Wikipedia

Grup selang-seling: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
16.350 suntingan
Ada beberapa kata/kalimat yang salah diterjemahkan sehingga harus diperbaiki
k clean up
 
(5 revisi perantara oleh 3 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{More footnotes|date=Desember 2020}}
{{Group theory sidebar |Finite}}
Dalam [[matematika]], '''grup selang-seling''' ({{Lang-en|Alternating group}}) adalah [[Grup (matematika) | grup]] dari [[permutasi genap]] dari [[himpunan hingga]]. Grup bergantianselang-seling pada satu sethimpunan elemen '' <math>n ''</math> disebut '''grup selang-seling derajat ''n''''' <math>n</math>, atau grup '''grup selang-seling pada huruf ''n''''' <math>n</math> dan dilambangkan dengan A<submath>''n''\mathrm{A}_n</submath> or <math>\operatorname{Alt}(''n'')</math>.
 
== Sifat dasar ==
Untuk {{nowrap|''<math>n'' > 1}}</math>, grup A<submath>''n''\operatorname{A}_n</submath> adalah [[subgrup komutator]] dari [[Grup simetrik|grup simetris]] S<submath>''n''S_n</submath> dengan [[Indeks subkelompok | indeks]] 2 dan karena itu memiliki [[faktorial|''<math>\frac{n''!]]/}{2}</math> elemen (dimana <math>!</math> melambangkan [[faktorial]]). Ini adalah [[kernel (aljabar) | kernel]] dari tanda tangan [[homomorfismekehomomorfan grup]] {{nowrap|<math>\sgn :\colon S<sub>''n''</sub>S_n →\to \{1, −1-1\} }}</math> dijelaskan di bawah [[grup simetrissimetrik]].
 
Grup A<submath>''n''\mathrm{A}_n</submath> adalah [[grup abelian | abelian]] [[jika dan hanya jika]] {{nowrap|''<math>n'' ≤\le 3}}</math> dan [[grup sederhana | sederhana]] jika dan hanya jika {{nowrap|1=''<math>n'' = 3}}</math> oratau {{nowrap|''<math>n'' ≥\ge 5}}</math>.<!-- Catatan A3 sebenarnya adalah grup sederhana dari urutan 3. A1 dan A2 adalah grup urutan 1, jadi biasanya tidak disebut sederhana, dan A4 memiliki subgrup normal non-identitas yang tepat sehingga tidak sederhana. --> A<submath>5\mathrm {A}_5</submath> adalah non-abelian [[grup sederhana]] takAbel terkecil, memiliki urutan 60, dan non [[Grup terpecahkan|grup solvabeltakterpecahkan]] terkecil.
 
Grup A<submath>\mathrm 4 A_4</submath> memiliki [[Kleingrup four-groupempat Klein]] <math>V</math> sebagai [[subgrup normal]] yang tepatwajar, yaitu identitas dan transposisi ganda <math>\{{nowrap|{ (), (12)(34), (13)(24), (14)(,23) \}</math>,}} itulah kernel dari perkiraansurjeksi A<submath>\mathrm 4 A_4</submath> ke {{nowrap|1=A<sub>3</submath>\mathrm A_3 = C<sub>3\mathrm Z_3</submath>}}. KamiKita memiliki [[urutan persis]] {{nowrap|1=<math>V →\to A<sub>4</sub>\mathrm →A_4 A<sub>3</sub>\to \mathrm A_3 = C<sub>3\mathrm Z_3</submath>}}. Dalam [[Teori Galois]], peta ini, atau lebih tepatnya peta yangberpadanan sesuai {{nowrap|S<sub>4</submath>\mathrm →S_4 S<sub>3\to \mathrm S_3</submath>}}, sesuaiberpadanan dengan mengasosiasikan [[Penyelesai Lagrange]] kubik ke kuartik, yang memungkinkan [[polinomial kuartik]] untuk diselesaikan dengan radikal, seperti yang ditetapkan oleh [[Lodovico Ferrari]].
 
== Kelas konjugasi ==
Seperti dalam [[grup simetris]], dua elemen A<submath>''n''\mathrm{A}_n</submath> yang dikonjugasikansekawan oleh elemen A<submath>''n''\mathrm{A}_n</submath> harus memiliki [[dekomposisiPenguraian siklus (teori grup) | bentuk siklus]] yang sama. Kebalikannya belum tentu benar. Jika bentuk siklus hanya terdiri dari siklus dengan panjang ganjil tanpa ada dua siklus yang panjangnya sama, dimana siklus dengan panjang satu dimasukkan ke dalam tipe siklus, maka tepat ada dua kelas konjugasi untuk bentuk siklus ini {{harv|Scott|1987|loc=§11.1, p299}}.
 
Contoh:
* Kedua [[permutasi]] <math>(123)</math> dan <math>(132)</math> tidak terkonjugasisekawan dalam A<submath>3\mathrm A_3</submath>, meskipun mereka memiliki bentuk siklus yang sama, dan oleh karena itu berkonjugasisekawan di S<submath>3\mathrm S_3</submath> .
*Permutasi (123) (45678) tidak terkonjugasisekawan dengan kebalikannya <math>(132) (48765)</math> pada A<submath>\mathrm 8 A_8</submath>, meskipun kedua permutasi tersebut memiliki bentuk siklus yang sama, sehingga keduanya berkonjugasisekawan dalam S<submath>8\mathrm S_8</submath>.
 
