|
[[Berkas:Infimum_illustration.svg|ka|jmpl|250x250px|Sebuah himpunanHimpunan <math>TP </math> dari bilangan real (lingkaranbulatan beronggakosong dan lingkaranbulatan berisi̠penuh), sebuah. himpunan bagian <math>S </math> padadari <math>TP </math> (lingkaranbulatan berisipenuh), dan infimum pada <math>S </math>. Perhatikan bahwa untuk terhingga,himpunan terurut total urutanatau himpunan yangterhingga, infimum dan supremumsupremumnya adalah sama.]]
[[Berkas:Supremum_illustration.svg|ka|jmpl|250x250px|Sebuah himpunanHimpunan <math>A</math> dari bilangan real (lingkaranbulatan berwarna biru), sebuah himpunan batas atas dari <math>A</math> (wajik merahberwarna dan lingkaran-lingkaranbulatan merah), dan paling terkecil batas atas sepertiyang itupaling terkecil, yaitu, supremum dari <math>A</math> (wajik berwarna merah).]]
Dalam [[matematika]], '''infimum''' (disingkat '''inf'''; jamak '''infima''') pada sebuah [[himpunan bagian]] <math>S </math> dari sebuah [[himpunan sebagianterurut berurutanparsial]] <math>TP </math> adalah [[Anggota terbesar dan terkecil|anggota terbesar]] dalam <math>TP </math>, yaituyang lebih kecil dari atau sama dengan untuk semuatiap-tiap anggota <math>S </math>, jika sepertiada sebuahsatu anggotabuah adaanggota.<ref name="BabyRudin">{{cite book|last=Rudin|first=Walter|year=1976|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|title=Principles of Mathematical Analysis|location=|publisher=McGraw-Hill|isbn=0-07-054235-X|edition=3rd|page=[https://archive.org/details/principlesofmath00rudi/page/n15 4]|chapter="Chapter 1 The Real and Complex Number Systems"|format="print"|author-link=Walter Rudin|url-access=registration}}</ref> KarenaBerdasarkan itupengertian tersebut, istilahinfimum disebut ''batas atasbawah terbesar'' (dalam bahasa Inggrisː ''{{Lang-en|greatest lower bound''}}), dan istilah itu umum digunakan.<ref name="BabyRudin" /> Infimum disingkat sebagai "inf". Di sisi lain, ''GLB'supremum')'' himpunan bagian dari himpunan terurut parsial <math>P </math> adalah [[Anggota terbesar dan terkecil|anggota terkecil]] dalam <math>P </math> yang lebih kecil dari atau sama dengan tiap-tiap anggota <math>S </math>, jika terdapat anggotanya.<ref name="BabyRudin">{{cite book|last=Rudin|first=Walter|year=1976|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|title=Principles of Mathematical Analysis|location=|publisher=McGraw-Hill|isbn=0-07-054235-X|edition=3rd|page=[https://archive.org/details/principlesofmath00rudi/page/n15 4]|chapter="Chapter 1 The Real and Complex Number Systems"|format="print"|author-link=Walter Rudin|url-access=registration}}</ref> Berdasarkan pengertian lagi, supremum juga biasadisebut digunakansebagai ''batas atas terkecil'' ({{Lang-en|least upper bound}}).<ref name="BabyRudin2">{{cite book|last=Rudin|first=Walter|year=1976|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|title=Principles of Mathematical Analysis|location=|publisher=McGraw-Hill|isbn=0-07-054235-X|edition=3rd|page=[https://archive.org/details/principlesofmath00rudi/page/n15 4]|chapter="Chapter 1 The Real and Complex Number Systems"|format="print"|author-link=Walter Rudin|url-access=registration}}</ref> Supremum disingkat sebagai "sup".
