Wikipedia

Polinomial: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
123569yuuift (bicara | kontrib)
2.955 suntingan
Menambahkan berkas
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan
k Mengembalikan suntingan oleh 2404:C0:5A10:0:0:0:52:C746 (bicara) ke revisi terakhir oleh Hysocc
Tag: Pengembalian
 
(12 revisi perantara oleh 9 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 2:
{{for|aspek yang kurang mendasar dari subjek|Gelanggang polinomial}}
[[Berkas:Polynomialdeg3.svg|[[Grafik suatu fungsi|grafik]] dari fungsi polinom dengan derajat 3|thumb]]
Dalam [[matematika]], '''polinomial''' atau '''suku banyak''' (juga ditulis '''sukubanyak''') adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih [[Variabel (matematika)|variabel]] dengan [[koefisien]]. SebuahSecara umum, sebuah polinomial dalam satu variabel dengan koefisien konstan memiliki bentuk seperti berikut:
:<math>
a_nx^n + \ldots + a_2x^2 + a_1x + a_0
</math>
dengan <math>
n
</math> merupakan bilangan cacah, dan dengan <math>
a_0, a_1, a_2,\ldots, a_n
</math> merupakan koefisien konstan.
 
Pangkat tertinggi pada suatu polinomial menunjukkan ''orde'' atau ''derajat'' dari polinomial tersebut.
 
== Grafik polinomialOperasi ==
Sebuah fungsi polinomial dalam satu variabel real dapat dinyatakan dalam [[grafik fungsi]].
* Grafik dari polinomial nol
::''f''(''x'') = 0
:adalah sumbu ''x''.
 
=== Penjumlahan dan pengurangan ===
* Grafik dari polinomial berderajat nol
::''f''(''x'') = ''a''<sub>0</sub>, dimana ''a''<sub>0</sub> ≠ 0,
:adalah garis horizontal dengan ''y'' memotong ''a''<sub>0</sub>
 
=== Perkalilan ===
* Grafik dari polinomial berderajat satu (atau fungsi linear)
::''f''(''x'') = ''a''<sub>0</sub> + ''a''<sub>1</sub>''x'', dengan ''a''<sub>1</sub> ≠ 0,
:adalah berupa garis miring dengan ''y'' memotong di ''a''<sub>0</sub> dengan [[kemiringan]] sebesar ''a''<sub>1</sub>.
 
=== Pembagian dan pemfaktoran ===
* Grafik dari polinomial berderajat dua
::''f''(''x'') = ''a''<sub>0</sub> + ''a''<sub>1</sub>''x'' + ''a''<sub>2</sub>''x''<sup>2</sup>, dengan ''a''<sub>2</sub> ≠ 0
:adalah berupa [[parabola]].
 
*== Grafik dari polinomial berderajat tiga==
::''f''(''x'') = ''a''<sub>0</sub> + ''a''<sub>1</sub>''x'' + ''a''<sub>2</sub>''x''<sup>2</sup>, + ''a''<sub>3</sub>''x''<sup>3</sup>, dengan ''a''<sub>3</sub> ≠ 0
:adalah berupa kurva pangkat 3.
 
