Uji turunan: Perbedaan antara revisi

Dalam [[kalkulus]], '''uji turunan''' menggunakan [[turunan]] dari [[Fungsi (matematika)|fungsi]] untuk menemukan [[Titik stasioner|titik-titik kritis]] fungsi dan menentukan apakah stiapsetiap titik tersebut adalah sebuah [[maksimum lokal|titik maksimum lokal]], sebuah [[minimum lokal|titik minimum lokal]], atau sebuah [[titik pelana]]. Uji turunan juga dapat memberikan informasi mengenai [[Fungsi cekung|kecekungan]] fungsi.

Kegunaan turunan tersebut untuk menemukan ekstremtitik-titik kritis dibuktikan secara matematis oleh [[teorema Fermat titik stasioner]].

Uji turunan pertama menguji sifat-sifat sebuah [[Fungsi montonik|monotonik|kemonotonan]] dari fungsi (dimanaapakah fungsi [[Fungsi monotonik|menaik atau menurun]]), fokusdengan berfokus pada sebuahsuatu titik tertentu dalam [[Domain fungsi|domain]]<nowiki/>nya fungsi tersebut. Jika nilai fungsi "menukarberganti" dari menaik kemenjadi menurun pada titik tertentu, maka fungsi akan mencapai sebuahsuatu nilai tertinggi pada titik itu. Dengan cara yang serupa, jika nilai fungsi "menukarberganti" dari menurun ke menaik pada titik tersebut, maka fungsi akan mencapai sebuah nilai terendah pada titik itu. Jika nilai fungsi gagaltidak "menukar:pernah dan"berganti", tetapselalu menaik atau menurun, maka tidak ada nilai tertinggi atau terendah yang dicapai oleh fungsi.

Salah satunyaSeseorang dapat menentukan sebuah kemonotonan sebuah fungsi tanpa menggunakan kalkulus. Namun, kalkulus biasanya berguna karena terdapat [[Syarat perlu dan cukup|syarat cukup]] yang menjamin sifat-sifat kemonotonan di atas, dan syarat-syarat ini berlaku untuk sebagian besar fungsi yang akanumum ditemui.

=== Pernyataan yang formal tentang sifat-sifat kemonotonan yang tepat ===

Dinyatakan dengansecara tepatformal, andaikan bahwamisalkan <math>f</math> adalah fungsi bernilai [[BilanganFungsi realkontinu|realkontinu]] bernilai [[FungsiBilangan kontinureal|kontinureal]] dari sebuah variabel real, ditentukandan olehterdefinisi pada beberapa [[Interval (matematika)#Penggolongan interval|intervalselang terbuka]] berisiyang mengandung titik <math>x</math>.

* Jika terdapat sebuah bilangan positif <math>r>0</math> sehingga <math>f</math> menaik dengan lemah pada <math>(x-r,x]</math> dan menurun dengan lemah adapada <math>[x,x+r)</math>, maka <math>f</math> mempunyaimemiliki sebuah maksimum lokal padadi <math>x</math>. Pernyataan ini juga bekerja sebaliknya.: Jikajika <math>x</math> adalah sebuah maksimum lokal, maka <math>f</math> menaik dengan lemah pada <math>(x-r,x]</math> dan menurun dengan lemah adapada <math>[x,x+r)</math>.

* Jika terdapat sebuah bilangan positif <math>r>0</math> sehingga <math>f</math> menaik dengan sempurnategas pada <math>(x-r,x]</math> dan juga menaik dengan tajamtegas pada <math>[x,x+r)</math>, maka <math>f</math> menaik dengan sempurnategas pada <math>(x-r,x+r)</math> dan tidak mempunyai sebuah maksimum atau minimum lokal padadi <math>x</math>.

Pernyataan ini merupakan sebuah konsekuensi langsung dari bagiamanacara [[ekstrem lokal]] didefinisikan. Yakni, jika <math>x_0</math> adalah sebuah titik maksimum lokal, maka terdapat <math>r>0 </math> sehingga <math>f(x) \le f(x_0)</math> untuk nilai <math>x </math> dipada selang <math>(x_0 - r, x_0 + r)</math>, yang berartimengartikan bahwa <math>f </math> harus menaik dari <math>x_0-r</math> ''ke'' <math>x_0</math> dan harus turunmenurun dari <math>x_0</math> ''ke'' <math>x_0+r</math>, karena <math>f </math> kontinu.

