Sudut (geometri): Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
perbaik |
Image suggestions feature: 1 image added. |
||
| (47 revisi perantara oleh 15 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{Short description|Gambar yang dibentuk oleh dua sinar bertemu di satu titik yang sama}}
{{disambiginfo|Sudut (disambiguasi)}}
{{Sudut}}
[[Berkas:Two rays and one vertex.png|thumb|right|Sudut dibentuk oleh dua sinar yang memancar dari suatu titik sudut.]]
Dalam [[geometri Euklides]], sebuah '''sudut''' adalah gambar yang dibentuk oleh dua [[Sinar (geometri)|sinar]], yang disebut juga ''sisi'' dari sudut, berbagi titik akhir yang sama, yang disebut ''[[puncak (geometri)|puncak/verteks]]'' dari sudut.<ref>{{harvnb|Sidorov|2001}}</ref>
Sudut dibentuk oleh dua sinar terletak pada [[bidang (geometri)|bidang]] yang memuat sinar. Sudut juga dibentuk oleh irisan dua bidang. Ini disebut [[sudut dihedral]]. Dua [[kurva]] irisan juga mendefinisikan sudut, yang merupakan sudut [[singgung]] di titik persimpangan. Misalnya, [[sudut bola]] dibentuk oleh dua [[lingkaran besar]] pada [[bola]] sama dengan sudut dihedral antara bidang yang berisi lingkaran besar.
''Sudut'' juga digunakan untuk [[pengukuran]] suatu sudut atau [[Rotasi (matematika)|rotasi]]. Ukuran ini adalah rasio panjang [[busur (geometri)|busur lingkaran]] dengan [[jari-jari]]-nya. Dalam kasus sudut geometris, busur berada di titik pusat sudut dan dibatasi oleh sisi-sisinya. Dalam kasus rotasi, busur berada dipusat rotasi dan dibatasi oleh titik lain dan bayangannya dengan rotasi.
== Sejarah ==
[[Euklides]] mendefinisikan sudut bidang sebagai kemiringan satu sama lain, pada bidang, dari dua garis yang bertemu satu sama lain, dan tidak terletak lurus terhadap satu sama lain. Menurut [[Proclus]], sudut harus berupa kualitas atau kuantitas, atau hubungan. Konsep pertama digunakan oleh [[Eudemus dari Rhodes|Eudemus]], yang menganggap sudut sebagai penyimpangan dari [[garis lurus]]; yang kedua oleh [[Karpus dari Antiokhia]], yang menganggapnya sebagai interval atau ruang antara garis irisan; Euklides mengadopsi konsep ketiga.<ref>{{harvnb|Chisholm|1911}}; {{harvnb|Heiberg|1908|pp=177–178}}</ref><!-- Paragraf ini dikutip dari EB1911, tetapi sumbernya tampaknya adalah Heath.-->
==
Dalam [[Ekspresi (matematika)|ekspresi matematika]], biasanya menggunakan [[huruf Yunani]] (<var>α</var>, <var>β</var>, <var>γ</var>, <var>θ</var>, <var>φ</var>, . . . ) sebagai [[Variabel (matematika)|variabel]] yang menunjukkan ukuran beberapa sudut<ref name=":0">{{Cite web|date=2020-03-01|title=Compendium of Mathematical Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/|access-date=2020-08-17|website=Math Vault|language=en-US}}</ref> (untuk menghindari kebingungan dengan makna lainnya, simbol {{math|[[Pi|π]]}} biasanya tidak digunakan untuk tujuan ini). Huruf Romawi kecil (''a'', ''b'', ''c'', . . . ) juga digunakan, seperti huruf besar Romawi dalam konteks [[poligon]]. Lihat gambar di artikel ini untuk contoh.
Dalam gambar geometris, sudut diidentifikasi dengan label lampiran pada tiga titik yang mendefinisikannya. Misalnya, sudut dititik A dibatasi oleh sinar AB dan AC (yaitu garis dari titik A ke titik B dan titik A ke titik C) dilambangkan dengan ∠BAC (dalam Unicode {{unichar|2220|SUDUT|HTML=}}) atau <math>\widehat{\rm BAC}</math>. Dimana tidak ada risiko kebingungan, terkadang sudut hanya disebut dengan titik puncaknya (dalam "sudut A").
Secara potensial, sebuah sudut dilambangkan sebagai ∠BAC, yang merujuk ke salah satu dari empat sudut: sudut searah jarum jam dari B ke C, sudut berlawanan arah jarum jam dari B ke C, sudut searah jarum jam dari C ke B, atau sudut berlawanan arah jarum jam dari C ke B, dimana arah pengukuran sudut menentukan tandanya (lihat [[#Sudut positif dan negatif|Sudut positif dan negatif]]). Namun, dalam banyak situasi geometris, jelas dari konteks bahwa sudut positif kurang dari atau sama dengan 180 derajat yang dimaksud, dalam hal ini tidak ada ambiguitas yang muncul. Jika tidak, apabila konvensi diadopsi sehingga ∠BAC mengacu pada sudut berlawanan arah jarum jam (positif) dari B ke C, dan ∠CAB sudut berlawanan arah jarum jam (positif) dari C ke B.
==Jenis sudut ==
{{Redirect|Sudut miring|teknik sinematografi|sudut Belanda}}
===Sudut individual ===
Ada beberapa terminologi umum untuk sudut, yang ukurannya selalu non-negatif (lihat ''{{section link|#Sudut positif dan negatif}}''):<ref>{{Cite web|title=Angles – Acute, Obtuse, Straight and Right|url=https://www.mathsisfun.com/angles.html|access-date=2020-08-17|website=www.mathsisfun.com}}</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Angle|url=https://mathworld.wolfram.com/Angle.html|access-date=2020-08-17|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>
* Sudut yang besarnya sama dengan 0° atau tidak berubah disebut sudut nol.
* Sudut lebih kecil dari sudut siku-siku (kurang dari 90°) disebut ''sudut lancip'' ("akut" yang berarti "tajam").
* Sudut sama dengan {{sfrac|4}} putaran (90° atau {{sfrac|{{math|π}}|2}} radian) disebut ''[[sudut siku-siku]]''. Dua garis yang membentuk sudut siku-siku disebut ''[[normal (geometri)|normal]]'', ''[[ortogonalitas|ortogonal]]'', atau ''[[tegak lurus]]''.
* Sudut lebih besar dari sudut siku-siku dan lebih kecil dari sudut lurus (antara 90° dan 180°) disebut ''sudut tumpul''.
* Sudut sama dengan {{sfrac|2}} putaran (180° atau {{math|π}} radian) disebut ''sudut lurus''.
* Sudut yang lebih besar dari sudut lurus tetapi kurang dari 1 putaran (antara 180° dan 360°) disebut ''sudut refleks''.
* Sudut sama dengan 1 putaran (360 ° atau 2{{math|π}} radian) disebut ''sudut penuh'', ''sudut lengkap'', ''sudut bulat'' atau ''perigon''.
* Sudut yang bukan kelipatan sudut siku-siku disebut ''sudut miring''.
