Teorema dasar kalkulus: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
←Membuat halaman berisi '{{Calculus}} '''Teorema dasar kalkulus''' menjelaskan relasi antara dua operasi pusat kalkulus, yaitu pendiferensialan (''differentiation'') dan [[integ...' |
k Bot: Mengganti kategori yang dialihkan Artikel yang mengandung pembuktian menjadi Artikel yang memuat pembuktian |
||
| (85 revisi perantara oleh 51 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{Kalkulus}}'''Teorema dasar kalkulus''' menjelaskan relasi antara dua operasi pusat [[kalkulus]], yaitu [[turunan|pendiferensialan]] dan [[integral|pengintegralan]].
Bagian pertama dari teorema ini, kadang disebut sebagai teorema dasar kalkulus pertama, menunjukkan bahwa sebuah [[antiturunan|integral tak tentu]]<ref>Lebih tepatnya, teorema ini berkutat pada [[integral|integral tertentu]] dengan limit atas variabel dan limit bawah sembarang. Jenis integral tertentu ini mengijinkan kita menghitung satu dari banyak [[antiturunan]] sebuah fungsi (kecuali untuk yang tidak nol). Oleh karena itu, ia hampir setara (ekuivalen) dengan [[antiturunan|integral tak tentu]], didefinisikan oleh kebanyakan penulis sebagai sebuah operasi yang menghasilkan salah satu antiturunan sembarang sebuah fungsi, meliputi yang tidak nol.</ref> dapat dibalikkan menggunakan pendiferensialan.
Bagian
'''Teorema dasar kalkulus''' kadang-kadang juga disebut sebagai '''Teorema dasar kalkulus Leibniz''' atau '''Teorema dasar kalkulus Torricelli-Barrow'''.
==
Penyataan yang pertama kali dipublikasikan dan [[bukti matematika]] dari versi terbatas teorema dasar ini diberikan oleh [[James Gregory]] (1638-1675).<ref>Lihat Marlow Anderson, Victor J. Katz, Robin J. Wilson, ''Sherlock Holmes in Babylon and Other Tales of Mathematical History'', Mathematical Association of America, 2004, [http://books.google.com/books?vid=ISBN0883855461&id=BKRE5AjRM3AC&pg=PA114&lpg=PA114&ots=Z01TZKrQXY&dq=%22james+gregory%22+%22fundamental+theorem%22&sig=6xDqL0oNAhWw66IqPdI5fQX7euA hlm. 114].
</ref> [[Isaac Barrow]] (1630-1677) membuktikan versi umum bagian pertama teorema ini, sedangkan murid Barrow, [[Isaac Newton]] (1643-1727) menyelesaikan perkembangan dari teori matematika di sekitarnya. [[Gottfried Leibniz]] (1646–1716) menyistematisasi ilmu ini menjadi kalkulus untuk kuantitas infinitesimal.
== Pengertian geometri ==
[[Berkas:FTC_geometric.svg|ka|jmpl|500x500px|Luas arsir dalam strip warna merah berkait erat dengan <math>h</math> dikali <math>f(x)</math>. Secara bergantian, jika fungsi <math>A(x)</math> diketahui, luasnya tepat <math>A(x+h)-A(x)</math>. Kedua nilai hampir sama, khususnya ketika <math>h</math> kecil.]]
Untuk suatu fungsi kontinu <math>y =f(x)</math> yang grafiknya digambar sebagai kurva, setiap nilai <math>x</math> memiliki fungsi luas berpadanan <math>A(x)</math> yang mewakilkan luas di bawah kurva <math>f(x)</math> antara <math>0</math> dan <math>x</math>. Fungsi <math>A(x)</math> tidak diketahui, tetapi mengingat bahwa fungsi tersebut mewakilkan luas di bawah kurva.
Luas di bawah kurva antara <math>x</math> dan <math>x+h</math> dapat dihitung dengan mencari luas di antara <math>0</math> dan <math>x+h</math>, lalu mengurangi luas di antara <math>0</math> dan <math>x</math>. Dengan kata lain, luas "strip" adalah <math>A(x + h) - A(x)</math>.
Ada cara lain untuk ''mengestimasi'' luas strip tersebut. Seperti yang ditunjukkan dalam gambar di samping, <math>h</math> dikali <math>f(x)</math> memperoleh luas persegi panjang yang kira-kira sama dengan luas strip. Jadi:
: <math>
Nyatanya, estimasi ini mendekati kesamaan yang sempurna jika kita menambah bagian luas tambahan yang berwarna merah seperti di gambar. Jadi:
: <math>A(x+h)-A(x)=f(x)\cdot h+(\text{Luas tambahan berwarna merah})</math>
Dengan menyusun bentuk memperoleh:
: <math>f(x) = \frac{A(x+h)-A(x)}{h} - \frac{\text{Luas tambahan berwarna merah}}{h}</math>.