Perhatikan bahwa dalamuntuk dua kasus yang pertama, <math>f </math> tidak diperlukan menaik atau menurun sempurnadengan ketegas kiridi atausekitar ke kanannilai <math>x </math>, sedangkan dalamuntuk dua kasus terakhir, <math>f </math> diperlukan menaik atau menurun sempurnadengan tegas. Alasannya adalahterletak bahwa dalampada definisi maksimum dan minimum lokal, pertidaksamaan tersebutyang tidak dibutuhkanmemerlukan dengan[[pertidaksamaan]] yang sempurnategas: misalnya setiap nilai pada [[Fungsifungsi konstan|fungsi konstanta]]ta dianggap sebuah maksimum lokal dansekaligus minimum lokal.

=== Pernyataan yang formal untuk uji turunan pertama yang tepat ===

Uji turunan pertama tergantungbergantung pada :"uji menaik–menurun", yang pada akhirnya merupakan sebuah konsekuensi dari [[teorema nilai purata]]. Ini adalah sebuah konsekuensi langsuglangsung dari cara [[turunan]] didefinisikan dan hubungannya untuk menurunkan dan menaikkan sebuah fungsi secara lokal, digabungkan dengan bagian sebelumnya.

AndaikanMisalkan <math>f </math> adalah sebuah fungsi bernilai real dari sebuah variabel real dan didefinisikan olehpada beberapa [[Interval (matematika)|interval]] yang berisi titik kritis <math>a</math>. SelanutnyaSelanjutnya andaikanmisalkan <math>f </math> [[Fungsi kontinu|kontinu]] pada <math>a</math> dan [[Fungsi yang dapat diturunkan|diturunkandapat didiferensialkan]] pada beberapa intervalselang terbuka yang berisi <math>a</math>, kecuali munkginmungkin pada titik <math>a</math> sendiri.

* Jika terdapat sebuah bilangan positif <math>r>0 </math>, sehingga untuk setiap <math>x </math> di <math>(a-r,a)</math> kita memiliki <math>f'(x) \ge 0</math>, dan untuk setiap <math>x </math> di <math>(a, a+r)</math> kita memiliki <math>f^{\prime}(x) \le 0</math>, maka <math>f </math> mempunyai sebuah maksimum lokal padadi <math>a</math>.

* Jika terdapat sebuah bilangan positif <math>r>0 </math>, sehingga untuk setiap <math>x </math> di <math>(a-r,a) \cup (a,a+r) </math> kita memiliki <math>f'(x) > 0</math>, maka <math>f </math> menaik dengan sempurnategas padadi <math>a</math> dan tidak mempunyai sebuah maksimum lokal atau sebuah minimum lokal disinidi interval ini.

* Jika bukan dari salahtidak satuada syarat di atas beralkuyang dipenuhi, maka uji tersebutturunan pertama gagal (Syarathal sepertiini itumungkin tidakterjadi, [[Kebenaran yang hampa|kosong]],karena terdapat fungsi yang tidak memenuhi dari tiga kondisi pertama, yaitu <math>\textstyle f(x) = x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)</math>).

Lagi, sesuai dengan ulasan di bagian sifat-sifat kemonotonan, perhatikan bahwa dua kasus pertama, pertidaksamaan tidak diperlukan sempurnategas, sedangkan dalam dua kasus selanjutnya, pertidaksamaan yang sempurnategas diperlukandibutuhkan.