Infimum dalam arti yang tepat [[Dualitas (teori tatanan)|ganda]] ke konsep dari sebuahdan supremum . Infima dan suprema dari bilangan real adalah kasus khususistimewa yang umum , yang penting dalam [[Analisis matematis|analisis matematika]], dan termasukkhususnya dalam [[Integral Lebesgue|integrasi Lebesgue]]. NamunAkan tetapi, definisi umum tetap sahvalid dalam pengaturan [[teori order]] yang lebih abstrak ▼'''Supremum''' (disingkat '''sup''', jamak '''suprema''') dari sebuah himpunan bagian <math>S </math> dari sebuah himpunan sebagian berurutan <math>T</math> adalah [[Anggota terbesar dan terkecil|anggota terkecil]] dalam <math>T</math> yaitu lebih kecil dari atau sama dengan untuk semua anggota <math>S </math>, jika seperti sebuah anggota ada.<ref name="BabyRudin">{{cite book|last=Rudin|first=Walter|year=1976|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|title=Principles of Mathematical Analysis|location=|publisher=McGraw-Hill|isbn=0-07-054235-X|edition=3rd|page=[https://archive.org/details/principlesofmath00rudi/page/n15 4]|chapter="Chapter 1 The Real and Complex Number Systems"|format="print"|author-link=Walter Rudin|url-access=registration}}</ref> Karena itu, supremum juga disebut sebagai ''batas atas terkecil'' (dalam bahasa Inggrisː ''least upper bound'' atau ''LUB'').<ref name="BabyRudin2">{{cite book|last=Rudin|first=Walter|year=1976|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|title=Principles of Mathematical Analysis|location=|publisher=McGraw-Hill|isbn=0-07-054235-X|edition=3rd|page=[https://archive.org/details/principlesofmath00rudi/page/n15 4]|chapter="Chapter 1 The Real and Complex Number Systems"|format="print"|author-link=Walter Rudin|url-access=registration}}</ref>
Komsep infimum dan supremum serupamirip denganseperti konsep [[Maksimum dan minimum|minimum ]] dan [[Maksimum dan minimum|maksimum]], tetapi konsep ini lebih berguna dalam analisis karena mereka memiliki himpunan-himpunan karaktersitikkarakteristik spesial yang berbeda yang tidak memiliki ''minimum atau maksimum''. Sebagai contoh, [[bilangan real positif]] <math>\R^+</math> , (tidakhimpunan termasukyang mengecualikan 0 ), tidak memiliki sebuahsuatu minimum, karena setiapdengan diberikanmudahnya setiap anggota <math>\R^+</math> bisayang dengandiberikan mudahdapat dibagi menjadi dua bagian dalam sebuahsuatu bilangan lebih kecil yang masih terdapat di <math>\R^+</math>. Akan tetapi, terdapat satu buah infimum dari bilangan real positif: 0, bilangan yang lebih kecil daripada semua bilangan real positif , dan lebih besar daripada setiap bilangan real lainnya yang bisadapat digunakan sebagai sebuah batas bawah. ▼▲Infimum dalam arti yang tepat [[Dualitas (teori tatanan)|ganda]] ke konsep dari sebuah supremum. Infima dan suprema dari bilangan real adalah kasus khusus yang umum yang penting dalam [[Analisis matematis|analisis]], dan termasuk dalam [[Integral Lebesgue|integrasi Lebesgue]]. Namun, definisi umum tetap sah dalam pengaturan [[teori order]] yang lebih abstrak
▲Komsep infimum dan supremum serupa dengan [[Maksimum dan minimum|minimum]] dan [[Maksimum dan minimum|maksimum]], tetapi lebih berguna dalam analisis karena mereka memiliki himpunan-himpunan karaktersitik spesial yang berbeda yang tidak memiliki ''minimum atau maksimum''. Sebagai contoh, [[bilangan real positif]] <math>\R^+</math> (tidak termasuk 0) tidak memiliki sebuah minimum, karena setiap diberikan anggota <math>\R^+</math>bisa dengan mudah dibagi menjadi dua dalam sebuah bilangan lebih kecil daripada semua bilangan real positif dan lebih besar daripada setiap bilangan real lainnya yang bisa digunakan sebagai sebuah batas bawah.
== Definisi formal ==
[[Berkas:Illustration_of_supremum.svg|jmpl|supremum = batas atas terkecil]]
''Batas bawah'' himpunan bagian <math>S </math> dari [[himpunan terurut parsial]] <math>(P, \leq)</math> merupakan suatu anggota <math>a</math> dari <math>P </math> sehingga <math>a \leq x</math> untuk semua <math>x</math> dalam <math>S </math>. Batas bawah <math>a</math> dari <math>S </math> disebut ''infimum'' <math>S </math> jika untuk semua batas bawah <math>y</math> dari <math>S </math> di <math>P</math>, maka <math>y \leq a</math>, dalam artian bahwa <math>a</math> lebih besar dari atau sama dengan setiap batas bawah lainnya.
Sebuah ''batas bawah'' dari sebuah himpunan <math>S </math> bagian sebagian berurutan <math>(P, \leq)</math> adalah sebuah anggota <math>a</math> dari <math>P </math> seperti
* <math>a \leq x</math> untuk semua <math>x</math> dalam <math>S </math>.
Sebuah batas bawah <math>a</math> dari <math>S </math> disebut sebuah ''infimum'' (atau ''bertemu'') pada <math>S </math> jika
* jika semua batas bawah <math>y</math> pada <math>S </math> dalam <math>P</math>, <math>y \leq a</math> (<math>a</math> lebih besar dari atau sama dengan setiap batas bawah lainnya).
