Wikipedia

Limit barisan: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Æ 246810 (bicara | kontrib)
34 suntingan
→‎Lihat pula: Perubahan penerjemahan
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler
Putrianh (bicara | kontrib)
40 suntingan
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan.
 
(27 revisi perantara oleh 5 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{For|pengertian limit secara umum dalam matematika|Limit (matematika)}}[[Berkas:Archimedes pi.svg|350px|right|thumb|alt=diagram segi enam dan segi lima yang dibatasi di luar lingkaran|Limit barisan keliling [[poligon|segibanyak]] segi-n beraturan yang melilit bagian luar [[lingkaran satuan]] sama dengan keliling lingkaran, yaitu <math>2\pi r</math>. Barisan keliling segibanyak beraturan yang menyinggung bagian dalam lingkaran pun menuju limit yang sama.]]
{{For|konsep matematika umum|Limit}}
{{Dalam perbaikan}}
{{refimprove|date=September 2020}}
 
[[Berkas:Archimedes pi.svg|350px|right|thumb|alt=diagram segi enam dan segi lima yang dibatasi di luar lingkaran|Urutan yang diberikan oleh keliling sisi ''n'' biasa-[[poligon]] yang mengelilingi [[lingkaran satuan]] memiliki batas yang sama dengan keliling lingkaran, yaitu <math>2\pi r</math>. Urutan yang sesuai untuk poligon tertulis memiliki batas yang sama.]]
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width:252px;">
Baris 25 ⟶ 21:
</div>
<div class="thumbcaption">
SebagaiSemakin [[integerbilangan bulat]] positif <math>n</math> menjadimembesar lebihtanpa besar dan lebih besarbatas, nilainyanilai <math>n\cdot \sin\left(\tfrac1{n}\right)</math> menjadi semakin dekat secara sewenang-wenangmenuju <math>1</math>. KamiDapat mengatakandikatakan bahwa "bataslimit urutanbarisan <math>n\cdot \sin\left(\tfrac1{n}\right)</math> sama dengan <math>1</math>."
</div>
</div>
</div>
 
Dalam [[matematika]], '''Barisanlimit Limitbarisan''' adalah nilai kelompokyang darididekati sebuaholeh suku-suku [[urutanbarisan]] "cenderung",ketika dannomor seringurut suku-sukunya semakin membesar. Limit barisan seringkali dilambangkan dengan <math>\lim</math> simbol (yaitu, <math display="inline">\lim_{n \to \infty}a_n</math>).<ref>{{Cite webbook|datelast=2020-03-01E.|titlefirst=Ringkasan Simbol MatematikaHutahaean,|date=1983|url=httpshttp://mathvaultworldcat.caorg/hub/higher-math/math-symbolsoclc/949729321|access-datetitle=2020-08-18Kalkulus Diferensial dan Integral I|websitelocation=MathJakarta|publisher=PT VaultGramedia|languageoclc=Inggris Amerika949729321|url-status=live}}</ref><ref name="CourantJika (1961),suatu p.barisan 29">Courantmempunyai (1961)limit, p.barisan 29itu disebut '''konvergen'''.</ref> JikaBarisan adayang batasantidak seperti urutankonvergen disebut '''konvergendivergen'''.'''<ref>{{Cite webbook|last=WeissteinStewart|first=Eric W.James|date=2001|title=Barisan KonvergenKalkulus|urllocation=https://mathworld.wolfram.com/ConvergentSequence.htmlJakarta|access-datepublisher=Erlangga|isbn=2020979-08688-18221-3|websitetranslator-last=mathworldDrs.wolfram.com|language=Inggris}}</ref> UrutanI yangNyoman tidakSusila, konvergenM.Sc. dikatakandan '''berbeda'''.<ref>CourantHendra (1961)Gunawan, pPh. 39D.|url-status=live}}</ref>''' BatasLimit suatu urutanbarisan dikatakan sebagai gagasan dasar yang pada akhirnya menjadi sandaranlandasan seluruh [[analisis matematika]].<ref name="Courant (1961), p. 29">Courant (1961), p. 29.</ref>
 
Limit dapat ditentukan dipada [[ruang metrik|metrik]] atau [[ruang topologi]], tetapi biasanya pertama kali ditemukan dalam [[bilangan real]].
 