Nama, interval, dan satuan ukur ditunjukkan pada tabel di bawah ini:
{{Multiple image
|align=right
|direction=horizontal
|image1=Right angle.svg
|width1=111
|caption1=[[Sudut siku-siku]]
|image2=Angle obtuse acute straight.svg
|width2=200
|caption2= Sudut lancip (<var>a</var>), tumpul (<var>b</var>), dan lurus (<var>c</var>). Sudut lancip dan tumpul disebut juga sudut miring.
|image3=Reflex angle.svg
|width3=81
|caption3=Sudut refleks
}}
{|class = wikitable style="text-align:center;"
|style = "background:#f2f2f2; text-align:center;" | Nama
|style = "width:3em;" | nol
|style = "width:3em;" | lancip
|style = "width:3em;" | sudut siku-siku
|style = "width:3em;" | tumpul
|style = "width:3em;" | lurus
|style = "width:3em;" | refleks
|style = "width:3em;" | perigon
|-
! Satuan !! colspan=10 | [[Interval (matematika)|Interval]]
|-
|style = "background:#f2f2f2; text-align:center;" | [[Putaran (geometry)|putaran]]
|style = "width:3em;" | {{nowrap|0 putaran}}
|style = "width:3em;" | {{nowrap|(0, {{sfrac|1|4}}) putaran}}
|style = "width:3em;" | {{nowrap|{{sfrac|1|4}} putaran}}
|style = "width:3em;" | {{nowrap|({{sfrac|1|4}}, {{sfrac|1|2}}) putaran}}
|style = "width:3em;" | {{nowrap|{{sfrac|1|2}} putaran}}
|style = "width:3em;" | {{nowrap|({{sfrac|1|2}}, 1) putaran}}
|style = "width:3em;" | {{nowrap|1 putaran}}
|-
|style = "background:#f2f2f2; text-align:center;" | [[radian]]
| {{nowrap|0 rad}}
| {{nowrap|(0, {{sfrac|1|2}}''{{pi}}'') rad}}
| {{nowrap|{{sfrac|1|2}}''{{pi}}'' rad}}
| {{nowrap|({{sfrac|1|2}}''{{pi}}'', ''{{pi}}'') rad}}
| {{nowrap|''{{pi}}'' rad}}
| {{nowrap|(''{{pi}}'', 2''{{pi}}'') rad}}
| {{nowrap|2''{{pi}}'' rad}}
|-
|style = "background:#f2f2f2; text-align:center;" | [[Derajat (sudut)|derajat]]
|style = "width:3em;" | 0°
|style = "width:3em;" | (0, 90)°
|style = "width:3em;" | 90°
|style = "width:3em;" | (90, 180)°
|style = "width:3em;" | 180°
|style = "width:3em;" | (180, 360)°
|style = "width:3em;" | 360°
|-
|style = "background:#f2f2f2; text-align:center;" | [[Gradian|gon]]
|style = "width:3em;" | 0<sup>g</sup>
|style = "width:3em;" | (0, 100)<sup>g</sup>
|style = "width:3em;" | 100<sup>g</sup>
|style = "width:3em;" | (100, 200)<sup>g</sup>
|style = "width:3em;" | 200<sup>g</sup>
|style = "width:3em;" | (200, 400)<sup>g</sup>
|style = "width:3em;" | 400<sup>g</sup>
|-
|}
===Pasangan sudut ekivalen ===
* Sudut yang memiliki ukuran yang sama (yaitu besaran yang sama) dikatakan ''sama'' atau ''[[Kongruensi (geometri)|kongruen]]''. Suatu sudut ditentukan oleh ukurannya dan tidak bergantung pada panjang sisi-sisi sudut tersebut (misalnya, semua "sudut siku-siku" sama besar).
* Dua sudut yang terbagi sisi terminal, namun berbeda ukurannya dengan kelipatan [[bilangan bulat]] dari satu putaran, disebut ''sudut koterminal''.
* ''Sudut referensi'' adalah versi lancip dari setiap sudut yang ditentukan dengan pengurangan atau penambahan sudut lurus berulang kali putaran ({{sfrac|2}}, 180°, atau {{math|π}} (radian), ke hasil seperlunya, sampai besaran berupa sudut lancip, nilai antara 0 dan {{sfrac|4}} turn, 90°, atau {{sfrac|{{math|π}}|2}} radian. Misalnya, sudut 30 derajat memiliki sudut acuan 30 derajat, dan sudut 150 derajat juga memiliki sudut acuan 30 derajat (180-150). Sudut 750 derajat memiliki sudut referensi 30 derajat (750-720).<ref>{{cite web|url=http://www.mathwords.com/r/reference_angle.htm|title=Mathwords: Reference Angle|website=www.mathwords.com|access-date=26 April 2018|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20171023035017/http://www.mathwords.com/r/reference_angle.htm|archive-date=23 October 2017}}</ref>
==={{anchor|damping}} Pasangan sudut vertikal dan berdekatan===
[[Berkas:Vertical Angles.svg|thumb|150px|right|Sudut A dan B adalah sepasang sudut vertikal; sudut C dan D adalah sepasang sudut vertikal. [[Tanda palka#Notasi kongruen|Tanda palka]] digunakan di sini untuk menunjukkan ekuivalen sudut.]]
{{redirect-distinguish|Sudut vertikal|Sudut Zenith}}
Ketika dua garis lurus irisan di suatu titik, empat sudut terbentuk. Hubungan sudut-sudut ini dinamai menurut lokasi relatif satu sama lain.
* Sepasang sudut berhadapan, dibentuk oleh dua garis lurus irisan dalam bentuk "X", disebut ''sudut vertikal'' atau ''sudut berlawanan'' atau ''sudut berlawanan secara vertikal''. Ia disingkat sebagai ''vert. opp. ∠s''.<ref name="tb">{{harvnb|Wong|Wong|2009|pp=161–163}}</ref>
:Persamaan sudut vertikal berlawanan disebut juga sebagai "teorema sudut vertikal". [[Eudemus dari Rhodes]] menghubungkan buktinya dengan [[Thales|Thales dari Miletus]].<ref>{{cite book|author=Euclid|author-link=Euclid|title=The Elements|title-link=Euclid's Elements}} Proposisi I: 13.</ref>{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} Proposisi menunjukkan bahwa karena kedua pasangan sudut vertikal suplemen dengan kedua sudut berdekatan, maka besar sudut vertikal adalah sama. Menurut catatan sejarah,{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} ketika Thales mengunjungi Mesir, dia mengamati bahwa setiap kali orang Mesir menggambar dua garis irisan, mereka akan mengukur sudut vertikal untuk memastikan bahwa mereka sama. Thales menyimpulkan bahwa seseorang dapat membuktikan bahwa semua sudut vertikal adalah sama jika seseorang menerima beberapa gagasan umum seperti:
:* Semua sudut lurus adalah sama.
:* Setara ditambahkan ke sama adalah sama.
:* Setara dikurangkan dari yang sederajat adalah sama.
