Matriks terbalikkan: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan |
Menghapus Templat:Under construction. menambahkan sifat-sifat matriks, dari terjemahan artikel en:Invertible_matrix (oldid 1053709439). Menambahkan Templat:Kelas_matriks |
||
| (6 revisi perantara oleh 3 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
Dalam
:<math>\mathbf{AB} = \mathbf{BA} = \mathbf{I}_n \ </math>
Matriks persegi tidak dapat dibalik disebut dengan matriks '''singular'''. Matriks persegi bersifat singular [[jika dan hanya jika]] nilai [[determinan]]nya 0. Matriks yang bukan matriks persegi (berukuran <math>m \! \times \! n</math> dan <math>m \ne n</math>) tidak memiliki invers. Namun dalam beberapa kasus, matriks tersebut mungkin memiliki invers kiri atau invers kanan. Jika matriks <math>\mathbf{A}</math> berukuran <math>m \! \times \! n</math> dengan [[Rank (aljabar linear)|rank]] <math>n</math> (nilai <math>n\leq m</math>), maka <math>\mathbf{A}</math> memiliki invers kiri. Invers kiri ini adalah sebuah matriks <math>\mathbf{B}</math> berukuran <math>n \! \times \! m</math> yang memenuhi hubungan <math>\mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{I}_n.</math> Sedangkan jika rank matriks <math>\mathbf{A}</math> adalah <math>m</math> (nilai <math>m\leq n</math>), maka <math>\mathbf{A}</math> memiliki invers kanan; yakni sebuah matriks <math>\mathbf{B}</math> berukuran <math>n \! \times \! m</math> yang memenuhi hubungan <math>\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{I}_m.</math>
▲'''I'''<sub>''n''</sub> di sini melambangkan [[matriks identitas]] ''n x n'' dan perkalian yang dilakukan merupakan [[perkalian matriks]] biasa. Jika hal ini benar, maka matriks '''B''' dapat dianggap sebagai '''invers''' dari '''A''', yang diberi lambang '''A'''<sup>−1</sup>.
== Sifat ==
=== Teorema matriks terbalikkan ===
Sifat keterbalikkan sebuah matriks berhubungan erat dengan banyak sifat lain yang dimiliki matriks tersebut. Misalkan <math>\mathbf{A}</math> adalah matriks persegi berukuran <math>n \! \times \! n</math>, dengan entri-entri adalah elemen dari suatu [[Lapangan (matematika)|lapangan]] <math>K</math> (misalnya, lapangan [[Bilangan riil|bilangan real]] <math>\mathbb{R}</math>). Semua pernyataan berikut ekuivalen, dalam artian antara matriks <math>\mathbf{A}</math> memenuhi ''semua'' pernyataan, atau matriks <math>\mathbf{A}</math> tidak memenuhi satupun pernyataan yang ada.<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Invertible Matrix Theorem|url=https://mathworld.wolfram.com/InvertibleMatrixTheorem.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2020-09-08}}</ref><ref>{{Cite book|last1=Horn|first1=Roger A.|last2=Johnson|first2=Charles R.|year=1985|title=Matrix Analysis|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-38632-6|page=14}}.</ref>
* Matriks <math>\mathbf{A}</math> terbalikkan. Dengan kata lain, matriks <math>\mathbf{A}</math> memiliki sebuah invers (atau tidak singular).
* Ada sebuah matriks <math>\mathbf{B}</math> berukuran <math>n \! \times \! n</math> yang memenuhi <math>\mathbf{AB} = \mathbf{BA} = \mathbf{I}_n \ </math>
* Matriks <math>\mathbf{A}</math> dapat diubah menjadi [[matriks identitas]] <math>\mathbf{I}_n</math> lewat serangkaian [[Matriks dasar|operasi baris elementer]], atau lewat serangkaian [[Matriks dasar|operasi kolom elementer]].
* Matriks <math>\mathbf{A}</math> dapat dinyatakan sebagai perkalian (dengan jumlah terhingga) [[Matriks dasar|matriks-matriks elementer]]
* Matriks <math>\mathbf{A}</math> memiliki <math>n</math> posisi pivot. Posisi pivot adalah nilai 1 pertama sebuah baris pada matriks [[bentuk eselon baris]] tereduksi (''reduced row echelon form'').
* Persamaan <math>\mathbf{Ax}=\mathbf{0}</math> hanya memiliki solusi trivial, yakni <math>\mathbf{x}=\mathbf{0}</math>
* Persamaan <math>\mathbf{Ax}=\mathbf{b}</math> tepat memiliki satu solusi, untuk semua <math>\mathbf{b} \in K^n</math>
* Transformasi linear <math>\mathbf{x} \mapsto \mathbf{Ax}</math> adalah sebuah [[bijeksi]] dari <math>K^n</math> ke <math>K^n</math>
* [[Kernel (aljabar linear)|Kernel]] dari <math>\mathbf{A}</math> trivial; dengan kata lain hanya mengandung vektor nol sebagai elemennya, sehingga <math>\operatorname{Ker}(\mathbf{A})=\{\mathbf{0}\}</math>
* [[Determinan]] dari <math>\mathbf{A}</math> sama dengan 0.
