Teorema Pythagoras: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. |
||
| (8 revisi perantara oleh 7 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
[[Berkas:Pythagorean.svg|jmpl|260x260px|'''Teori Pythagoras'''<br/>Jumlah area dari dua persegi pada kaki (a dan b) sama dengan luas persegi pada sisi miring (c).]]
Dalam matematika, '''teorema''' '''
:<math>a^2 + b^2 = c^2 ,</math>
Baris 43 ⟶ 42:
Bukti ini didasarkan pada [[Kesebandingan (matematika)|Kesebandingan]] sisi-sisi dari dua segitiga yang sama, yaitu, pada kenyataan bahwa [[rasio]] dari setiap dua sisi yang sesuai dari segitiga yang sama adalah sama terlepas dari ukuran segitiga.
Biarkan ''ABC'' mewakili segitiga siku-siku, dengan sudut kanan terletak di ''C'', seperti yang ditunjukkan pada gambar. Gambar [[Ketinggian (segitiga)|ketinggian]] dari titik ''C'', dan dikatakan ''H'' persimpangan dengan sisi ''AB''. Titik ''H'' membagi panjang sisi miring ''c'' menjadi bagian ''d'' dan ''e''. ''ACH'' segitiga baru [[Kesamaan (geometri)|sama]] dengan segitiga ''ABC'', karena mereka berdua memiliki sudut kanan (menurut definisi ketinggian), dan mereka berbagi sudut pada ''A'', yang berarti bahwa sudut ketiga akan sama di kedua segitiga juga, ditandai sebagai θ pada gambar. Dengan alasan yang sama, segitiga ''CBH'' juga mirip dengan ''ABC''. Bukti kesamaan segitiga membutuhkan [[postulat segitiga]]: jumlah [[Sudut dalam dan luar|sudut dalam]] segitiga adalah dua sudut kanan, dan setara dengan [[postulat paralel]]. Kesamaan segitiga menyebabkan rasio kesetaraan dari sisi yang sesuai:
:<math> \frac{BC}{AB}=\frac{BH}{BC} \text{ dan } \frac{AC}{AB}=\frac{AH}{AC}.</math>
Baris 62 ⟶ 61:
Peran bukti ini dalam sejarah adalah subjek banyak spekulasi. Pertanyaan mendasarnya adalah mengapa Euclid tidak menggunakan bukti ini, tetapi menemukan yang lain. Salah satu dugaan adalah bahwa bukti dari segitiga yang sama melibatkan teori proporsi, topik yang tidak dibahas sampai nanti dalam ''Elemen'', dan bahwa teori proporsi membutuhkan pengembangan lebih lanjut pada waktu itu.<ref>{{Harv|Maor|2007|p=[https://books.google.com/books?id=Z5VoBGy3AoAC&pg=PA39&dq=%22why+did+Euclid+choose+this+particular+proof%22&hl=en&ei=WckoTLv4JIKknQecwvWoAQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCUQ6AEwAA#v=onepage&q=%22why%20did%20Euclid%20choose%20this%20particular%20proof%22&f=false 39]}}</ref><ref name="Hawking">{{cite book|url=https://books.google.com/?id=3zdFSOS3f4AC&pg=PA12|title=God created the integers: the mathematical breakthroughs that changed history|author=Stephen W. Hawking|publisher=Running Press Book Publishers|year=2005|isbn=0-7624-1922-9|location=Philadelphia|page=12}} This proof first appeared after a computer program was set to check Euclidean proofs.</ref>
=== Bukti
[[Berkas:Illustration_to_Euclid's_proof_of_the_Pythagorean_theorem.svg|jmpl|Bukti dalam ''Elemen'' Euclid]]
Secara garis besar, berikut adalah bagaimana bukti dalam ''[[Elemen Euclid|Elemen]]'' [[Euclid]] berasal. Persegi besar dibagi menjadi [[persegi panjang]] kiri dan kanan. Sebuah segitiga dibangun yang memiliki setengah luas persegi panjang kiri. Kemudian segitiga lain dibangun yang memiliki setengah luas persegi di sisi paling kiri. Dua segitiga ini terbukti kongruen, membuktikan bahwa persegi ini memiliki area yang sama dengan persegi panjang kiri. Argumen ini diikuti oleh versi yang sama untuk persegi panjang kanan dan persegi yang tersisa. Menempatkan dua persegi panjang bersama-sama untuk mereformasi alun-alun pada sisi miring, luasnya sama dengan jumlah luas dari dua kotak lainnya. Detailnya mengikuti.
Biarkan ''A'', ''B'', ''C'' menjadi [[Vertex (geometri)|simpul]] dari segitiga siku-siku, dengan sudut siku-siku pada ''A''. Letakkan tegak lurus dari ''A'' ke sisi yang berlawanan dengan sisi miring dalam persegi pada sisi miring. Garis itu membagi persegi pada sisi miring menjadi dua persegi panjang, masing-masing memiliki luas yang sama dengan salah satu dari dua kotak pada kaki.
Baris 71 ⟶ 70:
# Jika dua segitiga memiliki dua sisi yang satu sama dengan dua sisi yang lain, masing-masing untuk masing-masing, dan sudut yang dimasukkan oleh sisi yang sama, maka segitiga adalah kongruen ([[sisi-sudut-sisi]]).
# Luas segitiga adalah setengah luas dari setiap [[jajar genjang]] pada alas yang sama dan memiliki ketinggian yang sama.
# Luas persegi panjang sama dengan produk dari dua sisi yang berdekatan.
# Luas kotak sama dengan produk dari dua sisinya (mengikuti dari 3).
Baris 85 ⟶ 84:
# Gabungkan dengan DF dan AD, untuk membentuk segitiga BCF dan BDA
# Sudut CAB dan BAG keduanya adalah sudut kanan; oleh karena itu C, A, dan G adalah kollinear. Demikian pula untuk B, A, dan H.
