Masalah Monty Hall: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Add 1 book for Wikipedia:Pemastian (20231209)) #IABot (v2.0.9.5) (GreenC bot |
|||
| (40 revisi perantara oleh 23 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
[[
'''Masalah Monty Hall''' adalah sebuah teka-teki yang melibatkan [[
Pernyataan yang terkenal dari masalah ini dipublikasikan di majalah ''[[Parade (majalah)|Parade]]'':
Baris 13:
Ketika masalah dan penyelesaiannya muncul di ''Parade'', sekitar 10.000 pembaca, termasuk beratus-ratus profesor matematika, menulis surat kepada majalah tersebut dan mengklaim penyelesaian yang dipublikasikan adalah salah. Beberapa kontroversi ini disebabkan oleh pernyataan ''Parade'' atas masalah ini yang ambigu secara teknik. Namun, bahkan jika masalah ini dinyatakan secara tidak ambigu dan disertai dengan penjelasan-penjelasan, simulasi-simulasi, dan bukti matematika formal, banyak orang yang masih tidak percaya akan jawaban masalah tersebut.
== Masalah ==
Steve Selvin menulis sebuah surat kepada majalah ''[[The American Statistician]]'' pada tahun 1975 yang menanyakan masalah yang berdasarkan pada acara permainan ''[[Let's Make a Deal]]'' ([[#refSelvin1975a|Selvin 1975a]]). Dalam surat tersebut, ia menamakannya "Masalah Monty Hall" ([[#refSelvin1975b|Selvin 1975b]]). Masalah ini secara matematika sama dengan ([[#refMorganetal1991|Morgan et al., 1991]]) [[Masalah Tiga Tahanan]] yang dideskripsikan pada kolom Permainan Matematika (''Mathematical Games'') [[Martin Gardner]] di majalah ''[[Scientific American]]'' pada tahun 1959 ([[#refGardner1959|Gardner 1959]]).
{{Cquote|Suppose you're on a game show, and you're given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others, goats. You pick a door, say No. 1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say No. 3, which has a goat. He then says to you, "Do you want to pick door No. 2?" Is it to your advantage to switch your choice? ([[#refWhitaker1990|Whitaker 1990]])}}
Baris 21:
{{Cquote|Apabila Anda berada dalam suatu acara kuis di TV dan diberikan pilihan untuk memilih tiga pintu: Di belakang salah satu pintu tersebut terdapat sebuah mobil dan dua lainnya terdapat kambing. Anda memilih salah satu pintu, misalnya pintu No. 1, dan pembawa acara yang sudah tahu apa yang ada di belakang pintu-pintu tersebut membuka pintu lainnya, misalnya pintu No.3, yang ternyata terdapat seekor kambing. Pembawa acara tersebut kemudian berkata kepada anda, "Apakah anda ingin memilih pintu No. 2?" Apakah mengalihkan pilihan lebih menguntungkan anda?}}
Sebenarnya terdapat beberapa ambiguitas dalam formulasi masalah ini, yaitu tidaklah jelas apakah pembawa acara tersebut akan selalu membuka pintu yang lainnya, menawarkan pilihan untuk mengalihkan pilihan, atau bahkan apakah ia akan membuka pintu yang di dalamnya terdapat mobil ([[#refMueserandGranberg1999|Mueser and Granberg 1999]]).
{{Cquote|Suppose you're on a game show and you're given the choice of three doors. Behind one door is a car; behind the others, goats. The car and the goats were placed randomly behind the doors before the show. The rules of the game show are as follows: After you have chosen a door, the door remains closed for the time being. The game show host, Monty Hall, who knows what is behind the doors, now has to open one of the two remaining doors, and the door he opens must have a goat behind it. If both remaining doors have goats behind them, he chooses one randomly. After Monty Hall opens a door with a goat, he will ask you to decide whether you want to stay with your first choice or to switch to the last remaining door. Imagine that you chose Door 1 and the host opens Door 3, which has a goat. He then asks you "Do you want to switch to Door Number 2?" Is it to your advantage to change your choice? ([[#refKraussandWang2003|Krauss and Wang 2003:10]])}}
Baris 29:
Perlu dicatat bahwa pemain pada awalnya memilih pintu sembarang (bukan hanya pintu 1) dan pembawa acara membuka pintu yang terdapat kambing (tidak seperlunya pintu 3). Selain itu, kita juga berasumsi bahwa pemain tersebut berusaha untuk memenangkan mobil tersebut.
