|
[[Berkas:Three Baskets with Apples.svg|ka|jmpl|Bilangan asli dapat digunakan untuk menghitung (satu apel, dua apel, tiga apel, ...).]]
Dalam [[matematika]], terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan '''bilangan asli'''. Yang pertama definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu himpunan [[bilangan bulat]] positif yang bukan nol {1, 2, 3, 4, ...}. Sedangkan yang kedua definisi oleh logikawan dan ilmuwan komputer, adalah himpunan [[nol]] dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, ...}. Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yg paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukkan beberapa jenis kera juga bisa menangkapnya.
Dalam [[matematika]], terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan '''bilangan asli'''. Yang pertama definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu himpunan '''bilangan bulat positif''' yang bukan nol {1, 2, 3, 4, ...}. Sedangkan yang kedua definisi oleh logikawan dan ilmuwan komputer, adalah himpunan [[nol]] dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, ...}. Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yg paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukkan beberapa jenis kera juga bisa menangkapnya.
Wajar apabila bilangan asli adalah jenis pertama dari bilangan yang digunakan untuk membilang, menghitung, dsb. Sifat yang lebih dalam tentang bilangan asli, termasuk kaitannya dengan [[bilangan prima]], dipelajari dalam [[teori bilangan]]. Untuk matematika lanjut, bilangan asli dapat dipakai untuk mengurutkan dan mendefinisikan sifat [[hitung]]an suatu himpunan.
Setiap bilangan, misalnya bilangan 1, adalah konsep abstrak yg tak bisa tertangkap oleh indra manusia, tetapi bersifat [[universal]]. Salah satu cara memperkenalkan konsep himpunan semua bilangan asli sebagai sebuah struktur abstrak adalah melalui [[aksioma Peano]] (sebagai ilustrasi, lihat [http://planetmath.org/encyclopedia/PeanoArithmetic.html aritmetika Peano] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070819031025/http://planetmath.org/encyclopedia/PeanoArithmetic.html |date=2007-08-19 }}).
Konsep bilangan-bilangan yg lebih umum dan lebih luas memerlukan pembahasan lebih jauh, bahkan kadang-kadang memerlukan kedalaman logika untuk bisa memahami dan mendefinisikannya. Misalnya dalam teori matematika, himpunan semua [[bilangan rasional]] bisa dibangun secara bertahap, diawali dari himpunan bilangan-bilangan asli.
[[Berkas:Three apples.svg|ka|jmpl|Bilangan asli dapat digunakan untuk menghitung (satu apel, dua apel, tiga apel, ...).]]
== Sejarah bilangan asli ==
Kemajuan besar pertama dalam abstraksi adalah penggunaan [[sistem bilangan]] untuk melambangkan angka-angka. Ini memungkinkan pencatatan bilangan besar. Sebagai contoh, orang-orang [[Babylonia]] mengembangkan sistem berbasis posisi untuk angka 1 dan 10. Orang [[Mesir]] kuno memiliki sistem bilangan dengan [[hieroglif]] berbeda untuk 1, 10, dan semua pangkat 10 sampai pada satu juta. Sebuah ukuran batu dari [[Karnak]], tertanggal sekitar [[1500]] SM dan sekarang berada di Louvre, Paris, melambangkan 276 sebagai 2 ratusan, 7 puluhan dan 6 satuan; hal yang sama dilakukan untuk angka 4622.
Kemajuan besar lainnya adalah pengembangan gagasan angka nol sebagai bilangan dengan lambangnya tersendiri. Nol telah digunakan dalam [[notasi]] posisi sedini 700 SM oleh orang-orang Babylon, namun mereka melepaskan bila menjadi lambang terakhir pada bilangan tersebut.<ref>[http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Zero.html "... a{{efn|A tablet found at Kish ... thought to date from around 700 BC, uses three hooks to denote an empty place in the positional notation. Other tablets dated from around the same time use a single hook for an empty place."]<ref>{{cite web |title=A history of Zero |website=MacTutor History of Mathematics |url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Zero.html |url-status=live |access-date=23 January 2013 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130119083234/http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Zero.html |archive-date=19 January 2013}}</ref>}} Konsep nol pada masa modern berasal dari matematikawan [[India]], [[Brahmagupta]].