:Ketika dua sudut berdekatan membentuk garis lurus, maka ia saling melengkapi. Oleh karena itu, jika menganggap bahwa besar sudut ''A'' sama dengan ''x'', maka besar sudut ''C'' adalah {{nowrap|180° − ''x''}}. Demikian pula, ukuran sudut ''D'' adalah {{nowrap|180° − ''x''}}. Kedua sudut ''C'' dan sudut ''D'' memiliki ukuran sama dengan {{nowrap|180° − ''x''}} dan adalah kongruen. Karena sudut ''B'' melengkapi kedua sudut ''C'' dan ''D'', salah satu dari ukuran sudut ini dapat digunakan untuk menentukan ukuran Sudut ''B''. Menggunakan ukuran sudut ''C'' atau sudut ''D'', dengan menemukan ukuran sudut ''B'' sebagai {{nowrap|1=180° − (180° − ''x'') = 180° − 180° + ''x'' = ''x''}}. Oleh karena itu, baik sudut ''A'' dan sudut ''B'' memiliki ukuran sama dengan ''x'' dan sama besar.
[[Berkas:Adjacentangles.svg|right|thumb|225px|Sudut ''A'' dan ''B'' adalah damping.]]
* ''Sudut damping/berdekatan'', sering disingkat sebagai ''adj. ∠s'', adalah sudut memiliki titik dan sisi yang sama namun tidak memiliki titik interior yang sama. Dengan kata lain, ia adalah sudut dampingan, atau berdekatan, berbagi "lengan". Sudut-sudut damping dijumlahkan dengan sudut siku-siku, sudut lurus, atau sudut penuh adalah istimewa dan masing-masing disebut sudut ''kelengkapan'', ''suplemen'', dan ''eksplemen'' (lihat ''{{section link|#Menggabungkan pasangan sudut}}'' di bawah).
Sebuah [[Transversal (geometri)|transversal]] adalah garis irisan sepasang garis (sering kali sejajar), dan dikaitkan dengan ''sudut interior alternatif'', ''sudut padanan'', ''sudut interior'', dan ''sudut eksterior''.{{sfn|Jacobs|1974|p=255}}
===Menggabungkan pasangan sudut===
Tiga pasangan sudut khusus melibatkan penjumlahan sudut:
{{anchor|sudut komplementer}}
[[Berkas:Complement angle.svg|thumb|150px|Sudut ''komplekmen'' <var>a</var> dan <var>b</var> (<var>b</var> adalah ''komplekmen'' dari <var>a</var>, dan <var>a</var> adalah komplemen dari <var>b</var>).]]
* ''Sudut komplementer'' adalah pasangan sudut dengan ukuran satu sudut siku-siku ({{sfrac|4}} putar, 90°, atau radian {{sfrac|{{math|π}}|2}}.<ref>{{Cite web|title=Complementary Angles|url=https://www.mathsisfun.com/geometry/complementary-angles.html|access-date=2020-08-17|website=www.mathsisfun.com}}</ref> Jika dua sudut komplekmen damping, sisi-sisinya yang tidak membentuk sudut siku-siku. Dalam geometri Euklides, dua sudut lancip pada [[segitiga siku-siku]] komplekmen, karena jumlah sudut dalam dari sebuah [[segitiga]] adalah 180 derajat, dan sudut siku-siku itu sendiri berjumlah 90 derajat.
:Kata sifat komplementer berasal dari bahasa Latin ''complementum'', terkait dengan kata kerja ''complere'', "untuk mengisi". Sudut lancip "diisi" oleh komplekmen untuk membentuk sudut siku-siku.
:Perbedaan antara sudut dan sudut siku-siku disebut "komplekmen" sudut.<ref name="Chisholm 1911">{{harvnb|Chisholm|1911}}</ref>
:Jika sudut ''A'' dan ''B'' komplekmen, hubungan berikut berlaku:
:: <math>
\begin{align}
& \sin^2A + \sin^2B = 1 & & \cos^2A + \cos^2B = 1 \\[3pt]
& \tan A = \cot B & & \sec A = \csc B
\end{align}
</math>
:[[Tangen]] suatu sudut sama dengan [[kotangen]] komplemen dan garis irisannya sama dengan [[kosekan]] komplemen.
:[[Awalan]] "[[ko (fungsi awalan)|ko-]]" dalam nama beberapa rasio trigonometri mengacu pada kata "komplemen".
{{clear|right}}
[[Berkas:Angle obtuse acute straight.svg|thumb|right|300px|Sudut <var>a</var> dan <var>b</var> adalah sudut ''suplemen''.]]
* {{anchor|Pasangan sudut linear|Sudut suplemen}}Dua sudut dijumlahkan menjadi sudut lurus (putaran {{sfrac|2}}, 180°, atau radian {{math|π}}) disebut ''sudut suplemen''.<ref>{{Cite web|title=Supplementary Angles|url=https://www.mathsisfun.com/geometry/supplementary-angles.html|access-date=2020-08-17|website=www.mathsisfun.com}}</ref>
:Jika dua sudut bersuplemen adalah [[#damping|damping]] (yaitu memiliki [[simpul (geometri)|simpul]] yang sama dan hanya memiliki satu sisi yang sama), sisi-sisinya yang tidak dibagi membentuk [[garis (geometri)|garis lurus]]. Sudut tersebut disebut sebagai ''sepasang sudut linear''.{{sfn|Jacobs|1974|p=97}} Namun, sudut suplemen tidak harus berada pada garis yang sama, dan dapat dipisahkan dalam ruang. Misalnya, sudut damping dari [[jajaran genjang]] adalah suplemen, dan sudut berlawanan dari [[kuadrilateral siklik]] (yang semua simpulnya jatuh pada satu lingkaran) adalah suplemen.
:Jika suatu titik P berada di luar lingkaran dengan pusat O, dan jika [[garis singgung lingkaran|garis singgung]] dari P menyentuh lingkaran di titik T dan Q, maka ∠TPQ dan ∠TOQ adalah suplemen.
:Sinus sudut suplemen adalah sama. Kosinus dan garis singgungnya (kecuali tidak terdefinisi) sama besarnya namun memiliki tanda berlawanan.
:Dalam geometri Euklides, setiap jumlah dua sudut dalam segitiga adalah suplemen ketiga, karena jumlah sudut internal segitiga adalah sudut lurus.
{{clear|right}}
{{anchor|sudut eksplementer}}
[[Berkas:Reflex angle.svg|thumb|right|150px|Jumlah dua sudut 'eksplemen' atau 'kelengkapan" adalah sudut 'komplekmen'.]]
* Dua sudut berjumlah satu sudut penuh (putaran 1, 360°, atau radian 2{{math|π}}) disebut ''sudut komplementer'' atau ''sudut konjugasi''.
*: Perbedaan antara sudut dan sudut lengkap disebut "eksplemen" sudut atau "damping" sudut.
{{clear|right}}
===Sudut poligon terkait ===
[[Berkas:ExternalAngles.svg|thumb|300px|right|Sudut internal dan eksternal.]]
* Sudut yang merupakan bagian dari [[poligon sederhana]] disebut ''[[sudut interior]]'' jika terletak di bagian dalam poligon sederhana tersebut. [[Poligon cekung]] sederhana memiliki setidaknya satu sudut dalam yang merupakan sudut refleks.