== Penyelesaian ==
Keseluruhan probabilitas kemenangan dari pengalihan pilihan adalah tergantung pada lokasi mobil tersebut. Apabila kita mengikuti asumsi masalah di atas dan pemain memilih pintu 1, maka terdapat tiga skenario:
* Pemain memilih pintu yang di belakangnya terdapat mobil. Pembawa acara harus membuka salah satu dari dua pintu sisanya secara acak.
Baris 35:
* Mobil tersebut berada di belakang pintu 3 dan pembawa acara harus membuka pintu 2.
{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align: center;" width="90%"
|-
Baris 44:
! width="33%" | Mobil di belakang Pintu 3
|-
| colspan=2 | [[
| [[
| [[
|-
| colspan=2 | Pembawa acara membuka salah satu dari dua pintu
Baris 52:
| Pembawa acara harus membuka Pintu 2
|-
| width=16% | [[
| width=16% | [[
| [[
| [[
|-
| Probabilitas kalah jika mengalihkan pilihan adalah 1/6
Baris 67:
Penalaran di atas berlaku untuk semua kondisi tanpa perlu kita tahu pembuka acara akan membuka pintu yang mana ([[#refMorganetal1991|Morgan dkk. 1991]]). Hal ini berarti jika banyak pemain secara acak memilih untuk mengalihkan pilihan atau tetap pada pilihan semula, maka 1/3 dari mereka yang memilih untuk tetap pada pilihan semula dan 2/3 dari mereka yang memilih untuk mengalihkan pilihan akan memenangkan mobil tersebut. Hasil ini telah diverifikasi secara eksperimen dengan menggunakan komputer dan teknik-teknik simulasi lainnya. (Lihat pula bagian [[#Simulasi|Simulasi]] di bawah).
[[
== Sumber kerancuan ==
Ketika masalah Monty Hall ini pertama kali dipaparkan, mayoritas orang akan berasumsi bahwa setiap pintu memiliki probabilitas yang sama dan berkesimpulan bahwa mengalihkan pilihan tidak akan ada bedanya ([[#refMueserandGranberg1999|Mueser and Granberg, 1999]]). Dari 228 responden pada sebuah kajian, hanya 13% yang memilih untuk mengalihkan pilihan ([[#refGranbergandBrown1995|Granberg and Brown, 1995:713]]). Dalam bukunya, Kekuatan Berpikir [[Secara Logika]] (''The Power of Logical Thinking''), vos Savant ([[#refvosSavant1996|1996:15]]) mengutip perkataan psikolog kognitif Massimo Piattelli-Palmarini, "... tidak ada teka-teki statistik lain yang begitu membodohi semua orang di setiap waktu" dan "[menyadari] bahwa bahkan fisikawan penerima hadiah Nobel pun secara sistematis memberikan jawaban yang salah, dan mereka ''bersikeras'' pada jawaban mereka yang salah itu, serta bersedia untuk mencacimaki siapapun yang memberikan jawaban yang benar."
Kebanyakan pernyataan masalah ini, terutama yang terdapat pada ''Majalah Parade'' tidak mengikuti peraturan acara kuis TV yang sebenarnya, dan tidak menjelaskan tingkah laku pembawa acara dan lokasi mobil yang acak secara jelas ([[#refGranbergandBrown1995|Granberg and Brown, 1995:712]]). Krauss dan Wang ([[#refKraussandWang2003|2003:10]]) memberikan konjektur bahwa orang akan membuat asumsi standar bahkan jika tidak diberitahukan secara eksplisit. Walaupun ketidakjelasan pernyataan ini merupakan masalah yang sangat signifikan dalam matematika, bahkan ketika kita mengatasi faktor-faktor ketidakjelasan ini hampir semua orang masih tetap berpikir bahwa masing-masing pintu yang tidak terbuka akan memiliki probabilitas yang sama dan berkesimpulan bahwa mengalihkan pilihan tidak ada bedanya. ([[#refMueserandGranberg1999|Mueser and Granberg, 1999]]). Asumsi "probabilitas sama" ini berakar kuat pada intuisi seseorang ([[#refFalk1992|Falk 1992:202]]). Kebanyakan orang memiliki kecenderungan yang kuat untuk berpikir bahwa probabilitas akan terdistribusi secara seimbang di setiap anu (unknown) yang tersedia, baik itu benar maupun tidak. ([[#refFoxandLevav2004|Fox and Levav, 2004:637]]).