==Sejarah==
Filsuf Yunani [[Zeno dari Elea]] terkenal karena merumuskan [[Paradoks Zeno|paradoks yang melibatkan proses-proses yang membatasilimit]].
 
[[Leucippus]], [[Democritus]], [[Antiphon (orang)|Antiphon]], [[EudoxusEudoksos ofdari CnidusKnidos|EudoxusEudoksos]], dan [[Archimedes]] mengembangkan [[metode kelelahanpenghabis]], yangyakni menggunakan urutanbarisan perkiraanhampiran tak terbatashingga untuk menentukanmencari luas atau volume. Archimedes berhasil menjumlahkan apa yang sekarang disebut [[deret geometrisgeometrik]].
 
[[Isaac Newton|Newton]] berurusanmembincangkan dengan serideret dalam karyanya tentang ''AnalisisAnalysis denganwith deretinfinite tak hinggaseries'' (ditulis pada tahun 1669, diedarkan dalam bentuk manuskrip, diterbitkan pada tahun 1711), ''MetodeMethod fluksof danfluxions seriand takinfinite terbatasseries'' (ditulis tahun 1671, diterbitkan dalam terjemahan [[bahasa Inggris]] tahun 1736, bahasabuku Latinasal asliyang berbahasa Latin diterbitkan lama kemudian) dan ''Tractatus de Quadratura Curvarum'' (ditulis tahun 1693, diterbitkan tahun 1704 sebagai Lampiran daribagi karya ''Optiks''). OpInDalam karya terakhir'','' Newton menganggap ekspansi binomial <math display="inline">(''x''&nbsp; +&nbsp;'' o'')<sup>''^n''</supmath>, yang kemudian dia linierisasi dengan ''melampauimengambil nilai limit'' sebagaikarena ''o''&nbsp;cenderung&nbsp; ke 0.
 
Pada abad ke-18, [[matematikawan]] seperti [[Leonhard Euler|Euler]] berhasil menjumlahkan beberapa deret ''divergen'' dengan berhenti pada saat yang tepat; mereka tidak terlalu peduli apakah ada batasanlimit, asalkan bisa dihitung. Di akhir abad ini, [[Joseph Louis Lagrange|Lagrange]] dalam ''Théorie des fonctions analytiques'' (1797) berpendapat bahwa kurangnya ketelitian menghalangi perkembangan lebih lanjut dalam kalkulus. [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] dalam bukunyabuku etudelatihannya daritentang [[deret hipergeometrik]] (1813) untuk pertama kalinya diselidiki, secara teliti, disyarat bawahapa kondisiyang dimanacukup sebuahmenjamin seri bertemu kekekonvergenan suatu limitderet.
<!--The modern definition of a limit (for any ε there exists an index ''N'' so that ...) was given by [[Bernhard Bolzano]] (''Der binomische Lehrsatz'', Prague 1816, little noticed at the time), and by [[Karl Weierstrass]] in the 1870s.-->
 
Definisi modern dari suatu limit (untuk suatu ε terdapat suatu indeks ''N'' sedemikian sehingga...) diberikan oleh [[Bernhard Bolzano]] (''Der binomische Lehrsatz'', Prague 1816, kurang dapat perhatikan pada saat itu), dan oleh [[Karl Weierstrass]] pada tahun 1870an.
==Bilangan real==
[[Berkas:Converging Sequence example.svg|320px|thumb|Plot urutan konvergen {''a<sub>n</sub>''} ditampilkan dengan warna biru. Di sini, kita dapat melihat bahwa urutannya menyatu ke batas 0 saat ''n'' meningkat.]]
 
== Limit barisan bilangan ==
Dalam [[bilangan real]], sebuah bilangan <math>L</math> adalah '''limit''' dari [[urutan]] <math>(x_n)</math>, jika angka dalam urutan menjadi lebih dekat dan lebih dekat ke <math>L</math> —dan tidak ke nomor lain.
Misalkan <math>(x_n)</math> suatu [[barisan]] tak hingga dari bilangan ([[Bilangan riil|riil]] atau [[Bilangan kompleks|kompleks]]). Suatu bilangan <math>L</math> adalah limit dari <math>(x_n)</math> apabila suku-suku barisan <math>(x_n)</math> semakin mendekati <math>L</math> saat <math>n</math> membesar tanpa batas<ref>{{Cite book|last=Ayres|first=Frank|last2=Mendelson|first2=Elliot|date=2006|title=Kalkulus|location=Jakarta|publisher=Penerbit Erlangga|translator-last=Nur Danarjaya, M.Sc.|url-status=live}}</ref>. Jika <math>L</math> adalah limit dari barisan <math>(x_n)</math> maka barisan tersebut dikatakan '''''konvergen''' ke <math>L</math>'' atau ''mempunyai limit <math>L</math>'' atau ''memusat pada bilangan <math>L</math><ref>{{Cite book|last=Panggabean|first=A.B|date=2014|title=Kalkulus Tingkat Lanjut|location=Yogyakarta|publisher=Graha Ilmu|isbn=978-602-262-264-2|url-status=live}}</ref>''. Barisan yang tidak mempunyai limit dikatakan '''divergen''.'''''
 
