Wikipedia

Persegi: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Æ 246810 (bicara | kontrib)
34 suntingan
→Geometri Non-Euklides: Perubahan terjemahan
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler
merapikan terjemahan, menghapus templat stub
 
(9 revisi perantara oleh 8 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{Regular polygon db|Regular polygon stat table|p4}}
{{Infobox polygon
| name = Persegi
| image = [[Berkas:Bujursangkar.gif|jmpl]]
| caption =
| type = [[Poligon beraturan]]
| euler = -
| edges = 4
| schläfli = { }
| wythoff =
| coxeter = {{CDD|node_1|4|node_1}}
| symmetry = [[Dihedral symmetry|Dihedral]] (D<sub>2</sub>), [2], (*22), order 4
| area =
| angle = 90°
| dual = [[Belah ketupat]]
| properties = cembung , isogonal , siklik Opposite sudut dan sisi kongruen
}}
'''Persegi''' adalah bangun datar [[dua dimensi]] yang dibentuk oleh empat buah [[rusuk]] '''<math>(a)</math>''' yang sama panjang dan memiliki empat buah [[sudut]] yang kesemuanya adalah [[sudut siku-siku]]. Bangun ini disebut juga sebagai '''bujur sangkar'''.
 
Dalam [[geometri Euklides]], '''persegi''' adalah bangun [[poligon]] segi-empat [[Poligon reguler|reguler]], artinya bangun tersebut memiliki empat sisi yang sama panjang dan empat sudut yang sama besar (dengan sudut 90 [[Derajat (satuan sudut)|derajat]], π/2 [[radian]], atau [[sudut siku-siku]]). Bangun ini juga dapat didefinisikan sebagai bangun [[persegi panjang]] dengan semua sisi memiliki panjang yang sama. Persegi adalah satu-satunya [[poligon reguler]] dengan [[Sudut dalam dan luar|sudut dalam]], [[sudut pusat]], dan [[Sudut dalam dan luar|sudut luar]] yang sama besar (90°), dan dengan semua diagonalnya memiliki panjang yang sama. Persegi dengan titik sudut <math>ABCD</math> disimbolkan sebagai <math>\square\, ABCD.</math><ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Square|url=https://mathworld.wolfram.com/Square.html|website=Wolfram MathWorld|language=en|access-date=2020-09-02}}</ref>
Persegi merupakan turunan dari [[segi empat]] yang mempunyai ciri khusus keempat sisinya sama panjang dan keempat sudutnya siku-siku (90°).
 
== Rumus PersegiDefinisi ==
Bangun poligon segi-empat disebut sebagai ''persegi'' [[jika dan hanya jika]] bangun tersebut merupakan salah satu bentuk dari bangun-bangun berikut:<ref>Zalman Usiskin and Jennifer Griffin, "The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition", Information Age Publishing, 2008, p. 59, {{isbn|1-59311-695-0}}.</ref><ref>{{Cite web|title=Problem Set 1.3|url=http://jwilson.coe.uga.edu/MATH7200/ProblemSet1.3.html|website=jwilson.coe.uga.edu|access-date=2017-12-12}}</ref>
[[Berkas:persegi.JPG|jmpl|Persegi dengan rusuk <math>a</math> dan diagonal <math>d</math>]]
=== [[Luas]] ===
:<math>L = \ a^2</math> atau
:<math>L = \ s^2</math>
 
* [[Persegi panjang]] dengan semua sisi memiliki panjang yang sama
=== [[Keliling]] ===
* [[Belah ketupat]] dengan sudut siku-siku
:<math>K = 4 a</math> atau
* Belah ketupat dengan semua sudutnya sama besar
:<math>K = 4 s</math>
* [[Jajar genjang]] yang memiliki sudut siku-siku dan dua sisi yang bersebelahan sama panjangnya
* [[Poligon]] segi-empat dengan panjang sisi yang sama dan empat sudut siku-siku
* Poligon dengan semua [[Diagonal|diagonalnya]] sama panjang, saling berpotongan [[tegak lurus]] dan saling membagi dua (contoh, belah ketupat dengan diagonal-diagonalnya sama panjang)
 