Intuisi lainnya yang juga bertanggung jawab atas kerancuan ini adalah keyakinan bahwa pemberitahukan informasi yang telah kita ketahui tidak akan
Sumber kerancuan lainnya terdapat pada susunan kata-kata dari penyataan masalah yang menanyakan [[probabilitas bersyarat]]
== Cara memahami ==
=== Mengapa probabilitasnya bukanlah 1/2 ===
Kebanyakan orang akan mengira kejadian yang lampau (pembawa acara membuka pintu yang di belakangnya terdapat kambing) dapat diabaikan ketika kita memperkirakan probabilitas masalah ini dan tidak ada hubungan antara pilihan pemain dengan pintu yang pembawa acara buka. Namun sebenarnya pilihan pemain akan memengaruhi pilihan pembawa acara.
Hal ini dapat kita mengerti apabila kita bandingkan dengan variasi masalah yang diajukan vos Savant pada bulan November 2006. Dalam versi yang berbeda ini, Monty Hall lupa pintu mana yang di belakangnya terdapat mobil. Dia kemudian membuka pintu secara acak dan lega setelah mengetahui pintu yang dia buka ternyata terdapat kambing. Apabila ditanyai apakah kontestan ingin mengalihkan pilihan, vos Savant menjawab, "Jika pembawa acara saja tidak tahu, maka tidak ada bedanya antara tetap pada pilihan maupun mengalihkan pilihan. Jika dia tahu, maka alihkanlah pilihan." ([[#refvosSavant2006|vos Savant, 2006]]).
Dalam teka-teki versi ini, pemain memiliki kesempatan untuk menang yang sama baik dia beralih maupun tidak. Terdapat enam kemungkinan kejadian yang dapat terjadi, masing-masing memiliki probabilitas 1/6:
::{| class="wikitable"
! Pemain <br />memilih!! Pembawa acara <br />menampakkan !! Pintu ke-3 <br />terdapat
|-
| Kambing A || Mobil || Kambing B
|-
| Kambing B || Mobil || Kambing A
|-
| Kambing A || Kambing B || Mobil
|-
| Kambing B || Kambing A || Mobil
|-
| Mobil || Kambing A || Kambing B
|-
| Mobil || Kambing B || Kambing A
|}
Dalam dua kasus pertama, pembawa acara menampakkan mobil. Namun seperti yang telah dinyatakan dalam masalah awal, pembawa acara pasti akan menampakkan kambing, sehingga:
::{| class="wikitable"
! Pemain <br />memilih!! Pembawa acara <br />menampakkan !! Pintu ke-3 <br />terdapat
|-
| Kambing A|| Kambing B || <span style="border:1px solid gray;">Mobil</span>
|-
| Kambing B || Kambing A || <span style="border:1px solid gray;">Mobil</span>
|-
| Kambing A || <span style="border:1px solid gray;">Kambing B</span> || Mobil
|-
| Kambing B || <span style="border:1px solid gray;">Kambing A</span> || Mobil
|-
| Mobil || <span style="border:1px solid gray;">Kambing A</span> || Kambing B
|-
| Mobil || <span style="border:1px solid gray;">Kambing B</span> || Kambing A
|}
Probabilitas pemain untuk memenangkan permainan dengan mengalihkan pilihannya akan naik menjadi 2/3 karena dalam dua kasus pertama, pembawa acara dipaksa untuk menampakkan kambing. Perubahan ini mengubah probabilitas "Pintu ke-3" untuk terdapat mobil menjadi dua kali lipat. Inilah alasannya mengapa mengalihkan pilihan akan meningkatkan peluang kemenangan jika pembawa acara tersebut tahu apa yang ada di belakang pintu-pintu tersebut.