Secara lebih tepat, suatu bilangan <math>L</math> adalah limit dari barisan bilangan tak hingga <math>(x_n)</math> apabila berlaku<ref>{{Cite book|last=Martono|first=Koko|date=2000|title=Sari Informasi Fungsi Kompleks|location=Bandung|publisher=Himpunan Pegawai Matematika ITB|url-status=live}}</ref>
===Contoh===
{{see also|Daftar Limit}}
*Bila <math>x_n = c</math> untuk nilai konstan ''c'', <math>x_n \to c</math>.<ref group="bukti">''Bukti'': Memutuskan nilai <math>N = 1</math>. Untuk setiap <math>n \geq N</math>, <math>|x_n - c| = 0 < \epsilon</math></ref><ref name=":0">{{Cite web|title=Batasan Urutan {{!}} Brilliant Math & Science Wiki|url=https://brilliant.org/wiki/limits-of-sequences/|access-date=2020-08-18|website=brilliant.org|language=Inggris Amerika}}</ref>
*Bila <math>x_n = \frac1{n}</math>, then <math>x_n \to 0</math>.<ref group="bukti">''Bukti'': Memutuskan <math>N = \left\lfloor\frac1{\epsilon}\right\rfloor</math> + 1 ([[Fungsi lantai dan langit-langit|fungsi lantai]]). Untuk setiap <math>n \geq N</math>, <math>|x_n - 0| \le x_N = \frac1{\lfloor1/\epsilon\rfloor + 1} < \epsilon</math>.</ref><ref name=":0" />
*Bila <math>x_n = 1/n</math> ketika <math>n</math> adalah genap, dan <math>x_n = \frac1{n^2}</math> jika <math>n</math> adalah nilai ganjil, kalau begitu <math>x_n \to 0</math>. (Fakta bahwa <math>x_{n+1} > x_n</math> kapan saja <math>n</math> nilai tidak relevan.)
*Diberikan bilangan real apa pun, seseorang dapat dengan mudah membuat urutan yang menyatu dengan bilangan tersebut dengan mengambil pendekatan desimal. Misalnya urutannya <math>0.3, 0.33, 0.333, 0.3333, ...</math> menyatu dengan <math>1/3</math>. Perhatikan bahwa [[representasi desimal]] <math>0.3333...</math> adalah ''limit'' dari urutan sebelumnya, yang ditentukan oleh
:<math> 0.3333...\triangleq\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n \frac{3}{10^i}</math>.
 
: <math>\forall\varepsilon>0\ \exist N\in\mathbb{N}(n>N\Rightarrow|x_n-L|<\varepsilon),</math>
*Menemukan batas urutan tidak selalu jelas. Dua contoh adalah <math>\lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac1{n}\right)^n</math> (batasnya adalah [[e (konstanta matematika)|bilangan ''e'']]) dan [[Rata-rata aritmatika-geometris]]. [[Teorema pemerasan]] sering kali berguna dalam pembentukan batasan seperti itu.
 