Pada abad ke-[[19]] dikembangkan definisi bilangan asli menggunakan [[teori himpunan]]. Dengan definisi ini, dirasakan lebih mudah memasukkan nol (berkorespondensi dengan [[himpunan kosong]]) sebagai bilangan asli, dan sekarang menjadi konvensi dalam bidang teori himpunan, [[logika]] dan [[ilmu komputer]].<ref>{{cite web |author=Michael L. Gorodetsky |url=http://hbar.phys.msu.ru/gorm/chrono/paschata.htm |title=Cyclus Decemnovennalis Dionysii - Nineteen year cycle of Dionysius |publisher=Hbar.phys.msu.ru |date=2003-08-25 |accessdate=2012-02-13 |archive-date=2019-01-15 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190115083618/http://hbar.phys.msu.ru/gorm/chrono/paschata.htm |dead-url=yes }}</ref> Matematikawan lain, seperti dalam bidang [[teori bilangan]], bertahan pada tradisi lama dan tetap menjadikan 1 sebagai bilangan asli pertama.<ref>ThisIni isumum commondi indalam textsbuku aboutajar mengenai [[Realanalisis analysisreal]]. See, forSebagai examplecontoh, Carotherslihat ({{harvp|Carothers|2000)}}, phlm. 3; oratau {{harvp|Thomson, |Bruckner and |Bruckner (2000)|2008}}, phlm. 2.</ref>
== Penulisan ==
Himpunan bilangan asli umumnya dilambangkan <math> \mathbf{N} </math> atau <math>\mathbb{N}</math>. Ada sumber yang terkadang melambangkan himpunan bilangan asli sebagai <math> J </math>.<ref>{{cite book
[[Berkas:U+2115.svg|right|thumb|upright|Simbol N kapital [[Papan tebal | dicetak dua kali]], sering digunakan untuk menunjukkan himpunan semua bilangan asli (lihat [[Daftar simbol matematika]]).]]
|url = https://archive.org/details/1979RudinW
Para ahli [[matematika]] menggunakan '''N''' atau <math>\mathbb{N}</math> untuk menuliskan [[himpunan (matematika)|himpunan]] seluruh bilangan asli. Himpunan bilanan ini bisa dikatakan tidak terbatas.
|title = Principles of Mathematical Analysis
|last = Rudin |first=W.
|publisher=McGraw-Hill
|year=1976
|isbn=978-0-07-054235-8
|location = New York
|page=25}}</ref>
Karena bilangan asli dapat mengandung {{math|0}} atau tidak, adakala pentingnya untuk mengetahui versi manakah yang dimaksud. Ini sering kali dinyatakan berdasarkan konteks, tetapi juga dapat dinyatakan melalui penggunaan subskrip atau superskrip di notasinya, seperti:<ref>{{cite book |title=ISO 80000-2:2019 |chapter-url=https://cdn.standards.iteh.ai/samples/64973/329519100abd447ea0d49747258d1094/ISO-80000-2-2019.pdf#page=10 |publisher=[[International Organization for Standardization]]| chapter = Standard number sets and intervals | date=19 May 2020 |page=4|url=https://www.iso.org/standard/64973.html|ref={{harvid|International Organization for Standardization|2020}}}}
Untuk menghindari kerancuan apakah nol termasuk ke dalam himpunan bilangan atau tidak, sering kali dalam penulisan ditambahkan indeks (superscript). Indeks "0" digunakan untuk memasukkan angka 0 kedalam himpunan, dan indeks "<math>*</math>" atau "<math>1</math>" ditambahkan untuk tidak memasukkan angka 0 kedalam himpunan.