* Poligon segi-empat dengan sisi-sisi berurutan ''a'', ''b'', ''c'', dan ''d'', yang luasnya <math>L= \tfrac{1}{2}(a^2+c^2)=\tfrac{1}{2}(b^2+d^2).</math><ref name="J2014">Josefsson, Martin, [http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201412.pdf#10 "Properties of equidiagonal quadrilaterals"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220927203229/https://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201412.pdf#10|date=2022-09-27}} ''Forum Geometricorum'', 14 (2014), 129–144.</ref>{{rp|Corollary 15}}
=== [[Diagonal]] ===
:<math>d = a \cdot \sqrt{2} </math>
:<math>d = 2 \cdot r_u</math>
 
== Sifat ==
=== [[jari jari lingkaran]] ===
Persegi adalah kasus khusus dari banyak bangun berikut (dengan sifat masing-masing dalam tanda kurung): [[belah ketupat]] (semua sisi sama panjang, semua sudut berhadapan sama besar), [[Layang-layang (geometri)|layang-layang]] (dua panjang sisi bersebelahan sama besar), [[trapesium]] (sepasang sisi berhadapan sejajar), [[jajar genjang]] (semua sisi berhadapan sejajar), [[persegi panjang]] (semua sisi berhadapan sama besar, semua sudut siku-siku), dan tetragon (poligon empat sisi). Akibatnya, persegi memiliki semua sifat dari bangun-bangun tersebut, meliputi:<ref>{{Cite web|title=Quadrilaterals - Square, Rectangle, Rhombus, Trapezoid, Parallelogram|url=https://www.mathsisfun.com/quadrilaterals.html|website=www.mathsisfun.com|access-date=2020-09-02}}</ref>
:<math>r_i = \frac{a}{2} </math>
:<math>r_i = \frac{d}{2 \cdot \sqrt{2}} </math>
 
* Semua [[sudut dalam]] dari persegi sama besar (masing-masing sebesar 360°/4 = 90°, sudut siku-siku).
=== [[Radius]] ===
* [[Sudut pusat]] dari persegi sama dengan 90° (360°/4).
:<math>r_u = \frac{a}{\sqrt{2}}</math>
:<math>r_u = \frac{d}{2}</math>
 
* [[Sudut dalam dan luar|Sudut luar]] dari persegi sama dengan 90° (360°/4).
=== [[Sudut]] interior ===
* Kedua diagonal dari persegi sama besar dan saling memotong pada sudut 90°.
:<math> \alpha = \beta = \gamma = \delta = 90^\circ </math>
* Diagonal dari persegi membagi dua sudut dalamnya, masing-masing membentuk sudut 45°.
* Semua sisi dari persegi sama besar
* Semua sisi yang saling berhadapan sejajar
 
=== PropertiKeliling dan luas ===
[[Berkas:Five_Squared.svg|jmpl|Luas dari persegi adalah hasil perkalian dari panjang sisinya.]]
Persegi adalah kasus khusus dari [[belah ketupat]] (sisi sama, berlawanan sudut sama), layang - layang (dua pasang sisi sama berbatasan), trapesium (sepasang sisi yang berlawanan sejajar), jajaran genjang (semua sisi berlawanan sejajar), sebuah [[segiempat]] atau tetragon (poligon empat sisi), dan persegi panjang (sisi berlawanan sama, sudut kanan) dan karenanya memiliki semua sifat dari semua bentuk ini, yaitu:
[[Keliling]] dari bangun persegi yang keempat sisinya memiliki panjang <math>\ell </math> adalah <math display="block">K = 4\ell</math>dan [[Luas|luasnya]]<ref name=":0" /> adalah <math display="block">L=\ell^2.</math>Pada [[Zaman Klasik|zaman klasik]], konsep [[Pangkat dua|kuadrat (pangkat dua)]] dijelaskan menggunakan luas dari bangun persegi, seperti pada rumus di atas. Pada perkembangan selanjutnya, seperti dalam [[bahasa Inggris]], ini menyebabkan penggunaan istilah ''square'' (persegi) untuk mengartikan kuadrat.
*Diagonal - diagonal persegi membagi dua satu sama lain dan bertemu pada 90 °
*Diagonal persegi membagi dua sudutnya.
*Sisi-sisi yang berlawanan dari bujur sangkar keduanya paralel dan panjangnya sama.
*Keempat sudut persegi sama. (Masing-masing 360 ° / 4 = 90 °, jadi setiap sudut kotak adalah sudut kanan.)
*Keempat sisi persegi sama.
*Diagonal persegi sama.
*Kotak adalah kasus n = 2 dari keluarga n- hypercubes dan n- orthoplexes .
*Kotak memiliki [[simbol Schläfli]] {4}. Kotak terpotong, t {4}, adalah segi delapan, {8}. Kotak berganti - ganti, h {4}, adalah digon, {2}.
 
