Ruang Banach: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
k Bot: seringkali → sering kali (bentuk baku) |
||
| (4 revisi perantara oleh 4 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{Periksa terjemahan|en|Banach space}}
{{short description|Ruang vektor bernorma yang lengkap}}
Dalam [[matematika]], lebih khusus lagi dalam [[analisis fungsional]], '''Ruang Banach''' (pengucapan {{IPA-pl|ˈbanax|}}) adalah [[ruang metrik lengkap | lengkap]] [[ruang vektor bernorma]]. Jadi, ruang Banach adalah ruang vektor dengan [[metrik (matematika) | metrik]] yang memungkinkan penghitungan [[Norma (matematika) | panjang vektor]] dan jarak antara vektor dan lengkap dalam arti bahwa [[urutan Cauchy]] vektor selalu konvergen ke [[Barisan limit | batas]] yang didefinisikan dengan baik yang ada di dalam ruang.▼
▲Dalam [[matematika]], lebih khusus lagi dalam [[analisis fungsional]], '''Ruang Banach'''
Spasi Banach dinamai menurut ahli matematika Polandia [[Stefan Banach]], yang memperkenalkan konsep ini dan mempelajarinya secara sistematis pada 1920–1922 bersama dengan [[Hans Hahn (matematikawan) | Hans Hahn]] dan [[Eduard Helly]].<ref>{{harvnb|Bourbaki|1987|loc=V.86}}<!--Dari edisi Prancis. Silakan periksa "Catatan Sejarah" dalam edisi bahasa Inggris.--></ref> ▼
[[Maurice René Fréchet]] adalah orang pertama yang menggunakan istilah "ruang Banach" dan [[Stefan Banach | Banach]] pada gilirannya kemudian menciptakan istilah "[[Ruang Fréchet]]."{{sfn | Narici |Beckenstein| 2011 | p=93}}▼
▲Spasi Banach dinamai menurut ahli matematika Polandia [[Stefan Banach]], yang memperkenalkan konsep ini dan mempelajarinya secara sistematis pada 1920–1922 bersama dengan [[Hans Hahn (matematikawan)
Ruang Banach awalnya tumbuh dari studi [[ruang fungsi]] oleh [[David Hilbert | Hilbert]], [[Maurice René Fréchet | Fréchet]], and [[Frigyes Riesz|Riesz]] di awal abad ini. Ruang Banach memainkan peran sentral dalam analisis fungsional. Di bidang lain [[analisis (matematika) | analisis]], ruang yang diteliti sering kali merupakan ruang Banach.▼
▲[[Maurice René Fréchet]] adalah orang pertama yang menggunakan istilah "ruang Banach" dan [[Stefan Banach
▲Ruang Banach awalnya tumbuh dari studi [[ruang fungsi]] oleh [[David Hilbert
==
{{main|Basis Schauder}}
Baris 13 ⟶ 16:
:<math> x = \sum_{n=0}^{\infty} x_n e_n, \quad \textit{yaitu} \quad x = \lim_n P_n(x), \ P_n(x) := \sum_{k=0}^n x_k e_k.</math>
Ruang banach dengan basis Schauder harus [[Ruang yang dapat dipisahkan
Ini mengikuti dari Teorema Banach–Steinhaus bahwa pemetaan linier {{math|{''P<sub>n</sub>''} }}secara seragam dibatasi oleh beberapa konstanta {{mvar | C}}.
Baris 20 ⟶ 23:
Sebagian besar ruang terpisah klasik memiliki basis eksplisit.
[[Haar wavelet
[[Schauder basis
[[Sistem Haar wavelet#Haar pada interval satuan dan sistem terkait
Pertanyaan apakah aljabar disk {{math|''A''('''D''')}} berdasar<ref>pertanyaan muncul p. 238, §3 dalam buku Banach, {{harvtxt|Banach|1932}}.</ref> tetap terbuka selama lebih dari empat puluh tahun, sampai Bočkarev menunjukkan pada tahun 1974 bahwa {{math|''A''('''D''')}} mengakui dasar yang dibangun dari [[Haar wavelet#Haar sistem pada interval unit dan sistem terkait
Karena setiap vektor {{mvar | x}} dalam ruang Banach {{mvar | X}} dengan basis adalah batas dari {{math|''P<sub>n</sub>''(''x'')}}, dengan {{math|''P<sub>n</sub>''}} dari pangkat hingga dan berbatas seragam, spasi {{mvar | X}} memenuhi [[sifat aproksimasi
Contoh pertama oleh [[Per Enflo
Robert C. James mencirikan refleksivitas di ruang Banach dengan dasar: ruang {{mvar | X}} dengan basis Schauder bersifat refleksif jika dan hanya jika basisnya adalah [[basis Schauder#basis Schauder dan dualitas
Dalam hal ini, fungsi biorthogonal membentuk dasar dari rangkap {{mvar | X}}.
Baris 41 ⟶ 44:
Setiap elemen {{mvar | z}} dengan {{math|''X'' ⊗ ''Y''}} adalah jumlah terbatas tensor sederhana tersebut.