== Hubungan dengan gruogrup simetrissimetrik ==
:''Lihat [[Grup simetrissimetrik#Hubungan dengan grup alternatif|Grup simetris]]''.
 
== GeneratorPembangkit dan relasi ==
A<submath>''n''\mathrm{A}_n</submath> dihasilkan oleh 3-siklus-3, karena 3-siklus-3 dapat diperoleh dengan menggabungkan pasangan transposisi. GensetHimpunan pembangkit ini sering digunakan untuk membuktikan bahwa <math>\mathrm{A}_n<sub/math> ''adalah nsederhana ''untuk </submath> sederhana {{nowrap|''n'' ≥\ge 5}}</math>.
 
== Grup automorfisme ==
{{details|AutomorfismeGrup grupautomorfisme simetrissimetrik dan bergantianselang-seling}}
{| align="right" class=wikitable
|-
Baris 48:
|}
 
Untuk {{nowrap|''<math>n'' > 3}}</math>, kecuali untuk {{nowrap|1=''<math>n'' = 6}}</math>, [[grup automorfisme]] dari A<submath> '' n '' \mathrm{A}_n</submath> adalah grup simetris S<submath>\mathrm '' n '' S_n</submath>, dengan [[grup automorfisme dalam]] A<submath> '' n '' \mathrm{A}_n</submath> dan [[grup automorfisme luar]] Z<submath>\mathrm 2 Z_n</submath>; automorfisme luar berasal dari konjugasi oleh permutasi ganjil.
 
Untuk {{nowrap|1=''<math>n'' = 1}}</math> dan <math>n = 2</math>, kelompokgrup automorfisme ituadalah trivial. Untuk {{nowrap|1=''<math>n'' = 3}}</math> grup automorfisme adalah Z<submath>\mathrm 2 Z_2</submath>, dengan grup automorfisme dalam sepele dan grup automorfisme luar Ztrivial <submath>\mathrm 2 Z_2</submath>.
 
KelompokGrup automorfisme luar A <submath>\mathrm 6 A_6</submath> adalah [[grup empat Klein | grup empat Klein]] {{nowrap|1=<math>V = Z<sub>2</sub>\mathrm ×Z_2 Z<sub>2\times \mathrm Z_2</submath>}}, dan terkait dengan [[Grup simetrissimetrik#Grup automorfisme|automorfisme luar]] S<submath>\mathrm 6 S_6</submath>]]. Automorfisme luar ekstra di A <submath>\mathrm 6 A_6</submath> menukar 3-siklus-3 (seperti <math>(123)</math>) dengan elemen bentuk 3<supmath>3^2</supmath> (seperti <math>(123) (456)</math>).
 
== Isomorfisme istimewa ==
AdaTerdapat beberapa [[isomorfisme istimewa]] antara beberapa grup kecil bergantian dan [[grup tipe Lie]] kecil, khususnya [[grup linear khusus proyektif]]. Ini adalah:
* A<submath>4\mathrm A_4</submath> isomorfik untuk PSL<sub>2</submath>\operatorname{PSL}_2 (3)</math><ref name="Robinson-p78">Robinson (1996), [{{Google books|plainurl=y|id=lqyCjUFY6WAC|page=78|text=PSL}} p. 78]</ref> and [[grup simetrisimetrik]]
*dari [[simetri tetrahedrai]] kiral
* A<submath>5\mathrm A_5</submath> isomorfik untuk PSL<submath>2\operatorname{PSL}_2 (4)</submath>(4), PSL<submath>2\operatorname{PSL}_2 (5)</submath>(5), dan kelompok simetri kiral [[simetri icosahedral|simetri ikosahedral]]. (Lihat<ref name="Robinson-p78" /> untuk isomorfisme tidak langsungtaklangsung dari <math>\operatorname {PSL} _{nowrap|PSL<sub>2</sub>}(F<sub>5</sub>\mathrm F_5) →\to A<sub>5\mathrm A_5</submath>}} menggunakan klasifikasi grup sederhana berorde 60, dan [[Grup linear proyektif#Aksi pada poin p | di sini]] untuk bukti langsung).
* A<submath>6\mathrm A_6</submath> isomorfik untuk PSL<sub>2</submath>\operatorname{PSL}_2 (9)</math> dan PSp<sub>4</submath>\operatorname{PSp}_4 (2)'^\prime</math>.
* A<submath>8\mathrm A_8</submath> isomorfik untuk PSL<sub>4</submath>\operatorname{PSL}_4 (2)</math>.
 