Luas dari persegi juga dapat dihitung menggunakan panjang diagonal ''d'', menggunakan rumus<math display="block">L=\frac{d^2}{2}.</math>Jika menggunakan [[lingkaran luar]] persegi dengan [[jari-jari]] <math>R,</math> luas persegi dapat dituliskan sebagai<math display="block">L=2R^2;</math>Karena luas dari lingkaran tersebut adalah <math>\pi R^2,</math> persegi akan mengisi <math>2/\pi \approx 0.6366</math> bagian dari lingkaran luarnya. Sedangkan menggunakan lingkaran dalam dengan jari-jari <math>r,</math> luas dari persegi adalah <math display="block">L=4r^2;</math>sehingga lingkaran dalam mengisi <math> \pi/4 \approx 0.7854</math> bagian dari persegi tersebut.
=== Fakta lain ===
*Diagonal persegi adalah <math> \sqrt {2}</math> (sekitar 1,414) kali panjang sisi persegi. Nilai ini, dikenal sebagai akar kuadrat dari 2 atau konstanta Pythagoras, adalah angka pertama yang terbukti irasional .
*Kuadrat juga dapat didefinisikan sebagai jajaran genjang dengan diagonal yang sama yang membagi dua sudut.
*Jika angka adalah persegi panjang (sudut kanan) dan belah ketupat (panjang sisi yang sama), maka itu adalah persegi.
*Jika lingkaran dibatasi di sekitar persegi, luas lingkaran adalah <math> \pi / 2 </math> (sekitar 1,5708) kali luas alun-alun.
*Jika sebuah lingkaran ditulisi di dalam bujur sangkar, luas lingkaran adalah <math> \pi / 4 </math> Kotak memiliki luas yang lebih besar daripada segiempat lainnya dengan batas yang sama.
*Sebuah ubin persegi adalah satu dari tiga tilings biasa dari pesawat (yang lain adalah segitiga sama sisi dan segi enam biasa ).
*Alun-alun berada dalam dua keluarga polytopes dalam dua dimensi: hypercube dan cross-polytope . [[Simbol Schläfli]] untuk alun-alun adalah {4}.
*Persegi adalah objek yang sangat simetris. Ada empat garis simetri reflektif dan memiliki simetri rotasi orde 4 (hingga 90°, 180° dan 270°). Its kelompok simetri adalah kelompok dihedral D<sub>4 .
*Jika lingkaran bertulis ABCD persegi memiliki titik singgung E pada ''AB'' , ''F'' pada ''BC'' , ''G'' pada ''CD'' , dan ''H'' pada ''DA'' , maka untuk setiap titik ''P'' pada lingkaran bertuliskan,
:<math> 2(PH^2-PE^2)=PD^2-PB^2</math>
*Jika <math>d_i</math> adalah jarak dari titik sewenang-wenang di pesawat dengan saya simpul persegi dan <math>R</math> adalah circumradius dari alun-alun, maka
 