Uji turunan pertama berguna dalam penyelesaian [[masalah pengoptimumanoptimisasi]] dalam fisika, ekonomi, dan teknik. Dalam konjungsiDisertai dengan penggunaan [[teorema nilai ekstrem]], uji ini dapat digunakan untuk mencari maksimum atau minimum mutlak dari fungsi bernilai real yang didefinisikan pada sbeuahsuatu interval yang [[Interval (matematika)#Penggolongan interval|terbuka]] dan [[Himpunan terbatas|terbatas]]. DalamTerlebih konjungsilagi, dengan disertai informasi lainnya seperti kecekungan, titik belok, dan asimtotik, uji ini dapat digunakan untuk menggambar [[Grafik fungsi|grafik]] dari fungsi.

Setelah menetapkanmenemukan [[Titik kritis (matematika)|titik-titik kritis]] dari fungsi, ''uji turunan kedua'' menggunakan nilai dari [[turunan kedua]] pada titik-titik itu unrukuntuk menentukan apakah titiknyatitik tersebut adalah sebuah [[Maksimum lokal|maksimum]] lokal atau sebuah [[Minimum lokal|minimum]] lokal. Jika fungsi <math>f </math> [[Fungsi yang dapat diturunkan|dapat diturunkan]] dua kali pada sebuahsuatu titik kritis <math> x</math> (yaitu, sebuah titik dimanadengan <math>f'(x)=0</math>), maka:

* Jika <math>f''(x) = 0</math>, maka hasil uji tersebutini tidak meyakinkan.

DalamUntuk kasus terakhir, [[Teorema Taylor#Teorema Taylor dalam satu variabel|teorema Taylor]] dapat digunakan untuk menentukan kelakuanperilaku <math>f </math> mendekatidi sekitar nilai <math> x</math> dengan menggunakan [[Turunan#Turunan tingkat tinggi|turunan tingkat tinggi]].

AndaikanMisalkan kita mempunyai <math>f''(x) > 0</math> (bukti untuk <math>f''(x)<0</math> analog). Dengan asumsi, <math>f'(x)=0</math>. Maka

:<math>0 < f''(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x + h) - f'(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x + h)}{h}</math>

:<math>\frac{f'(x+h)}{h} > 0</math>,

yang berartimengartikan <math>f'(x+h)<0</math> jika <math>h<0</math> (secara intuitif, <math> f</math> menurun karena mendekati <math> x </math> dari kiri), dan bahwa <math>f'(x+h)>0</math> jika <math>h>0</math> (secara intuitif, <math> f</math> menurun karena mendekati <math> x </math> dari kanan). Sekarang, dengan [[Uji turunan#Uji turunan pertama|uji turunan pertama]], <math> f</math> mempunyai sebuah maksimum lokal padadi <math> x </math>.

Sebuah penggunaan turunan kedua yang terkait namun berbeda adalah untuk menentukan apakah fungsi [[Fungsi cekung|cekung ke atas]] atau [[Fungsi cekung|cekung ke bawah]] padadi sebuah titktitik. IniNamun tidak,uji namun,ini tidak menyediakan informasi mengenai [[titik belok]]. Khususnya, sebuah fungsi <math> f</math> yang diturunkan dua kali cekung ke atas jika <math>f''(x) > 0 </math> dan cekung ke bawah jika <math>f''(x)<0 </math>. Perhatikan bahwa jika <math>f(x)=x^4</math>, maka <math>x=0</math> memiliki nol turunan kedua, namun bukan sebuah titik belok, jadi turunan kedua sendiri tidak memberikan informasi yang cukup untuk menentukan apakah sebuah titik yang diberikan merupakan sebuah titik belok.

''Uji turunan tingkat tinggi'' atau ''uji turunan umum'' dapat menentukan apakah sebuah titik kritis fungsi adalah maksimum, minimum, atau titik belok untuk sebuahvariasi fungsi variasi yang lebih luasbanyak daripada uji turunan orde-kedua,. Seperti yang ditunjukkan di bawah, uji turunan kedua secara matematis identik ke kasus khusus untuk <math>n=1 </math> dalam uji turunan tingkttingkat tinggi.