=== Meningkatkan jumlah pintu ===
Penyelesaian masalah ini akan lebih mudah dimengerti apabila jumlah pintu dalam permasalahan ini adalah 1.000.000 pintu daripada hanya 3 pintu saja ([[#refvosSavant1990|vos Savant 1990]]). Dalam kasus ini, pembawa acara membuka 999.998 pintu yang terdapat kambing dan hanya menyisakan pintu pilihan pemain dan satu pintu sisanya. Pembawa acara kemudian menawarkan pemain kesempatan untuk mengalihkan pilihan. Pintu yang tersisa akan memiliki probabilitas 999.999/1.000.0000 untuk terdapat mobil karena pintu yang dipilih pemain memiliki probabilitas 999.999/1.000.0000 untuk terdapat kambing. Pemain yang berpikiran rasional akan mengalihkan pilihannya.
=== Menggabungkan pintu ===
[[Berkas:Monty closed doors.svg|176px|ka|Pintu pilihan pemain memiliki probabilitas sebesar 1/3, sedangkan dua pintu yang
lain memiliki probabilitas sebesar 2/3.]]
Daripada membuka salah satu pintu dan menunjukkan bahwa pintu tersebut terdapat kambing, kita dapat melakukan tindakan yang setara dengan menggabungkan dua pintu yang tidak dipilih pemain. Kedua tindakan tersebut adalah setara karena pemain tidak bisa dan tidak akan memilih pintu yang telah terbuka ([[#refAdams1990|Adams 1990]]; [[#refDevlin2003|Devlin 2003]]; [[#refWilliams2004|Williams 2004]]; [[#refStibeletal2008|Stibel dkk., 2008]]). Oleh karena itu pemain hanya memiliki dua pilihan, yaitu tetap pada pilihan semula dengan probabilitas kemenangan 1/3 atau mengubah pilihannya ke pintu lainnya yang memiliki probabilitas 2/3.
Asumsi permainan sangat penting dalam hal ini; tidakan mengalihkan pilihan setara dengan memilih dua pintu secara bersamaan jika dan hanya jika pembawa acara tahu apa yang ada di belakang pintu-pintu tersebut, membuka pintu yang terdapat kambing, dan memilih salah satu dari pintu yang terdapat kambing (jika pilihan pemain adalah pintu yang terdapat mobil) secara acak.
[[Berkas:Monty open door chances.svg|197px|ka|Pintu pilihan pemain memiliki probabilitas sebesar 1/3, dua pintu lainnya memiliki probabilitas sebesar 2/3. Apabila pembawa acara membuka salah satu pintu tersebut, maka pintu yang dibuka memiliki probabilitas 0 dan pintu sisanya menjadi 2/3]]
== Analisis Bayes ==
Analisis masalah yang menggunakan formalisme teori [[probabilitas Bayes]] ([[#refGill2002|Gill 2002]]) menerangkan secara eksplisit pentingnya penetapan asumsi dalam masalah ini. Dalam teori ini, probabilitas diasosiasikan dengan proposisi dan tergantung pada informasi ''latar belakang'' apapun yang diketahui.Untuk masalah ini, informasi latar belakangnya adalah peraturan permainan, dan proposisnya adalah:
:<math>C_i\,</math>: Mobil berada di pintu ''i'', ''i'' sama dengan 1,2, atau 3.
:<math>H_{ij}\,</math>: Pembawa acara membuka pintu ''j'' setelah pemain memilih pintu ''i'', ''i'' dan ''j'' sama dengan 1, 2 atau 3.