yakni, untuk sebarang bilangan positif <math>\varepsilon</math>, dapat ditentukan <math>N</math> yang bergantung pada <math>\varepsilon</math> sedemikian rupa, sehingga untuk semua bilangan bulat positif <math>n>N</math> berlaku <math>\mid x_n-L\mid<\varepsilon</math>, dengan <math>\mid \cdot\mid</math> melambangkan [[Nilai absolut|nilai mutlak]] untuk bilangan riil dan [[Nilai absolut#Bilangan kompleks|nilai modulus]] untuk bilangan kompleks<ref>{{Cite book|last=Handali|first=Daniel|last2=Pamuntjak|first2=Rasyidin J.|date=2004|title=Kalkulus Perubah Banyak|location=Bandung|publisher=Penerbit ITB|isbn=979-3507-12-8|url-status=live}}</ref><ref>{{Cite book|last=Dedy|first=Endang|last2=Sumiyaty|first2=Encum|date=2019|title=Fungsi Variabel Kompleks|location=Jakarta|publisher=PT Bumi Aksara|isbn=978-602-444-713-7|url-status=live}}</ref>.
===Definisi formal===
Kami mengalihkan <math>x</math> nilai '''limit''' dari [[urutan]] <math>(x_n)</math> jika kondisi tersebut berlaku:
:*Untuk setiap [[bilangan real]] <math>\epsilon > 0</math>, ada [[bilangan asli]] <math>N</math> sedemikian rupa, untuk setiap bilangan asli <math>n \geq N</math>, kita memiliki <math>|x_n - x| < \epsilon</math>.<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Limit|url=https://mathworld.wolfram.com/Limit.html|access-date=2020-08-18|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>
Dengan kata lain, untuk setiap ukuran kedekatan <math>\epsilon</math>, suku-suku urutan pada akhirnya mendekati batas. Urutan dari nilai <math>(x_n)</math> dikatakan '''urutan''' atau '''cenderung''' batas <math>x</math>, tertulis <math>x_n \to x</math> atau <math>\lim_{n\to\infty}x_n = x</math>.
 
Notasi untuk barisan <math>(x_n)</math> yang konvergen menuju <math>L</math> ditulis sebagai <math>\lim_{n\to\infty}x_n=L</math>. Terkadang juga ditulis <math>x_n\to L</math><ref>{{Cite book|last=Endang Cahya|last2=Makbul Muksar|date=2011|title=Analisis Real|location=Tanggerang Selatan|publisher=Universitas Terbuka|isbn=978-979-011-674-0|url-status=live}}</ref>.<gallery mode="packed" heights="115">
Secara simbolis, hal tersebut adalah:
Berkas:Folgenglieder_im_KOSY.svg|Contoh barisan yang konvergen ke <math>a</math>.
:* <math>\forall \varepsilon > 0(\exists N \in \mathbb{N}(\forall n \in \mathbb{N}(n \geq N \implies |x_n - x| < \varepsilon ))). </math>
Berkas:Epsilonschlauch.svg|Untuk sebarang <math>\varepsilon > 0</math> yang dipilih, terdapat bilangan bulat <math>N_0</math>sedemikian sehingga seluruh nilai barisan dari suku ke-<math>N_0</math> sampai seterusnya berada di lingkungan <math>(a-\varepsilon,a+\varepsilon)</math>.
 
Berkas:Epsilonschlauch_klein.svg|Untuk nilai, <math>\epsilon_1 > 0</math> yang lain, akan terdapat pula bilangan bulat <math>N_1</math>, bersesuaian dengan nilai <math>\epsilon_1</math> tersebut, sedemikian sehingga barisan dari suku ke-<math>N_1</math> sampai seterusnya itu berada di dalam lingkungan <math>(a-\varepsilon_1,a+\varepsilon_1)</math>.
Jika suatu urutan menyatu ke suatu batas, maka itu adalah '''konvergen'''; jika tidak, hal tersebut terjad adalah '''perbedaan'''.
Berkas:Epsilonschlauch2.svg|Untuk setiap <math>\varepsilon > 0</math>, hanya terdapat sebanyak hingga anggota barisan di luar lingkungan <math>(a-\varepsilon, a+\varepsilon)</math>.
 
=== Ilustrasi ===
<gallery widths="350" heights="200">
Berkas:Folgenglieder im KOSY.svg|Contoh urutan yang konvergen ke batas <math>a</math>.
Berkas:Epsilonschlauch.svg|Terlepas dari itu <math>\varepsilon > 0</math> kami punya, ada indeks <math>N_0</math>, sehingga urutannya setelah itu sepenuhnya berada di dalam tabung epsilon <math>(a-\varepsilon,a+\varepsilon)</math>.
Berkas:Epsilonschlauch klein.svg|Ada juga yang lebih kecil <math>\epsilon_1 > 0</math> sebuah indeks <math>N_1</math>, sehingga urutannya kemudian berada di dalam tabung epsilon <math>(a-\varepsilon_1,a+\varepsilon_1)</math>.
Berkas:Epsilonschlauch2.svg|Untuk setiap <math>\varepsilon > 0</math> hanya ada banyak anggota urutan di luar tabung epsilon.
</gallery>
 