Ketika <math>h</math> mendekati <math>0</math> di [[limit]], pecahan yang terakhir dapat ditunjukkan mendekati nol.<ref>[[Lipman Bers|Bers, Lipman]]. ''Calculus'', hlm. 180–181 (Holt, Rinehart and Winston (1976).</ref> Ini benar karena luas daerah tambahan berwarna merah lebih kecil sama dengan luas dari batas persegi panjang hitam. Lebih tepatnya,
: <math>\left|f(x) - \frac{A(x+h) - A(x)}{h}\right| = \frac{|\text{Luas tambahan berwarna merah}|}{h} \le \frac{h(f(x+h_1) - f(x+h_2))}{h} = f(x+h_1) - f(x+h_2)</math>,
dengan <math>x+h_1</math> dan <math>x+h_2</math> adalah masing-masing titik ketika <math>f</math> mendekati nilai maksimum dan minimum di selang <math>[x,x+h]</math>. Melalui kekontinuan <math>f</math>, bentuk terakhir mendekati nol sama seperti <math>h</math>. Karena itu, ruas kiri mendekati nol sama seperti <math>h</math>.
: <math>f(x) = \lim_{h\to 0}\frac{A(x+h)-A(x)}{h}</math>
Ini menyiratkan <math>f(x) = A'(x)</math>. Artinya, turunan fungsi luas <math>A(x)</math> sama dengan fungsi asalnya, <math>f(x)</math>. Demikian juga, fungsi luasnya adalah antiturunan fungsi asalnya. Dengan menghitung turunan fungsi dan mencari luas di bawah kurvanya merupakan operasi "kebalikan". Pengertian ini merupakan bagian terpenting mengenai Teorema Dasar Kalkulus.
==
Secara intuitif, teorema ini dengan sederhana menyatakan bahwa jumlah perubahan [[infinitesimal]] suatu kuantitas terhadap waktu (atau terhadap kuantitas lainnya) akan menumpuk menjadi perubahan total kuantitas.
Untuk memahami pernyataan ini, diberikan sebuah contoh: Misalkan sebuah partikel berpindah mengikuti garis lurus dengan posisinya diberikan sebagai ''x''(''t''), dengan ''t'' adalah waktu dan ''x''(''t'') berarti ''x'' adalah fungsi dari ''t''. Turunan dari fungsi ini sama dengan perbuahan infinitesimal kuantitas, d''x'', per perubahan infinitesimal waktu, d''t'' (tentu saja turunannya sendiri tergantung pada waktu). Didefinisikan pula perubahan jarak terhadap perubahan waktu ini sebagai kecepatan ''v'' partikel. Dalam [[notasi Leibniz]]:
:<math>\
[[diferensial (infinitesimal)|Dengan menata ulang persamaan ini]], terlihat bahwa:
:<math>
Dengan logika di atas, sebuah perubahan ''x'' (atau Δ''x'') adalah jumlah dari perbuahan infinitesimal d''x''. Ia juga sama dengan jumlah dari hasil kali infinitesimal dari turunan dan waktu. Penjumlahahan takterhingga ini adalah pengintegralan; sehingga operasi penginteralan mengizinkan pemulihan fungsi semula dari turunannya. Dengan pemikiran yang sama, operasi ini juga dapat bekerja terbalik ketika kita menurunkan hasil dari sebuah integral untuk memulihkan turunan semula.
== Pernyataan formal ==
Terdapat dua bagian teorema dasar kalkulus. Secara kasar, bagian pertama berkutat pada turunan sebuah [[antiturunan]], sedangkan bagian kedua berkutat pada relasi antara antiturunan dan [[integral tertentu]].
=== Bagian pertama ===
Bagian ini kadang-kadang dirujuk sebagai teorema dasar kalkulus pertama.
Misalkan ''f'' adalah fungsi bernilai real yang kontinu, didefinisikan pada sebuah [[interval (matematika)|interval tertutup]] [''a'', ''b'']. Misalkan juga ''F'' adalah fungsi yang didefinisikan, untuk semua ''x'' pada [''a'', ''b''], dengan
:<math>F(x) = \int_a^x f(t)\, dt\,.</math>
Maka ''F'' adalah kontinu pada [''a'', ''b''], terdiferensialkan (''differentiable'') pada interval terbuka (''a'', ''b''), dan
:<math>F'(x) = f(x)\,</math>
untuk semua ''x'' pada (''a'', ''b'')
{{collapse top|title=Bukti untuk teorema dasar kalkulus bagian pertama}}
Andaikan
:<math>F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \,dt\,.</math>
Baris 88 ⟶ 76:
:<math>F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt - \int_{a}^{x_1} f(t) \,dt. \qquad (1)</math>
Bisa
:<math>\int_{a}^{x_1} f(t) \,dt + \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt = \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt.
