Wikipedia

Segi lima: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Darhnh (bicara | kontrib)
196 suntingan
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler
Hadithfajri (bicara | kontrib)
877 suntingan
 
(24 revisi perantara oleh 8 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{about|bangun datar|markas besar Kementerian Pertahanan Amerika Serikat|Gedung Pentagon|penggunaan lain}}{{Tanpa referensi|date=Februari 2022}}{{Infobox polygon
[[Berkas:regular pentagon.png|ka|Pentagon sama sisi]]
| name = Segi lima
| image = Regular_polygon_5 annotated.svg
| caption = Sebuah segi lima sama beraturan
| type = [[Poligon reguler]]
| euler =
| edges = 5
| schläfli = {5} Untuk segi lima reguler
| wythoff =
| coxeter = [[Berkas:CDW_ring.png]][[Berkas:CDW_5.png]][[Berkas:CDW_dot.png]]
| symmetry = [[Grup dihedral|Dihedral]] (D<sub>5</sub>)
| area = Berbagai metode [[#Luas segi lima cembung#Rumus trigonometri#Rumus non-trigonometri|Lihat pula]]
| angle = 108°
| dual =
| properties = [[Poligon cembung|Cembung (konveks)]]
}}
 
Dalam [[geometri]], '''segi lima''' ({{Lang-en|pentagon}}) adalah [[poligon]] apapun yang bersisi lima. Meskipun begitu, istilah ini sering digunakan untuk merujuk kepada '''segi lima beraturan''', di mana semua sisinya memiliki panjang yang sama dan seluruh sudutnya sama besar (108°). Segi lima terbagi menjadi dua jenis, ''sederhana'' dan ''memotong-diri-sendiri'' (''self-intersecting''). Segi lima reguler jenis kedua terjadi ketika ada dua sisi poligon yang saling berpotongan. Bangun segi lima reguler memotong-diri-sendiri disebut [[pentagram]].
 
== Segi lima beraturan ==
Dalam [[geometri]], '''pentagon''' atau '''segi lima''' adalah [[poligon]] apapun yang bersisi lima. Meskipun begitu, istilah ini sering digunakan untuk merujuk kepada '''segi lima sama sisi''', di mana semua sisinya memiliki panjang yang sama dan seluruh sudutnya sama besar (108°).
 
Sebuah ''segi lima beraturan'' atau ''pentagon beraturan'' ({{Lang-en|regular pentagon}}) adalah bentuk khusus dari segi lima sama sisi. Segi lima ini memiliki [[simbol Schläfli]] {5} dan sudut interior sebesar 108°. Segi lima beraturan memiliki lima simetri pencerminan, dan simetri rotasi orde 5 (dengan sudut rotasi 72°, 144°, 216° dan 288°).
== Segi lima biasa ==
 