=== Graphs ===
* Grafik dari polinomial berderajat dua atau lebih
<div class="floatright"><gallery perrow="2" widths="120px" heights="120px">
::''f''(''x'') = ''a''<sub>0</sub> + ''a''<sub>1</sub>''x'' + ''a''<sub>2</sub>''x''<sup>2</sup> + ... + ''a''<sub>''n''</sub>''x''<sup>''n''</sup>, dengan ''a''<sub>''n''</sub> ≠ 0 and ''n'' ≥ 2
Berkas:Algebra1_fnz_fig037_pc.svg|Polinomial berderajat 0: <small>{{math|''f''(''x'') {{=}} 2}}</small>
:adalah berupa kurva non-linear.
Berkas:Fonction_de_Sophie_Germain.png|Polinomial berderajat 1: <small>{{math|''f''(''x'') {{=}} 2''x'' + 1}}</small>
Berkas:Polynomialdeg2.svg|Polinomial berderajat 2: <small>{{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''<sup>2</sup> − ''x'' − 2}}</small> <small>{{math|{{=}} (''x'' + 1)(''x'' − 2)}}</small>
Berkas:Polynomialdeg3.svg|Polinomial berderajat 3: <small>{{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''<sup>3</sup>/4 + 3''x''<sup>2</sup>/4 − 3''x''/2 − 2}}</small> <small>{{math|{{=}} 1/4 (''x'' + 4)(''x'' + 1)(''x'' − 2)}}</small>
Berkas:Polynomialdeg4.svg|Polinomial berderajat 4: <small>{{math|''f''(''x'') {{=}} 1/14 (''x'' + 4)(''x'' + 1)(''x'' − 1)(''x'' − 3) <br/>+ 0.5}}</small>
Berkas:Quintic_polynomial.svg|Polinomial berderajat 5: <small>{{math|''f''(''x'') {{=}} 1/20 (''x'' + 4)(''x'' + 2)(''x'' + 1)(''x'' − 1)<br/>(''x'' − 3) + 2}}</small>
Berkas:Sextic_Graph.svg|Polinomial berderajat 6: <small>{{math|''f''(''x'') {{=}} 1/100 (''x''<sup>6</sup> − 2''x'' <sup>5</sup> − 26''x''<sup>4</sup> + 28''x''<sup>3</sup>}}</small> <small>{{math|+ 145''x''<sup>2</sup> − 26''x'' − 80)}}</small>
Berkas:Septic_graph.svg|Polinomial berderajat 7: <small>{{math|''f''(''x'') {{=}} (''x'' − 3)(''x'' − 2)(''x'' − 1)(''x'')(''x'' + 1)(''x'' + 2)}}</small> <small>{{math|(''x'' + 3)}}</small>
</gallery></div>Fungsi polinomial satu variabel dapat ditampilkan dalam bentuk [[Grafik fungsi|grafik]].
 
*Grafik dari polinomial nol{{block indent|<math>f(x)=0</math>}}adalah sumbu-<math> x </math>.
Ilustrasi dari grafik-grafik tersebut adalah di bawah ini.
* Grafik dari polinomial berderajat nol (disebut juga [[fungsi konstan]]){{block indent|<math>f(x)=a_0</math> dengan <math>a_0\neq0</math>}}adalah garis mendatar yang berpotongan di titik (0,''a''<sub>0</sub>)
 
* Grafik dari polinomial berderajat satu (disebut juga [[Fungsi linear (kalkulus)|fungsi linear]]){{block indent|<math>f(x)=a_0+a_1x</math> dengan <math>a_1\neq0</math>}}adalah berupa garis miring dengan ''y'' memotong di ''a''<sub>0</sub> dengan [[kemiringan]] sebesar ''a''<sub>1</sub>.
<gallery perrow="3" widths="200px">
* Grafik dari polinomial berderajat dua (disebut juga [[fungsi kuadrat]]){{block indent|<math>f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2</math> dengan <math>a_2\neq0</math>}}merupakan [[parabola]].
File:Polynomialdeg2.svg|Polinomial berderajat 2:<br />''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup> - ''x'' - 2 = (''x''+1)(''x''-2)
* Grafik dari polinomial berderajat tiga{{block indent|<math>f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3</math> dengan <math>a_3\neq0</math>}}merupakan kurva pangkat 3.
File:Polynomialdeg3.svg|Polinomial berderajat 3:<br />''f''(''x'') = ''x''<sup>3</sup>/4 + 3''x''<sup>2</sup>/4 - 3''x''/2 - 2 = 1/4 (''x''+4)(''x''+1)(''x''-2)
* Grafik dari polinomial berderajat dua atau lebih{{block indent|<math>f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n</math> dengan <math>a_n\neq0</math> dan <math>n\geq2</math>}}merupakan kurva kontinu tak lurus.
File:Polynomialdeg4.svg|Polinomial berderajat 4:<br />''f''(''x'') = 1/14 (''x''+4)(''x''+1)(''x''-1)(''x''-3) + 0.5
File:Polynomialdeg5.svg|Polinomial berderajat 5:<br />''f''(''x'') = 1/20 (''x''+4)(''x''+2)(''x''+1)(''x''-1)(''x''-3) + 2
File:Sextic Graph.png|Polinomial berderajat 6:<br />''f''(''x'') = 1/30 (''x''+3.5)(''x''+2)(''x''+1)(''x''-1)(''x''-3)(''x''-4) + 2
File:Septic graph.svg|Polinomial berderajat 7:<br />''f''(''x'') = (''x''-3)(''x''-2)(''x''-1)(''x'')(''x''+1)(''x''+2)(''x''+3)
</gallery>
 