</ref><ref>{{cite book |last1=Grimaldi |first1=Ralph P. |title=Discrete and Combinatorial Mathematics: An applied introduction |publisher=Pearson Addison Wesley |isbn=978-0-201-72634-3 |edition=5 |year=2004}}</ref>
* Bilangan asli tanpa adanya nol: <math>\{1,2,...\}=\mathbb{N}^*= \mathbb N^+=\mathbb{N}_0\smallsetminus\{0\} = \mathbb{N}_1</math>
* Bilangan asli dengan nol: <math>\;\{0,1,2,...\}=\mathbb{N}_0=\mathbb N^0=\mathbb{N}^*\cup\{0\}</math>
Karena bilangan asli membentuk [[subhimpunan]] dari [[bilangan bulat]] (sering kali {{nowrap|dilambangkan <math>\mathbb Z</math>),}} bilangan asli dapat disebut sebagai bilangan bulat positif atau bilangan bulat non-negatif. Untuk menghindari kerancuan apakah nol termasuk ke dalam himpunan bilangan atau tidak, sering kali dalam penulisan ditambahkan indeks (superskrip). Indeks "0" digunakan untuk memasukkan angka 0 kedalam himpunan, dan indeks "<math>*</math>" atau "<math>1</math>" ditambahkan untuk tidak memasukkan angka 0 kedalam himpunan.
: <math>\mathbb{N}^0 = \mathbb{N}_0 = \{ 0, 1, 2, \ldots \}</math>
:<math display>
: <math>\mathbb{N}^* = \mathbb{N}^+ = \mathbb{N}_1 = \mathbb{N}_{>0}= \{ 1, 2, \ldots \}.</math>
\begin{align}
\mathbb{N}^0 &= \mathbb{N}_0 = \{ 0, 1, 2, \ldots \} \\
== Properti ==
\mathbb{N}^* &= \mathbb{N}^+ = \mathbb{N}_1 = \mathbb{N}_{>0}= \{ 1, 2, \ldots \}.
\end{align}
=== angka tak hingga ===
</math>
Himpunan bilangan asli adalah [[himpunan tak hingga]]. Menurut definisi, jenis [[tak hingga]] ini disebut [[tak hingga|tak hingga]]. Semua himpunan yang dapat dimasukkan ke dalam relasi [[bijective]] dengan bilangan asli dikatakan memiliki jenis tak terhingga ini. Hal ini juga diungkapkan dengan mengatakan bahwa [[bilangan pokok]] dari himpunan tersebut adalah [[Bilangan Aleph#Aleph-naught|aleph-naught]] ({{math|ℵ<sub>0</sub>}}).<ref>{{MathWorld |urlname=CardinalNumber |title=Cardinal Number}}</ref>
== Sifat ==
=== Penambahan ===
SeseorangDiberikan dapatsuatu secarahimpunan rekursifbilangan mendefinisikanasli [[Penjumlahan<math> \mathbb{N} |</math> penjumlahan]]dan [[operasifungsi (matematika)|operatorpenerus]] pada<math> S \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N} </math> yang mengirim bilangan asli kepada bilangan selanjutnya, penambahan dari himpunan bilangan asli dapat didefinisikan secara rekursif dengan menyetelmenetaplan {{<math|''> a'' + 0 {{=}} ''a''}} </math> dan {{<math|''> a'' + ''S''(''b'') {{=}} ''S''(''a'' + ''b'')}} for</math> alluntuk {{semua <math|''> a''}}, {{</math|''b''}}.{{math|''S''}}> harusdan dibaca<math> sebagaib "[[Fungsi penerus|penerus]]"</math>. IniMaka, mengubah<math> bilangan asli {{math|(ℕ\N, +)}} menjadi</math> adalah [[komutatifmonoid]] [[monoidkomutatif]] dengan [[elemen identitas]] 0, yang disebut [[objekmonoid bebas]] dengan satu generator. Monoid komutatif ini memenuhi [[propertisifat pembatalan]], dan dapat dimasukkan ke dalam suatu [[kelompokGrup (matematika) | kelompokgrup]] (dalam arti kata [[teori kelompok]]). Grup terkecil yang berisi bilangan asli adalah [[bilangan bulat]].
Bila 1 didefinisikan sebagai {{<math|''> S''(0)}} </math>, thenmaka {{<math|''> b'' + 1 {{=}} ''b'' + ''S''(0) {{=}} ''S''(''b'' + 0) {{=}} ''S''(''b'')}} </math>. Itu adalahberarti, {{<math|''> b'' + 1}} hanyalah</math> adalah penerus {{dari <math|''> b''}} </math>.