*: Dalam [[geometri Euklides]], ukuran sudut dalam dari [[segitiga]] dijumlahkan dengan {{math|π}} radian, 180°, atau putaran {{sfrac|2}}; ukuran sudut dalam dari [[poligon cembung|cembung]] [[kuadrilateral]] sederhana berjumlah 2{{math|π}} radian, 360°, atau putaran 1. Secara umum, ukuran sudut dalam dari sebuah cembung sederhana [[poligon]] dengan sisi ''n'' berjumlah (''n'' − 2){{math|π}} radian, atau (''n'' − 2)180 derajat, (''n'' − 2)2 sudut siku-siku, atau putaran (''n'' − 2){{sfrac|1|2}}.
* Suplemen sudut dalam disebut ''[[sudut luar]]'', yaitu sudut dalam dan sudut luar membentuk [[#Pasangan linear|pasangan sudut linear]]. Ada dua sudut luar pada setiap titik poligon, masing-masing ditentukan dengan panjang salah satu dari dua sisi poligon yang bertemu di titik sudut; kedua sudut ini vertikal dan karenanya sama besar. Sudut luar mengukur jumlah rotasi yang dilakukan pada sebuah titik untuk menelusuri poligon.{{sfn|Henderson|Taimina|2005|p=104}} Jika sudut dalam yang bersesuaian adalah sudut refleks, sudut luar harus dianggap [[Bilangan negatif|negatif]]. Bahkan dalam poligon tidak sederhana dimungkinkan untuk menentukan sudut luar, namun apabila memilih [[orientasi (matematika)|orientasi]] dari [[bidang (matematika)|bidang]] (atau [[permukaan (matematika)|permukaan]]) untuk menentukan tanda sudut luar mengukur.
*: Dalam geometri Euklides, jumlah sudut luar poligon cembung sederhana, jika hanya satu dari dua sudut luar diasumsikan pada setiap simpul, akan menjadi satu putaran penuh (360°). Sudut luar disebut juga "sudut luar tambahan". Sudut luar biasanya digunakan dalam [[Logo (bahasa pemrograman)|program Penyu Logo]] saat menggambar poligon biasa.
* Dalam [[segitiga]], [[bagi-dua]] dari dua sudut luar dan garis-bagi dari sudut interior lainnya adalah [[garis setumpu|setumpu]] (bertemu di satu titik).<ref name=Johnson>Johnson, Roger A. ''Advanced Euclidean Geometry'', Dover Publications, 2007.</ref>{{rp|hal. 149}}
* Dalam sebuah segitiga, tiga titik potong, masing-masing dari garis bagi sudut luar dengan [[sisi diperluas]] yang berlawanan, adalah [[kolinearitas|kolinear]].<ref name=Johnson/>{{rp|p. 149}}
* Dalam sebuah segitiga, tiga titik irisan, dua diantaranya antara garis-bagi sudut interior dan sisi damping, dan yang ketiga antara garis-bagi sudut luar lainnya dan sisi samping diperpanjang, adalah segaris.<ref name=Johnson/>{{rp|hal. 149}}
* Beberapa penulis menggunakan nama ''sudut luar'' dari poligon sederhana yang berarti ''sudut luar kelengkapan'' (''bukan'' suplemen!) dari sudut dalam.<ref>{{citation|editor=D. Zwillinger|title=CRC Standard Mathematical Tables and Formulae|place=Boca Raton, FL|publisher=CRC Press|year=1995|page= 270}} seperti dikutip dalam {{MathWorld |urlname=ExteriorAngle |title=Exterior Angle}}</ref> Ini bertentangan dengan penggunaan di atas.
===Sudut bidang terkait===
* Sudut antara dua [[Bidang (matematika)|bidang]] (seperti dua wajah damping dari [[polihedron]]) disebut ''[[sudut dihedral]]''.<ref name="Chisholm 1911"/> Ini didefinisikan sebagai sudut lancip antara dua garis [[Normal (geometri)|normal]] terhadap bidang.
* Sudut antara bidang dan garis lurus yang berpotongan sama dengan sembilan puluh derajat dikurangi sudut antara garis irisan dan garis melalui titik damping dan damping normal terhadap bidang.
==Ukuran sudut{{anchor|Ukuran}}==<!-- ditautkan dari [[Derajat (sudut)]] -->
Besar kecilnya suatu sudut geometri biasanya dicirikan oleh besarnya putaran terkecil yang memetakan salah satu sinar ke sinar lainnya. Sudut memiliki ukuran yang sama dikatakan ''sama'' atau ''kongruen'' atau ''sama dalam ukuran''.
Dalam beberapa konteks, mengidentifikasi titik pada lingkaran atau menggambarkan ''orientasi'' objek dalam dua dimensi relatif terhadap orientasi referensi, sudut yang berbeda dengan kelipatan tepat dari [[putaran (geometri)|putaran]] penuh secara efektif. Dalam konteks lain, mengidentifikasi titik pada kurva [[spiral]] atau menggambarkan ''rotasi kumulatif'' objek dalam dua dimensi relatif terhadap orientasi referensi, sudut yang berbeda dengan kelipatan bukan nol dari satu putaran penuh non-ekuivalen.
[[Berkas:Angle measure.svg|right|thumb|Pengukuran sudut {{math|''θ''}} adalah {{nowrap|{{sfrac|''s''|''r''}} radian}}.]]
Untuk mengukur sudut <var>[[theta|θ]]</var>, sebuah [[busur lingkaran]] pusat di titik sudut yang digambar dengan sepasang [[Kompas (susunan)|jangka]]. Perbandingan panjang <var>s</var> busur dengan jari-jari <var>r</var> lingkaran adalah banyaknya [[radian]] pada sudut tersebut. Secara konvensional, dalam matematika dan [[SI]], radian diperlakukan sama dengan nilai [[tanpa dimensi]] 1.
Sudut yang dinyatakan dengan satuan sudut lain kemudian dapat diperoleh dengan mengalikan sudut dengan konstanta konversi sesuai dari bentuk {{sfrac|''k''|2{{math|π}}}}, di mana ''k'' adalah ukuran putaran penuh yang dinyatakan dalam satuan yang dipilih (misalnya, {{nowrap|1= ''k'' = 360°}} untuk [[derajat (sudut)|derajat]] atau 400 grad untuk [[gradian]]):
:<math> \theta = \frac{k}{2\pi} \cdot \frac{s}{r}. </math>
Nilai {{math|''θ''}} didefinisikan tidak tergantung pada ukuran lingkaran: jika panjang jari-jari diubah maka panjang busur berubah dalam proporsi yang sama, sehingga rasio ''s''/''r'' tidak berubah.{{refn|group="catatan"|Pendekatan ini membutuhkan bukti tambahan bahwa ukuran sudut tidak berubah dengan perubahan jari-jari {{math|''r''}}, selain masalah "unit pengukuran dipilih". Pendekatan halus adalah mengukur sudut dengan panjang busur lingkaran satuan yang sesuai. Disini "satuan" dipilih untuk tidak dimensi dalam arti bahwa itu adalah bilangan riil 1 yang terkait dengan segmen satuan pada garis riil. Lihat Radoslav M. Dimitrić misalnya.<ref name="Dimitric_2012"/>}}
===Postulat penjumlahan sudut===
Postulat penambahan sudut menyatakan bahwa jika B berada dalam sudut AOC, maka
:<math> m\angle \mathrm{AOC} = m\angle \mathrm{AOB} + m\angle \mathrm{BOC} </math>
Ukuran sudut AOC adalah jumlah ukuran sudut AOB dan ukuran sudut BOC.