== Polinomial dan kalkulus ==
Baris 53 ⟶ 50:
maka turunan terhadap ''x'' adalah
:<math>\sum_{i=1}^n a_i i x^{i-1}</math>
dan [[integral tak tentu]] terhadap ''x'' adalah
:<math>\sum_{i=0}^n {a_i\over i+1} x^{i+1}+c.</math>
 
== Pembagian Polinomial ==
Bentuk umum adalah
<math>F(x) = P(x) \cdot H(x) + S(x)</math>
 
* Keterangan:
# F(x): suku banyak (yang dibagi)
# P(x): pembagi
# H(x): hasil bagi
# S(x): sisa
 
=== Teorema sisa ===
: Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (x – k) maka sisanya adalah F(k).
: Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (ax – b) maka sisanya adalah F(b/a).
: Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (x – a)(x - b) maka sisanya adalah <math>\frac{F(a) - F(b)}{a - b} x + \frac{a F(b) - b F(a)}{a -b}</math>.
 
Contoh
: Berapa sisa dari F(x): <math>x^2 - 7x + 10</math> dibagi dengan P(x): <math>x - 3</math>?
:: F(x - 3) maka F(3)
:: F(x): <math>x^2 - 7x + 10</math>
:: F(3): <math>(3)^2 - 7(3) + 10 = 9 - 21 + 10 = - 2</math>
 
pembuktian sesuai dengan di atas:
 
{| class="wikitable"
|-
| <math>x - 3</math> || <math>x^2</math> || <math>- 7x</math> || <math>+ 10</math> || <math>x - 4</math>
|-
| || <math>x^2</math> || <math>- 3x</math> || ||
|-
| || || <math>- 4x</math> || <math>+ 10</math> ||
|-
| || || <math>- 4x</math> || <math>+ 12</math> ||
|-
| || || || <math>- 2</math> ||
|}
 
: Suatu F(x) dibagi x - 2 bersisa 4, dibagi x - 3 bersisa 7. suatu G(x) dibagi x - 2 bersisa 3, dibagi x - 3 bersisa 2. Jika <math>H(x) = F(x) \cdot G(x)</math> maka berapa sisa jika H(x) dibagi <math>x^2 - 5x + 6</math>?
 
: <math>h(x) = P(x) \cdot H(x) + S(x)</math>
: <math>h(x) = (x^2 - 5x + 6) \cdot H(x) + S(x)</math>
: <math>h(x) = (x - 2)(x - 3) \cdot H(x) + S(x)</math>
 
karena variabel pembagi derajat dua maka variabel sisa derajat satu yaitu <math>S(x) = ax + b</math>
: <math>h(x) = (x - 2)(x - 3) \cdot H(x) + ax + b</math>
 
: persamaan pertama
:: <math>h(2) = S_{f(x)} (2) \cdot S_{g(x)} (2)</math>
:: <math>(2 - 2)(2 - 3) \cdot H(x) + 2a + b = 4 \cdot 3</math>
:: <math>2a + b = 12</math>
 
: persamaan kedua
:: <math>h(3) = S_{f(x)} (3) \cdot S_{g(x)} (3)</math>
:: <math>(3 - 2)(3 - 3) \cdot H(x) + 3a + b = 7 \cdot 2</math>
:: <math>3a + b = 14</math>
 
dari persamaan pertama dan kedua dihitung menggunakan metode eliminasi maka menjadi a = 2 dan b = 8
 
: jadi sisa tersebut adalah 2x + 8.
 
=== Metode ===
Metode ada 3 jenis yaitu:
 
; Biasa
Contoh
: Berapa hasil dan sisa dari F(x): <math>x^3 + x^2 - 9x + 3</math> dibagi dengan P(x): <math>x^2 + 2x - 8</math>?
 