=== Perkalian ===
Secara analogi, jikadiberikan penjumlahanbahwa telahpenambahan ditentukanhimpunan bilangan asli didefinisikan di atas (lihat {{slink||Penambahan}}), operator [[perkalian]] <math>\times</math> dapat didefinisikan melalui {{<math|''> a'' ×\times 0 {{=}} 0}} </math> dan {{<math|''> a'' ×\times S(''b'') {{=}} (''a'' ×\times ''b'') + ''a''}} </math>. ThisIni turnsmengubah {{math|(ℕ<sup>*</supmath> (\N^\star, ×\times)}} </math> menjadi monoid komutatif bebas dengan elemen identitas 1; generator set untuk monoid ini adalah himpunan [[bilangan prima]].
=== Hubungan antara penjumlahan dan perkalian ===
PenjumlahanPenambahan dan perkalian adalah kompatibel, yang dinyatakan dalam [[hukum distribusi|distribusi]]: {{math|''a'' × (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'')}}. PropertiSifat penjumlahan dan perkalian ini membuat bilangan asli sebagai turunan dari [[komutatif]] [[semiring]]. SemiringsSemiring adalah generalisasi aljabar dari bilangan asli dimanadengan perkalian tidak seharusnya komutatif. Kurangnya [[Invers aditif|aditif invers]], yang setaraekuivalen dengan fakta bahwa {{<math|ℕ}}> \N </math> tidak [[penutupanKetertutupan (matematika)|tertutup]] dalamdi bawah pengurangan (yaitu, mengurangkan satu naturalbilangan asli dari bilangan asli yang lain tidak selalu menghasilkan naturalbilangan lainasli), berarti bahwa {{<math|ℕ}}> adalah\N </math> '' bukan bukanlah'' a [[gelanggang (matematika)|gelanggang]]; melainkan sebuah [[semiring]] (juga dikenal sebagai .
''gelanggang'')
Bila bilangan asli diambil sebagai "tidak termasuk 0", dan "mulai dari 1", definisi dari + dan × adalahdinyatakan seperti di atas, kecuali bahwa mereka diawali dengan {{math|''a'' + 1 {{=}} ''S''(''a'')}} and {{math|''a'' × 1 {{=}} ''a''}}.
<!--
===Order===
In this section, juxtaposed variables such as {{math|''ab''}} indicate the product {{math|''a'' × ''b''}},<ref>{{Cite web |last=Weisstein |first=Eric W. |title=Multiplication |url=https://mathworld.wolfram.com/Multiplication.html |access-date=2020-07-27 |website=mathworld.wolfram.com |lang=en}}</ref> and the standard [[order of operations]] is assumed.
=== Sifat aljabar yang dipenuhi bilangan asli===
A [[total order]] on the natural numbers is defined by letting {{math|''a'' ≤ ''b''}} if and only if there exists another natural number {{math|''c''}} where {{math|''a'' + ''c'' {{=}} ''b''}}. This order is compatible with the [[arithmetical operations]] in the following sense: if {{math|''a''}}, {{math|''b''}} and {{math|''c''}} are natural numbers and {{math|''a'' ≤ ''b''}}, then {{math|''a'' + ''c'' ≤ ''b'' + ''c''}} and {{math|''ac'' ≤ ''bc''}}.
Operasi penambahan (+) dan perkalian (×) pada bilangan asl, seperti yang didefinisikan sebelumnya, memiliki beberapa sifat-sifat aljabar:
* [[Ketertutupan (matematika)|Ketertutupan]] di bawah penambahan dan perkalian: untuk semua bilangan asli {{math|''a''}} dan {{math|''b''}}, maka {{math|''a'' + ''b''}} dan {{math|''a'' × ''b''}} adalah bilangan asli.<ref>{{cite book
| last1 = Fletcher | first1 = Harold
| last2 = Howell | first2 = Arnold A.
