Kurva eliptik: Perbedaan antara revisi

[[Gambar:EllipticCurveCatalog.svg|right|thumb|400px|Katalog kurva eliptiseliptik. Daerah yang ditampilkan adalah [−3, 3]². Untuk (''a'', ''b'') = (0, 0), fungsi ini tidak halus sehingga tidak termasuk kurva eliptiseliptik.]]

Dalam [[matematika]], '''kurva eliptiseliptik''' adalah [[kurva aljabar]] yang [[Ragam proyektif|proyektif]] dan [[Titik tunggal ragam aljabar|halus]], [[Genus (matematika)|bergenus]] satu, serta memiliki titik ''O'' tertentu. Tiap kurva eliptiseliptik dalam sebuah [[Medan (matematika)|medan]] yang karakteristiknya bukan 2 dan 3 dapat dijelaskan sebagai sebuah [[Kurva aljabar|kurva aljabar datar]] yang memenuhi persamaan

Kurva eliptiseliptik harus [[Titik tunggal kurva|nonsingulartaksingular]], yakni tidak memiliki [[Taring (singularitaskesingularan)|taring]] atau berpotongan dengan dirinya sendiri. Hal tersebut sama dengan memenuhi keadaan <math>4a^3 + 27b^2 \ne 0.</math>

Kurva eliptiseliptik ''bukanlah'' [[elips]]: lihat [[integral eliptiseliptik]] untuk asal mula istilahnya. Secara [[topologi]], kurva eliptiseliptik kompleks adalah [[torus]], sedangkan elips kompleks adalah [[Bola (geometri)|bola]].

[[Gambar:ECClines.svg|right|thumb|600px|Operasi titik kurva eliptiseliptik: pertambahan (kasus I), penggandaan (kasus II dan IV), dan negasi (kasus III)]]

Definisi di atas dapat berlaku, kecuali untuk beberapa kasus khusus seperti pertambahan dengan titik di takhingga dan penggandaan titik. Untuk titik di takhingga, kita definisikan {{math|''P'' + ''O'' = ''O'' + ''P'' = ''P''}} sehingga ''O'' adalah identitas grup. Jika ''P'' dan ''Q'' saling berlawanan, kita definisikan {{math|''P'' + ''Q'' {{=}} ''O''}}. Untuk penggandaan titik, kita tidak bisa membuat garisnya karena hanya ada satu titik. Karenanya, kita bisa memakai [[garis singgung]] kurva eliptiseliptik pada titik tersebut untuk mencari perpotongan lain dengan kurva. Titik perpotongan tersebut juga menjadi lawan hasil penggandaannya. Namun, bila ''P'' berada pada [[titik belok]], kita ambil ''R'' sebagai ''P'' sehingga {{math|''P'' + ''P''}} adalah lawan dirinya sendiri.

== Kurva eliptiseliptik dalam bilangan riil ==

Dalam konteks ini, kurva eliptiseliptik adalah [[lengkung bidang]] yang didefinisikan oleh persamaan dalam bentuk

dengan ''a'' dan ''b'' [[bilangan riil]].

Definisi kurva eliptiseliptik juga mewajibkan kurva untuk [[Titik tunggal kurva|nonsingular]]. Secara geometris, itu berarti bahwa grafiknya tidak memiliki [[Taring (singularitas)|taring]], tidak memotong dirinya sendiri, dan tidak punya titik yang sendirian (terputus/terisolasi). Secara aljabar, itu hanya berlaku [[jika dan hanya jika]] diskriminannya

Grafik (riil) suatu kurva yang nonsingular memiliki dua komponen jika diskriminannya positif dan satu komponen jika diskriminannya negatif. Contohnya, pada grafik di samping, [[diskriminan]] kasus I adalah 64 dan diskriminan kasus II adalah -368.

== Kurva eliptiseliptik dalam bilangan kompleks ==

== Kurva eliptiseliptik dalam bilangan rasional ==

== Kurva eliptiseliptik dalam medan umum ==

Kurva eliptiseliptik dapat didefinisikan dalam [[Medan (matematika)|medan]] ''K''. Definisi matematis kurva eliptiseliptik adalah kurva aljabar yang nonsingular bergenus 1 dengan titik lain yang didefinisikan dalam ''K''.

Jika [[Karakteristik (aljabar)|karakteristik]] ''K'' bukan 2 dan 3, tiap kurva eliptiseliptik dapat ditulis dalam bentuk

== Kurva eliptiseliptik dalam medan berhinggahingga ==

* [[Kriptografi kurva eliptis|Kriptografi kurva eliptik]]

== Algoritme yang memakai kurva eliptiseliptik ==

Kurva eliptiseliptik dalam [[Medan hingga|medan berhingga]] dipakai dalam [[kriptografi]] dan juga [[faktorisasi prima]]. Biasanya, algoritme berikut adalah [[algoritme]] yang sudah ada, tetapi memakai sifat-sifat kurva eliptiseliptik.

* [[Kriptografi kurva eliptis|Kriptografi kurva eliptik]]

* [[Diffie–Hellman kurva eliptis|Diffie–Hellman kurva eliptik]]

* [[Algoritme Tanda Tangan Digital kurva eliptis|Algoritme Tanda Tangan Digital kurva eliptik]]

* [[Faktorisasi kurva eliptis Lenstra|Faktorisasi kurva eliptik Lenstra]]

* [[Aljabar eliptiseliptik]]

* [[Perkalian titik kurva eliptis|Perkalian titik kurva eliptik]]

* [[Permukaan eliptiseliptik]]

* {{cite book |author1=Richard Crandall |author1-link=Richard Crandall |author2=Carl Pomerance |author2-link=Carl Pomerance |year=2001 |chapter=Chapter 7: Elliptic Curve Arithmetic |title=Prime Numbers: A Computational Perspective |url=https://archive.org/details/primenumberscomp00cran_805 |edition=1 |publisher=[[Springer|Springer-Verlag]] |isbn=0-3879-4777-9 |pages=285–352[https://archive.org/details/primenumberscomp00cran_805/page/n296 285]–352}}

* {{cite book|author1=Henry McKean |author2=Victor Moll |year=1999 |title=Elliptic curves: function theory, geometry and arithmetic |url=https://archive.org/details/ellipticcurvesfu0000mcke |publisher=Cambridge University Press |isbn=0-5216-5817-9}}

* {{cite book |last=Silverman |first=Joseph H. |author-link=Joseph H. Silverman |author2=John Tate |author2-link=John Tate |year=1992 |title=Rational Points on Elliptic Curves |url=https://archive.org/details/rationalpointson0000silv |publisher=Springer-Verlag |isbn=0-3879-7825-9}}

[[Kategori:Kurva eliptiseliptik| ]]