:(Jumlah dari luas wilayah yang bersampingan sama dengan jumlah kedua wilayah yang digabungkan.)
Dengan memanipulasi persamaan ini, kita dapatkan
:<math>\int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt - \int_{a}^{x_1} f(t) \,dt = \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt.
Substitusikan persamaan di atas ke (1), sehingga
Baris 104 ⟶ 92:
Bagi kedua sisi dengan Δ''x'', menghasilkan
:<math>\frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = f(c).
:Perhatikan pula ekspresi pada sisi kiri persamaannya adalah [[hasil bagi beda]] Newton untuk ''F'' pada ''x''<sub>1</sub>.
Dengan mengambil limit Δ''x'' → 0 pada kedua sisi persamaan:
:<math>\lim_{\Delta x \to 0} \frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} f(c).
Ekspresi pada sisi kiri persamaan adalah definisi turunan dari ''F'' pada ''x''<sub>1</sub>.
Baris 126 ⟶ 114:
:<math>F'(x_1) = f(x_1) \,.</math>
yang menyelesaikan pembuktian
{{collapse bottom}}
=== Bagian kedua ===
Bagian ini kadang-kadang dirujuk sebagai teorema dasar kalkulus kedua atau '''aksioma''' '''Newton–Leibniz'''.
Misalkan ''f'' adalah sebuah fungsi bernilai real yang kontinu, didefinisikan pada [[interval tertutup]] [''a'', ''b'']. Misalkan juga ''F'' adalah [[antiturunan]] dari ''f'', yakni salah satu dari fungsi-fungsi yang tak terhingga banyaknya yang untuk semua ''x'' pada [''a'', ''b''],
:<math>f(x) = F'(x)\,.</math>
Maka
:<math>\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\,.</math>
{{collapse top|title=Bukti untuk teorema dasar kalkulus bagian kedua}}
Ini adalah pembuktian limit menggunakan [[Integral Riemann|penjumlahan Riemann]].
Baris 137 ⟶ 133:
Misalkan pula terdapat bilangan-bilangan
:''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>
sehingga
:<math>a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_{n-1} < x_n = b\,.</math>
Maka
Baris 167 ⟶ 163:
:<math>F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n \,[F'(c_i)(x_i - x_{i-1})]\,.</math>
Asumsi ini mengimplikasikan <math>F'(c_i) = f(c_i).</math>
:<math>F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n \,[f(c_i)(\Delta x_i)]\,. \qquad (2)</math>
[[
Perhatikan bahwa kita sedang menjelaskan luas persegi panjang, dengan lebar kali tinggi, dan kita menggabungkan total semua luas persegi panjang tersebut. Setiap persegi panjang, dengan [[teorema nilai purata]], merupakan pendekatan dari bagian kurva yang digambar. Juga perhatikan bahwa <math>\Delta x_i</math> tidak perlulah sama untuk setiap nilai <math>i</math>, atau dengan kata lain lebar persegi panjang dapat berbeda-beda. Apa yang perlu kita lakukan adalah mendekatkan kurva tersebut dengan
Dengan mengambil limit ekspresi norma partisi mendekati nol, kita mendapatkan [[integral Riemann]]. Yakni, kita mengambil limit partisi yang terbesar mendekati nol dalam hal ukuran, sehingga partisi-partisi lainnya lebih kecil dan jumlah partisi mendekati tak terhingga.
Baris 187 ⟶ 183:
:<math>F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x)\,dx\,,</math>
yang menyelesaikan pembuktian.