Karena persegi merupakan [[poligon reguler]], bangun ini memiliki keliling terkecil yang mengitari suatu luas tertentu. Dual dari pernyataan tersebut, persegi merupakan bangun segi-empat yang memiliki luas terbesar, dari semua segi-empat dengan suatu besar keliling tertentu.<ref>Chakerian, G.D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in ''Mathematical Plums'' (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.</ref><ref>{{Cite web|last=Lundsgaard Hansen|first=Martin|title=Vagn Lundsgaard Hansen|url=http://www2.mat.dtu.dk/people/V.L.Hansen/square.html|website=www2.mat.dtu.dk|access-date=2017-12-12}}</ref> Secara lebih matematis, jika <math>L</math> dan <math>K</math> masing-masing adalah luas dan keliling dari suatu segi-empat, maka berlaku [[pertidaksamaan isoperimetrik]] berikut: <math display="block">16L\le K^2</math>dengan persamaan terjadi [[jika dan hanya jika]] segi-empat tersebut adalah persegi.
== Elemen luas ==
 
=== Fakta lain ===
Bangun persegi sering digunakan sebagai [[elemen luas]] dalam menghitung luas suatu [[bangun datar]] dengan menggunakan proses [[integral]]. Dalam ruang koordinat ''x'' dan ''y'' elemen luas (''dA'') yang berbentuk persegi dinyatakan sebagai:
 
* Panjang diagonal dari persegi adalah <math display="inline">\sqrt{2}</math> (sekitar 1,414) kali panjang sisi persegi tersebut. Nilai ini, dikenal sebagai [[akar kuadrat dari 2]] dan konstanta Pythagoras,<ref name=":0" /> adalah bilangan pertama yang dibuktikan berupa [[bilangan irasional]].
: <math>dA = dxdy\!</math>
* Persegi juga dapat didefinisikan sebagai [[jajar genjang]] dengan kedua diagonalnya memiliki panjang yang sama dan membagi dua sudut dalam jajar genjang tersebut.
 
* Jika suatu bangun berupa persegi panjang (memiliki sudut siku-siku) sekaligu belah ketupat (memiliki panjang sisi yang sama), maka bangun tersebut adalah persegi.
sehingga luas suatu bangun [[dua dimensi]] dalam [[ruang]] tersebut dapat dihitung menggunakan
* [[Pengubinan persegi]] adalah salah satu dari tiga [[teselasi reguler]] pada bidang (bangun [[teselasi]] lainnya adalah [[segitiga sama sisi]] dan [[Heksagon|heksagon reguler]]).
 
* Persegi adalah anggota dari dua keluarga [[politop]] di dimensi dua: [[hiperkubus]] dan ''cross-polytope''. [[Simbol Schläfli]] untuk persegi adalah&nbsp;<math display="inline">\{4\}</math>&nbsp;.
: <math>\int dx \int dy\ f(x,y) = \int f(x,y) dA\!</math>
* Persegi adalah objek yang sangat simetris. Persegi memiliki empat garis [[simetri refleksi]], dan [[simetri rotasi]] tingkat 4 (0°, 90°, 180° and 270°). [[Grup simetrik|Grup simetri]] dari bangun ini adalah [[grup dihedral]]&nbsp;D<sub>4</sub>.
 