Sebagai contoh, <math>C_1\,</math> menandakan proposisi ''mobil di belakang pintu 1'' dan <math>H_{12}\,</math> menandakan ''pembawa acara membuka pintu 2 setelah pemain memilih pintu 1''. Dengan mengindikasikan informasi latar dengan <math>I\,</math>, asumsi dapat dinyatakan secara formal sebagai berikut:
Pertama-tama, mobil dapat berada di pintu manapun, dan semua pintu secara ''a priori'' memiliki peluang yang sama menyembunyikan mobil. Dalam hal ini, ''a priori'' berarti ''sebelum permainan di mulai'', atau ''sebelum melihat kambing''. Karenanya, [[probabilitas awal]] proposisi <math>C_i\,</math> adalah:
:<math>P(C_i | I)\,= \frac{1}{3}.</math>
Kedua, pembawa acara akan selalu membuka pintu yang tidak terdapat mobil di belakangnya dan memilih salah satu dari dua pintu yang pemain tidak pilih. Jika kedua pintu tersebut memungkinkan untuk dibuka, maka kedua-duanya memiliki peluang yang sama untuk dibuka. Aturan ini menentukan [[probabiltas bersyarat]] dari proposisi <math>H_{ij}\,</math> tergantung pada keberadaan mobil tersebut:
<dl><dd>
{|
|-
| rowspan="4" valign="center" | <math>P(H_{ij} | C_k,\, I)\,\, =\,\begin{cases}
\, \\
\, \\
\, \\
\,
\end{cases}</math>
| <math>\,0\,</math> || || jika ''i'' = ''j'', (pembawa acara tidak bisa membuka pintu yang dipilih pemain)
|-
| <math>\,0\,</math> || || jika ''j'' = ''k'', (pembawa acara tidak bisa membuka pintu yang terdapat mobil di belakangnya)
|-
| <math>\,1/2\,</math> || || jika ''i'' = ''k'', (kedua pintu yang tidak terdapat mobil memiliki peluang yang sama untuk dibuka)
|-
| <math>\,1\,</math> || || jika ''i'' <math>\ne</math>''k'' dan ''j'' <math>\ne</math> ''k'', (hanya terdapat satu pintu yang tersedia untuk dibuka)
|}
</dd></dl>
Masalah ini dapat diselesaikan sekarang dengan menentukan [[probabilitas posterior]] kemenangan pada setiap kemungkinan. Tanpa menghilangkan generalitas, kita asumsikan pemain memilih pintu 1 dan pembawa acara membuka pintu 3 dan menampakkan kambing. Dengan kata lain, pembawa acara ''melakukan'' proposisi <math>H_{13}\,</math>.
Probabilitas posterior kemenangan dengan ''tidak'' beralih pada pintu yang lain, bergantung pada peraturan permainan dan <math>H_{13}\,</math>, ditulis <math>P(C_1 | H_{13},\,I)</math>. Dengan menggunakan [[Teorema Bayes]], hal ini dapat diekspresikan sebagai:
:<math> P(C_1|H_{13},\,I) = \frac{P(H_{13}| C_1,\,I) \, P(C_1 | I)}{P(H_{13} | I)}.</math>
Dengan asumsi di atas, pembilang pada sisi kanan persamaannya adalah:
:<math>P(H_{13}| C_1,\,I) \, P(C_1 | I) = \frac12 \times \frac13 = \frac16.</math>
[[Tetapan penormalan]] pada penyebut dapat dievaluasi dengan mengembangkannya menggunakan definisi [[probabilitas marginal]] dan probabilitas bersyarat:
:<math>\begin{array}{lcl}
P(H_{13}|I) &{}= &P(H_{13},\,C_1 | I) + P(H_{13},\,C_2|I) + P(H_{13},\,C_3|I) \\
&{}= &P(H_{13}|C_1,\,I) \, P(C_1|I)\, + \\
&&P(H_{13}|C_2,\,I) \, P(C_2|I)\, + \\
&&P(H_{13}|C_3,\,I) \, P(C_3|I) \\
&{}= &{\displaystyle \frac12 \times \frac13 + 1 \times \frac13 + 0 \times \frac13 }\ = \ {\displaystyle\frac12\ .}
\end{array}</math>
Pembagian pembilang dengan tetapan penormalan menghasilkan:
:<math>P(C_1|H_{13},\,I) = \frac16\,/\,\frac12 = \frac13.</math>
Perhatikan bahwa ini sama dengan probabilitas awal mobil berada di belakang pintu yang dipilih, hal ini berarti tindakan pembawa acara belum memberikan kontribusi apapun pada probabilitas.