Misalkan <math> f</math> menjadisebagai sebuahfungsi bernilai real, fungsi yangdan dapat diturunkan cukupsecukupnya pada sebuahsuatu interval <math>I \subset \R</math>,. misalkanMisalkan pula <math>c \in I</math>, dan misalkan <math>n \ge 1</math> menjadisebagai sebuah [[bilangan asli]]. Juga misalkan semua turunan (termasuk turunan ke-<math> fn</math>) padadari <math>c f</math> menjadidi nol dan termasuk turunan ke-<math>nc</math> bernilai nol, tetapi dengansedangkan turunan ke-(<math>n+1</math>) menjadibernilai taknoltak nol.

:<math>f'(c) = \cdots =f^{(n)}(c) = 0</math> dan <math>f^{(n+1)}(c) \ne 0</math>.

Terdapat empat kemungkinan, dua kasus pertama dimanamengartikan <math>c</math> adalah sebuah ekstremumtitik ekstrem, sedangkan dua kasus yang keduaselanjutnya dimanamengartikn <math>c</math> adalah sebuah titik pelana (lokal):

Karena <math>n</math> harus berupa ganjil atau genap, uji analitik ini akan mengelompokkan setiapsemua titik stasioner <math> f</math>,; selama sebuah turunan taknol muncul pada akhirnya bernilai tidak sama dengan nol.

Katakan, kita akan mengerjakan uji turunan umum pada fungsi <math>f(x) = x^6 + 5</math> pada titik <math>x=0</math>. Untuk melakukan ini, kita menghitung turunan dari fungsi dan kemudian mengevaluasinya pada titik-titik bungayang diinginkan hingga hasilnyamemiliki nilai bukan taknolnol.

:<math>\begin{aligned}

Seperti yang ditunjukkan di atas, pada titik <math>x=0</math>, fungsi <math>x^6+5</math> memiliki semua turunannyaturunan padadi titik 0 bernilai sama dengan 0, kecuali untuk turunan ke-6, yang hasilnya positif. Dengan demikian, <math>n=5</math>, dan oleh uji tersebut, terdapatfungsi <math>x^6+5</math> memiliki sebuah minimum lokal padadi 0.

Untuk sebuah fungsi yang lebih dari satu variabel, uji turunan kedua memberidiperumum pernyataan umum padamenjadi sebuah uji berdasarkan [[Nilai daneigen|nilai-nilai vektor Eigen|eigennilaieigen]] dari fungsi [[matriks Hesse]] fungsi pada titik kritis. Khususnya, asumsimengasumsikan bahwa semua [[turunan parsial]] orde-kedua <math> f </math> kontinu pada sebuah [[Lingkungan (matematika)|lingkungan]] titik kritis <math> x</math>, makadan jika eigennilainilai-nilai eigen dari Hesse padadi <math> x</math> adalahsemuanya bernilai positif semua, maka <math> x</math> adalah sebuah minimum lokal. JikaSedangkan eigennilaijika nilai-nilai eigen dari Hesse padadi <math> x</math> adalahsemuanya bernilai negatif semua, maka <math> x</math> adalah sebuah maksimum lokal,. danNamun jika beberapanyabeberapa nilai eigen bernilai positif dan beberapanyabeberapa negtifbernilai negatif, maka titik tersebut adalah sebuah [[titik pelana]]. JikaPada kasus matriks Hesse merupakan matriks [[Matriks singular|singular]], maka uji turunan kedua tidak meyakinkan.

*{{cite book |first=Jerrold |last=Marsden |author-link=Jerrold E. Marsden |first2=Alan |last2=Weinstein |author-link2=Alan Weinstein |title=Calculus I |url=https://archive.org/details/studentsguidetoc01soon |location=New York |publisher=Springer |edition=2nd |year=1985 |isbn=0-387-90974-5 |pages=139–199[https://archive.org/details/studentsguidetoc01soon/page/n154 139]–199 }}

*{{cite book |first=James E. |last=Shockley |title=The Brief Calculus : with Applications in the Social Sciences |url=https://archive.org/details/briefcalculuswit0000shoc_r1o7 |location=New York |publisher=Holt, Rinehart & Winston |edition=2nd |year=1976 |isbn=0-03-089397-6 |pages=77–109[https://archive.org/details/briefcalculuswit0000shoc_r1o7/page/77 77]–109 }}