Demikian pula, sebuah ''batas atas'' dari sebuah himpunan bagian <math>S </math> dari sebuah himpunan sebagian berurutan <math>(P, \leq)</math> adalah sebuah anggota <math>b </math> pada <math>P</math> seperti
* <math>b \geq x</math> untuk semua <math>x</math> dalam <math>S </math>.
Sebuah batas atas <math>b </math> pada <math>S </math> disebut sebuah ''supremum'' (atau ''batas atas terkecil'', atau ''sambungan'') pada <math>S </math> jika
*Dengan definisi yang serupa, ''batas atas'' himpunan bagian <math>S </math> dari himpunan terurut parsial <math>(P, \leq)</math> merupakan suatu anggota <math>b </math> dari <math>P</math> sehingga <math>b \geq x</math>, untuk semua <math>x</math> dalam <math>S </math>. Batas atas <math>b </math> dari <math>S </math> disebut ''supremum'' dari <math>S </math> jika untuk semua batas atas <math>z</math> pada <math>S </math> dalam <math>P</math>, maka <math>z \geq b</math>, dalam artian bahwa (<math>b </math> kuranglebih darikecil daripada atau sama dengan setiap batas atas lainnya).
== Keberadaan dan ketunggalan ==
InfimaInfimum dan supremasupremum tidak perlusepenuhnya harus ada. Keberadaan dari sebuah infimum dari sebuah himpunan bagianterurut parsial <math>S </math> padadari <math>P</math> bisadapat gagal jika <math>S </math> tidak memiliki batas bawah sama sekali, atau jika himpunan dari batas bawah tidak berisi sebuahsuatu anggota terbesar. Namun, jika sebuah infimum atau supremum ada, itumaka batasnya dikatakan tunggal.
KarenaKeberadaan itu,infimum dalam himpunan sebagian berurutan yang infimaterurut tertentuparsial dikenalmenjadi sangat menarik. Sebagai contoh, sebuah [[Kekisi (tatanan)|kekisi]] adalah sebuahsuatu himpunan sebagianterurut berurutanparsial yangdengan semua himpunan bagian ''tak kosong terhingga'' memilikidi sebuahdalamnya memiliki supremum dan sebuah infimum, dan sebuahserta [[kekisi sempurna]] adalah sebuahsuatu himpunan sebagianterurut berurutanparsial yangdengan ''semua'' himpunan bagian di dalamnya memiliki sebuah supremum dan sebuah infimum. Informasi lebih lanjut pada beberapa kelas himpunan sebagian berurutan yang mnucul dari pertimbangan tersebut ditemukan dalam artikel pada [[Kelengkapan (teori tatanan)|sifat-sifat kelengkapan]].
Jika supremum dari sebuah himpunan bagian <math>S </math> ada, itubatasnya dikatakan tunggal, Jika <math>S </math> berisi sebuahsuatu anggota terbesar, maka anggota itu adalah supremum, dan jika tidak, maka supremum bukan milik <math>S </math> (ataualias tidak ada). BegituBegitupula juga,untuk jikainfimum: Jika infimum ada, itubatasnya dikatakan tunggal. jikaJika <math>S </math> berisi sebuahsuatu anggota terkecil, maka anggota itu adalah infimum, dan jika tidak, infimum bukan miliki <math>S </math> (ataualias tidak ada).
== HubunganKaitannya dengan anggota maksimum dan minimum ==
Infimum pada sebuah himpunan bagian <math>S</math> dari sebuah himpunan sebagianterurut berurutanparsial <math>P </math>, asumsi kalau ada, tidak perlu milik <math>S</math>. Jika hal tersebut benar, itumaka adalahdapat dikatakan mempunyai [[Anggota maksimal|minimum atau anggota terkecil]] <math>S</math>. Demikian pula, jika supremum <math>S</math> milikimilik <math>S</math>, itumaka batasnya adalah [[Anggota maksimum|maksimum atau anggota terbesar]] <math>S</math>.
Sebagai contoh, tinjaumisalkan ada himpunan bilangan real negatif (termasuktak nol). Himpunan ini tidak memiliki anggota terbesar, karena untuk setiap anggota dari himpunan, masih ada lagi, anggota, lain yang lebih besar. MisalnyaKatakanlah, untuk setiap bilangan real negatif <math>x </math>, masih ada bilangan real negatif <math display="inline">\frac{x}{2} </math>, yang lebih besar. Di samping itu, setiap bilangan real lebih besar atau sama dengan nol pasti sebuahmerupakan suatu batas atas pada himpunan initersebut. Karenanya, 0 adalah batas atas terkecil dari bilangan real negatif, jadi supremumnya adalah 0. Himpunan ini memiliki sebuahsuatu supremum tetapi bukan anggota terbesar.