Probabilitas kemenangan dengan mengalihkan pilihan menjadi pintu 2, <math>P(C_2 | H_{13},\,I)</math>, dapat dievaluasi dengan mengambil keseluruhan probabilitas posterior proposisi sebagai 1:
:<math>1 = P(C_1|H_{13},\,I) + P(C_2 | H_{13},\,I) + P(C_3|H_{13},\,I).</math>
Tidak ada mobil di belakang pintu 3 karena pembawa acara telah membukanya, maka <math>P(C_3|H_{13},\,I)</math> haruslah 0. Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema Bayes dan hasil perhitungan sebelumnya:
:<math>
\begin{align}
P(C_3|H_{13},\,I) &= \frac{P(H_{13}|C_3,\,I)\,P(C_3|I)}{P(H_{13}|I)} \\
&= \left(0\times\frac13\right) /\, \frac12 = 0\ .
\end{align}
</math>
Maka:
:<math>P(C_2 | H_{13},\,I) = 1 - \frac13 - 0 = \frac23.</math>
Ini menunjukkan bahwa strategi untuk memenangkan permainan adalah mengalihkan pilihan ke pintu 2. Ini juga menjelaskan tindakan pembawa acara yang menunjukkan kambing berada di pintu 3 mengakibatkan ''transfer'' probabilitas ''a priori'' sebesar 1/3 ke pintu sisanya yang tidak dibuka maupun dipilih, sehingga menjadikan pintu tersebut memiliki peluang yang lebih besar untuk terdapat mobil.
== Lihat pula ==
* [[Paradoks kotak Bertrand]] (dikenal juga sebagai ''masalah tiga kartu'')
* [[Lelaki atau perempuan]]
* [[Masalah Tiga Tahanan]]
* [[Masalah dua amplop]]
== Referensi ==
Baris 84 ⟶ 223:
-->
* <cite id=refAdams1990>[[Cecil Adams|Adams, Cecil]] (1990).[http://www.straightdope.com/classics/a3_189.html "On 'Let's Make a Deal,' you pick Door #1. Monty opens Door #2—no prize. Do you stay with Door #1 or switch to #3?",] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080515211118/http://www.straightdope.com/classics/a3_189.html |date=2008-05-15 }} ''The Straight Dope'', ([[November 2]] [[1990]]). Retrieved [[July 25]], [[2005]].</cite>
* <cite id=refBapeswaraRao1992>Bapeswara Rao, V. V. and Rao, M. Bhaskara (1992). "A three-door game show and some of its variants". ''The Mathematical Scientist'' '''17'''(2): 89–94.</cite>
* <cite id=refBarbeau2000>Barbeau, Edward (2000). ''Mathematical Fallacies, Flaws and Flimflam''. The Mathematical Association of America. ISBN 0-
* <cite id=refBloch2008>{{cite web
|url=http://www.andybloch.com/gl/pub/article.php?story=2008031308241327
|title=21 - The Movie (my review)
Baris 95 ⟶ 234:
|date=2008
|accessdate=2008-05-05}}</cite>
* <cite id=refDArianoetal2002>D'Ariano, G.M et al. (2002). [http://xxx.lanl.gov/pdf/quant-ph/0202120 "The Quantum Monty Hall Problem"] (PDF). Los Alamos National Laboratory, ([[February 21]], [[2002]]). Retrieved [[January 15]], [[2007]].</cite>
* <cite id=refDevlin2003>{{cite web
|url=http://www.maa.org/devlin/devlin_07_03.html
|title=Devlin's Angle: Monty Hall
Baris 104 ⟶ 243:
|authorlink=Keith Devlin
|date=July – August 2003
|accessdate=2008-04-25
|archiveurl=https://web.archive.org/web/20030725103328/http://www.maa.org/devlin/devlin_07_03.html
|archivedate=2003-07-25
|dead-url=no
}}</cite>
* <cite id=refFalk1992>Falk, Ruma (1992). "A closer look at the probabilities of the notorius three prisoners," ''Cognition'' '''43''': 197–223.</cite>
* <cite id=
* <cite id=refFoxandLevav2004>Fox, Craig R. and Levav, Jonathan (2004). "Partition-Edit-Count: Naive Extensional Reasoning in Judgment of Conditional Probability," ''Journal of Experimental Psychology: General'' '''133'''(4): 626-642.</cite>