| date = 2014-05-09
| title = Mathematics with Understanding
| publisher = Elsevier
| page = 116
| isbn = 978-1-4832-8079-0
| lang = en
| url = https://books.google.com/books?id=7cPSBQAAQBAJ&pg=PA116
| quote = ...the set of natural numbers is closed under addition... set of natural numbers is closed under multiplication" [...himpunan bilangan asli tertutup di bawah penambahan... himpunan bilangan asli tertutup di bawah perkalian}}</ref>
* [[Sifat asosiatif|Pengelompokan]]: untuk semua bilangan asli {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, dan {{math|''c''}}, maka {{math|''a'' + (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' + ''b'') + ''c''}} dan {{math|''a'' × (''b'' × ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') × ''c''}}.<ref>{{cite book
| last = Davisson | first = Schuyler Colfax
| title = College Algebra
| date = 1910
| page = 2
| publisher = Macmillian Company
| lang = en
| url = https://books.google.com/books?id=E7oZAAAAYAAJ&pg=PA2
| quote = Addition of natural numbers is associative. [Penambahan dari bilangan asli adalah asosiatif (pengelompokan).]}}</ref>
* [[Sifat komutatif|Pertukaran]]: untuk semu bilangan asli {{math|''a''}} dan {{math|''b''}}, maka {{math|''a'' + ''b'' {{=}} ''b'' + ''a''}} dan {{math|''a'' × ''b'' {{=}} ''b'' × ''a''}}.<ref>{{cite book
| last1 = Brandon | first1 = Bertha (M.)
| last2 = Brown | first2 = Kenneth E.
| last3 = Gundlach | first3 = Bernard H.
| last4 = Cooke | first4 = Ralph J.
| date = 1962
| page = 25
| title = Laidlaw mathematics series
| publisher = Laidlaw Bros.
| volume = 8
| lang = en
| url = https://books.google.com/books?id=xERMAQAAIAAJ&newbks=0&printsec=frontcover&dq=Natural+numbers+commutative&q=Natural+numbers+commutative&hl=en}}</ref>
* Keberadaan [[elemen identitas]]: untuk setiap bilangan asli {{math|''a''}}, {{math|''a'' + 0 {{=}} ''a''}} dan {{math|''a'' × 1 {{=}} ''a''}}.
* [[Sifat distributif|Distribusi]] dari perkalian atas penambahan untuk semua bilangan asli {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, dan {{math|''c''}}, {{math|''a'' × (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'')}}.
* Tidak ada [[pembagi nol]] tak-nol: bila {{math|''a''}} dan {{math|''b''}} adalah bilangan asli sehingga {{math|''a'' × ''b'' {{=}} 0}}, maka {{math|''a'' {{=}} 0}} atau {{math|''b'' {{=}} 0}} (atau kedua-duanya).
=== Ketakhinggaan ===
An important property of the natural numbers is that they are [[well-order]]ed: every non-empty set of natural numbers has a least element. The rank among well-ordered sets is expressed by an [[ordinal number]]; for the natural numbers, this is denoted as [[omega (ordinal)|{{math|''ω''}}]] (omega).
Himpunan bilangan asli adalah [[himpunan tak hingga]]. Menurut definisi, jenis [[tak hingga]] ini disebut ''countably infinite''. Semua himpunan yang dapat dimasukkan ke dalam relasi [[Bijeksi|bijektif]] dengan bilangan asli dikatakan memiliki jenis ketakhinggaan ini. Hal ini juga diungkapkan dengan mengatakan bahwa [[bilangan kardinal]] dari himpunan tersebut adalah [[Bilangan alef#Alef-nol|alef-nol]] ({{math|ℵ<sub>0</sub>}}).<ref>{{MathWorld|mode=cs1|urlname=CardinalNumber|title=Cardinal Number}}</ref>
===Division===
In this section, juxtaposed variables such as {{math|''ab''}} indicate the product {{math|''a'' × ''b''}}, and the standard [[order of operations]] is assumed.
While it is in general not possible to divide one natural number by another and get a natural number as result, the procedure of ''[[Division (mathematics)|division]] with remainder'' is available as a substitute: for any two natural numbers {{math|''a''}} and {{math|''b''}} with {{math|''b'' ≠ 0}} there are natural numbers {{math|''q''}} and {{math|''r''}} such that
:{{math|''a'' {{=}} ''bq'' + ''r''}} and {{math|''r'' < ''b''}}.