{| class="wikitable"
|-
| <math>x^2 + 2x - 8</math> || <math>x^3</math> || <math>+ x^2</math> || <math>- 9x</math> || <math>+ 3</math> || <math>x - 1</math>
|-
| || <math>x^3</math> || <math>+ 2x^2</math> || <math>- 8x</math> || ||
|-
| || || <math>- x^2</math> || <math>- x</math> || <math>+ 3</math> ||
|-
| || || <math>- x^2</math> || <math>- 2x</math> || <math>+ 8</math> ||
|-
| || || || <math>x</math> || <math>- 5</math> ||
|}
 
: H(x) = <math>x - 1</math>
: S(x) = <math>x - 5</math>
 
: Berapa hasil dan sisa dari F(x): <math>2x^3 + 19x^2 + 33x - 26</math> dibagi dengan P(x): <math>2x^2 + 5x - 3</math>?
 
{| class="wikitable"
|-
| <math>2x^2 + 5x - 3</math> || <math>2x^3</math> || <math>+ 19x^2</math> || <math>+ 33x</math> || <math>- 26</math> || <math>x + 7</math>
|-
| || <math>2x^3</math> || <math>+ 5x^2</math> || <math>- 3x</math> || ||
|-
| || || <math>14x^2</math> || <math>+ 36x</math> || <math>- 26</math> ||
|-
| || || <math>14x^2</math> || <math>+ 35x</math> || <math>- 21</math> ||
|-
| || || || <math>x</math> || <math>- 5</math> ||
|}
 
: H(x) = <math>x + 7</math>
: S(x) = <math>x - 5</math>
 
; Horner
cara ini dapat digunakan untuk pembagi berderajat 1 atau pembagi yang dapat difaktorkan menjadi pembagi-pembagi berderajat 1.
 
Cara:
* Tulis koefisiennya saja → harus runtut dari koefisien xn, xn – 1, … hingga konstanta (jika ada variabel yang tidak ada, maka koefisiennya ditulis 0)
Contoh: untuk <math>4x^3 - 1</math>, koefisien-koefisiennya adalah 4, 0, 0, dan -1 (untuk x3, x2, x, dan konstanta)
; Jika koefisien derajat tertinggi P(x) ≠ 1, maka hasil baginya harus dibagi dengan koefisien derajat tertinggi P(x)
; Jika pembagi dapat difaktorkan, maka:
: Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1 dan P2, maka S(x) = P1.S2 + S1
: Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, maka S(x) = P1.P2.S3 + P1.S2 + S1
: Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, P4, maka S(x) = P1.P2.P3.S4 + P1.P2.S3 + P1.S2 + S1 dan seterusnya
 
Jika hasil bagi adalah bukan bilangan pecahan maka proses rumus tetap. Contoh:
: Berapa hasil dan sisa dari F(x): <math>x^3 + x^2 - 9x + 3</math> dibagi dengan P(x): <math>x^2 + 2x - 8</math>?
 
misalkan P: <math>x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)</math> maka:
: P1: <math>x - 2 = 0 -> x = 2</math>
: P2: <math>x + 4 = 0 -> x = - 4</math>
 
{| class="wikitable"
|-
| 2 || 1 || 1 || -9 || 3
|-
| || 0 || 2 || 6 || -6
|-
| -4 || 1 || 3 || -3 || -3 (S1)
|-
| || 0 || -4 || 4 ||
|-
| || 1 || -1 || 1 (S2) ||
|}
 
: H(x) = <math>x - 1</math>
: S(x) = P1.S2 + S1 = <math>(x - 2) \cdot 1 + (- 3) = x - 5</math>
 
Jika hasil bagi adalah bilangan pecahan maka ada dua jenis yang ditentukan sbb:
; posisi suku banyak tidak berubah maka hasil bagi harus dibagi konstanta dari faktor hasilnya. Contoh:
: Berapa hasil dan sisa dari F(x): <math>2x^3 + 19x^2 + 33x - 26</math> dibagi dengan P(x): <math>2x^2 + 5x - 3</math>?
 