* Sebangun persegi dapat dibuat di dalam (''inscribed'') sebarang poligon regular. Satu-satunya poligon lain dengan sifat ini adalah segitiga sama sisi.
sebagai suatu rumusan umum.
* Jika [[Lingkaran dalam dan lingkaran singgung luar segitiga|lingkaran dalam]] dari persegi ''ABCD'' memiliki titik potong ''E'' pada sisi ''AB'', ''F'' pada ''BC'', ''G'' pada ''CD'', dan ''H'' pada ''DA'', maka untuk sebarang titik ''P'' pada lingkaran dalam tersebut,<ref>{{Cite web|title=Geometry classes, Problem 331. Square, Point on the Inscribed Circle, Tangency Points. Math teacher Master Degree. College, SAT Prep. Elearning, Online math tutor, LMS.|url=http://gogeometry.com/problem/p331_square_inscribed_circle.htm|website=gogeometry.com|access-date=2017-12-12}}</ref> <math> 2(PH^2-PE^2) = PD^2-PB^2.</math>
* Jika <math>d_i</math> adalah jarak dari berang titik di bidang ke sisi ke-''i'' dari sebangun persegi, dan <math>R</math> adalah [[lingkaran luar]] dari persegi tersebut, maka<ref>Park, Poo-Sung. "Regular polytope distances", [[Forum Geometricorum]] 16, 2016, 227–232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161010184811/http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf|date=2016-10-10}}</ref> <math display="block">\frac{d_1^4+d_2^4+d_3^4+d_4^4}{4} + 3R^4 = \left(\frac{d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2}{4} + R^2\right)^2.</math>
* Jika <math>L</math> dan <math>d_i</math> masing-masing menyatakan jarak dari sebarang titik pada bidang ke titik pusat dari persegi dan ke titik pusat dari sisi-sisinya, maka berlaku hubungan <ref name="Mamuka">{{cite journal|last1=Meskhishvili|first1=Mamuka|date=2021|title=Cyclic Averages of Regular Polygonal Distances|url=https://ijgeometry.com/wp-content/uploads/2020/12/4.-58-65.pdf|journal=International Journal of Geometry|volume=10|pages=58–65}}</ref> <math>d_1^2 + d_3^2 = d_2^2 + d_4^2 = 2(R^2+L^2)</math> dan <math> d_1^2d_3^2 + d_2^2d_4^2 = 2(R^4+L^4), </math> dengan <math>R</math> adalah [[lingkaran luar]] dari persegi tersebut.
 
== Kontruksi ==
AnimasiBeberapa animasi berikut ini menunjukkan cara membuat persegi menggunakan kompas[[Lukisan jangka dan garismistar|jangka lurus . Ini dimungkinkan karena 4 = 2^2, kekuatan duadan mistar]].
{{multiple image
[[Berkas:Straight Square Inscribed in a Circle 240px.gif|thumb|right|Kontruksi pembuatan persegi]]
| align = center
[[Berkas:01-Quadrat-Seite-gegeben.gif|thumb|Kuadrat pada panjang sisi yang diberikan,
| image1 = Straight Square Inscribed in a Circle 240px.gif
sudut kanan dengan menggunakan [[teorema Thales]]]]
| caption1 = Konstruksi persegi menggunakan jangka dan mistar.
[[Berkas:01-Quadrat-Diagonale-gegeben.gif|thumb|Kuadrat pada diagonal yang diberikan]]
| image2 = 01-Quadrat-Seite-gegeben.gif
| caption2 = Persegi dari panjang sisi yang sudah ditentukan,<br /> sudut siku-siku dihasilkan dari [[teorema Thales]].
| image3 = 01-Quadrat-Diagonale-gegeben.gif
| caption3 = Persegi dari panjang diagonal yang sudah ditentukan
| width2 = 220
}}
 
== PersegiGeometri latinnon-Euklides ==
Dalam [[geometri non-Euklides]], persegi didefinisikan secara lebih umum sebagai poligon dengan 4 sisi dengan panjang yang sama dan besar semua sudutnya sama.
{{Lihat pula|Persegi latin}}
Persegi Latin adalah skema kotak dengan n baris dan kolom, di mana setiap bidang memiliki salah satu dari n simbol yang berbeda, sehingga setiap simbol muncul tepat sekali di setiap baris dan di setiap kolom. Bilangan alami n disebut urutan kuadrat Latin.
 
Di [[geometri bola]], ''persegi sferis'' adalah poligon yang sisi-sisinya merupakan busur [[lingkaran besar]] dengan panjang yang sama, dan berpotongan pada besar sudut yang sama. Tidak seperti persegi pada geometri bidang (geometri Euklides), sudut persegi di geometri ini lebih besar daripada sudut siku-siku. Persegi sferis dengan ukuran yang lebih besar akan memiliki sudut yang lebih besar.
== Geometri Non-Euklides ==
Dalam geometri non-Euclidean, kuadrat lebih umum adalah poligon dengan 4 sisi yang sama dan sudut yang sama.
 
