Induksi matematika: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k Bot: Perubahan kosmetika |
k ~ |
||
| (17 revisi perantara oleh 10 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
[[Berkas:Dominoeffect.png|jmpl|ka|Sebuah deskripsi tidak formal dari induksi matematika dapat diilustrasikan dengan mengacu kepada efek sekuensial dari jatuhnya domino.]]'''Induksi matematika''' merupakan salah satu kegiatan [[Pembuktian melalui deduksi|penalaran deduktif]] yang berkaitan dengan [[pembuktian matematika]].<ref>{{Cite book|last=Ilyas, dkk.|first=|date=2015|url=http://repository.uncp.ac.id/22/1/2.%20Buku-Metodologi%20Penelitian%20Pendidikan%20Matematika.pdf|title=Metodologi Penelitian Pendidikan Matematika|location=Bandung|publisher=Pustaka Ramadhan|isbn=979-604-153-7|pages=228|url-status=live}}</ref> Dalam [[matematika]], induksi matematika merupakan sebuah dasar [[aksioma]] bagi beberapa [[teorema]] yang melibatkan [[bilangan asli]].{{Sfn|Utomo dan Huda|2020|p=1}} Pembuktian suatu pernyataan matematis dengan induksi matematika dilakukan pada objek matematika yang bersifat diskrit, misalnya [[teori bilangan]], [[teori graf]], dan [[kombinatorika]]. [[Matematikawan]] menggunakan induksi matematika untuk menjelaskan pernyataan matematika yang telah diketahui kebenarannya.{{Sfn|Utomo dan Huda|2020|p=2}}
Prinsip induksi matematis dapat dijelaskan secara umum dalam dua tahap yaitu langkah awal atau asumsi induktif dan langkah induksi dasar. Penggunaan induksi matematika utamanya dilakukan pada tiga jenis masalah matematika yaitu seri umum, habis dibagi dan ketidaksetaraan.{{Sfn|Utomo dan Huda|2020|p=33-34}} Kemampuan pembuktian induksi matematika secara benar ditentukan oleh tingkat pemahaman [[konsep]]. Setiap prosedur induksi matematika yang digunakan pada suatu konsep matematika dapat ditentukan melalui pemahaman relasional.{{Sfn|Utomo dan Huda|2020|p=38-39}}
== Sejarah penggunaan ==
Teorema matematika didasarkan pada sekumpulan aksioma dan [[definisi]]. Pembuktian semua jenis teorema dilakukan dengan menggunakan aksioma dan definisi, atau menggunakan teorema-teorema yang telah terbukti kebenarannya. Teorema dalam matematika tidak didasarkan kepada hasil-hasil [[Percobaan|eksperimen]] yang tidak dapat dibuktikan kebenarannya.{{Sfn|Lolang dan Tandiseru|2017|p=23}} Matematika tidak dapat menerima [[argumentasi]] bahwa suatu pernyataan matematis adalah benar hanya dengan eksperimen-eksperimen dan [[Pengamatan|observasi]]-observasi. [[Pierre de Fermat]] (1601- 1665) membuktikan bahwa pada konjektur Fermat, persamaan tidak akan menghasilkan [[bilangan bulat]] berbentuk positif pada sebarang bilangan bulat yang bernilai lebih dari 2. Para matematikawan memerlukan waktu lebih dari tiga [[abad]] untuk menemukan pembuktian konjektur Fermat. Pada tahun 1994, konjektur Fermat dibuktikan oleh matematikawan berkebangsaan [[Inggris]] yaitu [[Andrew Wiles]].{{Sfn|Lolang dan Tandiseru|2017|p=24}}
[[Berkas:Sum-square01.png|jmpl|Demonstrasi pembuktian klaim bahwa "Jumlah dari n bilangan ganjil pertama adalah bilangan kuadrat, bukan n."]]