===Properti Limit tak sebenarnya ===
Suatu barisan <math>(x_n)</math> dikatakan '''mendekati takhingga''', ditulis <math>x_n \to \infty</math> atau <math display="inline">\lim_{n\to\infty}x_n = \infty</math>, jika untuk setiap bilangan real ''<math>
Batas urutan berperilaku baik sehubungan dengan [[Aritmatika#Operasi aritmatika|operasi aritmatika]] biasa. Bila <math>a_n \to a</math> dan <math>b_n \to b</math>, then <math>a_n+b_n \to a+b</math>, <math>a_n\cdot b_n \to ab</math> dan, if neither ''b'' nor any <math>b_n</math> is zero, <math>\frac{a_n}{b_n} \to \frac{a}{b}</math>.<ref name=":0" />
K</math>'', terdapat suatu bilangan bulat <math>N</math> sedemikian sehingga untuk setiap <math>n \geq N</math>, <math>x_n > K</math>; yaitu, suku barisan pada akhirnya akan lebih besar daripada sembarang ''<math>
K</math>'' yang dipilih. Dengan cara yang serupa, <math>x_n \to -\infty</math> jika untuk setiap ''<math>
K</math>'', terdapat suatu ''<math>N</math>'' sehingga untuk setiap <math>n \geq N</math>, <math>x_n < K</math>.
 
Jika suatu barisan cenderung ke takhingga atau negatif takhingga, maka barisan tersebut adalah divergen. Namun, suatu barisan divergen bukanlah syarat perlu untuk suatu barisan mendekati takhingga atau negatif takhingga, seperti [[barisan tanda]] <math>x_n=(-1)^n</math>. Perilaku limit barisan divergen yang terbatas dapat ditelaah dengan memperhatikan [[Barisan bagian|barisan bagiannya]], limit superior dan inferior, serta titik limit.
Untuk [[fungsi berkelanjutan]] apa pun ''f'', bila <math>x_n \to x</math> then <math>f(x_n) \to f(x)</math>. Faktanya, setiap [[fungsi (matematika)|fungsi]] yang bernilai nyata ''f'' kontinu jika dan hanya jika mempertahankan batas urutan (meskipun ini belum tentu benar saat menggunakan pengertian yang lebih umum tentang kontinuitas).
 
=== Contoh-contoh ===
Beberapa sifat penting lainnya dari batas urutan nyata meliputi yang berikut (asalkan, dalam setiap persamaan di bawah, bahwa batas di sebelah kanan ada).
[[Berkas:Converging_Sequence_example.svg|jmpl|320x320px|Suku-suku barisan (n+1/2n^2) diplotkan sebagai titik-titik biru. Terlihat bahwa barisan konvergen menuju 0 untuk ''n'' semakin membesar.]]
 
