|
[[Berkas:Dih4 subgroups (cycle graphs).svg|thumb|360px|[[Diagram Hasse]] dari [[kisi subgrup]] dari [[grup dihedral]] [[Grup dihedral orde 8|Dih<sub>4</sub>.]] Dalam lapisan 3-elemen adalah subkelompok maksimal; persimpangan mereka ('''subgrup Frattini''') adalah elemen pusat dalam lapisan 5 elemen. Begitu Dih<sub>4</sub> hanya memiliki satu elemen non-penghasil di luar '' e ''.]]
Dalam [[matematika]], terutama dalam [[teori grup]], '''Subgrup Frattini''' <math>\Phi(G)</math> dari [[grup (matematika) | grup]] {{mvar | G}} adalah [[persimpangan (teori himpunan) | persimpangan]] dari semua [[subgrup maksimal]] dari {{mvar | G}}. Untuk kasus di mana {{mvar | G}} tidak memiliki subgrup maksimal, misalnya [[grup sepele]] {'' e ''} atau [[grup Prüfer]], ini ditentukan oleh <math>\Phi(G)=G</math>. Ini analog dengan [[Jacobson radikal]] dalam teori [[gelanggang (matematika) | gelanggang]], dan secara intuitif dapat dianggap sebagai subkelompok "elemen kecil" (lihat karakterisasi "non-generator" di bawah). Ini dinamai [[Giovanni Frattini]], yang mendefinisikan konsep tersebut dalam sebuah makalah yang diterbitkan pada tahun 1885.<ref>{{cite journal|first=Giovanni|last= Frattini|author-link=Giovanni Frattini|title=Intorno alla generazione dei gruppi di operazioni|journal=Accademia dei Lincei, Rendiconti |series=(4)|volume= I|pages=281–285, 455–457|year= 1885| jfm=17.0097.01| url=http://www.advgrouptheory.com/GTArchivum/Frattini/FrattiniPaper1885Transl.pdf}}</ref>
== Beberapa fakta ==
* <math>\Phi(G)</math> sama dengan himpunan semua '''non-generator''' atau '''elemen non-penghasil''' dari {{mvar | G}}. Elemen yang tidak menghasilkan {{mvar | G}} adalah elemen yang selalu dapat dihapus dari [[Menghasilkan himpunan grup | Menghasilkan himpunan]]; yaitu, elemen '' a '' dari {{mvar | G}} sedemikian rupa sehingga setiap kali {{mvar | X}} adalah himpunan penghasil {{mvar | G}} yang berisi '' a '', <math>X \setminus \{a\}</math> juga merupakan himpunan pembangkit {{mvar | G}}.
* <math>\Phi(G)</math> selalu merupakan [[subgrup karakteristik]] dari {{mvar | G}}; khususnya, ini selalu merupakan [[subgrup normal]] dari {{mvar | G}}.
* Jika {{mvar | G}} terbatas, maka <math>\Phi(G)</math> adalah [[grup nilpoten | nilpoten]].
* Jika {{mvar | G}} adalah [[p-group | grup '' p '']], maka <math>\Phi(G)=G^p [G,G]</math>. Jadi subgrup Frattini adalah yang terkecil (sehubungan dengan inklusi) [[subgrup normal]] '' N '' sehingga [[grup hasil bagi]] <math>G/N</math> adalah [[grup abelian dasar]], yaitu [[Grup isomorfisme | isomorfik]] ke [[jumlah langsung grup abelian | jumlah langsung]] dari [[grup siklik]] dari [[Order (teori grup) | order]] '' p ''. Apalagi jika grup kecerdasan <math>G/\Phi(G)</math> (juga disebut '' hasil bagi Frattini '' dari {{mvar | G}}) memiliki urutan <math>p^k</math>, maka '' k '' adalah jumlah generator terkecil untuk {{mvar | G}} (yaitu kardinalitas terkecil dari himpunan pembangkit untuk {{mvar | G}}). Secara khusus, grup '' p '' yang terbatas adalah siklik [[jika dan hanya jika]] hasil bagi Frattini-nya adalah siklik (dengan urutan '' p ''). Grup '' p '' yang terbatas adalah abelian dasar jika dan hanya jika subgrup Frattini-nya adalah [[grup sepele]], <math>\Phi(G)=\{e\}</math>.
* Jika {{mvar | H}} dan {{mvar | K}} terbatas, maka <math>\Phi(H\times K)=\Phi(H) \times \Phi(K)</math>.
== Lihat pula ==
* [[Subgrup fitingFiting]]
* [[Argumen Frattini]]
* [[Sokel (matematika) | Sokel]]
== Referensi ==
{{DEFAULTSORT:Frattini Subgroup}}
[[Kategori: Teori grup]]
[[Kategori: Subgrup fungsional]]
| 