Sejarah penggunaan induksi matematika dijelaskan oleh Bussey dalam [[artikel]] yang ditulisnya pada tahun 1917. Dalam artikel tersebut dijelaskan bahwa proses induksi matematika telah digunakan untuk pertama kali oleh [[D. Franciscus Maurolycus]] (1494- 1575). Maurolycus adalah matewatikawan berkebangsaan [[Italia]] dan kenalan dari [[Blaise Pascal]] (1623-1662). Penggunaan induksi matematika dilakukan oleh Maurolycus dalam bukunya yang terbit pada tahun 1575. Maurolycus menggunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa bilangan-[[Paritas (matematika)|bilangan ganjil]] terbentuk dengan cara berturut-turut menambahkan 2 terhadap bilangan ganjil pertama, yaitu 1. Pembuktikan lain yang diperolehnya dengan induksi yaitu jumlah n bilangan ganjil pertama adalah [[Pangkat dua|kuadrat]] n. Pembuktian matematika yang dilakukan oleh Pascal maupun Maurolycus tidak pernah menggunakan istilah induksi. Istilah induksi digunakan pertama kalinya pada tahun 1956 oleh [[John Wallis]]. Dalam bukunya yang berjudul ''Arithmetica Infinitorum'', Wallis menggunakan isitlah ''per modum inductionis''. Pada tahun 1838, [[Augustus De Morgan|Augustus de Morgan]] (1806-1871) memperkenalkan istilah induksi matematika ke publik melalui artikel ''induction'' yang ditulisnya untuk jurnal Penny Cyclopedia.{{Sfn|Lolang dan Tandiseru|2017|p=24-25}}
Pada tahun 1889, [[Giuseppe Peano]] (1858-1932) merumuskan prinsip induksi matematika ke dalam lima aksioma. Di dalam kelima aksioma ini, disajikan definisi lengkap tentang bilangan asli. Kelima aksioma tersebut adalah:{{Sfn|Lolang dan Tandiseru|2017|p=25}}
# 1 adalah bilangan asli.
# Terdapat satu bilang turutan yang unik dan bentuk bilangan asli pada setiap bilangan asli.
# Bilangan turutan yang sama mustahil ditemukan pada dua bilangan asli yang berbeda.
# 1 bukan merupakan turutan dari sebarang bilangan asli
# Sifat yang dimiliki oleh 1 dan turutan semua bilangan asli, pasti dimiliki juga oleh semua bilangan asli.
== Proposisi ==
Dalam pembuktian tidak langsung, induksi matematika melibatkan dua [[proposisi]], yaitu basis induksi dan hipotesis induksi. Pembuktian dilakukan dalam tiga langkah yaitu langkah basis, hipotesis induksi, dan langkah induksi.{{Sfn|Lolang dan Tandiseru|2017|p=11}}
== Matematika umum ==
Pembuktian cara induksi matematika ingin membuktikan bahwa teori atau sifat itu benar untuk semua [[bilangan]] asli atau semua bilangan dalam himpunan bagiannya. Caranya ialah dengan menunjukkan bahwa sifat itu benar untuk n = 1 (atau S(1) adalah benar), kemudian ditunjukkan bahwa bila sifat itu benar untuk n = k (bila S(k) benar) menyebabkan sifat itu benar untuk n = k + 1 (atau S(k + 1) benar).
* Buktikan bahwa <math>1 + 3 + 5 +\cdots + 2n - 1 = n^2</math> untuk jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n<sup>2</sup>!
Baris 61 ⟶ 75:
Jadi, <math>S(n)</math> benar untuk setiap bilangan bulat positif adalah n karena memenuhi kedua langkah pembuktian
* Buktikan bahwa <math>4n < 2^n</math> untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 5!
Baris 89 ⟶ 103:
Jadi, <math>S(n)</math> benar untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 5 karena memenuhi kedua langkah pembuktian
* Buktikan bahwa salah satu faktor dari <math>n^3 + 3n^2 + 2n</math> adalah 3 untuk semua bilangan bulat positif n!
Baris 99 ⟶ 113:
untuk <math>n = 1</math>, benar bahwa <math>1^3 + 3(1)^2 + 2(1) = 6</math>
'''Langkah pembuktian kedua:'''{{br}}
andaikan benar untuk <math>n = k</math>, yaitu
:<math>k^3 + 3k^2 + 2k</math>, maka akan dibuktikan benar pula untuk <math>n = k + 1</math>, yaitu
Baris 107 ⟶ 122:
:<math>(k + 1)^3 + 3(k + 1)^2 + 2(k+ 1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 3k^2 + 6k + 3 + 2k + 2</math>
:<math>= (k^3 + 3k^2 + 2k) + (3k^2 + 9k + 6)</math>
:<math>= (k^3 + 3k^2 + 2k) + 3 \cdot (k^2 + 3k + 2)</math>
karena 3 adalah faktor dari <math>3 \cdot (k^2 + 3k + 2)</math> dan 3 juga merupakan faktor <math>k^3 + 3k^2 + 2k</math>, maka 3 adalah faktor dari <math>(k + 1)^3 + 3(k + 1)^2 + 2(k+ 1)</math>. Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2.