: Pilihan A
misalkan P: <math>2x^2 + 5x - 3 = (x + 3)(2x - 1)</math> maka:
: P1: <math>x + 3 = 0 -> x = - 3</math>
: P2: <math>2x - 1 = 0 -> x = \frac{1}{2}</math>
 
{| class="wikitable"
|-
| -3 || 2 || 19 || 33 || -26
|-
| || 0 || -6 || -39 || 18
|-
| 1/2 || 2 || 13 || -6 || -8 (S1)
|-
| || 0 || 1 || 7 ||
|-
| || 2 || 14 || 1 (S2) ||
|}
 
: H(x) = <math>2x + 14</math> harus bagi 1/2 menjadi <math>x + 7</math>
: S(x) = P1.S2 + S1 = <math>(x + 3) \cdot 1 + (- 8) = x - 5</math>
 
: Pilihan B
misalkan P: <math>2x^2 + 5x - 3 = (x + 3)(2x - 1)</math> maka:
: P1: <math>2x - 1 = 0 -> x = \frac{1}{2}</math>
: P2: <math>x + 3 = 0 -> x = - 3</math>
 
{| class="wikitable"
|-
| 1/2 || 2 || 19 || 33 || -26
|-
| || 0 || 1 || 10 || 43/2
|-
| -3 || 2 || 20 || 43 || -9/2 (S1)
|-
| || 0 || -6 || -42 ||
|-
| || 2 || 14 || 1 (S2) ||
|}
 
: H(x) = <math>2x + 14</math> harus bagi 1/2 menjadi <math>x + 7</math>
: S(x) = P1 S2 + S1 = <math>(x - \frac{1}{2}) \cdot 1 + (- \frac{9}{2}) = x - \frac{10}{2} = x - 5</math>
 
; posisi suku banyak dibagi konstanta dari variabel berpangkat tinggi maka sisa harus dikali konstanta dari faktor hasilnya. Contoh:
: Berapa hasil dan sisa dari F(x): <math>2x^3 + 19x^2 + 33x - 26</math> dibagi dengan P(x): <math>2x^2 + 5x - 3</math>?
 
: Pilihan A
misalkan P: <math>2x^2 + 5x - 3 = (x + 3)(2x - 1)</math> maka:
: P1: <math>x + 3 = 0 -> x = - 3</math>
: P2: <math>2x - 1 = 0 -> x = \frac{1}{2}</math>
 
<math>2x^3 + 19x^2 + 33x - 26</math> dibagi 1/2 menjadi <math>x^3 + \frac{19}{2}x^2 + \frac{33}{2}x - 13</math>
{| class="wikitable"
|-
| -3 || 1 || 19/2 || 33/2 || -13
|-
| || 0 || -3 || -39/2 || 9
|-
| 1/2 || 1 || 13/2 || -3 || -4 (S1)
|-
| || 0 || 1/2 || 7/2 ||
|-
| || 1 || 7 || 1/2 (S2) ||
|}
 
: H(x) = <math>x + 7</math>
: S(x) = P1.S2 + S1 = <math>(x + 3) \cdot \frac{1}{2} + (- 4) = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} - 4 = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}</math> harus kali 2 menjadi <math>x - 5</math>
 
: Pilihan B
misalkan P: <math>2x^2 + 5x - 3 = (x + 3)(2x - 1)</math> maka:
: P1: <math>2x - 1 = 0 -> x = \frac{1}{2}</math>
: P2: <math>x + 3 = 0 -> x = - 3</math>
 
<math>2x^3 + 19x^2 + 33x - 26</math> dibagi 1/2 menjadi <math>x^3 + \frac{19}{2}x^2 + \frac{33}{2}x - 13</math>
{| class="wikitable"
|-
| 1/2 || 1 || 19/2 || 33/2 || -13
|-
| || 0 || 1/2 || 5 || 43/4
|-
| -3 || 1 || 10 || 43/2 || -9/4 (S1)
|-
| || 0 || -3 || -21 ||
|-
| || 1 || 7 || 1/2 (S2) ||
|}
 
: H(x) = <math>x + 7</math>
: S(x) = P1.S2 + S1 = <math>(x - \frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2} + (- \frac{9}{4}) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4} - \frac{9}{4} = \frac{1}{2}x - \frac{10}{4} = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}</math> harus kali 2 menjadi <math>x - 5</math>
 
; Koefisien tak tentu
Contoh
: Berapa hasil dan sisa dari F(x): <math>x^3 + x^2 - 9x + 3</math> dibagi dengan P(x): <math>x^2 + 2x - 8</math>?
 
