Rata-rata: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan |
k clean up |
||
| (38 revisi perantara oleh 10 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{Redirect|Rata-rata dan Mean|lagu Taylor Swift|Mean (lagu)}}
{{Wikifikasi}}
'''Rata-rata''' adalah suatu bilangan yang mewakili sekumpulan data.
Dalam [[statistika]], '''rata-rata''', '''rerata''', atau '''rataan''' ({{Lang-en|mean, average}}) memiliki tiga arti yang berkaitan:
* [[Rataan aritmetik]], pengertian yang paling umum dikenal awam.
* [[Nilai harapan]] dari suatu [[pengubah acak]].
* [[ukuran pemusatan data|Ukuran pemusatan]] dari suatu [[sebaran probabilitas]].
Rerata merupakan salah satu [[konsep]] sentral dalam statistika matematis. Selain itu, [[varian]]<nowiki/>menjadi bagian penting dalam berbagai penurunan berbagai metode [[statistika]].
Dipandang dari sisi matematis, rerata adalah [[momen (statistika)|momen]] pertama dari suatu peubah acak.
Momen pertama mengenai rerata dari suatu peubah acak disebut ''simpangan'' (deviasi). Itu bukan tidak rata rata.
== Rataan aritmetik ==
{{utama|Rataan aritmetik}}
Pengertian sebagai rataan [[Aritmetika|aritmetik]] bersifat teknis operasional, yang dapat dihitung secara langsung terhadap suatu himpunan data. Bagi [[peubah acak]] bernilai nyata ''X'',
* untuk data tunggal
:<math>X = \frac{\sum_{i=1}^n{x_i}}{n}
atau "jumlah data dibagi banyak data".
: keterangan:
*
* n: banyaknya data
* x_i: nilai data ke-i
Contoh:
*
:<math>X = \frac{3+2+4}{3} = 3.</math>
* untuk data berkelompok
:<math>X = \frac{\sum_{i=1}^k{f_i \cdot x_i}}{\sum_{i=1}^k{f_i}}
: keterangan:
*
* k
* f_i
* x_i
Contoh:
* Perhatikan nilai data siswa kelas X sebagai berikut:
{| class="wikitable"
|+ Nilai data siswa kelas X
|-
! Nilai !! Jumlah murid
|-
| 1–20 || 2
|-
| 21–40 || 5
|-
| 41–60 || 7
|-
| 61–80 || 6
|-
| 81–100 || 5
|}
Berapa nilai rataan aritmetik?
:
{|class="wikitable"
|+
|-
! Nilai !! Jumlah murid<br>{{small|a}} !! Nilai tengah<br>{{small|b}} !! a x b
|-
| 1–20 || 2 || 10 || 20
|-
| 21–40 || 5 || 30 || 150
|-
| 41–60 || 7 || 50 || 350
|-
| 61–80 || 6 || 70 || 420
|-
| 81–100 || 5 || 90 || 450
|-
| Total || 25 || || 1,390
|}
<math>X = \frac{1,390}{25} = 55.6.</math>
== Rataan kuadratik ==
{{utama|Rataan kuadratik}}
Pengertian sebagai [[rataan kuadratik]] bersifat teknis operasional, yang dapat dihitung secara langsung terhadap suatu himpunan data. Bagi [[peubah acak]] bernilai nyata ''Q'',
* untuk data tunggal
Baris 46 ⟶ 88:
: keterangan:
*
* n: banyaknya data
* x_i: nilai data ke-i
Contoh:
*
:<math>X = \sqrt{\frac{5^2+2^2+4^2}{3}} = \sqrt{\frac{45}{3}} = \sqrt{15} = 3,87.</math>
untuk melihat perbandingan rataan aritmetik yaitu:
:<math>X = \frac{5+2+4}{3} = 3.67.</math>
* untuk data berkelompok
:<math>X = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^k{f_i \cdot x_i^2}}{\sum_{i=1}^k{f_i}}}
: keterangan:
*
* k
* f_i
* x_i
Contoh:
* Perhatikan nilai data siswa kelas X sebagai berikut:
{| class="wikitable"
|+ Nilai data siswa kelas X
|-
! Nilai !! Jumlah murid
|-
| 1–20 || 2
|-
| 21–40 || 5
|-
| 41–60 || 7
|-
| 61–80 || 6
|-
| 81–100 || 5
|}
Berapa nilai rataan kuadratik?