* Jika <math>x_n = c</math> untuk suatu konstanta ''c'', maka <math>x_n \to c</math>.<ref group="bukti">''Bukti'': Pilih nilai <math>N = 1</math>. Untuk setiap <math>n \geq N</math>, <math>|x_n - c| = 0 < \epsilon</math></ref><ref name=":02">{{Cite web|title=Limit of Sequences {{!}} Brilliant Math & Science Wiki|url=https://brilliant.org/wiki/limits-of-sequences/|website=brilliant.org|language=Inggris Amerika|access-date=2020-08-18}}</ref>
*Barisan limit itu unik.<ref name=":0" />
* Jika <math>x_n = 1/{n}</math>, maka <math>x_n \to 0</math>.<ref group="bukti">''Bukti'': Pilih <math>N = \left\lfloor\frac1{\epsilon}\right\rfloor</math> + 1 ([[Fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil|fungsi lantai]]). Untuk setiap <math>n \geq N</math>, <math>|x_n - 0| \le x_N = \frac1{\lfloor1/\epsilon\rfloor + 1} < \epsilon</math>.</ref><ref name=":02" />
*<math>\lim_{n\to\infty} (a_n \pm b_n) = \lim_{n\to\infty} a_n \pm \lim_{n\to\infty} b_n</math><ref name=":0" />
* Jika <math>x_n = 1/n</math> untuk <math>n</math> genap, dan <math display="inline">x_n = 1/{n^2}</math> untuk <math>n</math> ganjil, maka <math>x_n \to 0</math>. (Kenyataan bahwa <math>x_{n+1} > x_n</math> apabila <math>n</math> ganjil tidak penting.)
*<math>\lim_{n\to\infty} c a_n = c \cdot \lim_{n\to\infty} a_n</math><ref name=":0" />
* Diberikan sebarang bilangan real; suatu barisan yang konvergen menuju suatu bilangan dapat dengan mudah dibangun dengan mengambil hampiran desimal. Misal, barisan <math>0.3, 0.33, 0.333, 0.3333, ...</math> konvergen menuju <math>1/3</math>. Perhatikan bahwa [[representasi desimal]] <math>0.3333...</math> adalah ''limit'' dari barisan sebelumnya, yang ditentukan oleh <math display="inline"> 0.3333...\triangleq\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n \frac{3}{10^i}</math>.
*<math>\lim_{n\to\infty} (a_n \cdot b_n) = (\lim_{n\to\infty} a_n)\cdot( \lim_{n\to\infty} b_n)</math><ref name=":0" />
*<math>\lim_{n\to\infty} \left(\frac{a_n}{b_n}\right) = \frac{\lim\limits_{n\to\infty} a_n}{\lim\limits_{n\to\infty} b_n}</math> provided <math>\lim_{n\to\infty} b_n \ne 0</math><ref name=":0" />
*<math>\lim_{n\to\infty} a_n^p = \left[ \lim_{n\to\infty} a_n \right]^p</math>
*Bila <math>a_n \leq b_n</math> for all <math>n</math> greater than some <math>N</math>, then <math>\lim_{n\to\infty} a_n \leq \lim_{n\to\infty} b_n </math>.
*([[Rumus teorema]]) Bila <math>a_n \leq c_n \leq b_n</math> for all <math>n > N</math>, dan <math>\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = L</math>, then <math>\lim_{n\to\infty} c_n = L</math>.
*Bila sebuah urutan [[Barisan#Terikat|dibatasi]] dan [[Barisan#Meningkat dan menurun|monotonik]], maka itu konvergen.
*Urutan konvergen jika dan hanya jika setiap urutan konvergen.
*Jika setiap urutan memiliki urutannya sendiri yang menyatu ke titik yang sama, maka urutan aslinya menyatu ke titik itu.
 
* Limit suatu barisan tidak selalu dapat ditemukan dengan mudah. Dua contohnya adalah <math display="inline">\lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac1{n}\right)^n</math> (limitnya adalah [[E (konstanta matematika)|bilangan ''e'']]) dan [[purata aritmetika–geometrik]] (limitnya 13,458...). [[Teorema apit]] sering kali berguna dalam pencarian limit barisan yang sebegini.
Properti ini banyak digunakan untuk membuktikan batasan, tanpa perlu secara langsung menggunakan definisi formal yang rumit. Sebagai contoh. setelah terbukti itu <math>1/n \to 0</math>, menjadi mudah untuk menunjukkan — menggunakan properti di atas itu <math>\frac{a}{b+\frac{c}{n}} \to \frac{a}{b}</math> (berasumsi bahwa <math>b \ne 0</math>).
 
===Limit tak hinggaSifat-sifat===
 
* Limit suatu barisan, apabila ada, adalah tunggal.
<!--A sequence <math>(x_n)</math> is said to '''tend to infinity''', written <math>x_n \to \infty</math> or <math>\lim_{n\to\infty}x_n = \infty</math>, if for every ''K'', there is an ''N'' such that for every <math>n \geq N</math>, <math>x_n > K</math>; that is, the sequence terms are eventually larger than any fixed ''K''.
* Misal diketahui dua barisan konvergen <math>x_n\to L</math> dan <math>y_n\to M</math>,
 