# Sudut CBD dan FBA keduanya sudut kanan; Oleh karena itu sudut ABD sama dengan sudut FBC, karena keduanya adalah jumlah dari sudut kanan dan sudut [[American Broadcasting Company|ABC]].
# Karena AB sama dengan FB dan BD sama dengan BC, segitiga ABD harus kongruen dengan segitiga FBC.
# Karena AKL adalah garis lurus, sejajar dengan BD, maka persegi panjang BDLK memiliki dua kali luas segitiga ABD karena mereka berbagi basis BD dan memiliki ketinggian BK yang sama, yaitu, garis normal ke basis umum mereka, menghubungkan garis paralel BD dan AL. (lemma 2)
Baris 110 ⟶ 109:
=== Bukti Einstein dengan diseksi tanpa penataan ulang ===
[[
[[Albert Einstein]] memberikan bukti dengan pembedahan di mana potongan-potongan tidak perlu dipindahkan.<ref>{{Cite journal|last=|first=|year=|title=Fraktal, Kekacauan, Hukum Kekuasaan: Menit dari Surga yang Tak Terbatas. Perusahaan Kurir. hlm. 3–4|url=https://en.wiki-indonesia.club/wiki/Special:BookSources/0486134784|journal=Wikipedia|language=en|volume=|issue=|pages=|doi=}}</ref> Alih-alih menggunakan persegi pada sisi miring dan dua persegi pada kaki, kita dapat menggunakan bentuk lain yang mencakup sisi miring, dan dua bentuk serupa yang masing-masing mencakup satu dari dua kaki alih-alih sisi miring (lihat [[Teorema Pythagoras#Figur serupa di tiga sisi|Figur serupa di tiga sisi]]). Dalam bukti Einstein, bentuk yang mencakup sisi miring adalah segitiga siku-siku itu sendiri. Diseksi terdiri dari menjatuhkan tegak lurus dari sudut sudut kanan segitiga ke sisi miring, sehingga membelah seluruh segitiga menjadi dua bagian. Kedua bagian tersebut memiliki bentuk yang sama dengan segitiga siku-siku asli, dan memiliki kaki-kaki dari segitiga asli sebagai sisi miringnya, dan jumlah area mereka adalah segitiga asli. Karena rasio luas segitiga siku-siku dengan kuadrat sisi miringnya sama untuk segitiga serupa, maka hubungan antara luas ketiga segitiga tersebut juga berlaku untuk kuadrat sisi-sisi segitiga besar.
Baris 164 ⟶ 163:
=== Bentuk serupa di tiga sisi ===
Generalisasi teorema Pythagoras yang melampaui bidang bujur sangkar pada tiga sisi hingga [[Kesamaan (geometri)|bentuk yang sama]] diketahui oleh [[Hippocrates of Chios]] pada abad ke-5 SM, dan dimasukkan oleh [[Euclid]] dalam buku ''[[Euclid's Elements|Elements]]'':<blockquote>Jika salah satu memasang angka yang sama (lihat [[geometri Euclidean]]) dengan sisi yang sesuai di sisi segitiga siku-siku, maka jumlah area yang ada di dua sisi yang lebih kecil sama dengan luas area yang ada di sisi yang lebih besar.</blockquote>Perpanjangan ini mengasumsikan bahwa sisi-sisi segitiga asli adalah sisi yang sesuai dari tiga angka yang kongruen (sehingga rasio sisi yang sama antara angka-angka yang sama adalah ''a:b:c'').<ref name="Putz">Putz, John F. and Sipka, Timothy A. "On generalizing the Pythagorean theorem", ''The College Mathematics Journal'' 34 (4), September 2003, pp. 291–295.</ref> Sementara bukti Euclid hanya berlaku untuk [[poligon]] cembung, teorema juga berlaku untuk poligon cekung dan bahkan untuk angka-angka serupa yang memiliki batas melengkung (tetapi masih dengan bagian dari batas gambar menjadi sisi segitiga asli).<ref name="Putz" />
Gagasan dasar di balik generalisasi ini adalah bahwa luas bidang gambar [[Kesebandingan (matematika)|sebanding]] dengan kuadrat dimensi linear apa pun, dan khususnya sebanding dengan kuadrat panjang sisi mana pun. Jadi, jika gambar yang serupa dengan area ''A'', ''B'' dan ''C'' didirikan pada sisi dengan panjang yang sesuai ''a'', ''b'' dan ''c'' maka:
Baris 189 ⟶ 188:
dimana <math>\theta</math> adalah sudut antara sisi <math>a</math> dan <math>b</math>.
Saat <math>\theta</math> adalah <math>\frac{\pi}{2}</math> [[radian]] atau 90°, lalu <math>\cos{\theta} = 0</math>, dan rumusnya direduksi menjadi teorema Pythagoras yang biasa.
== Lihat pula ==
Baris 212 ⟶ 211:
*{{cite book|url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html|title=Elements|last=Euclid, David E. Joyce, ed.|year=1997|accessdate=2006-08-30|origyear=c. 300 BC}} Dalam HTML dengan angka interaktif berbasis Java.
*{{springer|title=Pythagorean theorem|id=p/p075940}}
*[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PrintHT/Babylonian_Pythagoras.html History topic: Teorema Pythagoras dalam matematika Babilonia] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110606082111/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PrintHT/Babylonian_Pythagoras.html |date=2011-06-06 }}
* Tautan interaktif:
**[http://www.sunsite.ubc.ca/LivingMathematics/V001N01/UBCExamples/Pythagoras/pythagoras.html Bukti interaktif] teorema Pythagoras di [[Java]]
| |||