The number {{math|''q''}} is called the ''[[quotient]]'' and {{math|''r''}} is called the ''[[remainder]]'' of the division of {{math|''a''}} by {{math|''b''}}. The numbers {{math|''q''}} and {{math|''r''}} are uniquely determined by {{math|''a''}} and {{math|''b''}}. This [[Euclidean division]] is key to several other properties ([[divisibility]]), algorithms (such as the [[Euclidean algorithm]]), and ideas in number theory.
===Algebraic properties satisfied by the natural numbers===
The addition (+) and multiplication (×) operations on natural numbers as defined above have several algebraic properties:
* [[Closure (mathematics)|Closure]] under addition and multiplication: for all natural numbers {{math|''a''}} and {{math|''b''}}, both {{math|''a'' + ''b''}} and {{math|''a'' × ''b''}} are natural numbers.<ref>{{cite book |last1=Fletcher |first1=Harold |last2=Howell |first2=Arnold A. |date=2014-05-09 |title=Mathematics with Understanding |publisher=Elsevier |isbn=978-1-4832-8079-0 |page=116 |lang=en |url=https://books.google.com/books?id=7cPSBQAAQBAJ&newbks=0&printsec=frontcover&pg=PA116&dq=Natural+numbers+closed&hl=en |quote=...the set of natural numbers is closed under addition... set of natural numbers is closed under multiplication}}</ref>
* [[Associativity]]: for all natural numbers {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, and {{math|''c''}}, {{math|''a'' + (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' + ''b'') + ''c''}} and {{math|''a'' × (''b'' × ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') × ''c''}}.<ref>{{cite book |last=Davisson |first=Schuyler Colfax |title=College Algebra |date=1910 |publisher=Macmillian Company |page=2 |lang=en |url=https://books.google.com/books?id=E7oZAAAAYAAJ&newbks=0&printsec=frontcover&pg=PA2&dq=Natural+numbers+associative&hl=en |quote=Addition of natural numbers is associative.}}</ref>
* [[Commutativity]]: for all natural numbers {{math|''a''}} and {{math|''b''}}, {{math|''a'' + ''b'' {{=}} ''b'' + ''a''}} and {{math|''a'' × ''b'' {{=}} ''b'' × ''a''}}.<ref>{{cite book |last1=Brandon |first1=Bertha (M.) |last2=Brown |first2=Kenneth E. |last3=Gundlach |first3=Bernard H. |last4=Cooke |first4=Ralph J. |date=1962 |title=Laidlaw mathematics series |publisher=Laidlaw Bros. |volume=8 |page=25 |lang=en |url=https://books.google.com/books?id=xERMAQAAIAAJ&newbks=0&printsec=frontcover&dq=Natural+numbers+commutative&q=Natural+numbers+commutative&hl=en}}</ref>
* Existence of [[identity element]]s: for every natural number ''a'', {{math|''a'' + 0 {{=}} ''a''}} and {{math|''a'' × 1 {{=}} ''a''}}.
* [[Distributivity]] of multiplication over addition for all natural numbers {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, and {{math|''c''}}, {{math|''a'' × (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'')}}.
* No nonzero [[zero divisor]]s: if {{math|''a''}} and {{math|''b''}} are natural numbers such that {{math|''a'' × ''b'' {{=}} 0}}, then {{math|''a'' {{=}} 0}} or {{math|''b'' {{=}} 0}} (or both).-->
== Lihat pula ==
{{Portal|Matematika}}
* [[Bilangan#Klasifikasi]] untuk sistem bilangan lain (seperti bilangan rasional, bilangan real, [[bilangan kompleks]], dan lain sebagainya.)
* [[Himpunan terhitung]]
* [[Masalah identifikasi Benacerraf]]
* [[WakilanRepresentasi kanonik dari bilangan bulat positif]]
* [[Himpunan yang dapat dihitung]]
* [[Bilangan#Klasifikasi]] untuk sistem bilangan lain (rasional, nyata, kompleks, dll.)