===Satuan ===
{{see also|Satuan sudut}}
<!-- satuan biasa dihapus dari bagian ini, tambahkan ke satuan sudut (jika belum ada) -->
Satuan yang digunakan untuk mewakili sudut tercantum di bawah ini dalam urutan besarnya menurun. Dari satuan ini, ''[[derajat (sudut)|derajat]]'' dan ''[[radian]]'' adalah yang paling umum digunakan. Sudut dinyatakan dalam radian bukan dimensi untuk [[analisis dimensi]].
Sebagian besar satuan pengukuran sudut didefinisikan sedemikian rupa sehingga satu [[putaran (geometri)|putaran]] (yaitu satu lingkaran penuh) sama dengan satuan ''n'', untuk beberapa bilangan bulat ''n''. Dua pengecualian adalah radian (dan subkelipatan desimalnya) dan bagian diameter.
;[[putaran (geometri)|Putaran]] (''n'' = 1): ''Putaran'', juga ''siklus'', ''lingkaran penuh'', ''revolusi'', dan ''rotasi'', adalah gerakan atau ukuran lingkar komplekmen (seperti kembali ke titik yang sama) dengan lingkaran atau elips. Simbol yang digunakan dan belokan adalah ''cyc'', ''rev'', atau ''rot'', tergantung pada aplikasinya.
;[[Kuadran (lingkaran)|Kuadran]] (''n'' = 4): ''Kuadran'' adalah yang memiliki {{sfrac|4}} putaran, yaitu ''[[sudut kanan]]''. Ini adalah satuan yang digunakan di [[Elemen Euclid]]. 1 kuad = 90° = {{sfrac|{{pi}}|2}} rad = {{sfrac|4}} putaran = 100 grad. Dalam bahasa Jerman simbol <sup>∟</sup> telah digunakan untuk menunjukkan sebuah kuadran.
;[[Sekstan (lingkaran)|Sekstan]] (''n'' = 6): ''sekstan'' (''sudut [[segitiga sama sisi]]'') yang memiliki {{sfrac|6}} putaran. Ini adalah satuan yang digunakan oleh [[Babilonia]],<ref name="Jeans_1947"/><ref name="Murnaghan_1946"/> dan mudah dibuat dengan penggaris dan jangka. Derajat, menit busur dan detik busur adalah subunit [[seksagesimal]] dari unit Babilonia. 1 Satuan Babilonia = 60° = {{pi}}/3 rad ≈ 1.047197551 rad.
[[Berkas:Angle radian.svg|right|thumb|''θ'' = {{sfrac|''s''|''r''}} rad = 1 rad.]]
;[[Radian]] (''n'' = 2{{pi}} = 6.283...): ''[[Radian]]'' adalah sudut yang dibentuk oleh busur lingkaran panjangnya sama dengan jari-jari lingkaran. Simbol untuk radian adalah ''rad''. Satu putaran adalah 2{{math|π}} radian, dan satu radian adalah {{sfrac|180°|{{pi}}}}, atau sekitar 57,2958 derajat. Dalam teks matematika, sudut sebagai tanpa dimensi dengan radian sama dengan satu, sehingga satuan ''rad'' dihilangkan. Radian digunakan di hampir semua pekerjaan matematika di luar geometri praktis sederhana, misalnya untuk sifat dan "alami" yang ditampilkan [[fungsi trigonometri]] ketika argumennya dalam radian. Radian adalah satuan (turunan) dari pengukuran sudut dalam [[SI]], yang juga merupakan sudut sebagai tanpa dimensi.
;[[Sudut jam]] (''n'' = 24): ''Sudut jam'' astronomis yang memiliki {{sfrac|24}} putaran. Karena sistem ini dapat mengukur objek berputar sekali sehari (seperti posisi relatif bintang), subsatuan seksagesimal disebut ''menit waktu'' dan ''detik waktu''. Ini berbeda dari, dan 15 kali lebih besar dari, menit dan detik busur. 1 jam = 15° = {{sfrac|{{pi}}|12}} rad = {{sfrac|6}} kuad = {{sfrac|24}} putaran = {{sfrac|16|2|3}} grad.
;[[Titik kompas|(Kompas) titik atau angin]] (''n'' = 32): ''Titik'', yang digunakan dalam [[navigasi]], adalah {{sfrac|32}} putaran. 1 titik = {{sfrac|8}} sudut siku-siku = 11,25° = 12,5 grad. Setiap titik dibagi menjadi empat seperempat titik sehingga 1 putaran sama dengan 128 seperempat titik.
;[[Heksakontade]] (''n'' = 60): ''Heksakontade'' adalah satuan [[Eratosthenes]] yang digunakan dan sama dengan 6°, sehingga satu putaran dibagi menjadi 60 heksakontade.
;[[Pechus]] (''n'' = 144–180): ''Pechus'' adalah satuan [[Matematika Babilonia|Babilonia]] yang sama dengan sekitar 2° atau {{sfrac|2|1|2}}°.
;[[Derajat biner]] (''n'' = 256): ''Derajat biner'', juga dikenal sebagai ''[[radian biner]]'' (atau ''brad''), adalah {{sfrac|256}} dari satu putaran.<ref name="ooPIC"/> Derajat biner digunakan dalam komputasi sehingga sudut direpresentasikan secara efisien dalam satu [[bit]] (walaupun dengan presisi hingga). Ukuran sudut lain yang digunakan dalam komputasi didasarkan pada pembagian satu putaran menjadi 2<sup>''n''</sup> bagian yang sama untuk nilai ''n'' lainnya.<ref name="Hargreaves_2010"/>
;[[Derajat (sudut)|Derajat]] (''n'' = 360): "Derajat", dilambangkan dengan lingkaran superskrip kecil (°), adalah 1/360 putaran, jadi satu "putaran" adalah 360°. Kasus derajat untuk rumus yang diberikan sebelumnya, ''derajat'' dari ''n'' = 360° unit diperoleh dengan menyetel ''k'' = {{sfrac|360°|2{{pi}}}}. Satu keuntungan dari subunit [[seksagesimal]] lama ini adalah bahwa banyak sudut yang umum dalam geometri sederhana diukur sebagai bilangan bulat derajat. Pecahan derajat dapat ditulis melalui notasi desimal normal (misalnya 3,5° untuk tiga setengah derajat), namun subunit seksagesimal "menit" dan "detik" dari sistem "derajat-menit-detik" juga digunakan, khususnya untuk [[Sistem koordinat geografis|koordinat geografis]] dan dalam [[astronomi]] dan [[balistik]].
;[[Bagian diameter]] (''n'' = 376.99...): ''Bagian diameter'' (terkadang digunakan dalam matematika Islam) memiliki {{sfrac|60}} radian. Satu "bagian diameter" kira-kira 0,95493°. Ada sekitar 376.991 bagian diameter per putaran.