{{collapse bottom}}
==
Misalkan ''f'' adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan pada sebuah [[interval tertutup]] [''a'', ''b'']. Misalkan juga ''F'' adalah sebuah fungsi yang untuk semua ''x'' pada [''a'', ''b''],
:<math>f(x) = F'(x)\,.</math>
Maka untuk semua ''x'' pada [''a'', ''b''],
:<math>F(x) = \int_a^x f(t)\,dt + F(a)</math>
dan
:<math>f(x) = \frac{d}{dx} \int_a^x f(t)\,dt\,.</math>
== Contoh ==
Misalkan kita perlu menghitung
:<math>\int_2^5 x^2\, dx.</math>
Di sini, <math>f(x) = x^2</math> dan kita dapat menggunakan <math>F(x) = {x^3\over 3} </math> sebagai antiturunan. Sehingga:
:<math>\int_2^5 x^2\, dx = F(5) - F(2) = {125 \over 3} - {8 \over 3} = {117 \over 3} = 39.</math>
Atau lebih umumnya, misalkan kita perlu menghitung
:<math>{d \over dx} \int_0^x t^3\, dt.</math>
Di sini, <math>f(t) = t^3</math> dan kita dapat menggunakan <math>F(t) = {t^4 \over 4} </math> sebagai antiturunan. Sehingga:
:<math>{d \over dx} \int_0^x t^3\, dt = {d \over dx} F(x) - {d \over dx} F(0) = {d \over dx} {x^4 \over 4} = x^3.</math>
Namun hasil ini akan lebih mudah didapatkan apabila menggunakan:
:<math>{d \over dx} \int_0^x t^3\, dt = f(x) {dx \over dx} - f(0) {d0 \over dx} = x^3.</math>
== Perampatan ==
Kita tidak perlu mengasumsikan kekontinuan ''f'' pada keseluruhan interval. Bagian I dari teorema menyatakan: Jika ''f'' adalah setiap fungsi [[Pengintegralan Lebesgue|terintegral Lebesgue]] pada [''a'', ''b''] dan ''x''<sub>0</sub> adalah bilangan pada [''a'', ''b''] sehingga ''f'' kontinu pada ''x''<sub>0</sub>, maka
:<math>F(x) = \int_a^x f(t)\, dt</math>
terdiferensialkan untuk ''x'' = ''x''<sub>0</sub> dengan ''F<nowiki>'</nowiki>''(''x''<sub>0</sub>) = ''f''(''x''<sub>0</sub>). Kita dapat melonggarkan kondisi ''f'' lebih jauh dan andaikan bahwa ia hanyalah terintegralkan secara lokal/setempat. Pada kasus ini, kita dapat menyimpulkan bahwa fungsi ''F'' terdiferensialkan [[hampir di mana-mana]] dan ''F<nowiki>'</nowiki>''(''x'') = ''f''(''x'') hampir di mana-mana. Ini
Bagian II dari teorema adalah benar untuk setiap fungsi terintegral (''integrable fungction'') Lebesgue ''f'' yang mempunyai sebuah antiturunan ''F'' (tidak semua fungsi terintegral mempunyainya).
Baris 199 ⟶ 224:
Versi [[teorema Taylor]] yang mengekspresikan suku galat (''error term'') sebagai sebuah integral dapat dilihat sebagai sebuah perampatan (''generalization'') dari teorema dasar.
Terdapat sebuah versi teorema untuk fungsi [[bilangan kompleks|kompleks]]: andaikan ''U'' adalah [[himpunan terbuka]] pada ''C'' dan ''f'': ''U'' → '''C''' adalah fungsi yang mempunyai sebuah antiturunan [[fungsi holomorfik|holomorfik]]
:<math>\int_{\gamma} f(z) \,dz = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a))\,.</math>
Baris 205 ⟶ 230:
Teorema dasar dapat dirampatkan ke integral kurva dan permukaan pada dimensi yang lebih tinggi dan pada [[manifold]].
Salah satu pernyataan yang paling kuasa (''powerful'') adalah [[teorema Stokes]]: Diberikan ''M'' sebagai [[manifold]] mulus [[sesepenggal]] [[dimensi]] ''n'' berorientasi dan <math>\omega</math> adalah sebuah bentuk ''n''
:<math>\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega\,.</math>
Baris 211 ⟶ 236:
Di sini <math>\mathrm{d}\!\,</math> adalah [[turunan luar]] yang hanya terdefinisikan menggunakan struktur manifold.
Teorema ini
== Lihat pula ==
* [[
* [[Diferensiasi terhadap tanda integral]]
* [[Teorema dasar kalkulus untuk integral garis]]
== Catatan kaki ==
{{reflist}}
== Referensi ==
* Larson, Ron,
* Leithold, L. (1996). ''The calculus 7 of a single variable''. 6th ed. New York: HarperCollins College Publishers.
* Malet, A,
* Stewart, J. (2003). Fundamental Theorem of Calculus. In Integrals. In ''Calculus: early transcendentals''. Belmont, California: Thomson/Brooks/Cole.
* Turnbull, H W (ed.), ''The James Gregory Tercentenary Memorial Volume'' (London, 1939)
== Pranala luar ==
* [https://web.archive.org/web/20060212072618/http://mathdl.maa.org/convergence/1/ Pembuktian Euclides teorema dasar kalkulus James Gregory]di
* [http://www.maths.uwa.edu.au/~schultz/3M3/L18Barrow.html Pembuktian Isaac Barrow dari teorema dasar kalkulus] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090514055524/http://www.maths.uwa.edu.au/~schultz/3M3/L18Barrow.html |date=2009-05-14 }}
* [http://www.ulrichmutze.de/articles/04-165.pdf Teorema dasar kalkulus untuk variable n]
{{DEFAULTSORT:Dasar kalkulus, Teorema}}
[[Kategori:Kalkulus]]
[[Kategori:Teorema matematika]]
[[Kategori:Artikel yang
| |||