:
{|class="wikitable"
|+
|-
! Nilai !! Jumlah murid<br>{{small|a}} !! Nilai tengah<br>{{small|b}} !! b<sup>2</sup> !! a x b<sup>2</sup>
|-
| 1–20 || 2 || 10 || 100 || 200
|-
| 21–40 || 5 || 30 || 900 || 4,500
|-
| 41–60 || 7 || 50 || 2,500 || 17,500
|-
| 61–80 || 6 || 70 || 4,900 || 29,400
|-
| 81–100 || 5 || 90 || 8,100 || 40,500
|-
| Total || 25 || || || 92,100
|}
<math>X = \sqrt{\frac{92,100}{25}} = \sqrt{3,684} = 60.7.</math>
: keterangan:
* X: rata-rata kuadratik
* k: banyaknya kelas interval
* f_i: frekuensi data pada kelas interval ke-i
* x_i: titik tengah kelas interval ke-i
== Rataan gabungan ==
Baris 70 ⟶ 156:
Pengertian sebagai rataan gabungan bersifat teknis operasional, yang dapat dihitung secara langsung terhadap suatu himpunan data. Bagi [[peubah acak]] bernilai nyata ''X'',
:<math>X = \frac{\sum_{i=1}^k{n_i \cdot x_i}}{\sum_{i=1}^k{n_i}}
: keterangan:
* Q: rata-rata
* i
* n_i
* x_i
Contoh:
* Rerata rapor 37 siswa di kelas 1A adalah 63, rerata rapor 35 siswa di kelas 1B adalah 62 dan Rerata rapor 38 siswa di kelas 1B adalah 64. Berapa rataan gabungan?
:<math>X = \frac{37 \cdot 63 + 35 \cdot 62 + 38 \cdot 64}{37+35+38} = \frac{6,933}{110} = 63.03.</math>
untuk melihat perbandingan rataan aritmetik yaitu:
:<math>X = \frac{63+62+64}{3} = 63.</math>
== Rataan terbobot ==
{{utama|Rataan terbobot}}
Pengertian sebagai [[rataan terbobot]] bersifat teknis operasional, yang dapat dihitung secara langsung terhadap suatu himpunan data. Bagi [[peubah acak]] bernilai nyata ''X'',
:<math>X = \frac{\sum_{i=1}^k{w_i \cdot x_i}}{\sum_{i=1}^k{w_i}}</math>
: keterangan:
* Q: rata-rata terbobot
* i: banyaknya nilai
* w_i: bobot data ke-i
* x_i: rerata ke-i
Contoh:
* Sistem penilaian matematika yaitu 50 poin ujian, 30 poin ulangan harian serta 20 poin tugas. Seorang siswa memperoleh nilai sebagai berikut ujian 87, ulangan harian 86 serta tugas 92. Berapa jumlah nilai matematika yang diperolehnya?
:<math>X = \frac{87 \cdot 50 + 86 \cdot 30 + 92 \cdot 20}{50+30+20} = \frac{8,760}{100} = 87.6.</math>
untuk melihat perbandingan rataan aritmetik yaitu:
:<math>X = \frac{87+86+92}{3} = 88.33.</math>
== Rataan geometrik ==
{{utama|Rataan geometrik}}
Pengertian sebagai rataan geometrik bersifat teknis operasional, yang dapat dihitung secara langsung terhadap suatu himpunan data. Bagi [[peubah acak]] bernilai nyata ''X'',
* untuk data tunggal
:<math>G = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n{x_i}}</math>
atau "jumlah data diakar banyak data".
atau
:<math>log G = \frac{\sum_{i=1}^n{log x_i}}{n}</math>
atau "log dari jumlah data dibagi banyak data".
: keterangan:
* G: rata-rata geometrik
* n: banyaknya datai
* x_i: nilai data ke-i
Contoh:
* Sehimpunan peubah acak bernilai 3, 2, dan 4. Berapa rataan geometrik?
:<math>G = \sqrt[3]{3 \cdot 2 \cdot 4} = \sqrt[3]{24} = 2.88.</math>
atau
:<math>log G = \frac{log 3 + log 2 + log 4}{3} = \frac{1.38}{3} = 0.46</math>
:<math>G = 10^{0.46} = 2.88.</math>
* untuk data berkelompok
:<math>G = \sqrt[\sum{i=1}^k{f_i}]{\prod_{i=1}^k{x_i}^{f_i}}</math>
atau
:<math>log G = \frac{\sum_{i=1}^k{f_i \cdot log x_i}}{\sum_{i=1}^k{f_i}} </math>
: keterangan:
* G: rata-rata geometrik
* k: banyaknya kelas interval
* f_i: frekuensi data pada kelas interval ke-i
* x_i: titik tengah kelas interval ke-i
Contoh:
* Perhatikan nilai data siswa kelas X sebagai berikut:
{| class="wikitable"
|+ Nilai data siswa kelas X
|-
! Nilai !! Jumlah murid
|-
| 1–20 || 2
|-
| 21–40 || 5
|-
| 41–60 || 7
|-
| 61–80 || 6
|-
| 81–100 || 5
|}
Berapa nilai rataan geometrik?
:
{|class="wikitable"
|+
|-
! Nilai !! Jumlah murid<br>{{small|a}} !! Nilai tengah<br>{{small|b}} !! log b !! a x log b
|-
| 1–20 || 2 || 10 || 1 || 2
|-
| 21–40 || 5 || 30 || 1.477 || 7.385
|-
| 41–60 || 7 || 50 || 1.699 || 11,893
|-
| 61–80 || 6 || 70 || 1.845 || 11.07
|-
| 81–100 || 5 || 90 || 1.954 || 9.77
|-
| Total || 25 || || || 42.118
|}
:<math>log G = \frac{42.118}{25} = 1.68</math>
:<math>G = 10^{1.68} = 47.86.</math>
== Rataan harmonik ==
{{utama|Rataan harmonik}}
Pengertian sebagai rataan harmonik bersifat teknis operasional, yang dapat dihitung secara langsung terhadap suatu himpunan data. Bagi [[peubah acak]] bernilai nyata ''X'',
* untuk data tunggal
:<math>H = \frac{n}{\sum_{i=1}^n{\frac{1}{x_i}}}</math>
atau "jumlah data dibagi banyak data".