DalamDi [[geometri bola hiperbolik]], kotaktidak adalahada poligon yang ujung-ujungnya adalah lingkaran besarpersegi dengan jarak yang sama, yang bertemu pada sudut yang samasiku-siku. TidakAlih-alih, seperti kuadratpersegi bidangdalam geometri, suduthiperbolik persegimemiliki sepertisudut itu lebih besarkurang dari sudut kanansiku-siku. KotakPersegi bolahiperbolik dengan ukuran yang lebih besar memiliki sudut yang lebih besarkecil.
{{multiple image
| align = center
| image1 = Tetragonal_dihedron.png
| caption1 = Dua persegi dengan sudut dalam 180° dapat mengubin (''tile'') pemukaan bola. Sisi-sisi dari kedua persegi tersebut terletak di [[lingkaran besar]]. Persegi tersebut disebut dengan persegi sfreris (bola'')'' [[dihedron]], dengan [[simbol Schläfli]]&nbsp;{4,2}.
| image2 = Square_on_sphere.svg
| caption2 = Enam persegi dapat mengubi permukaan bola, dengan setiap titik sudut dikeliling oleh tiga persegi dan setiap persegi memiliki besar sudut dalam 120°. Objek ini disebut dengan kubus sferis, dengan simbol Schläfli&nbsp;{4,3}.
| image3 = Square_on_hyperbolic_plane.png
| caption3 = Persegi dapat mengubin bidang hiperbolik, dengan setiap sudut dikelilingi lima persegi, masing-masing dengan sudut dalam 72°. Malahan, untuk sebarang <math>n\geq5</math> ada suatu pengubinan hiperbolik yang setiap titik sudut persegi tersebut dikelilingi oleh <math>n</math> persegi.
}}
 
== Graf ==
Dalam geometri hiperbolik, kotak dengan sudut kanan tidak ada. Alih-alih, kotak dalam geometri hiperbolik memiliki sudut kurang dari sudut kanan. Persegi hiperbolik yang lebih besar memiliki sudut yang lebih kecil.
[[Berkas:Tetrahedron petrie.png|115x115px|thumb|simpleks-3]]
[[Berkas:Tetragonal dihedron.png|80px|thumb|Dua kotak dapat membentuk bola dengan 2 kotak di sekitar setiap sudut dan sudut internal 180 derajat . Setiap kotak mencakup seluruh belahan bumi dan simpulnya terletak di sepanjang lingkaran besar . Ini disebut dihedron persegi berbentuk bola. [[simbol Schläfli]] adalah {4,2}.]]
[[Graf lengkap]] K<sub>4</sub> sering digambarkan sebagai persegi lengkap dengan kedua diagonalnya. Graf ini juga merupakan [[Proyeksi ortografi|proyeksi ortografik]] dari [[simpleks]]-3 sederhana (tetrahedron), yang memiliki 6 sisi dan 4 titik sudut.
[[Berkas:Square on sphere.svg|80px|thumb|Enam kotak dapat membentuk bola dengan 3 kotak di sekitar setiap sudut dan sudut internal 120 derajat . Ini disebut kubus bulat. [[simbol Schläfli]] adalah {4,3}.]]
 
== GrafikLihat juga ==
 
[[Berkas:Tetrahedron petrie.png|100px|thumb|3-simpleks (3D)]]
* [[Persegi Latin]]
Grafik lengkap K<sub>4</sub> sering digambarkan sebagai kotak dengan semua 6 sisi yang mungkin terhubung, karenanya muncul sebagai kotak dengan kedua diagonal digambar. Grafik ini juga merupakan proyeksi ortografis dari 4 simpul dan 6 tepi dari 3 simpleks biasa ( tetrahedron ).
 
== Tambahan ==
* [[Persegi bulat]]
* ''[[Squaring the square]]''
 
== Referensi ==
<references />
{{bangun}}
 
{{geometri-stub}}
{{Authority control}}
 
[[Kategori:Geometri]]
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Persegi"