Segi lima beraturan memiliki lima sisi diagonal (yakni sisi yang menghubungkan dua titik sudut yang tidak saling bersebelahan). Perbandingan panjang sisi segi lima terhadap panjang sisi diagonal ini sama dengan [[rasio emas]]. Sedangkan panjang sisi tinggi (yakni jarak dari satu titik sudut ke sisi yang berlawanan) dan sisi lebar (jarak antara dua titik terpisah terjauh; sama dengan panjang sisi diagonal) dapat dihitung lewat persamaan<math display="block">\begin{align}
{{Regular polygon db|Regular polygon stat table|p5}}
\text{Tinggi} &= \frac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2} \cdot s \approx 1.539s, \\
[[File:Regular pentagon 1.svg|thumb|Sisi(<math>t</math>), jari jari lingkaran (<math>R</math>), jari jari lingkaran tertulis (<math>r</math>), tinggi {{Nowrap|(<math>R+r</math>)}}, lebar/diagonal {{Nowrap|(<math>\varphi t</math>)}}]]
\text{Lebar}=
\text{Diagonal} &= \frac{1 + \sqrt5}{2} \cdot s\approx 1.618s, \\
\text{Lebar} &= \sqrt{2-\frac{2}{\sqrt{5}}} \cdot \text{Tinggi}\approx 1.051 \cdot \text{Tinggi}
\end{align}</math>dengan <math>s</math> adalah panjang sisi segi lima dan <math>R</math> adalah [[jari-jari]] [[lingkaran luar]] dari segi lima. Luas dari segi lima beraturan dapat ditemukan dengan menggunakan persamaan<math display="block">A = \frac{{s^2 \sqrt {25 + 10\sqrt 5} }}{4} = \frac{5s^2 \tan(54^\circ)}{4} = \frac{\sqrt{5(5 + 2\sqrt{5})} \;s^2}{4} \approx 1.720 s^2.</math>Jika segi lima beraturan dibatasi oleh lingkaran luar dengan jari-jari <math>R</math>, panjang sisi dan panjang diagonalnya memenuhi persamaan<math display="block">\begin{align}
s &= R\ {\sqrt { \frac {5-\sqrt{5}}{2}} } = 2R\sin 36^\circ = 2R\sin\frac{\pi}{5} \approx 1.176 R,\\
\text{Diagonal} &= R\ {\sqrt { \frac {5 + \sqrt{5}}{2}} } = 2R\cos 18^\circ = 2R\cos\frac{\pi}{10} \approx 1.902 R
\end{align}</math>dan luasnya dapat ditentukan dengan<math display="block">A=\frac{5R^2}{4}\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}.</math>Karena luas lingkaran luar adalah <math>\pi R^2</math>, persamaan luas segi lima beraturan tersebut mengartikan segi lima beraturan mengisi kurang lebih 75.68% luas lingkaran luar.
 
=== Penurunan rumus luas ===
Sebuah rutin pentagon memiliki [[simbol Schläfli]] {5} dan sudut interior 108 °.
Luas dari sembarang poligon beraturan adalah:<math display="block">A = \frac{1}{2}Pr</math>dengan <math>P</math> menyatakan keliling (''perimeter'') dari poligon dan <math>r</math> adalah jari-jari [[lingkaran dalam]] dari poligon tersebut. Dengan mensubtitusi nilai <math>P</math> dan <math>r</math> dari segi lima, akan didapatkan persamaan
 
: <math>A = \frac{1}{2} \cdot 5s \cdot \frac{s\tan\mathord\left(\frac{3 \pi}{10}\right)}{2} = \frac{5s^2\tan\mathord\left(\frac{3 \pi}{10}\right)}{4}</math>
Sebuah rutin pentagon memiliki lima baris simetri reflectional , dan simetri rotasi dari urutan 5 (melalui 72 °, 144 °, 216 ° dan 288 °). The Diagonal dari cembung biasa pentagon berada di rasio emas untuk sisi-sisinya. Tingginya (jarak dari satu sisi ke titik yang berlawanan) dan lebar (jarak antara dua titik terpisah terjauh, yang sama dengan panjang diagonal) diberikan oleh
:<math>\text{Tinggi} = \frac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2} \cdot \text{Sisi}\approx 1.539 \cdot \text{Sisi},</math>
:<math>\text{Width} = \text{Diagonal}= \frac{1+\sqrt5}{2} \cdot \text{Sisi}\approx 1.618 \cdot \text{Sisi},</math>
:<math>\text{Width} = \sqrt{2-\frac{2}{\sqrt{5}}} \cdot \text{Tinggi}\approx 1.051 \cdot \text{Tinggi},</math>
:<math>\text{Diagonal} = R\ {\sqrt { \frac {5+\sqrt{5}}{2}} } = 2R\cos 18^\circ = 2R\cos\frac{\pi}{10} \approx 1.902 R,</math>
 
dengan <math>s</math> menyatakan panjang sisi dari segi lima beraturan.
di mana R adalah [[jari-jari]] [[lingkaran]] .
 