Namun, definisi [[anggota maksimalmaksimum dan minimum]] adalah definisi yang lebih umum. KhususnyaSecara khusus, sebuahsuatu himpunan bisadapat memiliki banyak anggota-anggota maksimalmaksimum dan minimalminiuml, sedangkan infimainfimum dan supremasupremum adalah tunggal. Anggota maksimum dan minimum harus merupakan anggota dari himpunan bagian yang diketahui, sedangkan infimum dan supremum himpunan bagian tidak perlu anggota dari himpunan bagian itu sendiri.
=== Batas atas minimalminimum === ▼Sedangkan maksima dan mimima harus menjadi anggota dari himpunan bagian yang sedang dipertimbangkan, infimum dan supremum dari sebuah himpunan bagian tidak perlu anggota dari himpunan bagian itu sendiri.
Akhirnya, sebuahSuatu himpunan sebagianterurut berurutanparsial mungkindapat memiliki banyak batas atas minimalminimum tanpa memiliki sebuah batas atas terkecil. Batas atas minimalminimum adalah batas atas itu untuk yang tidak ada anggota terkecil yang sangat kecil itu juga adalahmerupakan sebuah batas atas. Ini tidakbukan mengatakanberarti bahwa setiap batas atas minimalminimum lebih kecil daripada semua batas atas lainnya, itumelainkan hanya tidak lebih besar. PerbedaannyaPerbedaan antara "minimal" dan "paling kecil" hanya mungkin ketika urutan yang diberikan urutanbukanlah [[Himpunan benar-benarterurut berurutantotal| terurut total]]. Dalam sebuah himpunan benar-benarterurut berurutantotal, seperti bilangan real, konsepnya sama. ▼
Sebagai contoh, misalkan <math>S</math> adalah himpunan dari semua himpunan bagian bilangnabilangan asli terhingga , dan tinjaumisalkan himpunan sebagianterurut berurutanparsial diamatidiperoleh dengan mengambil semua himpunan-himpunan dari <math>S</math> bersama -sama dengan himpunan [[bilangan bulat]] <math>\Z</math> dan himpunan bilangan real positif <math>\R ^+</math>, yang diurutkan dari penyertaaninklusi himpunan bagian seperti diyang atasdijelaskan sebelumnya. Maka jelaslah <math>\Z</math> dan <math>\R ^+</math> lebih besar daripada semua himpunan bilangan asli terhingga. NamunAkan tetapi, baik <math>\R ^+</math>lebih kecil dari <math>\Z</math> jugamaupun bukansebaliknya sebaliknyaːtidak berlaku benar, sebab kedua himpunan adalahtersebut merupakan batas atas minimalminimum, tetapi tidaktak ada satupun di antaranya yang merupakan supremum. ▼▲=== Batas atas minimal ===
▲Akhirnya, sebuah himpunan sebagian berurutan mungkin memiliki batas atas minimal tanpa memiliki sebuah batas atas terkecil. Batas atas minimal adalah batas atas itu untuk yang tidak ada anggota yang sangat kecil itu juga adalah sebuah batas atas. Ini tidak mengatakan bahwa setiap batas atas minimal lebih kecil daripada semua batas atas lainnya, itu hanya tidak lebih besar. Perbedaannya antara "minimal" dan "paling kecil" hanya mungkin ketika diberikan urutan [[Himpunan benar-benar berurutan|total]]. Dalam sebuah himpunan benar-benar berurutan, seperti bilangan real, konsepnya sama.
=== Sifat batas paling atas terkecil === ▼▲Sebagai contoh, misalkan <math>S</math> adalah himpunan dari semua himpunan bagian bilangna asli terhingga dan tinjau himpunan sebagian berurutan diamati dengan mengambil semua himpunan-himpunan dari <math>S</math> bersama-sama dengan himpunan [[bilangan bulat]] <math>\Z</math> dan himpunan bilangan real positif <math>\R ^+</math>, diurutkan dari penyertaan himpunan bagian seperti di atas. Maka jelaslah <math>\Z</math> dan <math>\R ^+</math> lebih besar daripada semua himpunan bilangan asli terhingga. Namun, baik <math>\R ^+</math>lebih kecil dari <math>\Z</math> juga bukan sebaliknyaː kedua himpunan adalah batas atas minimal tetapi tidak ada yang supremum.