** barisan hasil jumlah atau hasil pengurangan kedua barisan tersebut adalah konvergen pula, dan berturut-turut limitnya adalah jumlah atau selilsish limit dua barisan yang diketahui.
Similarly, <math>x_n \to -\infty</math> if for every ''K'', there is an ''N'' such that for every <math>n \geq N</math>, <math>x_n < K</math>. If a sequence tends to infinity or minus infinity, then it is divergent. However, a divergent sequence need not tend to plus or minus infinity, and the sequence <math>x_n=(-1)^n</math> provides one such example.-->
*:: <math> (x_n\pm y_n)\to L\pm M</math>
** barisan hasil kali kedua barisan tersebut adalah konvergen pula, dan limitnya adalah perkalian limit dua barisan yang diketahui.
*:: <math> (x_ny_n)\to LM</math>
** apabila <math>M\neq0 </math>, barisan hasil bagi kedua barisan tersebut adalah konvergen pula, dan limitnya adalah perkalian limit dua barisan yang diketahui.
*:: <math> \left(\frac{x_n}{y_n}\right)\to \frac{L}{M}</math>
* Jika <math>a_n \leq b_n</math> untuk semua <math>n</math> lebih besar dari suatu <math>N</math>, maka <math display="inline">\lim_{n\to\infty} a_n \leq \lim_{n\to\infty} b_n </math>.
* Jika <math>a_n \leq c_n \leq b_n</math> untuk semua <math>n > N</math>, dan <math display="inline">\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = L</math>, maka <math display="inline">\lim_{n\to\infty} c_n = L</math>. ([[teorema apit]])
* Jika suatu barisan mempunyai limit, maka barisan itu [[Barisan#Barisan terbatas|terbatas]].
* Jika suatu barisan terbatas dan [[Barisan#Kemonotonan barisan|monoton]], maka barisan itu mempunyai limit (teorema kekonvergenan barisan monoton).
* Suatu barisan adalah konvergen jika dan hanya jika setiap [[Barisan bagian|barisan bagiannya]] konvergen.
 
==Ruang metrik==
Baris 108 ⟶ 95:
===Definisi===
 
Sebuah nilaiSuatu titik <math>x</math> daridalam [[ruang metrik]] <math>(X, d)</math> adalah '''limit''' dari [[urutanbarisan]] <math>(x_n)</math> bilajika untuk sembarang nilai <math>\epsilon > 0</math>, terdapat nilai <math>N</math> sedemikian rupa, sehingga untuk setiap nilai <math>n \geq N</math>, <math>d(x_n, x) < \epsilon</math>. Definisi Iniini bertepatanberlaku dengan definisi yang diberikanjuga untuk bilangan real whendengan <math>X = \mathbb{R}</math> dan <math>d(x, y) = |x-y|</math>.
 
===PropertiSifat-sifat===
 
* Untuk suatu [[fungsi berkelanjutankontinu]] apa pun ''f'', bilajika <math>x_n \to x</math> katikamaka <math>f(x_n) \to f(x)</math>. Faktanya, [[fungsi (matematika)|fungsi]] ''f'' kontinu jika dan hanya jika mempertahankanuntuk batassembarang urutanbarisan menuju suatu limit <math>x_n \to x</math> berlaku <math>f(x_n) \to f(x)</math>.
 
Batasan* urutanLimit itubarisan, unik bilaapabila ada, karenaitu tunggal. Karena dua titik berbeda dipisahkanterpisahkan oleh suatu jarak positif, jadi untuk <math>\epsilon</math> kurang dari setengah jarak ini, istilahsuku-suku urutanbarisan tidak bisa berada dalam jarak <math>\epsilon</math> dari kedua pointitik tersebut.
==Barisan Cauchy==
{{main|Barisan Cauchy}}
 
[[Berkas:Cauchy sequence illustration.svg|350px|thumb| Plot barisan Cauchy (''x<sub>n</sub>''), ditampilkan dengan warna biru, seperti ''x<sub>n</sub>'' versus ''n''. Secara visual, kita melihat bahwa barisan tersebut tampaknya berkumpul ke titik batas karena suku-suku dalam barisan tersebut menjadi semakin dekat ''n'' meningkat. Dalam [[bilangan real]] setiap barisan Cauchy bertemu ke beberapa batas.]]
==Urutan Cauchy==
{{main|Urutan Cauchy}}
 
Barisan Cauchy adalah barisan yang sukunya bagian akhir menjadi berdekatan secara acak, setelah cukup banyak istilah awal yang dihapus akan dikembalikan. Gagasan tentang barisan Cauchy penting dalam studi barisan di [[ruang metrik]], dan, khususnya, di [[analisis riil]]. Salah satu hasil yang sangat penting dalam analisis nyata adalah ''Kriteria Cauchy untuk kekonvergenan barisan'': barisan bilangan real adalah konvergen jika dan hanya jika itu adalah barisan Cauchy. Hal ini tetap berlaku di [[ruang metrik lengkap]].
[[Berkas:Cauchy sequence illustration.svg|350px|thumb| Plot urutan Cauchy (''x<sub>n</sub>''), ditampilkan dengan warna biru, seperti ''x<sub>n</sub>'' versus ''n''. Secara visual, kita melihat bahwa barisan tersebut tampaknya berkumpul ke titik batas karena suku-suku dalam barisan tersebut menjadi semakin dekat ''n'' meningkat. Dalam [[bilangan real]] setiap barisan Cauchy bertemu ke beberapa batas.]]
 