=== Jari-jari dalam (''inradius'') ===
Luas pentagon reguler cembung dengan panjang sisi t diberikan oleh
<math>A = \frac{5a^2}{4}\cot \frac{\pi}{5} = \frac {a^2}{4} \sqrt{25+10\sqrt{5}} \simeq 1,72048 a^2</math>
 
Seperti sembarang [[poligon cembung]] beraturan yang lain, segi lima cembung beraturan memiliki [[lingkaran dalam]]. Panjgan [[jari-jari]] <math>r</math> dari lingkaran dalam dapat dihubungkan dengan panjang sisi <math>s</math> dari segi lima beraturan lewat persamaan
Sebuah pentagram atau pentangle adalah biasa bintang segi lima. [[Simbol Schläfli]]- nya adalah {5/2}. Sisi-sisinya membentuk diagonal pentagon cembung biasa - dalam pengaturan ini sisi kedua pentagon berada dalam rasio emas .
:<math>r=\frac{s}{2\tan ( \pi /5)}=\frac{s}{2\sqrt{5-\sqrt{20}}}\approx 0.6882 \cdot t.</math>
 
=== Konstruksi geometris ===
Ketika pentagon biasa dibatasi oleh lingkaran dengan jari-jari R , panjang tepi t diberikan oleh ekspresi
:<math>t = R\ {\sqrt { \frac {5-\sqrt{5}}{2}} } = 2R\sin 36^\circ = 2R\sin\frac{\pi}{5} \approx 1.176 R,</math>
 
Segi lima beraturan dapat dibangun (dikontruksi, dibuat) [[Lukisan jangka dan mistar|dengan menggunakan jangka dan penggaris]]. Hal ini adalah akibat dari [[Bilangan prima Fermat|teorema Gauss-Wantzel]] dan fakta 5 merupakan [[bilangan prima Fermat]]. Ada banyak metode yang dikenal untuk membangun pentagon biasa. Beberapa metode tersebut dibahas di bawah ini.
dan wilayahnya
:<math>A=\frac{5R^2}{4}\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}};</math>
 
===inradius= Metode Richmond ====
 
[[Berkas:Richmond pentagon 1.PNG|jmpl|Gambar 1]]Salah satu metode untuk membangun segi lima beraturan (dengan titik-titik sudut) terletak pada suatu lingkaran adalah metode yang dijelaskan oleh Richmond<ref name="Richmond">{{cite web|author=Herbert W Richmond|year=1893|title=Pentagon|url=http://mathworld.wolfram.com/Pentagon.html}}</ref>. Metode ini dibahas lebih lanjut dalam [[Polyhedra (buku)|buku Polyhedra]] oleh Cromwell.<ref>{{cite book|author=Peter R. Cromwell|date=22 July 1999|title=Polyhedra|title-link=Polyhedra (book)|isbn=0-521-66405-5|at=[https://books.google.com/books?id=OJowej1QWpoC&pg=PA63 p. 63]}}</ref>
Seperti setiap poligon cembung biasa, pentagon cembung biasa memiliki lingkaran bertuliskan .[[Apotema]] , yang merupakan [[jari-jari]] r dari [[lingkaran]] tertulis, dari pentagon biasa berhubungan dengan panjang sisi t oleh
:<math>r=\frac{t}{2\tan ( \pi /5)}=\frac{t}{2\sqrt{5-\sqrt{20}}}\approx 0.6882 \cdot t.</math>
 
Gambar 1 menunjukkan konstruksi yang digunakan dalam metode Richmond untuk membuat sebuah sisi segi lima. Kedua sudut dari sisi ini berada pada sebuah lingkaran dengan jari-jari sebesar 1. Titik pusat dari lingkaran ini ditandai dengan huruf <math>\mathsf{C}</math>, sedangkan titik <math>\mathsf{M}</math> adalah titik tengah dari jari-jari lingkaran. garis <math>\mathsf{CM}</math> tegak lurus dengan titik <math>\mathsf{CD}</math>. Tahapan pertama metode ini adalah membagi sudut <math>\angle \textsf{CMD}</math> sama besar, dan garis yang membagi sudut ini akan memotong garis <math>\mathsf{CM}</math> di titik <math>\mathsf{Q}</math>. Selanjutnya sebuah garis yang melalui titik <math>\mathsf{Q}</math> dan sejajar garis <math>\mathsf{CM}</math> dibentuk; garis ini akan memotong lingkaran di titik <math>\mathsf P</math>. Segmen garis <math>\mathsf {DP}</math> adalah sisi segi lima yang dihasilkan metode ini.
===pembangunan segi lima biasa===
 