* [[Bilangan ordinal]]
* [[Definisi himpunan-teoretik dari bilangan asli]]
* [[Bilangan bulat]]
* [[Bilangan cacah]]
* [[Bilangan imajiner]]
* [[Bilangan kompleks]]
* [[Bilangan riil]]
* [[Bilangan rasional]]
* [[Bilangan irasional]]
* [[Bilangan prima]]
* [[Bilangan komposit]]
* [[Pecahan]]
== Catatan ==
== Bibliografi ==
{{refbegin|2}}
* {{cite book
|last=Bluman |first=Allan
|year=2010 |edition=Second
|title=Pre-Algebra DeMYSTiFieD
|publisher=McGraw-Hill Professional
|isbn=978-0-07-174251-1
|url=https://books.google.com/books?id=oRLc9r4bmSgC
|via=Google Books
}}
* {{cite book
|last=Carothers |first=N.L.
|via=Google Books
|url=https://books.google.com/books?id=4VFDVy1NFiAC&q=natural+numbers#v=onepage&q=%22natural%20numbers%22&f=false
|ref = {{harvid|Carothers|2000}}
}}
* {{cite book
|last1=Clapham |first1=Christopher
|last2=Nicholson |first2=James
|year=2014 |edition=Fifth
|title=The Concise Oxford Dictionary of Mathematics
|publisher=Oxford University Press
|isbn=978-0-19-967959-1
|via=Google Books
|url=https://books.google.com/books?id=c69GBAAAQBAJ
}}
* {{cite book
|last=Dedekind |first=Richard |author-link=Richard Dedekind
|translator-last=Beman |translator-first=Wooster Woodruff
|orig-year=1901 |year=1963 |edition=reprint
|title=Essays on the Theory of Numbers
|publisher=Dover Books
|isbn=978-0-486-21010-0
|via=Archive.org
|url=https://archive.org/details/essaysontheoryof0000dede
}}
** {{cite book
|author-first=Richard |author-last=Dedekind |author-link=Richard Dedekind
|translator-first=Wooster Woodruff |translator-last=Beman
|year=1901
|title=Essays on the Theory of Numbers
|publisher=Open Court Publishing Company
|place=Chicago, IL
|via=Project Gutenberg
|url=https://www.gutenberg.org/ebooks/21016
|access-date=2020-08-13
}}
** {{cite book
|last=Dedekind |first=Richard |author-link=Richard Dedekind
|orig-year=1901 |year=2007
|title=Essays on the Theory of Numbers
|publisher=Kessinger Publishing, LLC
|isbn=978-0-548-08985-9
}}
* {{cite book
|last=Eves |first=Howard |author-link=Howard Eves
|year=1990 |edition=6th
|title=An Introduction to the History of Mathematics
|publisher=Thomson
|isbn=978-0-03-029558-4
|via=Google Books
|url=https://books.google.com/books?id=PXvwAAAAMAAJ
}}
* {{cite book
|last=Halmos |first=Paul |author-link=Paul Halmos
|year=1960 |edition=
|title=Naive Set Theory
|publisher=Springer Science & Business Media
|isbn=978-0-387-90092-6
|via=Google Books
|url=https://books.google.com/books?id=x6cZBQ9qtgoC&lpg=PP1&pg=PP1#v=onepage&q=peano%20axioms&f=false
}}
* {{cite book
|last=Hamilton |first=A.G.
|year=1988 |edition=Revised
|title=Logic for Mathematicians
|publisher=Cambridge University Press
|isbn=978-0-521-36865-0
|via=Google Books
|url=https://books.google.com/books?id=TO098EjWT38C&q=peano%27s+postulates#v=snippet&q=peano%27s%20postulates&f=false
}}
* {{cite book
|last1=James |first1=Robert C.
|last2=James |first2=Glenn
|year=1992 |edition=Fifth
|title=Mathematics Dictionary
|publisher=Chapman & Hall
|isbn=978-0-412-99041-0
|via=Google Books
|url=https://books.google.com/books?id=UyIfgBIwLMQC
}}
* {{cite book
|last=Landau |first=Edmund |authorlink=Edmund Landau
|year=1966 |edition=Third
|title=Foundations of Analysis
|publisher=Chelsea Publishing
|isbn=978-0-8218-2693-5
|via=Google Books
|url=https://books.google.com/books?id=DvIJBAAAQBAJ
}}
* {{cite book
|last1=Mac Lane |first1=Saunders |author1-link=Saunders Mac Lane
|last2=Birkhoff |first2=Garrett |author2-link=Garrett Birkhoff
|year=1999 |edition=3rd
|title=Algebra
|publisher=American Mathematical Society
|isbn=978-0-8218-1646-2
|via=Google Books
|url=https://books.google.com/books?id=L6FENd8GHIUC&lpg=PA15&vq=natural%20numbers&pg=PA15#v=onepage&q=%22the%20natural%20numbers%22&f=false
}}
* {{cite book
|last=Mendelson |first=Elliott |authorlink=Elliott Mendelson
|orig-year=1973 |year=2008
|title=Number Systems and the Foundations of Analysis
|publisher=Dover Publications
|isbn=978-0-486-45792-5
|via=Google Books
|url=https://books.google.com/books?id=3domViIV7HMC
}}
* {{cite book
|last=Morash |first=Ronald P.
