Integral permukaan: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Memperbaiki dan manambahkn |
Produk dot -> Perkalian titik | t=122 su=2 at=2 in=3 | edr=000-0011(!!!) ovr=010-1111 aft=000-0011 |
||
| (12 revisi perantara oleh 9 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{Kalkulus|Integral}}
Dalam [[matematika]], '''Permukaan integral''' adalah generalisasi dari [[Integral lipat|beberapa integral]] untuk integrasi di atas [[Permukaan (geometri diferensial)|permukaan]]. Ini dapat dianggap sebagai analog [[Integral lipat|integral]] lipat dari [[integral garis]] . Dengan adanya suatu permukaan, seseorang dapat mengintegralkan [[bidang skalar]] (yaitu, [[Fungsi (matematika)|fungsi]] posisi yang mengembalikan [[skalar]] sebagai nilai) di atas permukaan, atau [[medan vektor|bidang vektor]] (yaitu, fungsi yang mengembalikan [[Vektor (spasial)|vektor]] sebagai nilai). Jika suatu daerah R tidak datar, maka itu disebut [[Geometri diferensial permukaan|permukaan]] seperti yang diperlihatkan dalam ilustrasi.
Permukaan integral memiliki aplikasi dalam [[fisika]], khususnya dalam teori [[Elektrodinamika|elektromagnetisme klasik]].
Baris 7 ⟶ 8:
== Integral permukaan bidang skalar ==
Untuk menemukan rumus eksplisit untuk integral permukaan di atas permukaan ''S'', kita perlu membuat [[Sistem koordinat|parameter]] ''S'' dengan menentukan sistem [[koordinat lengkung]] pada ''S'', seperti [[Sistem koordinat geografi|lintang dan bujur]] pada [[Bola (geometri)|bola]] . Biarkan parameterisasi seperti itu menjadi '''x''' ( ''s'', ''t'' ), di mana ( ''s'', ''t'' ) bervariasi di beberapa daerah ''T'' di [[Sistem koordinat Kartesius|bidang]] . Kemudian, integral permukaan diberikan oleh <ref>{{Cite web|date=2020-05-11|title=List of Calculus and Analysis Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/calculus-analysis-symbols/|website=Math Vault|language=en-US|access-date=2020-09-19}}</ref><ref>{{Cite web|title=Calculus III - Surface Integrals|url=https://tutorial.math.lamar.edu/classes/calciii/surfaceintegrals.aspx#:~:text=The%20way%20to%20tell%20them,the%20often%20messy%20square%20root.|website=tutorial.math.lamar.edu|access-date=2020-09-19}}</ref>
<math>\iint_{S} f \,\mathrm dS
= \iint_{T} f(\mathbf{x}(s, t)) \left\|{\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}\right\| \mathrm ds\, \mathrm dt</math>
di mana ekspresi antara bar di sisi kanan adalah [[Besaran (matematika)|besarnya]] dari [[Perkalian vektor|produk silang]] dari [[turunan parsial]] dari '''x''' ''(s,'' ''t),'' dan dikenal sebagai permukaan [[
<math>\iint_{S} f \,\mathrm dS
= \iint_{T} f(\mathbf{x}(s, t)) \sqrt{g} \, \mathrm ds\, \mathrm dt</math>
dimana ''g'' adalah determinan [[
Contohnya, jika kita ingin mencari [[luas permukaan]] grafik dari beberapa fungsi skalar, katakanlah <math>z=f\,(x,y)</math>, kita punya
<math>L = \iint_S \,\mathrm dS
Baris 35 ⟶ 34:
\end{align}</math>
Berikut salah satu merupakan rumus standar untuk luas permukaan yang dijelaskan dengan cara ini. Seseorang dapat mengenali vektor pada baris kedua terakhir di atas sebagai [[
Perhatikan, bahwa karena adanya [[perkalian silang]], rumus di atas hanya berfungsi untuk permukaan yang tertanam dalam ruang tiga dimensi.
Hal ini dapat dilihat sebagai integrasi [[bentuk volume Riemannian]] pada permukaan berparameter, di mana [[tensor metrik]] diberikan oleh [[Bentuk fundamental pertama|bentuk dasar pertama]] permukaan.