''Sifat batas paling atas '' ''terkecil'' adalah sebuah contoh dari sifat - [[Kelengkapan (teori tatanan)| sifat kelengkapan]] tersebutyang didijelaskan atassebelumnya, yang khaskhususnya untuk himpunan bilangan real. Sifat ini terkadang disebut ''kelengkapan Dedekind''. ▼
Jika suatu himpunan terurut <math>S</math> memiliki sifat bahwa setiap himpunan bagian tak kosong <math>S</math> memiliki suatu batas atas yang juga memiliki suatu batas atas terkecil, maka <math>S</math> dikatakan memiliki sifat batas atas terkecil. Seperti yang disebutkan di atas, himpunan <math>\R</math> dari semua bilangan real memiliki sifat batas atas terkecil. Demikian pula, himpunan <math>\Z </math> dari bilangan bulat memiliki sifat batas atas terkecilil, jika <math>S </math> adalah suatu himpunan bagian tak kosong dari <math>\Z </math> dan ada suatu bilangan <math>n</math> sehingga setiap anggota <math>s </math> dari <math>S </math> lebih kecil dari atau sama dengan <math>n</math>, maka terdapat suatu batas atas terkecil <math>u </math> untuk <math>S </math>, sebuah bilangan bulat yang merupakan batas atas untuk <math>S </math> dan yang lebih kecil dari atau sama dengan setiap batas atas lainnya untuk <math>S </math>. Himpunan [[urutan rapi|terurut rapi]] juga memiliki sifat batas atas terkecil, dan himpunan bagian tak kosong juga memiliki suatu batas atas terkecil, yaitu anggota terkecil dari seluruh himpunan.
▲=== Sifat batas paling atas ===
▲''Sifat batas paling atas'' adalah sebuah contoh dari sifat-[[Kelengkapan (teori tatanan)|sifat kelengkapan]] tersebut di atas yang khas untuk himpunan bilangan real. Sifat ini terkadang disebut ''kelengkapan Dedekind''.
JikaAda sebuah contoh untuk himpunan berurutanyang memiliki ''sedikit'' sifat batas atas terkecil, yaitu <math>S\Q </math> memiliki sifatnya bahwa setiap, himpunan bagianbilangan takrasional. kosongMisalkan <math>S </math> memilikiadalah sebuahhimpunan batasdari atassemua jugabilangan memiliki sebuah batas paling atas, makarasional <math>Sq</math>, dikatakansehingga memiliki<math>q^2 sifat< batas paling atas2</math>. SepertiMaka disebutkan<math>S di atas, himpunan <math>\R</math> dari semua bilangan real memiliki sifatsebuah batas paling atas. Demikian pula(1000, himpunansebagai <math>\Zcontoh, </math>atau dari6) bilangantetapi bulattidak memiliki sifatada batas paling atas, jikadi <math>S \Q </math>. adalahJika sebuah himpunan bagan tak kosongmemisalkan <math>p \Zin \Q</math> danadalah adabatas beberapaatas bilanganterkecil, <math>n</math>maka sehinggadapat setiapdisimpulkan anggotaadanya <math>skontradiksi, karena antara setiap </math>dua padabilangan real <math>S x </math> kurang dari atau sama dengandan <math>ny </math>, maka terdapat sebuah batas paling atas(seperti <math>u \sqrt{2}</math> untukdan <math>S p</math>), sebuahterdapat suatu bilangan bulat bahwa sebuah batas atas untukrasional <math>S p'</math>, danyang kurangsendirinya dariakan atau sama dengan untuk setiapmenjadi batas atas lainnyaterkecil untuk(jika <math>S p > \sqrt{2}</math>). SebuahContoh himpunanlainnya adalah [[urutanbilangan rapihiperreal]] jugasebab memilikitidak sifatpunya batas paling atas, danterkecil dari himpunan bagian[[infinitesimal]] tak kosong juga memiliki sebuah batas paling atasː minimum dari seluruh himpunanpositif.
Terdapat sebuah ''sifat batas bawah terbesar "'' yang sesuai;sama, sebuahsuatu himpunan berurutanterurut memiliki sifat batas bawah terbesar jika dan hanya jila ituhimpunan tersebut juga memiliki sifat batas paling atas , terkecil; batas paling atas terkecil dari himpunan batas bawah dari sebuah himpunan adalah batas bawah terbesar, dan batas bawah terbesar dari himpunan batas atas dari sebuah himpunan adalah batas paling atas terkecil dari himpunan. ▼Sebuah contoh untuk sebuah himpunan dari sifat batas paling atas adalah <math>\Q </math>, himpunan bilangan rasional. Misalkan <math>S </math> menjadi himpunan dari semua bilangan rasional <math>q</math>, sehingga <math>q^2 < 2</math>. Maka <math>S </math> memiliki sebuah batas atas (1000, sebagai contoh, 6) tetapi tidak ada batas atas dalam <math>\Q </math>. Jika kita mengandaikan <math>p \in \Q</math> adalah batas paling atas, sebuah kontradiksi segera disimpulkan karena antara dua bilangan real <math>x </math> dan <math>y </math> (termasuk <math>\sqrt{2}</math> (lihat [[akar kuadrat dari 2]]) dan <math>p</math>) terdapat beberapa rasional <math>p'</math>, yang sendirinya akan memiliki menjadi batas paling atas (jika <math>p > \sqrt{2}</math>). Contoh lainnya adalah [[hiperreal]], tidak ada batas paling atas dari himpunan infinitesimal positif.