;[[Grad (sudut)|Grad]] (''n'' = 400): ''grad'', juga disebut ''grade'', ''[[gradian]]'', atau ''gon'', memiliki {{sfrac|400}} putaran, jadi sudut siku-siku adalah 100 derajat.<ref name=":0" /> Ini adalah subsatuan desimal dari kuadran. Sebuah [[kilometer]] secara historis didefinisikan sebagai [[subtending]] sebuah [[senti]]-grad busur sepanjang [[lingkaran besar]] di Bumi. Jadi, kilometer adalah analog desimal dari mil laut [[seksagesimal]].{{cn|date=May 2021}} Lulusan sebagian besar digunakan di [[triangulasi (survei)|triangulasi]] dan [[survei]] kontinental.
;[[Miliradian]]: Miliradian (mrad, terkadang mil) didefinisikan sebagai seperseribu radian, yang berarti bahwa satu putaran [[putaran (geometri)|putaran]] terdiri dari 2000{{math|π}} mrad (atau sekitar 6283,185... mrad), dan hampir semua [[bidikan teleskopik|bidikan lingkup]] untuk [[senjata api]] dikalibrasi dengan definisi ini. Juga, ada tiga definisi turunan lainnya digunakan untuk artileri dan navigasi yang "kira-kira" sama dengan satu miliradian. Di bawah tiga definisi lain ini, satu putaran menghasilkan tepat 6000, 6300, atau 6400 mrad, yang sama dengan rentang dari 0,05625 hingga 0,06 derajat (3,375 hingga 3,6 menit). Sebagai perbandingan, miliradian sebenarnya adalah 0,05729578... derajat (3,43775... menit). Satu "[[NATO]] mil" didefinisikan sebagai {{sfrac|6400}} putaran. Sama seperti milliradian yang sebenarnya, masing-masing definisi lainnya mengeksploitasi sifat subtensi yang berguna dari mil, yaitu bahwa nilai satu miliradian kira-kira sama dengan sudut yang dibentuk oleh lebar 1 meter jika dilihat dari jarak 1 km ({{sfrac|2{{pi}}|6400}} = 0.0009817... ≈ {{sfrac|1000}}).
;[[Menit busur]] (''n'' = 21.600): ''menit busur'' (atau ''menit busur'', atau hanya ''menit'') adalah {{sfrac|60}} derajat = {{sfrac|21.600}} putaran. Ini dilambangkan dengan satu bilangan prima ( ′ ). Misalnya, 3° 30′ sama dengan 3 × 60 + 30 = 210 menit atau 3 + {{sfrac|30|60}} = 3,5 derajat. Format campuran dengan pecahan desimal juga terkadang digunakan, misalnya 3° 5.72′ = 3 + {{sfrac|5.72|60}} derajat. Sebuah [[mil laut]] secara historis didefinisikan sebagai menit busur di sepanjang [[lingkaran besar]] Bumi.
;[[Detik busur]] (''n'' = 1,296.000): ''detik busur'' (atau ''detik busur'', atau hanya ''kedua'') adalah {{sfrac|60}} dari menit busur dan {{sfrac|3600}} derajat. Ini dilambangkan dengan prima ganda ( ″ ). Misalnya, 3° 7′ 30″ sama dengan 3 + {{sfrac|7|60}} + {{sfrac|30|3600}} derajat, atau 3,125 derajat.
;[[Miliardetik]] (''n'' = 1,296.000.000): mas
;[[Mikro detik busur]] (''n'' = 1,296.000.000.000): µas
===Sudut positif dan negatif===
Meskipun definisi pengukuran sudut tidak mendukung konsep sudut negatif, sering kali berguna untuk menerapkan konvensi yang memungkinkan nilai sudut positif dan negatif untuk mewakili [[Orientasi (geometri)|orientasi]] dan/atau [[Rotasi (matematika)|rotasi]] dalam arah berlawanan relatif terhadap beberapa referensi.
Dalam [[sistem koordinat Kartesius]] dua dimensi, sudut biasanya ditentukan oleh kedua sisinya, dengan titik puncaknya di titik asal. ''Sisi awal'' berada di [[sumbu-x]] positif, sedangkan sisi lain atau ''sisi terminal'' ditentukan oleh ukuran dari sisi awal dalam radian, derajat, atau putaran. Dengan ''sudut positif'' mewakili rotasi ke arah [[sumbu-y]] positif dan ''sudut negatif'' mewakili rotasi ke arah sumbu-''y'' negatif. Ketika koordinat Kartesian diwakili oleh ''posisi standar'', ditentukan oleh sumbu-''x'' ke kanan dan sumbu-''y'' ke atas, rotasi positif adalah [[anti-arah jarum jam]] dan rotasi negatif adalah [[arah jarum jam]].
Dalam banyak konteks, sudut-''θ'' secara efektif setara dengan sudut "satu putaran penuh ''θ'' minus". Misalnya, orientasi yang direpresentasikan sebagai −45° secara efektif dengan orientasi yang direpresentasikan sebagai 360° −45° atau 315°. Meskipun posisi akhirnya sama, rotasi fisik (gerakan) −45° tidak sama dengan rotasi 315°, misalnya rotasi dimegang sapu diletakkan di lantai berdebu akan meninggalkan jejak yang berbeda secara visual dari daerah yang disapu di lantai.
Dalam geometri tiga dimensi, "arah jarum jam" dan "anti-arah jarum jam" tidak memiliki arti mutlak, jadi arah sudut positif dan negatif harus ditentukan relatif terhadap beberapa referensi, yang biasanya adalah [[Vektor (geometris)|vektor]] melewati titik sudut dan tegak lurus pada bidang dimana sinar sudut berada.
Dalam [[navigasi]], [[bantalan (navigasi)|bantalan]] atau [[azimut]] diukur relatif pada bagian utara. Dengan konvensi, dilihat dari atas, sudut bantalan searah jarum jam positif, sehingga bantalan 45° sesuai dengan orientasi timur laut. Bantalan negatif tidak digunakan dalam navigasi, jadi orientasi barat laut sesuai dengan bantalan 315°.
===Cara alternatif untuk mengukur ukuran sudut ===
Ada beberapa alternatif untuk mengukur besar sudut dengan sudut putar. ''[[Kelerengan]]'' atau ''gradien'' sama dengan [[singgung (fungsi trigonometri)|singgung]] dari sudut, atau terkadang (jarang) [[sinus]]; gradien sering dinyatakan sebagai persentase. Untuk nilai yang sangat kecil (kurang dari 5%), derajat kelerengan kira-kira sama dengan ukuran sudut dalam radian.
Dalam [[geometri rasional]] ''[[sebaran (trigonometri rasional)|sebaran]]'' antara dua garis didefinisikan sebagai kuadrat sinus sudut antara garis. Karena sinus suatu sudut dan sinus sudut tambahannya sama, setiap sudut rotasi memetakan salah satu garis ke garis lainnya mengarah ke nilai yang sama untuk penyebaran antar garis.