Baris 131 ⟶ 146:
:<math>4^{k + 1} - 1 = 4^{k + 1} - 4^k + 4^k - 1</math>
:<math>= 4^k (4 - 1) + (4^k - 1)</math>
:<math>= 4^k \cdot 3 + (4^k - 1)</math>
karena 3 adalah faktor dari <math>4k \cdot 3</math> dan 3 juga merupakan faktor <math>4^k - 1</math>, maka 3 adalah faktor dari <math>4^{k + 1} - 1</math>. Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2.
Baris 155 ⟶ 170:
:<math>5^{k + 1} - 1 = 5^{k + 1} - 5^k + 5^k - 1</math>
:<math>= 5^k (5 - 1) + (5^k - 1)</math>
:<math>= 5^k \cdot 4 + (5^k - 1)</math>
karena <math>5k \cdot 4</math> dan <math>5^k - 1</math> habis dibagi 4, maka <math>5^{k + 1} - 1</math> habis dibagi 4. Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2.
Baris 162 ⟶ 177:
Jadi, <math>S(n)</math> benar untuk <math>5^n - 1</math> habis dibagi 4 untuk semua bilangan bulat positif n karena memenuhi kedua langkah pembuktian
* Buktikan bahwa x - y adalah faktor <math>x^n - y^n</math> untuk semua bilangan bulat positif n!
Baris 186 ⟶ 201:
Jadi, <math>S(n)</math> benar untuk x - y adalah faktor <math>x^n - y^n</math> untuk semua bilangan bulat positif n karena memenuhi kedua langkah pembuktian
Temukan hasil rumus untuk penjumlahan berhingga berikut kemudian buktikan hasil rumus tersebut dengan induksi matematika!
:<math>\frac{1}{4} + \frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \cdots + \frac{1}{2n(n + 1)}</math>
Baris 243 ⟶ 258:
TAHAPAN INDUKSI MATEMATIKA
Akan dibuktikan S(k) S(k+1) benar
positif
PEMBUKTIAN INDUKSI MATEMATIKA
Contoh 1
Buktikan bahwa
1 + 2 + 3 + … + n = ½ n(n+1)
untuk setiap n bilangan integer positif!
Jawab
Basis
1 = ½ 1 . (1+1) 1 = 1
Induksi
adib. Untuk n = k+1 berlaku
1 + 2 + 3 + …+ (k+1) = ½ (k+1) (k+2)
Jawab
1 + 2 + 3 + …+ (k+1) = (k+1) (k+2) / 2
1 + 2 + 3 + …+ k + (k+1) = (k+1) (k+2) / 2
Baris 273 ⟶ 288:
(k+1) (k+2) / 2 = (k+1) (k+2) / 2
Kesimpulan
Untuk setiap bilanga bulat positif n
Contoh 2
Buktikan bahwa
1 + 3 + 5 + … + n = (2n - 1) = n2
untuk setiap n bilangan bulat positif!
Jawab
Basis
1 = 12 1 = 1
Induksi
adib. Untuk n = k + 1 berlaku
1 + 3 + 5 + …+ (2 (k + 1) – 1) = (k + 1)2
Baris 295 ⟶ 310:
k 2 + 2K + 1 = k 2 + 2K + 1
Kesimpulan
Untuk setiap bilangan bulat positif n
Contoh 3
Buktikan bahwa
N 3 + 2n adalah kelipatan 3
untuk setiap n bilangan bulat positif!