Jika dalamsetiap himpunan bagian berbatas memiliki sebuah supremum di himpunan sebagianterurut berurutanparsial <math>P </math> , setippa himpunan bagian berbatas memiliki sebuah supremum ,maka ini juga berlaku , bahwa untuk setiap himpunan <math>X </math>, dalamakan ruangada semua fungsi berisiyang semua fungsidipetakan dari <math>X </math> ke <math>P </math> dalam ruang fungsi, dimanadengan <math>f \le g</math> jika dan hanya jika <math>f(x) \le g(x)</math> untuk semua <math>x </math> dalam <math>X </math>. Sebagai contoh, itupernyataan tersebut berlaku untuk fungsi real, dan, karena ini bisa dianggap kasus fungsi khusus, untuk bilangan real <math>n</math>-tupel dan barisan bilangan real , sebab dapat dianggap kasus fungsi khusus. ▼▲Terdapat sebuah 'sifat batas bawah terbesar" yang sesuai; sebuah himpunan berurutan memiliki sifat batas bawah terbesar jika dan hanya jila itu juga memiliki sifat batas paling atas, batas paling atas dari himpunan batas bawah dari sebuah himpunan adalah batas bawah terbesar, dan batas bawah terbesar dari himpunan batas atas dari sebuah himpunan adalah batas paling atas dari himpunan.
[[Sifat batas palingatas atasterkecil]] adalah sebuah indikator dari supremasupremum. ▼▲Jika dalam sebuah himpunan sebagian berurutan <math>P </math> setippa himpunan bagian berbatas memiliki sebuah supremum , ini juga berlaku, untuk setiap himpunan <math>X </math>, dalam ruang fungsi berisi semua fungsi dari <math>X </math> ke <math>P </math>, dimana <math>f \le g</math> jika dan hanya jika <math>f(x) \le g(x)</math> untuk semua <math>x </math> dalam <math>X </math>. Sebagai contoh, itu berlaku untuk fungsi real, dan, karena ini bisa dianggap kasus fungsi khusus, untuk bilangan real <math>n</math>-tupel dan barisan bilangan real.
== InfimaInfimum dan supremasupremum bilangan real == ▼▲[[Sifat batas paling atas]] adalah sebuah indikator dari suprema.
Dalam [[Analisis matematis|analisis matematika]], infimainfimum dan suprema darisupremum himpunan bagian <math>S </math> dari [[bilangan real]] sangat penting. MisalnyaSebagai contoh, bilangnabilangan real negatif tidak memiliki sebuah anggota terbesar, dan supremum merekasupremumnya adalah 0 (yang bukan sebuah bilangan real negatif).<ref name="BabyRudin3">{{cite book|last=Rudin|first=Walter|year=1976|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|title=Principles of Mathematical Analysis|location=|publisher=McGraw-Hill|isbn=0-07-054235-X|edition=3rd|page=[https://archive.org/details/principlesofmath00rudi/page/n15 4]|chapter="Chapter 1 The Real and Complex Number Systems"|format="print"|author-link=Walter Rudin|url-access=registration}}</ref> [[Kelengkapan dari bilangan real]] menyiratkanmengimplikasikan (dan setaraekuivalen dengan pernyataan) bahwa setiap himpuannhimpunan bagian tak kosong berbatas <math>S </math> dari bilangan real memiliki sebuahsatu buah infimum dan sebuahsatu buah supremum. Jika <math>S </math> tidak berbatas bawah, salahmaka satunyaumumnya seringditulis secara formal , menulisyaitu <math>\inf(S) = -\infty</math>. Jika <math>S </math> [[Himpunan kosong|kosong]], salah satunyamaka menulisditulis <math>\inf(S) = + \infty</math>. ▼
▲== Infima dan suprema bilangan real ==
▲Dalam [[Analisis matematis|analisis]], infima dan suprema dari himpunan bagian <math>S </math> dari [[bilangan real]] sangat penting. Misalnya, bilangna real negatif tidak memiliki sebuah anggota terbesar, dan supremum mereka adalah 0 (yang bukan sebuah bilangan real negatif).<ref name="BabyRudin3">{{cite book|last=Rudin|first=Walter|year=1976|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|title=Principles of Mathematical Analysis|location=|publisher=McGraw-Hill|isbn=0-07-054235-X|edition=3rd|page=[https://archive.org/details/principlesofmath00rudi/page/n15 4]|chapter="Chapter 1 The Real and Complex Number Systems"|format="print"|author-link=Walter Rudin|url-access=registration}}</ref> [[Kelengkapan dari bilangan real]] menyiratkan (dan setara dengan) bahwa setiap himpuann bagian tak kosong berbatas <math>S </math> dari bilangan real memiliki sebuah infimum dan sebuah supremum. Jika <math>S </math> tidak berbatas bawah, salah satunya sering secara formal menulis <math>\inf(S) = -\infty</math>. Jika <math>S </math> [[Himpunan kosong|kosong]], salah satunya menulis <math>\inf(S) = + \infty</math>.