|year=1991 |edition=Second
|title=Bridge to Abstract Mathematics: Mathematical proof and structures
|publisher=Mcgraw-Hill College
|isbn=978-0-07-043043-3
|via=Google Books
|url=https://books.google.com/books?id=fH9YAAAAYAAJ
}}
* {{cite book
|last=Musser |first=Gary L.
|last2=Peterson |first2=Blake E.
|last3=Burger |first3=William F.
|year=2013 |edition=10th
|title=Mathematics for Elementary Teachers: A contemporary approach
|publisher=[[Wiley Global Education]]
|isbn=978-1-118-45744-3
|via=Google Books
|url=https://books.google.com/books?id=b3dbAgAAQBAJ
}}
* {{cite book
|last1=Szczepanski |first1=Amy F.
|last2=Kositsky |first2=Andrew P.
|year=2008
|title=The Complete Idiot's Guide to Pre-algebra
|publisher=Penguin Group
|isbn=978-1-59257-772-9
|via=Google Books
|url=https://books.google.com/books?id=wLA2tlR_LYYC
}}
* {{cite book
|last1=Thomson |first1=Brian S.
|last2=Bruckner |first2=Judith B.
|last3=Bruckner |first3=Andrew M.
|year=2008 |edition=Second2
|title=Elementary Real Analysis
|publisher=ClassicalRealAnalysis.com
|via=Google Books
|url=https://books.google.com/books?id=vA9d57GxCKgC
|ref = {{harvid|Thomson|Bruckner|Bruckner|2008}}
}}
* {{cite book
|last=von Neumann |first=John |author-link=John von Neumann
|year=1923
|title=Zur Einführung der transfiniten Zahlen
|trans-title=On the Introduction of the Transfinite Numbers
|journal=Acta Litterarum AC Scientiarum Ragiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, Sectio Scientiarum Mathematicarum
|volume=1 |pages=199–208
|url=http://acta.fyx.hu/acta/showCustomerArticle.action?id=4981&dataObjectType=article&returnAction=showCustomerVolume&sessionDataSetId=39716d660ae98d02&style=
|url-status=dead |access-date=2013-09-15
|archive-url=https://web.archive.org/web/20141218090535/http://acta.fyx.hu/acta/showCustomerArticle.action?id=4981&dataObjectType=article&returnAction=showCustomerVolume&sessionDataSetId=39716d660ae98d02&style=
|archive-date=2014-12-18
}}
* {{cite book
|author-last=von Neumann |author-first=John |author-link=John von Neumann
|editor-first=Jean |editor-last=van Heijenoort
|orig-year=1923 |date=January 2002 |edition=3rd
|title=From Frege to Gödel: A source book in mathematical logic, 1879–1931
|chapter=On the introduction of transfinite numbers |pages=346–354
|isbn=978-0-674-32449-7
|publisher=Harvard University Press
|chapter-url=http://www.hup.harvard.edu/catalog.php?isbn=978-0674324497
}} – English translation of {{Harvnb|von Neumann|1923}}.
{{refend}}
}}
{{Sistem Bilangan}}
{{Sistem bilangan}}
{{Kelas bilangan asli}}
[[Kategori: Nomor Kardinal]]
[[Kategori: Matematika dasar]]
[[Kategori: Bilangan bulatasli| ]]
[[Kategori:Bilangan Teori bilanganbulat]]
[[Kategori:Teori bilangan]]
| 