Jawab
Basis
1 = 13 + 2(1) 1 = 3
Induksi
adib. Untuk n = k + 1 berlaku
(k + 1)3 + 2(k + 1) adalah kelipatan 3
Baris 316 ⟶ 331:
3x + 3 (k 2 + k + 1)
3 (x + k 2 + k + 1)
Kesimpulan
Untuk setiap bilangan bulat positif n
-->
== Penerapan ==
=== Penalaran pada matematika formal ===
Induksi matematika digunakan untuk mengatasi kelemahan dari penalaran induktif. Penggunaan induksi matematika dapat memberikan kesimpulan yang berlaku umum. Sebaliknya, penalaran induktif yang dilakukan melalui [[pengalaman]] dan [[pengamatan]], tidak menjamin adanya [[kesimpulan]] yang berlaku secara umum. Kesimpulan yang berlaku secara umum di dalam matematika formal hanya dapat diperoleh melalui induksi matematika.<ref>{{Cite book|last=Utoyo|first=Setiyo|date=2017|url=https://repository.ung.ac.id/get/karyailmiah/4391/Setiyo-Utoyo-Metode-Pengembangan-Matematika-Anak-Usia-Dini.pdf|title=Metode Pengembangan Matematika Anak Usia Dini|location=Gorontalo|publisher=Ideas Publishing|isbn=978-602-6635-57-0|pages=61|url-status=live}}</ref>
== Referensi ==
<div class="references-2column">
<references />
== Daftar pustaka ==
# {{cite book|last=Lolang, E., dan Tandiseru, S. R.|first=|date=|year=2017|url=http://www.buku-e.lipi.go.id/penulis/enos001/1516717126buku.pdf|title=Dasar-Dasar Matematika Diskrit dengan Pendekatan Problem Solving|location=Tana Toraja|publisher=UKI Toraja Press|isbn=978-602-18328-8-2|pages=|ref={{sfnref|Lolang dan Tandiseru|2017}}|url-status=live}}
#{{cite book|last=Utomo, D. P., dan Huda, M.|first=|date=|year=2020|url=http://eprints.umm.ac.id/63106/7/Utomo%20Huda%20-%20Pemahaman%20Relasional%20Analisis%20Proses%20Pembuktian%20Menggunakan%20Induksi%20Matematika.pdf|title=Pemahaman Relasional Analisis Proses Pembuktian Menggunakan Induksi Matematika|location=Yogyakarta|publisher=CV. Bildung Nusantara|isbn=978-623-7148-42-5|pages=|ref={{sfnref|Utomo dan Huda|2020}}|url-status=live}}
== Bacaan lanjutan ==
=== Analisis ===
* {{cite book|first=Donald E.|last=Knuth|authorlink=Donald Knuth|year=1997|title=The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms|edition=3rd|publisher=Addison-Wesley|id=ISBN 0-201-89683-4}} (Section 1.2.1: Mathematical Induction, pp. 11-21.)
* {{cite book|first=Andrey N.|last=Kolmogorov|authorlink=Andrey Kolmogorov|couauthors=Sergei V. Fomin|others=Silverman, R. A. (trans., ed.)|year=1975|title=Introductory Real Analysis|publisher=Dover|location=New York|id=ISBN 0-486-61226-0}} (Section 1.3.8: Transfinite induction, pp. 28-29.)
* {{cite book|first=J.|last=Franklin|authorlink=James Franklin (philosopher)|couauthors=A. Daoud|year=1996|title=Proof in Mathematics: An Introduction|publisher=Quakers Hill Press|location=Sydney|id=ISBN 1-876192-00-3}} (Ch. 8.)
=== Sejarah ===
* {{cite journal|journal=Archive for History of Exact Sciences|volume=55|year=2000|pages=57-76|title=Plato: ''Parmenides'' 149a7-c3. A Proof by Complete Induction?|first=F.|last=Acerbi|doi=10.1007/s004070000020}}
* {{cite journal|title=The Origin of Mathematical Induction|first=W. H.|last=Bussey|journal=The American Mathematical Monthly|volume=24|issue=5|year=1917|pages=199-207|url=http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9890%28191705%2924%3A5%3C199%3ATOOMI%3E2.0.CO%3B2-Y}}
Baris 338 ⟶ 368:
* {{cite journal|title=The Use of Mathematical Induction by Abū Kāmil Shujā' Ibn Aslam (850-930)|first=Mohammad|last=Yadegari|journal=Isis|year=1978|volume=69|issue=2|pages=259-262|url=http://links.jstor.org/sici?sici=0021-1753%28197806%2969%3A2%3C259%3ATUOMIB%3E2.0.CO%3B2-B}}
* {{cite book|first=Sri Kurnianingsih|last=Kuntarti|authorlink=Sulistiyono|couauthors=Kuntarti|others=Sulistiyono|year=2007|title=Matematika SMA dan MA jilid 3B untuk Kelas XII Semester II Program IPA|publisher=Esis|location=Jakarta|id=ISBN 978-979-015-297-7}}
</div>
[[Kategori:Logika matematika]]
[[Kategori:Induksi matematis]]
| |||