Untuk menentukan panjang dari sisi ini, dua segitiga siku-siku <math>\triangle \mathsf{DCM}</math> dan <math>\triangle \mathsf{QCM}</math> digambarkan di bawah gambar lingkaran konstruksi. Menggunakan [[teorema Pythagoras]], panjang hipotenusa (sisi miring) dari <math>\triangle \mathsf{DCM}</math> adalah <math>\sqrt{5}/2</math>. Panjang sisi <math>h</math> dari <math>\triangle \mathsf{QCM}</math> dapat ditentukan dengan menggunakan rumus setengah sudut:
Pentagon biasa dapat dibangun dengan kompas dan garis lurus , karena 5 adalah prime Fermat . Berbagai metode dikenal untuk membangun pentagon biasa. Beberapa dibahas di bawah ini.
:<math>\tan ( \phi/2) = \frac{1-\cos(\phi)}{\sin (\phi)}.</math>
 
Dengan mensubtitusi nilai sinus dan kosinus dari sudut <math>\phi</math>, yang nilainya diketahui dari <math>\triangle \mathsf{DCM}</math>, didapatkan
====metode richmond====
 
[[File:Richmond pentagon 1.PNG|160px|thumb]]
[[File:Richmond Pentagon 2.PNG|160px|thumb]]
 
Salah satu metode untuk membangun pentagon reguler dalam lingkaran yang diberikan dijelaskan oleh Richmond dan dibahas lebih lanjut dalam Polyhedra Cromwell .
 
Panel atas menunjukkan konstruksi yang digunakan dalam metode Richmond untuk membuat sisi pentagon bertulis. Lingkaran yang mendefinisikan pentagon memiliki satuan jari-jari. Pusatnya terletak di titik C dan titik tengah M ditandai setengah jari-jarinya. Titik ini bergabung ke pinggiran secara vertikal di atas pusat pada titik D . Angle CMD adalah membagi, dan garis-yang memotong sumbu vertikal pada titik Q . Garis horizontal melalui Q memotong lingkaran pada titik P , dan akor PD adalah sisi yang diperlukan dari pentagon bertulis.
 
Untuk menentukan panjang sisi ini, dua segitiga siku-siku DCM dan QCM digambarkan di bawah lingkaran. Menggunakan teorema Pythagoras dan dua sisi, sisi miring dari segitiga yang lebih besar ditemukan sebagai
: <math>\scriptstyle \sqrt{5}/2</math>.Sisi h dari segitiga yang lebih kecil kemudian ditemukan menggunakan rumus setengah sudut :
:<math>\tan ( \phi/2) = \frac{1-\cos(\phi)}{\sin (\phi)} \ ,</math>
 
di mana cosinus dan sinus ''ϕ'' diketahui dari segitiga yang lebih besar. Hasilnya adalah:
:<math>h = \frac{\sqrt 5 - 1}{4} \ .</math>
 
Jika <math>\mathsf {DP}</math> memang merupakan sisi dari segi lima beraturan, haruslah <math>\angle \mathsf{CDP} = 54^\circ</math>. Menggabungkan <math>\mathsf {DP}=2\cos(54^\circ)</math> dan <math>\mathsf{DQ} = \mathsf{DP}\cos(54^\circ)</math>, didapatkan <math>\mathsf{DQ} = 2\cos^2(54^\circ)</math> dan <math display="block">\mathsf{CQ} = 1-2\cos^2(54^\circ) = -\cos(108^\circ) = \cos(72^\circ).</math>Hal ini mengartikan <math>\angle \textsf{QCP}= \angle \textsf{DCP} = 72^\circ</math>, yang berlaku pada segi lima beraturan.
Dengan sisi ini dikenal, perhatian bergantian diagram yang lebih rendah untuk menemukan sisi s dari pentagon biasa. Pertama, sisi a dari segitiga siku-siku ditemukan menggunakan teorema Pythagoras lagi:
:<math>s^2 = (1-h)^2 + a^2 = (1-h)^2 + 1-h^2 = 1-2h+h^2 + 1-h^2 = 2-2h=2-2\left(\frac{\sqrt 5 - 1}{4}\right) \ </math>
::<math>=\frac {5-\sqrt 5}{2} \ .</math>
 