* <cite id=refGardner1959>[[Martin Gardner|Gardner, Martin]] (1959). "Mathematical Games" column, ''Scientific American'', October 1959, pp. 180–182. Reprinted in ''The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions''.</cite>
* <cite id=refGardner2001>{{cite book|author =Gardner, Martin|title = A Gardner's Workout: Training the Mind and Entertaining the Spirit|url =https://archive.org/details/gardnersworkoutt0000gard|publisher = A K Peters, Ltd.|year=2001|id= ISBN 1-56881-120-9}}</cite>
* <cite id=refGill2002>[[Jeff Gill|Gill, Jeff]] (2002). ''Bayesian Methods'', pp. 8–10. CRC Press. ISBN 1-58488-288-3.</cite>
* <cite id=refGillman1992>[[Leonard Gillman|Gillman, Leonard]] (1992). "The Car and the Goats," ''American Mathematical Monthly'' '''99''': 3–7.</cite>
* <cite id=refGranberg1996>Granberg, Donald (1996). "To Switch or Not to Switch". Appendix to vos Savant, Marilyn, ''The Power of Logical Thinking''. St. Martin's Press. ISBN 0-612-30463-3.</cite>
* <cite id=refGranbergandBrown1995>Granberg, Donald and Brown, Thad A. (1999). "The Monty Hall Dilemma," ''Personality and Social Psychology Bulletin'' '''21'''(7): 711-729.</cite>
* <cite id=refGrinsteadandSnell2006>{{cite book|author=Grinstead, Charles M. and Snell, J. Laurie|title = Grinstead and Snell’s Introduction to Probability|url=http://www.math.dartmouth.edu/~prob/prob/prob.pdf|accessdate=2008-04-02|date=[[2006-07-04]]|format=PDF|others=Online version of ''Introduction to Probability, 2nd edition'', published by the American Mathematical Society, Copyright (C) 2003 Charles M. Grinstead and J. Laurie Snell.}}</cite>
* <cite id=refHall1975>[[Monty Hall|Hall, Monty]] (1975). [http://www.letsmakeadeal.com/problem.htm The Monty Hall Problem.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100408200824/http://www.letsmakeadeal.com/problem.htm |date=2010-04-08 }} LetsMakeADeal.com. Includes May 12, 1975 letter to Steve Selvin. Retrieved [[January 15]], [[2007]].</cite>
* <cite id=refKraussandWang2003>Krauss, Stefan and Wang, X. T. (2003). "The Psychology of the Monty Hall Problem: Discovering Psychological Mechanisms for Solving a Tenacious Brain Teaser," ''Journal of Experimental Psychology: General'' '''132'''(1). Retrieved from https://web.archive.org/web/20050115134357/http://www.usd.edu/~xtwang/Papers/MontyHallPaper.pdf [[March 30]], [[2008]].</cite>
* <cite id=refMagliozziandMagliozzi1998>{{cite book|author=Magliozzi, Tom; Magliozzi, Ray|authorlink=Tom Magliozzi|title = Haircut in Horse Town: & Other Great Car Talk Puzzlers|publisher = Diane Pub Co.|year=1998|id=ISBN 0-7567-6423-8}}</cite>
* <cite id=
* <cite id=refMorganetal1991>Morgan, J. P., Chaganty, N. R., Dahiya, R. C., & Doviak, M. J. (1991). [http://links.jstor.org/sici?sici=0003-1305(199111)45%3A4%3C284%3ALMADTP%3E2.0.CO%3B2-7 "Let's make a deal: The player's dilemma,"] ''American Statistician'' '''45''': 284-287.</cite>
* <cite id=refMueserandGranberg1999>Mueser, Peter R. and Granberg, Donald (May 1999). [http://econwpa.wustl.edu:80/eps/exp/papers/9906/9906001.html "The Monty Hall Dilemma Revisited: Understanding the Interaction of Problem Definition and Decision Making",] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20041210073912/http://econwpa.wustl.edu/eps/exp/papers/9906/9906001.html |date=2004-12-10 }} University of Missouri Working Paper 99-06. Retrieved [[July 5]], [[2005]].</cite>