=== Sifat-sifat ===
Rumus berikut bergantung pada sebuah notasi bahwa dengan mudah menggeneralisasi operasi-operasi aritmetika padadi himpunan-himpunanː. Misalkan himpunan <math>A, B \subseteq \R </math>, dan misalkan skalar <math>\lambdar \in \R</math>. MendefinisikanHal ini mendefinisikan
* <math>\lambdar \cdot A = \{ \lambdar \cdot a : a \in A \}</math>;, hasil produkkali skalar dari sebuahsuatu himpunan hanyahanyalah skalar dikalikan oleh setiap anggota dalamdi himpunan.
* <math>A + B = \{a + b : a \in A, b \in B \}</math>;, jumlahdisebut sebagai [[penjumlahan Minkowski]], penjumlahan aritmetika dua himpunan adalah jumlah dari semua kemungkinan pasangan bilangan-bilangan, salah satuanggota dari setiap himpunan.
* <math>A \cdot B = \{a \cdot b : a \in A, b \in B \}</math>, produkhasil artimetikkali artimetika dua himpunan adalah semuahasil produkkali semua pasangan-pasangan anggota-anggota, salah satuanggota dari setiap himpunan.
Dalam kasus-kasusu itutersebut dimanauntuk infima dan suprema dari himpunan-himpunan <math>A </math> dan <math>B </math> adamempunyai infimum dan supremum, identitasberlaku berikutidentitas berlakuːberikutː
* <math>p = \inf A</math> [[jika dan hanya jika]] untuk setiap <math>\varepsilon > 0</math>, terdapat sebuah <math>x \in A</math> dengan <math>x < p + \varepsilon</math>, dan <math>x \geq p</math> untuk setiap <math>x \in A</math>.
* <math>p = \sup A</math>, jika dan hanya jika setiap <math>\varepsilon > 0</math>, terdapat sebuah <math>x \in A</math> dengan <math>x > p - \varepsilon</math> untuk setiap <math>x \in A</math>.
* Jika <math>A \subseteq B</math>, maka <math>\inf A \geq \inf B</math> dan <math>\sup A \leq \sup B</math>.
* Jika <math>\lambdar \geq 0</math>, maka <math>\inf (\lambdar \cdot A) = \lambdar \cdot (\inf A)</math> dan <math>\sup (\lambdar \cdot A) = \lambdar \cdot (\sup A)</math>.
* Jika <math>\lambdar \le 0 </math>, maka <math>\inf (\lambdar \cdot A) = \lambdar \cdot (\sup A)</math> dan <math>\sup (\lambdar \cdot A) = \lambdar \cdot (\inf A)</math>.
* <math>\inf(A + B) = (\inf A) + (\inf B)</math>, dan <math>\sup(A + B) = (\sup A) + (\sup B)</math>.
* Jika <math>A </math>, <math>B </math> himpunn tak kosong bilangan real positif maka <math>\inf (A \cdot B) = (\inf A) \cdot (\inf B)</math>, dan hal ini berlaku sama untuk supremasupremum.<ref name="zakon">{{cite book|last=Zakon|first=Elias|date=2004|url=http://www.trillia.com/zakon-analysisI.html|title=Mathematical Analysis I|publisher=Trillia Group|pages=39–42}}</ref>
== Dualitas ==
Jika salah satudualitas dilambangkan olehdengan <math>P^\operatorname{op}</math>, maka himpunan sebagianterurut berurutanparsial <math>P </math> dengan hubungan[[Relasi yang berlawanan|relasi urutan berlawanan]], yaitudalam artian: <math>x \le y</math> di <math>P^\operatorname{op} </math>jika dan hanya jika <math>x \ge y</math> dalam <math>P </math>, untuk semua <math>x</math> dan <math>y</math>, maka infimum himpunan bagian <math>S </math> di <math>P </math> sama dengan <math>P^\operatorname{op} </math>, dan begitupula untuk sebaliknya.
*Untuk <math>xhimpunan \lebagian y</math>dari dalambilangan <math>P^\operatorname{op}real, </math>jikaterdapat dandualitas hanyalain jikayang berlaku <math>x\inf S = -\gesup y(-S)</math>, dalamdengan <math>P-S = \{ -s \mid s \in S \}</math>.
maka infimum dari sebuah himpunan bagian <math>S </math> dalam <math>P </math> sama dengan <math>P^\operatorname{op} </math> dan sebaliknya
Untuk himpunan bagian dari bilangna real, dualitas jenis lain belaku <math>\inf S = -\sup (-S)</math>, dimana <math>-S = \{ -s | s \in S \}</math>.