* Bilangan 0 bukan [[Nilai dan vektor eigen|nilai eigen]] dari matriks <math>\mathbf{A}</math>
* [[Rank (aljabar linear)|Rank]] <math>\mathbf{A}</math> penuh; dengan kata lain, <math>\operatorname{Rank}\mathbf{A}=n</math>
* Kolom-kolom dari <math>\mathbf{A}</math> saling [[bebas linear]]. Ini mengartikan tidak mungkin menyatakan sebuah kolom matriks <math>\mathbf{A}</math> sebagai kombinasi penjumlahan kolom-kolom yang lain.
* [[Span (aljabar linear)|Span]] dari kolom-kolom matriks <math>\mathbf{A}</math> adalah <math>K^n</math>. Artinya, himpunan semua kombinasi linear dari kolom-kolom <math>\mathbf{A}</math> akan sama dengan <math>K^n</math>
* Ruang kolom dari matriks <math>\mathbf{A}</math> adalah <math>K^n</math>. Ruang kolom adalah ruang vektor yang dibentuk oleh kolom-kolom matriks <math>\mathbf{A}</math>
* Kolom-kolom matriks <math>\mathbf{A}</math> membentuk sebuah [[Basis (aljabar linear)|basis]] bagi <math>K^n</math>
* [[Transpos]] dari <math>\mathbf{A}</math>, yakni matriks <math>\mathbf{A}^\text{T}</math> juga terbalikkan. Hal ini mengartikan baris-baris dari matriks <math>\mathbf{A}</math> juga memenuhi sifat-sifat yang sama dengan kolom-kolom matriks.
* Matriks <math>\mathbf{A}</math> memiliki invers kiri (yakni matriks <math>\mathbf{B}</math> sehingga <math>\mathbf{BA}=\mathbf{I}</math>) dan invers kanan (yakni matriks <math>\mathbf{C}</math> sehingga <math>\mathbf{AC}=\mathbf{I}</math>). Lebih lanjut, nilai kedua invers tersebut sama, <math>\mathbf{B}=\mathbf{C}=\mathbf{A}^{-1}</math>
=== Hubungan dengan adjugat ===
[[Matriks adjugat|Adjugat]] dari suatu matriks <math>\mathbf A</math> dapat digunakan untuk mencari invers dari <math>\mathbf A</math>, dengan menggunakan hubungan:
Jika <math>\mathbf A</math> memiliki invers, maka
: <math>\mathbf A^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf A)} \operatorname{adj}(\mathbf A).</math>
=== Sifat-sifat lain ===
Selain sifat-sifat pada bagian-bagian sebelumnya, matriks <math>\mathbf A</math> berukuran <math>n\times n</math> yang terbalikkan juga memiliki beberapa sifat berikut:
* <math>(\mathbf A^{-1})^{-1} = \mathbf A</math>;
* <math>(k \mathbf A)^{-1} = k^{-1}\mathbf A^{-1}</math> untuk sembarang [[Skalar (matematika)|skalar]] <math>k</math> yang tidak sama dengan 0;
* <math>(\mathbf A^\text{T})^{-1} = (\mathbf A^{-1})^\text{T}</math>;
* <math>\det(\mathbf A^{-1}) = \frac{1}{\det (\mathbf A^{-1})}</math>;
* Untuk sembarang matriks <math>\mathbf B</math> yang dapat dibalik dan yang berukuran sama dengan <math>\mathbf A</math>, akan berlaku <math>(\mathbf {AB})^{-1} = \mathbf B^{-1}\mathbf A^{-1}</math>. Hal ini dapat diperumum untuk kasus matriks-matriks <math>\mathbf A_1,\, \dots,\, \mathbf A_k</math> berukuran <math>n\times n</math> dan dapat dibalik, yang akan memiliki hubungan <math display="block">(\mathbf A_1 \mathbf A_2 \dotsi \mathbf A_{k-1} \mathbf A_k)^{-1} = \mathbf A_k^{-1} \mathbf A_{k-1}^{-1} \dotsi \mathbf A_2^{-1} \mathbf A_1^{-1}</math>
* Jika <math>\mathbf A</math> memiliki kolom-kolom yang saling ortonormal, maka <math>(\mathbf {Ax})^{+} = \mathbf x^+ \mathbf A^{-1}</math>; dengan <math>^+</math> menyatakan [[invers Moore–Penrose]] dan <math>\mathbf x</math> adalah vektor;
:
== Referensi ==
<references />
== Pranala luar ==
* {{springer|title=Inversion of a matrix|id=p/i052440}}
* [https://books.google.com/books?id=jgEiuHlTCYcC&printsec=frontcover Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas]
* [http://www2.imm.dtu.dk/pubdb/views/edoc_download.php/3274/pdf/imm3274.pdf The Matrix Cookbook]
{{Kelas matriks}}{{matematika-stub}}▼
▲{{matematika-stub}}
[[Kategori:Matriks]]
| |||