Urutan Cauchy adalah urutan yang istilah-istilahnya bagian akhir menjadi berdekatan secara acak, setelah cukup banyak istilah awal yang dihapus akan dikembalikan. Gagasan tentang urutan Cauchy penting dalam studi urutan di [[ruang metrik]], dan, khususnya, di [[analisis nyata]]. Salah satu hasil yang sangat penting dalam analisis nyata adalah ''Kriteria Cauchy untuk konvergensi urutan'': urutan bilangan real adalah konvergen jika dan hanya jika itu adalah urutan Cauchy. Hal ini tetap berlaku di [[ruang metrik lengkap|ruang metrik lengkap]].
 
==Definisi dalam bilangan hiperreal==
Definisi batas menggunakan [[bilangan hiperreal]] meresmikanmenggunakan intuisi bahwa untuk nilai indeks yang "sangat besar", istilah terkait adalah "sangat dekat" dengan batas. Lebih tepatnya, urutanbarisan yang nyata <math>(x_n)</math> cenderung ''L'' jika untuk setiap tak terbatas [[hipernatural]] ''H'', syarat ''x''<sub>''H''</sub> is sangat dekat dengan ''L'' (yaitu, perbedaan nilai ''x''<sub>''H''</sub>&nbsp;−&nbsp;''L'' adalah [[infinitesimal]]). Setara, ''L'' adalah [[Fungsi bagian standar|bagian standar]] dari ''x''<sub>''H''</sub>
 
:<math> L = {\rm st}(x_H).\,</math>
Baris 132 ⟶ 118:
:<math>\lim_{n \to \infty} x_n= {\rm st}(x_H),</math>
 
didengan manalimit batasnyatersebut ada jika dan hanya jika sisiruas kanan tidak bergantung pada pilihanpemilihan yangdari taksuatu terbatastakhingga ''H''.
 
==Lihat pula==
*[[Limit fungsi]] – titik untuk yang fungsi konvergen dalam topologi
*[[Jaring (matematika)#Jaring pada Limit|Jaring pada Limit]] &mdash; [[Jaring (matematika)|jaring]] adalah generalisasi topologi dari suatu barisan.
*[[Titik limit]] – suatu titik ''x'' dalam suatu ruang topologis, semua lingkungan berisi beberapa titik dalam diberikan suatu [[himpunan bagian]] yang berbeda dari ''x''.
*[[Limit inferior]]
*[[Limit atas dan limit bawah]]
*[[Mode konvergensi]]
*[[HimpunanMode teoretis limitkekonvergenan]]
*[[Limit jaring]] — suatu [[Jaring (matematika)|jaring]] rampat topologis dari suatu barisan
*[[Aturan shift]]
*[[Limit berikutnyateoretik himpunan]]
*[[Aturan gesekan]]
*[[Limit berurut bagian]]
 
== Catatan ==
{{Reflist}}
 
=== Bukti ===
<references group="bukti" />{{Reflist|group=proof}}
 
== Referensi ==
* [[Richard Courant|Courant, Richard]] (1961). "Volume [[Kalkulus diferensial|Kalkulus Diferensial]] dan Integral I", Blackie & Son, Ltd., Glasgow.
* [[Frank Morley]] dan [[James Harkness]] [https://archive.org/details/treatiseontheory00harkuoft A treatise on the theory of functions] (New York: Macmillan, 1893)
 
==TautanPranala luar==
* {{springer|title=Limit|id=p/l058820}}
* [https://web.archive.org/web/20040905075957/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/The_rise_of_calculus.html ''A history of the calculus'', including limits]
 
[[Kategori:Limit (matematika)]]
[[Kategori:UrutanBarisan dan Deretderet]]
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Limit_barisan"