== Segi lima sama sisi ==
Kemudian s ditemukan menggunakan [[teorema Pythagoras]] dan segitiga kiri sebagai:
[[Berkas:Equilateral pentagon.SVG|al=Segi lima sama sisi yang dikonstruksi dengan menggunakan empat lingkaran.|jmpl|Segi lima sama sisi yang dikonstruksi dengan menggunakan empat lingkaran.]]
''Segi lima sama sisi'' adalah sebuah [[poligon]] dengan lima sisi yang sama panjang. Tetapi, besar sudut-sudut dalam dari poligon ini dapat bermacam-macam. Hal ini berbeda dengan segi lima beraturan yang semua sudutnya memiliki besar yang sama.
 
== Segi lima dalam pengubinan ==
:<math>s = \sqrt{ \frac {5-\sqrt 5}{2}} \ ,</math>
[[Berkas:2-d_pentagon_packing_dual.svg|ka|jmpl|Peubinan terbaik yang diketahui dari segi lima beraturan pada bidang, adalah sebuah struktur kisi ganda yang menutupi 92.131% permukaan bidan.]]
Segi lima beraturan tidak dapat diletakkan pada semua jenis pengubinan poligon-poligon beraturan.
 
== RumusContoh rumussegi lima di alam ==
 
=== Luas ===
<math>L = \frac{5a^2}{4}\cot \frac{\pi}{5} = \frac {a^2}{4} \sqrt{25+10\sqrt{5}} \simeq 1,72048 a^2</math>
 
=== Tinggi ===
<math> t = r_u + r_i = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{5 + 2 \cdot \sqrt{5}} \approx 1{,}539 \cdot a</math>
 
=== [[Diagonal (geometri)|Diagonal]] ===
<math> d = \frac{a}{2} \cdot (1 + \sqrt{5}) \approx 1{,}618 \cdot a</math>
 
=== Jari jari tertulis ===
<math> r_i = \frac{a}{10} \cdot \sqrt{25 + 10 \cdot \sqrt{5}} \approx 0{,}688 \cdot a</math>
 
=== Radius ===
<math> r_u = \frac{a}{10} \cdot \sqrt{50 + 10 \cdot \sqrt{5}} \approx 0{,}851 \cdot a</math>
 
== Contoh segi lima ==
 
=== Tumbuhan ===
<gallery>Image
Berkas:BhindiCutUp.jpg|Penampang melintang [[okra]].
ImageBerkas:Morning Glory Flower.jpg|[[Morning glory]], seperti banyak bunga lainnya, memiliki bentuk pentagonal.
ImageBerkas:Sterappel dwarsdrsn.jpg|TheBiji [[gynoecium]]dari of anbuah [[appleapel]] containstersusun fivedalam carpels,bentuk arrangedbintang inlima a [[five-pointed star]]sudut
ImageBerkas:Carambola Starfruit.jpg|[[carambola|StarfruitBelimbing]] isadalah buah anotherlain fruityang withmemiliki fivefold5 symmetrysimetri.
</gallery>
 
=== Hewan ===
<gallery>
FileBerkas:Oreaster reticulatus201905mx.jpg|A [[seaBintang starlaut]]., Manyseperti banyak [[echinoderms|echinodermata]] havelainnya, fivefoldmemiliki radial5 symmetry.simetri radial
FileBerkas:Sea Urchin Endoskeleton.jpg|AnotherEndoskeleton example of echinoderm, adari [[sea urchinteripang]] endoskeleton.
File:Haeckel Ophiodea.jpg|An illustration of [[brittle stars]], also echinoderms with a pentagonal shape.
</gallery>
 
== Lihat juga ==
* [[Poligon]]
 
== Referensi ==
[[Poligon]]
<references />
 
 
{{Poligon}}
{{geometri-stub}}
 
[[Kategori:Poligon]]
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Segi_lima"