===Perkiraan astronomi===
{{main|Diameter sudut}}
Para astronom mengukur pemisah sudut objek dalam derajat dari titik pengamatan mereka.
* 0,5° kira-kira lebar matahari atau bulan.
* 1° kira-kira selebar jari kelingking sepanjang lengan.
* 10° kira-kira selebar kepalan tangan tertutup sepanjang lengan.
* 20° kira-kira lebar rentang tangan di lengan.
Pengukuran ini jelas bergantung pada subjek individu, dan hal diatas sebagai perkiraan [[kaidah praktis]].
==Sudut diantara kurva==
[[Berkas:Curve angles.svg|thumb|right|Sudut diantara dua kurva di ''P'' didefinisikan sebagai sudut antara garis singgung <var>A</var> dan <var>B</var> di <var>P</var>.]]
Sudut antara garis dan [[kurva]] (sudut campuran) atau antara dua irisan kurva (sudut lengkung) didefinisikan sebagai sudut antara [[tangen]] pada irisan titik. Berbagai nama (sekarang jarang, jika pernah, digunakan) telah diberikan untuk kasus-kasus tertentu:—''amphicyrtic'' (Yn. {{lang|grc|ἀμφί}}, di kedua sisi, κυρτός, cembung) atau ''cissoidal'' (Yn. κισσός, ivy), cembung ganda; ''xystroidal'' atau ''sistroidal'' (Yn. ξυστρίς, alat untuk menggores), cekung-cembung; ''amphicoelic'' (Yn. κοίλη, berongga) atau ''angulus lunularis'', bikonkaf.<ref>{{harvnb|Chisholm|1911}}; {{harvnb|Heiberg|1908|p=178}}</ref><!-- Sekali lagi, sebagian besar paragraf ini berasal dari EB1911 dengan Heath digunakan sebagai sumbernya. -->
== Membagi dua dan membagi tiga sudut ==
{{Main article|Bagi-dua#Sudut bagi|Pembagian sudut}}
[[Matematika Yunani|Matetikawan Yunani kuno]] mengetahui bagaimana cara membagi dua sudut (membaginya menjadi dua sudut yang sama besar) hanya dengan [[Lukisan jangka dan mistar|menggunakan jangka dan penggaris]], namun hanya bisa membagi tiga sudut tertentu. Pada tahun 1837 [[Pierre Wantzel]] menunjukkan bahwa untuk sebagian besar sudut, konstruksi ini tidak dapat dilakukan.
== Perkalian bintik dan generalisasi ==
Dalam [[ruang Euklides]], sudut ''θ'' antara dua [[vektor Euklides]] '''u''' dan '''v''' terkait dengan [[perkalian bintik]] dan panjang dengan rumus
:<math> \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \cos(\theta) \left\| \mathbf{u} \right\| \left\| \mathbf{v} \right\| .</math>
Rumus ini menyediakan metode yang mudah untuk menemukan sudut diantara dua bidang (atau permukaan lengkung) dari [[vektor normal]] dan antara [[garis miring]] dari persamaan vektor.
===Perkalian dalam ===
Untuk menentukan sudut dalam riil abstrak [[ruang perkalian dalam]], mengganti hasil kali titik Euklides ( '''·''' ) dengan perkalian dalam <math> \langle \cdot , \cdot \rangle </math>, i.e.
:<math> \langle \mathbf{u} , \mathbf{v} \rangle = \cos(\theta)\ \left\| \mathbf{u} \right\| \left\| \mathbf{v} \right\| .</math>
Dalam kompleks [[ruang perkalian dalam]], ekspresi untuk kosinus di atas dapat memberikan nilai non-riil, sehingga diganti dengan
:<math> \operatorname{Re} \left( \langle \mathbf{u} , \mathbf{v} \rangle \right) = \cos(\theta) \left\| \mathbf{u} \right\| \left\| \mathbf{v} \right\| .</math>
atau, menggunakan [[nilai absolut]], dengan
:<math> \left| \langle \mathbf{u} , \mathbf{v} \rangle \right| = \left| \cos(\theta) \right| \left\| \mathbf{u} \right\| \left\| \mathbf{v} \right\| .</math>
Definisi terakhir arah vektor dan dengan demikian menggambarkan sudut antara subruang satu dimensi <math>\operatorname{rentang}(\mathbf{u})</math> dan <math>\operatorname{rentang}(\mathbf{v})</math> tentangan oleh vektor <math>\mathbf{u}</math> dan <math>\mathbf{v}</math> secara bersamaan.
===Sudut antar subruang===
Definisi sudut antara subruang satu dimensi <math>\operatorname{rentang}(\mathbf{u})</math> dan <math>\operatorname{rentang}(\mathbf{v})</math> diberikan oleh
:<math> \left| \langle \mathbf{u} , \mathbf{v} \rangle \right| = \left| \cos(\theta) \right| \left\| \mathbf{u} \right\| \left\| \mathbf{v} \right\| </math>
dalam [[ruang Hilbert]] apabila diperluas ke subruang dari dimensi hingga. Diberikan dua subruang <math> \mathcal{U} </math>, <math> \mathcal{W} </math> dengan <math> \dim ( \mathcal{U}) := k \leq \dim ( \mathcal{W}) := l </math>, ini mengarah pada definisi sudut <math>k</math> yang disebut kanonik atau [[sudut utama]] diantara subruang.
===Sudut dalam geometri Riemannian===
Dalam [[geometri Riemann]], [[tensor metrik]] digunakan untuk menentukan sudut diantara dua [[tangen]]. Dimana ''U'' dan ''V'' adalah vektor tangen dan ''g''<sub>''ij''</sub> adalah komponen dari tensor metrik ''G'',
:<math>
\cos \theta = \frac{g_{ij}U^iV^j}{\sqrt{ \left| g_{ij}U^iU^j \right| \left| g_{ij}V^iV^j \right|}}.
</math>
===Sudut hiperbolik===
[[Sudut hiperbolik]] adalah [[argumen fungsi|argumen]] dari [[fungsi hiperbolik]] sama seperti ''sudut lingkaran'' adalah argumen dari [[fungsi utama]]. Perbandingan apabila divisualisasikan sebagai ukuran bukaan [[sektor hiperbolik]] dan sebuah [[sektor lingkar]] karena [[luas]] dari sektor-sektor ini sesuai dengan besaran sudut dalam setiap kasus. Berbeda dengan sudut lingkar, sudut hiperbolik tak hingga. Ketika fungsi sirkular dan hiperbolik dipandang sebagai [[deret tak hingga]] dalam argumen sudutnya, melingkar hanyalah bentuk [[deret selang-seling]] dari fungsi hiperbolik. Tenunan dua jenis sudut dan fungsi ini dijelaskan oleh [[Leonhard Euler]] dalam ''[[Pengantar Analisis Tak Hingga]]''.
==Sudut dalam geografi dan astronomi==
[[Berkas:Two rays and one vertex.sr.png|jmpl|Dua sinar dan satu titik sudut]]
Dalam [[geografi]], lokasi titik dimana Bumi diidentifikasi menggunakan ''[[sistem koordinat geografis]]''. Sistem ini menentukan [[lintang]] dan garis [[bujur]] dari setiap lokasi dalam hal sudut yang dibentuk di pusat Bumi, menggunakan [[ekuator]] dan (biasanya) [[meridian Greenwich]] sebagai referensi.