* <cite id=refSelvin1975a>Selvin, Steve (1975a). "A problem in probability" (letter to the editor). ''American Statistician'' '''29'''(1): 67 (February 1975).</cite>
* <cite id=refSelvin1975b>Selvin, Steve (1975b). "On the Monty Hall problem" (letter to the editor). ''American Statistician'' '''29'''(3): 134 (August 1975).</cite>
* <cite id=refStibeletal2008>[[Jeff Stibel|Stibel, Jeffrey]], Dror, Itiel, & Ben-Zeev, Talia (2008). "The Collapsing Choice Theory: Dissociating Choice and Judgment in Decision Making," ''Theory and Decision''. Published online at http://www.springerlink.com/content/v65v2841q3820622/{{Pranala mati|date=Februari 2021 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}.</cite>
* <cite id=refTierney1991>[[John Tierney (journalist)|Tierney, John]] (1991). "[http://query.nytimes.com/gst/fullpage.html?res=9D0CEFDD1E3FF932A15754C0A967958260 Behind Monty Hall's Doors: Puzzle, Debate and Answer?]", ''The New York Times'', [[1991-07-21]]. Retrieved on [[2008-01-18]].</cite>
* <cite id=refTierney2008>Tierney, John (2008). "[http://www.nytimes.com/2008/04/08/science/08tier.html And Behind Door No. 1, a Fatal Flaw]", ''The New York Times'', [[2008-04-08]]. Retrieved on [[2008-04-08]].</cite>
* <cite id=refvosSavant1990>[[Marilyn vos Savant|vos Savant, Marilyn]] (1990). "Ask Marilyn" column, ''Parade Magazine'' p. 16 ([[9 September]] [[1990]]).</cite>
* <cite id=refvosSavant1996>{{cite book|author =vos Savant, Marilyn|title = The Power of Logical Thinking|url =https://archive.org/details/poweroflogicalth00voss|publisher = St. Martin's Press|year=1996|id= ISBN 0-612-30463-3}}</cite>
* <cite id=refvosSavant2006>vos Savant, Marilyn (2006). "Ask Marilyn" column, ''Parade Magazine'' p. 6 ([[26 November]] [[2006]]).</cite>
* <cite id=refWilliams2004>{{cite web
|url=http://www.nd.edu/~rwilliam/stats1/appendices/xappxd.pdf
|title=Appendix D: The Monty Hall Controversy
Baris 138 ⟶ 281:
|work=Course notes for Sociology Graduate Statistics I
|accessdate=2008-04-25}}</cite>
* <cite id=refWhitaker1990>Whitaker, Craig F. (1990). [Letter]. "Ask Marilyn" column, ''Parade Magazine'' p. 16 ([[9 September]] [[1990]]).</cite>
<!-- {{cite journal | author = Marilyn vos Savant | date = [[November 26]]–[[December 2]] [[2006]] | title = Ask Marilyn | journal = Parade Classroom Teacher's Guide | pages = 3 | url = http://www.paradeclassroom.com/tg_folders/2006/1126/TG_11262006.pdf | format = [[PDF]] | accessdate = 2006-11-27 }} -->
== Pranala luar ==
* [http://www.letsmakeadeal.com/problem.htm The Monty Hall Problem] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100408200824/http://www.letsmakeadeal.com/problem.htm |date=2010-04-08 }} di [http://www.letsmakeadeal.com letsmakeadeal.com]
* [http://www.marilynvossavant.com/articles/gameshow.html The Game Show Problem] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100310140547/http://www.marilynvossavant.com/articles/gameshow.html |date=2010-03-10 }}
* {{dmoz|Science/Math/Recreations/Famous_Problems/Monty_Hall/|Monty Hall}}
* "[http://demonstrations.wolfram.com/MontyHallParadox/ Monty Hall Paradox]" oleh Matthew R. McDougal, [[The Wolfram Demonstrations Project]] (simulasi)
* [http://www.nytimes.com/2008/04/08/science/08monty.html The Monty Hall Problem] di ''The New York Times'' (simulasi)
[[Kategori:
| |||