Untuk soal di atas, karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, maka
: H(x) berderajat 3 – 2 = 1
: S(x) berderajat 2 – 1 = 1
Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = cx + d
 
maka:
: <math>x^3 + x^2 - 9x + 3 = (x^2 + 2x - 8)(ax + b) + (cx + d)</math>
: <math>x^3 + x^2 - 9x + 3 = ax^3 + 2ax^2 - 8ax + bx^2 + 2bx - 8b + cx + d</math>
: <math>x^3 + x^2 - 9x + 3 = ax^3 + (2a + b)x^2 + (-8a + 2b + c)x + (-8b + d)</math>
 
samakan pada koefisien:
: <math>x^3 -> 1 = a</math>
: <math>x^2 -> 1 = 2(1) + b -> b = -1</math>
: <math>x -> -9 = -8(1) + 2(-1) + c -> c = 1</math>
: <math>k -> 3 = -8(-1) + d -> d = -5</math>
 
Jadi
: H(x) = ax + b = x - 1
: S(x) = cx + d = x - 5
 
: Berapa hasil dan sisa dari F(x): <math>2x^3 + 19x^2 + 33x - 26</math> dibagi dengan P(x): <math>2x^2 + 5x - 3</math>?
 
Untuk soal di atas, karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, maka
: H(x) berderajat 3 – 2 = 1
: S(x) berderajat 2 – 1 = 1
Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = cx + d
 
maka:
: <math>2x^3 + 19x^2 + 33x - 26 = (2x^2 + 5x - 3)(ax + b) + (cx + d)</math>
: <math>2x^3 + 19x^2 + 33x - 26 = 2ax^3 + 5ax^2 - 3ax + 2bx^2 + 5bx - 3b + cx + d</math>
: <math>2x^3 + 19x^2 + 33x - 26 = 2ax^3 + (5a + 2b)x^2 + (-3a + 5b + c)x + (-3b + d)</math>
 
samakan pada koefisien:
: <math>x^3 -> 2 = 2a -> a = 1</math>
: <math>x^2 -> 19 = 5(1) + 2b -> 2b = 14 -> b = 7</math>
: <math>x -> 33 = -3(1) + 5(7) + c -> c = 1</math>
: <math>k -> -26 = -3(7) + d -> d = -5</math>
 
Jadi
: H(x) = ax + b = x + 7
: S(x) = cx + d = x - 5
 
=== Teorema faktor ===
Suatu suku banyak F(x) mempunyai faktor (x – k) jika F(k) = 0 (sisanya jika dibagi dengan (x – k) adalah 0)
 
Catatan: jika (x – k) adalah faktor dari F(x) maka k dikatakan sebagai akar dari F(x)
 
Beberapa memungkinkan yang diketahui:
* Jika jumlah koefisien suku banyak = 0, maka pasti salah satu akarnya adalah x = 1.
* Jika jumlah koefisien suku di posisi genap = jumlah koefisien suku di posisi ganjil, maka pasti salah satu akarnya adalah x = -1.
* Untuk mencari akar suatu suku banyak dengan cara Horner, dapat dilakukan dengan mencoba-coba dengan angka dari faktor-faktor konstanta dibagi faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi yang akan memberikan sisa = 0. Contohnya:
: untuk <math>x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0</math>, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1 dan ±2
: untuk <math>4x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0</math>, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1, ±2, ±4. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1, ±2, ±1/2, ±1/4
 
Contoh:
: Tentukan himpunan penyelesaian dari <math>x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0</math>!
 
apakah salah satu akarnya adalah 1? <math>(1)^3 - 2(1)^2 - 5(1) + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0</math>
:: Ya
 
faktorkan tersebut
{| class="wikitable"
|-
| 1 || 1 || -2 || -5 || 6
|-
| || 0 || 1 || -1 || -6
|-
| || 1 || -1 || -6 || 0
|}
 