Dalam [[astronomi]], suatu titik tertentu pada [[bola langit]] (yaitu, posisi yang tampak dari suatu objek astronomi) diidentifikasi menggunakan salah satu dari beberapa ''[[sistem koordinat astronomi]]'', dimana referensi bervariasi sesuai dengan sistem tertentu. Para astronom mengukur ''[[pemisah sudut]]'' dari dua [[bintang]] dengan membayangkan dua garis melalui pusat [[Bumi]], masing-masing irisan dengan salah satu bintang. Sudut diantara garis-garis tersebut dapat diukur dan merupakan jarak pisah antara dua bintang.
Dalam geografi dan astronomi, arah penampakan dapat ditentukan dalam hal [[sudut vertikal]] seperti [[tinggi sudut|ketinggian]] /[[sudut elevasi|elevasi]] dengan [[horizon]] serta [[azimut]] berhubungan dengan [[utara]].
Para astronom juga mengukur ''ukuran semu'' objek sebagai [[diameter sudut]]. Misalnya, [[bulan purnama]] memiliki diameter sudut sekitar 0,5°, jika dilihat dari Bumi. Biasanya seseorang mengatakannya sebagai, "Diameter Bulan dalam bentuk sudut setengah derajat". [[Rumus sudut-kecil]] digunakan untuk mengubah pengukuran sudut tersebut menjadi rasio jarak/ukuran.
:
==Lihat pula==
{{div col |colwidth=22em}}
* [[Alat ukur sudut]]
* [[Rata-rata sudut]]
* [[Bagi-dua#Sudut bagi|Sudut bagi]]
* [[Kecepatan sudut]]
* [[Argumen (analisis kompleks)]]
* [[Aspek astrologi]]
* [[Sudut tengah]]
* [[Masalah sudut jam]]
* [[Sudut dihedral]]
* [[Teorema sudut luar]]
* [[Sudut emas]]
* [[Jarak lingkaran besar]]
* [[Sudut dalam]]
* [[Sudut irasional]]
* [[Fase (gelombang)]]
* [[Busur derajat]]
* [[Sudut ruang]]
* [[Sudut bulat]]
* [[Sudut transenden]]
* [[Pembagian tiga sama besar]]
* [[Sudut Zenith]]
{{div col end}}
==Catatan==
{{Reflist|group="catatan"}}
==Referensi==
{{Reflist|refs=
<ref name="Jeans_1947">{{cite book |author-first=James Hopwood |author-last=Jeans |author-link=James Hopwood Jeans |date=1947 |title=The Growth of Physical Science |publisher=CUP Archive |page=[https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.210060/page/n25 7] |url=https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.210060}}</ref>
<ref name="Murnaghan_1946">{{cite book |author-first=Francis Dominic |author-last=Murnaghan |author-link=Francis Dominic Murnaghan (mathematician) |date=1946 |title=Analytic Geometry |page=2}}</ref>
<ref name="Dimitric_2012">{{cite journal |title=On Angles and Angle Measurements |author-first=Radoslav M. |author-last=Dimitrić |journal=The Teaching of Mathematics |date=2012 |volume=XV |number=2 |pages=133–140 |url=http://elib.mi.sanu.ac.rs/files/journals/tm/29/tm1525.pdf |access-date=2019-08-06 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20190117195213/http://elib.mi.sanu.ac.rs/files/journals/tm/29/tm1525.pdf |archive-date=2019-01-17}}</ref>
<ref name="ooPIC">{{cite web |title=ooPIC Programmer's Guide - Chapter 15: URCP |work=[[ooPIC]] Manual & Technical Specifications - ooPIC Compiler Ver 6.0 |orig-year=1997 |date=2007 |publisher=Savage Innovations, LLC |url=http://www.oopic.com/pgchap15.htm |access-date=2019-08-05 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20080628051746/http://www.oopic.com/pgchap15.htm |archive-date=2008-06-28}}</ref>
<ref name="Hargreaves_2010">{{cite web |title=Angles, integers, and modulo arithmetic |author-first=Shawn |author-last=Hargreaves |author-link=:pl:Shawn Hargreaves |publisher=blogs.msdn.com |url=http://blogs.msdn.com/shawnhar/archive/2010/01/04/angles-integers-and-modulo-arithmetic.aspx |access-date=2019-08-05 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20190630223817/http://www.shawnhargreaves.com/blogindex.html |archive-date=2019-06-30}}</ref>
}}
== Bibliografi ==
* {{citation |last1=Henderson |first1=David W. |last2=Taimina |first2=Daina |year=2005 |title=Experiencing Geometry / Euclidean and Non-Euclidean with History |edition=3rd |publisher=Pearson Prentice Hall |isbn=978-0-13-143748-7|page=104}}
* {{citation |last=Heiberg |first=Johan Ludvig |year=1908 |title=Euclid |editor-first=T. L. |editor-last=Heath |editor-link=T. L. Heath |series=The Thirteen Books of Euclid's Elements |volume=1 |publisher=Cambridge University Press |location=[[Cambridge, England|Cambridge]] |url=https://books.google.com/books?id=UhgPAAAAIAAJ }}.
* {{SpringerEOM|mode=cs2 |last=Sidorov |first=L. A. |date=2001 |id=Angle&oldid=13323 |title=Angle}}
* {{citation |last=Jacobs |first=Harold R. |date=1974 |title=Geometry|publisher=W. H. Freeman|isbn=978-0-7167-0456-0|pages=97, 255}}
* {{citation|last=Slocum|first=Jonathan|date=2007|url=http://www.utexas.edu/cola/centers/lrc/ielex/X/P0089.html|title=Preliminary Indo-European lexicon — Pokorny PIE data|access-date=2 Feb 2010|publisher=[[Linguistics Research Center at UT Austin|University of Texas research department: linguistics research center]]|archive-date=2010-06-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20100627012240/http://www.utexas.edu/cola/centers/lrc/ielex/X/P0089.html|dead-url=yes}}
* {{citation |last=Shute |first=William G. |last2=Shirk |first2=William W. |last3=Porter |first3=George F. |date=1960 |title=Plane and Solid Geometry |publisher=American Book Company |pages=25–27}}
* {{citation |last1=Wong |first1=Tak-wah |last2=Wong |first2=Ming-sim |date=2009 |chapter=Angles in Intersecting and Parallel Lines |title=New Century Mathematics |location=Hong Kong |publisher=Oxford University Press |edition=1 |volume=1B |pages=161–163 |isbn=978-0-19-800177-5}}
{{EB1911 |wstitle=Angle |volume=2 |page=14 |mode=cs2}}
==Pranala luar==
{{Commons category|Angles (geometry)}}
{{Wikibooks|Geometri|Sudut Terpadu}}
* {{cite EB9 |wstitle=Angle |volume=2 |pages=29–30 |mode=cs2|short=x }}
{{Bangun}}{{Authority control}}
[[Kategori:Sudut| ]]
| |||