== Permukaan integral bidang vektor ==<!-- Bagian ini ditautkan dari [[Flux]] -->
{{multiple image
| align = right
| direction = vertical
| header
| image1 = Surface integral - vector field thru a surface.svg
| caption1 = A curved surface <math>S</math> with a vector field <math>\mathbf{F}</math> passing through it. The red arrows (vectors) represent the magnitude and direction of the field at various points on the surface
| width1 = 300
| image2 = Surface integral - parametrized surface.svg
| caption2 = Surface divided into small patches <math>dS = dudv</math> by a parameterization of the surface
| width2 = 300
| image3 = Surface integral - normal component of field.svg
| caption3 = The flux through each patch is equal to the normal (perpendicular) component of the field <math>F_n(\mathbf{x}) = F(\mathbf{x})\cos \theta</math> at the patch's location <math>\mathbf{x}</math> multiplied by the area <math>dS</math>. The normal component is equal to the [[dot product]] of <math>\mathbf{F}(\mathbf{x})</math> with the unit normal vector <math>\mathbf{n}(\mathbf{x})</math> ''(blue arrows)''
| width3 = 200
| image4 = Surface integral - definition.svg
| caption4 = The total flux through the surface is found by adding up <math>\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\;dS</math> for each patch. In the limit as the patches become infinitesimally small, this is the surface integral<br/><math>\int_S \mathbf{F\cdot n}\;dS</math>
| width4 = 300
| footer =
}}
Pertimbangkan bidang vektor '''v''' pada permukaan ''S'', yaitu untuk setiap '''x''' dalam ''S'', '''v''' ('''x''') adalah vektor.
Integral permukaan dapat didefinisikan secara komponen sesuai dengan definisi integral permukaan dari suatu bidang skalar; hasilnya adalah vektor. Ini berlaku misalnya dalam ekspresi [[medan listrik]] di beberapa titik tetap karena permukaan bermuatan listrik, atau gravitasi di beberapa titik tetap karena selembar material.
Alternatifnya, jika kita mengintegrasikan [[komponen normal]] bidang vektor di atas permukaan, hasilnya adalah skalar, biasanya disebut [[fluks]] yang melewati permukaan. Bayangkan kita memiliki [[fluida]] yang mengalir melalui ''S'', sehingga '''v''' ('''x''') menentukan kecepatan fluida di '''x'''. [[Fluks]] didefinisikan sebagai jumlah fluida yang mengalir melalui ''S'' per satuan waktu.
Ilustrasi ini menyiratkan bahwa jika bidang vektor [[tangen]] ke ''S'' di setiap titik, maka fluksnya nol karena fluida hanya mengalir di [[Paralel (geometri)|paralel]] ke ''S'', dan tidak masuk maupun keluar. Ini juga menyiratkan bahwa jika '' 'v' '' tidak hanya mengalir di sepanjang ''S'', yaitu, jika '''v''' memiliki komponen tangensial dan normal, maka hanya komponen normal yang berkontribusi fluks. Berdasarkan alasan ini, untuk mencari fluks, kita perlu mengambil [[Perkalian titik|perkalian titik]] dari '''v''' dengan satuan [[permukaan normal]] '''n''' menjadi ''S'' di setiap titik, yang akan memberi kita bidang skalar, dan mengintegrasikan bidang yang diperoleh seperti di atas. Kami menemukan rumusnya
:<math>\begin{align}
\iint_S {\mathbf v}\cdot\mathrm d{\mathbf {S}} &= \iint_S \left({\mathbf v}\cdot {\mathbf n}\right)\,\mathrm dS\\
&{}= \iint_T \left({\mathbf v}(\mathbf{x}(s, t)) \cdot {\left({\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}\right) \over \left\|\left({\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}\right)\right\|}\right) \left\|\left({\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}\right)\right\| \mathrm ds\, \mathrm dt\\
&{}=\iint_T {\mathbf v}(\mathbf{x}(s, t))\cdot \left({\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}\right) \mathrm ds\, \mathrm dt.
\end{align}</math>
Perkalian silang di sisi kanan ekspresi ini adalah permukaan normal (tidak harus unital) yang ditentukan oleh parametrisasi.
Rumus ini ''mendefinisikan'' integral di sebelah kiri (perhatikan titik dan notasi vektor untuk elemen permukaan).