* Infimum dari himpunan bilangan <math>\{2, 3, 4\}</math> adalah <math>2</math>. Bilangan <math>1</math> adalah sebuah batas bawah, tetapi bukan batas bawah terbesar, dan karenanyakarena bukanitu, <math>1</math> bukanlah infimum. ▼* Lebih umum, jika sebuahsuatu himpunan memiliki anggota terkecil, maka anggota terkecil adalah infimum untuk himpunan. Dalam kasus ini, anggota terkecil itu juga disebut [[Maksimum dan minimum|minimum]] dari himpunan. ▼
▲* Infimum dari himpunan bilangan <math>\{2, 3, 4\}</math> adalah <math>2</math>. Bilangan <math>1</math> adalah sebuah batas bawah, tetapi bukan batas bawah terbesar, dan karenanya bukan infimum.
▲* Lebih umum, jika sebuah himpunan memiliki anggota terkecil, maka anggota terkecil adalah infimum untuk himpunan. Dalam kasus ini, itu juga disebut [[Maksimum dan minimum|minimum]] dari himpunan.
* <math>\inf \{1,2,3,\dots\} = 1</math>.
* <math>\inf \{ x \in \mathbb{R} \mid 0 < x < 1 \} = 0.</math>, <math>\inf \{ x \in \mathbb{R} \mid 0 < x < 1 \} = 0</math>
* <math>\inf \left\{ x \in \mathbb{Q} \mid x^3 > 2 \right\} = \sqrt[3]{2}</math>.
* <math>\inf \left\{ (-1)^n + \tfrac{1}{n} \mid n = 1, 2, 3, \ldots \right\} = -1</math>.
* Jika <math>x_n</math> adalah barisan menurun dengnadengan limit <math>x </math>, maka <math>\inf x_n = x</math>.
=== SupremaSupremum ===
* Supremum dari himpunan bilangan <math>\{1, 2, 3 \}</math> adalah <math>3</math>. Bilangan <math>4</math> adalah sebuah batas atas, tetapi bukan batas paling atas terkecil, dan karenanyakarena itu, <math>4</math> bukanlah supremum.
* <math>\sup \{ x \in \mathbb{R} \mid 0 < x < 1\} = \sup \{ x \in \mathbb{R} \mid 0 \leq x \leq 1\} = 1</math>.
* <math>\sup \left\{ (-1)^n - \tfrac{1}{n} \mid n = 1,2,3,\ldots \right\} = 1</math>.
* <math>\sup \{ x \in \mathbb{Q} \mid x^2 < 2 \} = \sqrt{2}</math>.
Di contoh terakhir, supremum dari sebuah himpunan [[Bilanganbilangan rasional|rasional]] adalah [[Bilanganbilangan irasional|irasional]], yang berarti bahwa rasional [[Ruang metrik sempurnalengkap|tidak lengkap]].
Salah satu sifat dasar dari supremum adalah
: <math>\sup \{ f(t) + g(t) \mid t \in A \} \leq \sup \{ f(t) \mid t \in A \} + \sup \{ g(t) \mid t \in A \}</math>
Salah satu sifat dasar dari supremum adalah<math display="block">\sup \{ f(t) + g(t) \mid t \in A \} \leq \sup \{ f(t) \mid t \in A \} + \sup \{ g(t) \mid t \in A \}</math>untuk setiap [[Fungsional (matematika)|fungsional-fungsional]] <math>f</math> dan <math>g</math>.
Supremum darihimpunan sebuah himpunanbagian <math>S </math> dari <math>(\N, \mid) </math>, dimanadengan <math>\mid</math> melambangkan "notasi [[pembagi]]", adalah [[kelipatan persekutuan terkecil]] dari anggota-anggota <math>S </math>.
Supremum dari sebuah himpunan <math>S </math> dariyang <math>(P,mengandung \subseteq)</math>,beberapa dimanahimpunan <math>P X</math> adalahmerupakan [[himpunangabungan pangkat]]subhimpunan dari beberapa himpunan, adalahterurut supremum terhadapparsial <math>(P, \subseteq)</math>, (himpunan bagian) dari sebuah himpunan bagiandengan <math>S P </math> menyatakan [[pangkat kuasa]] dari <math>P X</math>, adalah gabungan dari anggota-anggotadan <math>S \subseteq</math> menyatakan himpunan bagian.
== Lihat pula ==
{{Reflist}}
== TautanPranala eksternalluar ==
* {{SpringerEOM|title=Upper and lower bounds}}
| 