Kaidah darab: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k Bersih-bersih (via JWB) |
|||
| (34 revisi perantara oleh 21 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{
[[Berkas:Produktregel.PNG|thumb|right|Ilustrasi geometri bukti aturan perkalian]]
{{about||Aturan rantai Euler terkait turunan parsial dari tiga variabel independen|Aturan perkalian tiga|prinsip penghitungan dalam kombinatorika|Kaidah perkalian|aturan hasil kali umum dalam probabilitas|Kaidah rantai (probabilitas)}}
Dalam [[kalkulus]], '''kaidah darab''' (
Kaidah ini dapat dituliskan sebagai:
Baris 12 ⟶ 13:
== Penemuan oleh Leibniz ==
Kaidah ini ditemukan oleh [[Gottfried Leibniz]] yang mendemonstrasikannya dengan menggunakan [[diferensial]].<ref>{{cite
: <math>
Baris 21 ⟶ 22:
</math>
Oleh karena (''du'')(''dv'') adalah "dapat
:<math>d(uv) = v\,du + u\,dv \,</math>
Baris 35 ⟶ 36:
== Pembuktian kaidah darab ==
Pembuktian yang cermat dari kaidah darab dapat diberikan menggunakan sifat-sifat [[limit]] dan definisi turunan sebagai limit dari [[hasil bagi beda]] [[
Misalkan
Baris 41 ⟶ 42:
:<math> h(x) = f(x)g(x),\,</math>
dan ''f'' and ''g'' masing-masing terdiferensialkan pada bilangan tetap ''x''.
:<math>h'(x) = \lim_{w\to x}{ h(w) - h(x) \over w - x} = \lim_{w\to x}{f(w)g(w) - f(x)g(x) \over w - x}. \qquad\qquad(1)</math>
Baris 50 ⟶ 51:
adalah luas daerah persegi panjang besar dikurangi luas daerah persegi panjang kecil seperti yang digambarkan
[[
Kita ketahui bahwa daerah berbentuk-L di atas dapat dibagi lagi menjadi dua persegi panjang, maka jumlah daerah tersebut dapat ditulis:
Baris 71 ⟶ 72:
:<math>\lim_{w\to x}f(x) = f(x)\,</math>
karena ''f''(''x'') tetaplah konstan ketika ''w''
:<math> \lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x} = g'(x) </math>
Baris 102 ⟶ 103:
:<math>{d \over dx} f = v {d \over dx} u + u {d \over dx} v.</math>
Pembuktian ini dapat dilihat di [http://planetmath.org/encyclopedia/LogarithmicProofOfProductRule.html] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080117114913/http://planetmath.org/encyclopedia/LogarithmicProofOfProductRule.html |date=2008-01-17 }}. Perlu diperhatikan bahwa karena ''u'', ''v'' haruslah kontinu, asumsi positif tidak akan menghilangkan kerampatan (generality).
Pembuktian ini bergantung pada [[kaidah rantai]] dan sifat-sifat fungsi [[logaritma natural]].
Baris 112 ⟶ 113:
: <math> {d (ab) \over dx} = \frac{\partial(ab)}{\partial a}\frac{da}{dx}+\frac{\partial (ab)}{\partial b}\frac{db}{dx} = b \frac{da}{dx} + a \frac{db}{dx}.</math>
== Perumuman ==
=== Hasil kali dari lebih dari dua faktor ===
Kaidah darab dapat
:<math>\frac{d(uvw)}{dx} = \frac{du}{dx}vw + u\frac{dv}{dx}w + uv\frac{dw}{dx}.</math>
Baris 135 ⟶ 136:
=== Turunan parsial lebih tinggi ===
Untuk [[turunan parsial]] lebih tinggi:
:<math>{\partial^n \over \partial x_1\,\cdots\,\partial x_n} (uv)
= \sum_S {\partial^{|S|} u \over \prod_{i\in S} \partial x_i} \cdot {\partial^{n-|S|} v \over \prod_{i\not\in S} \partial x_i}</math>
dengan indeks ''S''
:<math>\begin{align} &{}\quad {\partial^3 \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} (uv) \\ \\
Baris 151 ⟶ 152:
=== Kaidah darab pada ruang Banach ===
Jika ''X'', ''Y'', dan ''Z'' adalah [[ruang Banach]] (yang meliputi [[ruang Euclide]]) dan ''B''
:<math> (D_\left( x,y \right)\,B)\left( u,v \right) = B\left( u,y \right) + B\left( x,v \right)\qquad\forall (u,v)\in X \times Y.
=== Turunan dalam aljabar abstrak ===
Baris 165 ⟶ 166:
:<math>(fg)'=f'g+g'f \,</math>, walaupun ini adalah benar pada perkalian skalar.
== Lihat pula ==
* [[Kaidah hasil bagi]]
* [[Kaidah timbal balik]]
* [[Kaidah rantai]]
* [[Integrasi parsial]]
* [[Diferensial]]
* [[Turunan (aljabar abstrak)]]
[[Category:Kalkulus]]▼
[[Category:Matematika]]▼
{{Authority control}}
| |||