Kami juga dapat menafsirkan ini sebagai kasus khusus untuk mengintegrasikan 2 bentuk, di mana kami mengidentifikasi bidang vektor dengan 1 bentuk, dan kemudian mengintegrasikan [[Hodge dual]] di atas permukaan.
Ini sama dengan mengintegrasikan <math>\langle \mathbf{v}, \mathbf{n} \rangle \;\mathrm dS </math> di atas permukaan yang terbenam, di mana <math>\mathrm dS</math> adalah bentuk volume yang diinduksi pada permukaan, diperoleh dengan [[perkalian interior]] dari metrik Riemannian dari ruang ambien dengan normal luar permukaan.
== Sintegral permukaan dari bentuk-2 diferensial ==
Bila
:<math> f=f_{z}\, \mathrm dx \wedge \mathrm dy + f_{x}\, \mathrm dy \wedge \mathrm dz + f_{y}\, \mathrm dz \wedge \mathrm dx</math>
menjadi [[bentuk diferensial|
diferensial 2-bentuk]] yang didefinisikan pada permukaan ''S'', dan jika
:<math>\mathbf{x} (s,t)=( x(s,t), y(s,t), z(s,t))\!</math>
menjadi parameter [[orientasi|pelestarian orientasi]] dari ''S'' dengan <math>(s,t)</math> di ''D''. Mengubah koordinat dari <math>(x, y)</math>
untuk <math>(s, t)</math>, bentuk diferensial berubah sebagai
:<math>\mathrm dx=\frac{\partial x}{\partial s}\mathrm ds+\frac{\partial x}{\partial t}\mathrm dt</math>
:<math>\mathrm dy=\frac{\partial y}{\partial s}\mathrm ds+\frac{\partial y}{\partial t}\mathrm dt</math>
Begitu <math> \mathrm dx \wedge \mathrm dy </math> berubah menjadi <math> \frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)} \mathrm ds \wedge \mathrm dt </math>, dimana <math> \frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)} </math> menunjukkan determinan dari Jacobian dari fungsi transisi dari <math>(s, t)</math> pada <math>(x,y)</math>. Transformasi bentuk lainnya serupa.
Kemudian, Permukaan integral ''f'' pada ''S'' diberikan oleh
:<math>\iint_D \left[ f_{z} ( \mathbf{x} (s,t)) \frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)} + f_{x} ( \mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(y,z)}{\partial(s,t)} + f_{y} ( \mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(z,x)}{\partial(s,t)} \right]\, \mathrm ds\, \mathrm dt</math>
where
:<math>{\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}=\left(\frac{\partial(y,z)}{\partial(s,t)}, \frac{\partial(z,x)}{\partial(s,t)}, \frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)}\right)</math>
is the surface element normal to ''S''.
Perhatikan bahwa integral permukaan bentuk-2 ini sama dengan integral permukaan bidang vektor yang memiliki komponen <math>f_x</math>, <math>f_y</math> dan <math>f_z</math>.
== Teorema yang melibatkan integral permukaan ==
Berbagai hasil yang berguna untuk integral permukaan dapat diturunkan menggunakan [[geometri diferensial]] dan [[kalkulus vektor]], seperti [[teorema divergensi]], dan generalisasinya, [[teorema Stokes]].
== Lihat pula ==
* [[Teorema divergensi]]
* [[Teorema Stokes]]
* [[Integral garis|Garis integral]]
* [[Elemen volume]]
* [[Integral volume]]
* [[Sistem koordinat Cartesius]]
* [[Sistem koordinat bola#Integrasi dan diferensiasi dalam koordinat bola|Elemen volume dan luas permukaan dalam sistem koordinat bola]]
* [[Sistem koordinat silinder|Elemen volume dan luas permukaan dalam sistem koordinat silinder]]
* [[Metode Holstein–Herring]]
== Referensi ==
{{Reflist}}
== Pranala luar ==
* [http://mathworld.wolfram.com/SurfaceIntegral.html Surface Integral — from MathWorld]
* [http://people.math.gatech.edu/~cain/notes/cal15.pdf Surface Integral — Theory and exercises]
[[Kategori:Kalkulus multivariabel]]
[[Kategori:Luas]]
[[Kategori:Permukaan]]
| |||