Ada berbagai norma yang dapat ditempatkan pada hasil kali tensor ruang vektor yang mendasarinya, antara lain [[produk tensor topologi#norma silang dan produk tensor ruang Banach
Secara umum, hasil kali tensor ruang komplek tidak kompleks lagi. Saat bekerja dengan ruang Banach, biasanya dikatakan bahwa '''produk tensor proyektif'''<ref>lihat bab. 2, hal. 15 in {{harvtxt|Ryan|2002}}.</ref> dari dua ruang Banach {{mvar | X}} dan {{mvar | Y}} adalah '' penyelesaian '' <math>X \widehat{\otimes}_\pi Y</math> dari hasil kali tensor aljabar {{math|''X'' ⊗ ''Y''}} dilengkapi dengan norma tensor proyektif, dan juga untuk '''produk tensor injektor '''<ref>lihat bab. 3, hal. 45 inci {{harvtxt|Ryan|2002}}.</ref> <math>X \widehat{\otimes}_\varepsilon Y</math>.
Baris 63 ⟶ 66:
:<math> Y \widehat\otimes_\pi X \to Y \widehat\otimes_\varepsilon X </math>
diperoleh dengan memperluas peta identitas produk tensor aljabar. Grothendieck menghubungkan [[Sifat perkiraan
Tepatnya, untuk setiap ruang Banach {{mvar | X}}, peta
Baris 72 ⟶ 75:
Grothendieck menduga bahwa <math>X \widehat{\otimes}_\pi Y</math> dan <math>X \widehat{\otimes}_\varepsilon Y</math> harus berbeda {{mvar | X}} dan {{mvar | Y}} adalah ruang Banach berdimensi tak hingga.
Hal ini dibantah oleh [[Gilles Pisier]] pada tahun 1983.<ref>lihat Pisier, Gilles (1983), "Counterexamples to a conjecture of Grothendieck", Acta Math. '''151''':181–208.</ref>
Pisier membangun ruang Banach berdimensi tak hingga {{mvar | X}} maka <math>X \widehat{\otimes}_\pi X</math> and <math>X \widehat{\otimes}_\varepsilon X</math> adalah sama. Lebih lanjut, seperti contoh [[Per Enflo
== Beberapa hasil klasifikasi ==
Baris 81 ⟶ 84:
:<math>\forall x, y \in X : \qquad \|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2 \left (\|x\|^2 + \|y\|^2 \right).</math>
Ini mengikuti, misalnya, bahwa [[ruang Lp
Jika identitas ini terpenuhi, produk dalam terkait diberikan oleh [[identitas polarisasi]]. Dalam kasus skalar nyata, ini memberikan:
:<math>\langle x, y\rangle = \tfrac{1}{4} \left (\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2 \right ).</math>
Untuk skalar kompleks, tentukan [[Ruang produk dalam
:<math>\langle x,y\rangle = \tfrac{1}{4} \left( \|x+y\|^2 - \|x-y\|^2 + i \left (\|x+iy\|^2 - \|x-iy\|^2 \right )\right).</math>
Baris 112 ⟶ 115:
Ruang Banach berdimensi hingga bersifat homeomorfik sebagai ruang topologi, jika dan hanya jika memiliki dimensi yang sama dengan ruang vektor nyata.
[[Teorema Anderson–Kadec]] (1965–66) proves<ref>{{cite book|author=C. Bessaga, A. Pełczyński|title=Selected Topics in Infinite-Dimensional Topology|url=https://books.google.com/books?id=7n9sAAAAMAAJ|year=1975|publisher=Panstwowe wyd. naukowe|pages=177–230}}</ref> that any two infinite-dimensional [[separable space|separable]] Banach spaces are homeomorphic as topological spaces. Kadec's theorem was extended by Torunczyk, who proved<ref>{{cite book|author=H. Torunczyk|title=Characterizing Hilbert Space Topology|year=1981|publisher=Fundamenta MAthematicae|pages=247–262}}</ref> bahwa dua ruang Banach bersifat homeomorfik jika dan hanya jika keduanya memiliki [[Topologi himpunan teoretis#Fungsi kardinal
== Contoh ==
Baris 123 ⟶ 126:
* {{math|Σ}} adalah [[aljabar sigma]] dari himpunan;
* {{math | Ξ}} adalah aljabar himpunan (untuk spasi yang hanya memerlukan aditif hingga, seperti [[ruang ba]]);
* {{mvar|μ}} adalah [[Ukur (matematika)
{| align="left" class="wikitable" style="text-align:center"
Baris 129 ⟶ 132:
| style="border-bottom: 2px solid #303060" colspan=6| '''Classical Banach spaces'''
|-
! !! [[Ruang ganda]] !! [[Ruang refleksif|Refleksif]] !! [[Ruang Banach#Konvergensi urutan yang lemah
|-
! [[Ruang Euklides|{{math|'''K'''<sup>''n''</sup>}}]]
Baris 204 ⟶ 207:
== Turunan ==
Beberapa konsep turunan dapat didefinisikan di ruang Banach. Lihat artikel di [[Turunan Fréchet]] dan [[Turunan Gateaux]] untuk detailnya.
Derivatif Fréchet memungkinkan perluasan konsep dari [[turunan total]] ke ruang Banach. Turunan Gateaux memungkinkan perpanjangan [[turunan arah]] ke [[konveks lokal]] [[ruang vektor
Diferensiasi Fréchet adalah kondisi yang lebih kuat daripada daya diferensiasi Gateaux.
[[Kuasi-turunan]] adalah generalisasi turunan terarah lain yang menyiratkan kondisi yang lebih kuat, tetapi kondisi yang lebih lemah dari diferensiasi Fréchet.
== Generalisasi ==
Beberapa ruang penting dalam analisis fungsional, misalnya ruang dari semua fungsi yang
Dalam [[ruang Fréchet]] yang satu masih memiliki [[ruang metrik
== Lihat pula ==
Baris 333 ⟶ 336:
{{Authority control}}
[[Kategori:
[[Kategori:
| |||