: <math>x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0</math>
: <math>(x - 1)(x^2 - x - 6) = 0</math>
: <math>(x - 1)(x - 3)(x + 2) = 0</math>
: <math>x_1 = 1 \lor x_2 = 3 \lor x_3 = - 2</math>
 
jadi himpunan penyelesaian adalah {-2, 1, 3}
 
=== Sifat Akar-akar Suku Banyak ===
Pada persamaan berderajat 3:
ax3 + bx2 + cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3
 
dengan sifat-sifat:
:Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 = – b/a
:Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a
:Hasil kali 3 akar: x1.x2.x3 = – d/a
 
Pada persamaan berderajat 4:
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3, x4
 
dengan sifat-sifat:
:Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 + x4 = – b/a
:Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = c/a
:Jumlah 3 akar: x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x2.x3.x4 = – d/a
:Hasil kali 4 akar: x1.x2.x3.x4 = e/a
 
Dari kedua persamaan tersebut, kita dapat menurunkan rumus yang sama untuk persamaan berderajat 5 dan seterusnya. (amati pola: –b/a, c/a, –d/a, e/a, …)
 
Contoh:
: Diberikan persamaan <math>x^3 - 3x^2 - 10x + p = 0 </math> dengan akar-akarnya x1, x2 x3. Jika 2x1 = -x2-x3. Carilah nilai p dan akar-akarnya!
 
: <math>2x_1 = -x_2-x_3 = -(x_2+x_3)</math>
 
: <math>x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{b}{a}</math>
: <math>x_1 - 2x_1 = - \frac{b}{a}</math>
: <math>- x_1 = - \frac{-3}{1}</math>
: <math> x_1 = -3</math>
 
: <math>x^3 - 3x^2 - 10x + p = 0</math>
: <math>(-3)^3 - 3(-3)^2 - 10(-3) + p = 0</math>
: <math>-27 - 27 + 30 + p = 0</math>
: <math>p = 24</math>
 
: <math>x^3 - 3x^2 - 10x + 24 = 0</math>
 
{| class="wikitable"
|-
| -3 || 1 || -3 || -10 || 24
|-
| || 0 || -3 || 18 || -24
|-
| || 1 || -6 || 8 || 0
|}
 
: <math>x^3 - 3x^2 - 10x + 24 = 0</math>
: <math>(x + 3)(x^2 - 6x + 8) = 0</math>
: <math>(x + 3)(x - 2)(x - 4) = 0</math>
: <math>x_1 = -3 \lor x_2 = 2 \lor x_3 = 4</math>
 
=== Pembagian istimewa ===
Ada 3 jenis yaitu:
* Jika n adalah bilangan asli maka:
: <math>\frac{a^n - b^n}{a - b} = a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + .... + a^2b^{n-3} + ab^{n-2} + b^{n-1}</math>
* Jika 2n adalah bilangan genap maka:
: <math>\frac{a^{2n} - b^{2n}}{a + b} = a^{2n-1} - a^{2n-2}b + a^{2n-3}b^2 - .... - a^2b^{2n-3} + ab^{2n-2} - b^{2n-1}</math>
* Jika 2n + 1 adalah bilangan ganjil maka:
: <math>\frac{a^{2n + 1} + b^{2n + 1}}{a + b} = a^{2n} - a^{2n-1}b + a^{2n-2}b^2 - .... + a^2b^{2n-2} - ab^{2n-1} + b^{2n}</math>
 
== Bacaan lebih lanjut ==
* {{cite book|last= Kurnianingsih|first= Sri|authorlink=|coauthors=Kuntarti, Sulistiyono|title=Matematika SMA dan MA 2B Untuk Kelas XI Semester 2 Program IPA|year= 2007|publisher= Esis/Erlangga|location= Jakarta|id= ISBN 979-734-503-3 }} {{id icon}}
* Abdillah Ahmad, dkk (2023). Kawan Tanding Olimpiade Matematika - A. Bandung: Tim KTO Matematika
 
== Pranala luar ==
{{Commons category|Polynomials}}
* {{en}}[http://mathworld.wolfram.com/Polynomial.html PolynomialPolinomial] Artikel tentang polinomial di Wolfram MathWorld
{{Aljabar-stub}}
 
[[Kategori:Polinomial| ]]
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Polinomial"