: keterangan:
* H: rata-rata harmonik
* n: banyaknya data
* x_i: nilai data ke-i
Contoh:
* Sehimpunan peubah acak bernilai 3, 2, dan 4. Berapa rataan harmonik?
:<math>H = \frac{3}{\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}} = \frac{3}{1.08} = 2.78.</math>
* untuk data berkelompok
:<math>H = \frac{\sum_{i=1}^k{f_i}}{\sum_{i=1}^k{\frac{f_i}{x_i}}}</math>
: keterangan:
* H: rata-rata harmonik
* k: banyaknya kelas interval
* f_i: frekuensi data pada kelas interval ke-i
* x_i: titik tengah kelas interval ke-i
Contoh:
* Perhatikan nilai data siswa kelas X sebagai berikut:
{| class="wikitable"
|+ Nilai data siswa kelas X
|-
! Nilai !! Jumlah murid
|-
| 1–20 || 2
|-
| 21–40 || 5
|-
| 41–60 || 7
|-
| 61–80 || 6
|-
| 81–100 || 5
|}
Berapa nilai rataan harmonik?
:
{|class="wikitable"
|+
|-
! Nilai !! Jumlah murid<br>{{small|a}} !! Nilai tengah<br>{{small|b}} !! a/b
|-
| 1–20 || 2 || 10 || 0.2
|-
| 21–40 || 5 || 30 || 0.17
|-
| 41–60 || 7 || 50 || 0.14
|-
| 61–80 || 6 || 70 || 0.09
|-
| 81–100 || 5 || 90 || 0.056
|-
| Total || 25 || || 0.656
|}
<math>H = \frac{25}{0.656} = 38.11.</math>
Dari tiga jenis rataan yaitu aritmetik, geometrik dan harmonik maka urutan nilai rataan paling kecil adalah harmonik, geometrik dan aritmetik.
<!--
Pengertian sebagai nilai harapan bersifat konseptual, dalam kaitan dengan hubungan antara nilai [[statistik]] dari [[sampel]]/cuplikan data dengan [[parameter (statistika)|parameter]] dari suatu [[populasi (statistika)|populasi]] yang diduganya. Rerata sebagai ukuran pemusatan data menjadi penciri (karakteristik) bagi suatu sebaran probabilitas tertentu dan bersifat formulatif.
ekspektasi dari ''X''. Jika ekspektasi tidak ada, maka peubah acak tersebut tidak memiliki rata-rata. Setiap [[distribusi probabilitas]] memiliki rata-rata dan [[varians]].
Untuk kumpulan data, rata-rata adalah jumlah keseluruhan pengamatan dibagi dengan jumlah pengamatan. Setelah itu biasanya dihitung [[simpangan baku]] (deviasi standar) untuk menggambarkan bagaimana data-data tersebut tersebar. Simpangan baku diperoleh dari akar kuadrat rata-rata simpangan data dari rata-rata yang dikuadratkan.--><!--
Baris 123 ⟶ 373:
==Harmonic mean==
The [[harmonic mean]] is an average which is useful for sets of numbers which are defined in relation to some [[unit]], for example [[speed]] (distance per unit of time).
:<math> \bar{x} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}} </math>
Baris 153 ⟶ 403:
:<math> \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n{w_i \cdot x_i}}{\sum_{i=1}^n {w_i}} </math>
The weights <math>w_i</math> represent the bounds of the partial sample. In other applications they represent a measure for the reliability of the influence upon the mean by respective values.
==Truncated mean==
Baris 161 ⟶ 411:
The [[interquartile mean]] is a specific example of a truncated mean. It is simply the arithmetic mean after removing the lowest and the highest quarter of values.
:<math> \bar{x} = {2 \over n} \sum_{i=(n/4)+1}^{3n/4}{x_i} </math>
assuming the values have been ordered.
--> == Rata-rata fungsi ==
Baris 170 ⟶ 421:
== Rata-rata lainnya ==
* [[Rataan aritmetik-geometrik]]
* [[Rataan aritmetik-harmonik]]
* [[Rataan Cesàro]]
* [[Rataan Chisini]]
* [[Rataan geometrik-harmonik]]
* [[Rataan Heronian]]
* [[Rataan identrik]]
* [[Rataan Lehmer]]
* [[Rataan Stolarsky]]
* [[Entropi Rényi's]]
Baris 199 ⟶ 443:
== Pranala luar ==
* [http://www.sengpielaudio.com/calculator-geommean.htm Perbandingan antara rataan aritmetik dan rataan geometrik]
[[Kategori:Statistika]]
{{stat-stub}}
| |||