bagian riil]] dari [[fungsi gelombang]] digambarkan disini.]]

[[FileBerkas:StationaryStatesAnimation.gif|300px|thumbjmpl|rightka|Setiap gambar merupakan fungsi gelombang yang memenuhi persamaan Schrödinger tak tergantung waktu untuk [[osilator harmonis kuantum|osilator harmonis]]. Kiri: bagian riil (biru) dan bagian imajiner (kanan) dari fungsi gelombang. Kanan: [[distribusi probabilitas]] dalam menemukan partikel dengan fungsi gelombang ini pada posisi tertentu. Kedua baris teratas adalah contoh '''[[keadaan stasioner]]'''. Baris bawah adalah contoh keadaan ''non'' stasioner. Kolom sebelah kanan menunjukkan mengapa keadaan stasioner disebut "stasioner".]]

dimana {{math|''μ''}} adalah "[[massa tereduksi]]" partikel, {{math|''V''}} [[energi potensial]], {{math|∇²}} adalah [[Laplasian]] (operator diferensial), dan {{math|''Ψ''}} adalah fungsi gelombang (lebih tepatnya dalam konteks ini adalah "fungsi gelombang ruang-posisi"). Dalam bahasa sederhana, persamaan ini berarti "total [[energi]] sama dengan [[energi kinetik]] ditambah [[energi potensial]]", namuntetapi dengan bentuk yang tidak umum.

Dengan diketahui operator diferensial tertentu, maka persamaan ini adalah [[persamaan diferensial parsial]] [[persamaan diferensial linear|linear]]. Juga merupakan [[persamaan difusi]], namuntetapi tidak seperti [[persamaan panas]], persamaan ini juga persamaan gelombang karena adanya [[satuan imajiner]] pada bagian transient.

Istilah ''"Persamaan Schrödinger"'' dapat merujuk ke kedua persamaan umum atau versi nonrelativistiknya yang spesifik. Versi umumnya sangat umum dan bisa digunakan untuk semua mekanika kuantum, mulai dari [[persamaan Dirac]] hingga [[teori medan kuantum]], dengan memasukkan berbagai pernyataan pada Hamiltonian. Versi nonrelativistik adalah berupa perkiraan dari kenyataan sebenarnya namun menunjukkan hasil yang akurat pada banyak situasi, namuntetapi pada jangkauan tertentu saja (lihat [[mekanika kuantum relativistik]] dan [[teori medan kuantum relativistik]]).

=== {{anchor|Time independent equation}}Persamaan tak tergantung-waktu ===

Persamaan Schrödinger tergantung-waktu yang dijelaskan diatas memprediksi bahwa fungsi gelombang dapat membentuk [[gelombang berdiri]] disebut [[keadaan stasioner]] (atau "orbital", seperti [[orbital atom]] atau [[orbital molekul]]). Keadaan-keadaan ini penting karena pada studi berikutnya, memudahkan dalam penyelesaian persamaan Schrödinger tak tergantung-waktu untuk keadaan apapun. Keadaan stasioner juga dapat dijelaskan menggunakan bentuk persamaan yang lebih sederhana, ''persamaan Schrödinger taltak tergantung-waktu''.

::''Ketika operator Hamiltonian berperan pada fungsi gelombang tertentu {{math|&Psi;Ψ}} dan hasilnya sebanding dengan fungsi gelombang yang sama {{math|Ψ}}, maka {{math|Ψ}} adalah [[keadaan stasioner]], dan konstanta proporsionalitas {{math|E}} adalah energi dari keadaan {{math|Ψ}}.''

Dalam terminologi [[aljabar linear]], persamaan ini adalah [[Eigenvalue dan eigenvector|persamaan eigenvalue]] dan fungsi gelombang disini merupakan [[Eigenfunction|eigenfunction]] dari operator Hamiltonian.

== Latar belakang dan perkembangan sejarah ==

[[FileBerkas:Erwin Schrodinger2.jpg|rightka|thumbjmpl|[[Erwin Schrödinger]]]]

dengan {{math|''h''}} adalah [[konstanta Planck]] dan {{math|''ħ''}} adalah konstanta Planck tereduksi, {{math|''h/2π''}}. [[Louis de Broglie]] mengemukakan hipotesahipotesis bahwa persamaan ini benar untuk semua partikel, meski partikel yang bermassa seperti elektron. Ia mengasumsikan jika gelombang materi merambat bersama partikel mereka, elektron-elektron membentuk [[gelombang berdiri]], berarti hanya frekuensi rotasional tertentu di sekeliling atom nukleus yang dimungkinkan.<ref>

Pada tahun 1921, sebelum de Broglie, Arthur C. Lunn di Universitas Chicago telah menggunakan argumen yang sama yang berbasis dari penyelesaian energi-momentum relativistik untuk menurunkan apa yang kita sebtut saat ini sebagai hubungan de Broglie.<ref>{{cite journal|last=Weissman|first=M.B. |author2=V. V. Iliev |author3=I. Gutman|title=A pioneer remembered: biographical notes about Arthur Constant Lunn|journal=Communications in Mathematical and in Computer Chemistry|year=2008|volume=59|issue=3|pages=687–708}}</ref> Tidak seperti de Broglie, Lunn merumuskan persamaan diferensial yang saat ini dikenal sebagai persamaan Schrödinger. Sayangnya paper ini ditolak oleh Physical Review.<ref>{{cite book|last=Kamen|first=Martin D.|title=Radiant Science, Dark Politics|url=https://archive.org/details/radiantscienceda00kame|year=1985|publisher=University of California Press|location=Berkeley and Los Angeles, CA|isbn=0-520-04929-2|pages=29–32[https://archive.org/details/radiantscienceda00kame/page/29 29]–32}}</ref>

Menindaklanjuti ide de Broglie, fisikawan [[Peter Debye]] berkomentar bahwa jika partikel berperilaku seperti gelombang, maka pastinya memiliki bentuk persamaan gelombang. Schrödinger pun berusaha mencari persamaan gelombang 3-dimensi yang layak untuk elektron. Ia dibimbing oleh analogi [[William Rowan Hamilton|William R. Hamilton]] antara [[mekanika]] dan [[optik]], encodeddikodekan indalam thepengamatan observationbahwa thatbatas thepanjang zero-wavelengthgelombang limitnol ofoptik opticsmenyerupai resemblessistem amekanis—lintasan mechanicalsinar system—thecahaya trajectoriesmenjadi ofjejak [[lighttajam rays]] become sharp tracks that obeymematuhi [[prinsip Fermat's principle]], ansebuah analog of thedari [[principle ofprinsip leasttindakan actionterkecil]].<ref>

* {{en}} [http://www.colorado.edu/UCB/AcademicAffairs/ArtsSciences/physics/TZD/PageProofs1/TAYL07-203-247.I.pdf The Schrödinger Equation in One Dimension] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060524165051/http://www.colorado.edu/UCB/AcademicAffairs/ArtsSciences/physics/TZD/PageProofs1/ |date=2006-05-24 }}.

* {{en}} [http://tosio.math.toronto.edu/wiki/index.php/Main_Page Dispersive PDE Wiki] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070425131659/http://tosio.math.toronto.edu/wiki/index.php/Main_Page |date=2007-04-25 }}.