Lebih jelasnya, A <submath>\mathrm 3 A_3</submath> isomorfik bagi [[grup siklik]] Z<submath>\mathrm 3 Z_3</submath>, dan A<submath>\mathrm 0 A_0</submath>, A<submath>\mathrm 1 A_1</submath>, dan A<submath>\mathrm 2 A_2</submath> isomorfik ke [[grup trivial]] (yang juga <math>\operatorname{{nowrap|1=SL<sub>1</sub>}_1(''q'') = \operatorname{PSL<sub>1}_1(q)</submath>(''q'')}} untuk ''<math>q''</math>).
<!-- Bagian ini memiliki beberapa kesalahan, beri komentar hingga diperbaiki. A4 tidak sempurna, SL (4,2) = PSL (4,2) = A8 bukan penutup Schur dari A8 -->
<!--
Baris 68 ⟶ 69:
-->
 
== Contoh ''S''<submath>4\mathrm S_4</submath> dan ''A''<submath>4\mathrm A_4</submath> ==
{| style="margin:auto;" cellspacing="0" cellpadding="0"
{|
| style="padding:0 1em" |[[Berkas:Symmetric group 4; Cayley table; numbers.svg|thumb|350px|[[Tabel Cayley]] dari [[grup simetrik]] <math>\mathrm S_4</math><br><br>[[Paritas permutasi|Permutasi ganjil]] diberi warna:<br>[[Transposisi (matematika)|Transposisi]] dalam warna hijau dan [[Siklus dan titik tetap|siklus-4]] dalam warna jingga]]
|-
| style="padding:0 1em" |
| style="vertical-align:top;"|[[Berkas:Symmetric group 4; Cayley table; numbers.svg|thumb|350px|[[Tabel Cayley]] dari [[grup simetris]] ''S''<sub>4</sub><br><br>[[Paritas permutasi | permutasi ganjil]] diberi warna:<br>[[Transposisi (matematika) | Transposisi]] ​​dalam warna hijau dan [[Siklus dan titik tetap | 4-siklus]] dalam warna oranye]] || &nbsp;&nbsp;&nbsp; || style="vertical-align:top;"|[[Berkas:Alternating group 4; Cayley table; numbers.svg|thumb|350px|Tabel Cayley dari grup bergantian ''A''<sub>4</sub><br>Elemen: Permutasi genap (identitas, delapan [[Siklus dan titik tetap | 3-siklus]] dan tiga <nowiki>double-</nowiki>[[Transposisi (matematika) | transposisi]] ​​(transposisi ganda dicetak tebal))<br><br>Subgroups:<br>[[Berkas:Klein four-group; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,7,16,23).svg|70px|Klein empat grup]]<br>[[Berkas:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,3,4).svg|60px|Grup siklik Z3]] [[Berkas:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,8,12).svg|60px|Grup siklik Z3]] [[Berkas:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,11,19).svg|60px|Grup siklik Z3]] [[Berkas:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,15,20).svg|60px|Grup siklik Z3]]]]▼
| style="padding:0 1em" |[[Berkas:Symmetric group 4; Cayley table; numbers.svg|thumb|350px|[[Tabel Cayley]] dari [[grup simetrik]] <math>\mathrm S_4</math><br><br>[[Paritas permutasi|Permutasi ganjil]] diberi warna:<br>[[Transposisi (matematika)|Transposisi]] dalam warna hijau dan [[Siklus dan titik tetap|siklus-4]] dalam warna jingga
 
▲| style="vertical-align:top;"|[[Berkas:Symmetric group 4; Cayley table; numbers.svg|thumb|350px|[[Tabel Cayley]] dari [[grup simetris]] ''S''<sub>4</sub><br><br>[[Paritas permutasi | permutasi ganjil]] diberi warna:<br>[[Transposisi (matematika) | Transposisi]] ​​dalam warna hijau dan [[Siklus dan titik tetap | 4-siklus]] dalam warna oranye]] || &nbsp;&nbsp;&nbsp; || style="vertical-align:top;"|[[Berkas:Alternating group 4; Cayley table; numbers.svg|thumb|350px|Tabel Cayley dari grup bergantian ''A''<sub>4</sub><br>Elemen: Permutasi genap (identitas, delapan [[Siklus dan titik tetap | 3-siklus]] dan tiga <nowiki>double-</nowiki>[[Transposisi (matematika) | transposisi]] ​​(transposisi ganda dicetak tebal))<br><br>SubgroupsSubgrup:<br>[[Berkas:Klein four-group; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,7,16,23).svg|70px|Klein empat grup]]<br>[[Berkas:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,3,4).svg|60px|Grup siklik Z3]] [[Berkas:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,8,12).svg|60px|Grup siklik Z3]] [[Berkas:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,11,19).svg|60px|Grup siklik Z3]] [[Berkas:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,15,20).svg|60px|Grup siklik Z3]]]]
|}
{| style="margin:auto;" cellspacing="0" cellpadding="0"
 
|+ '''[[Grafik Sikliksiklus (aljabar) | Grafik siklus]]'''▼
{| class=wikitable
|- align=center valign=top ▼
▲|+ [[Grafik Siklik (aljabar) | Grafik siklus]]
|style="padding:0 1em"|[[Berkas:GroupDiagramMiniC3.svg|200px]]<br><math>\mathrm A_3 = \mathrm Z_3</math> (urutan 3)
▲|- align=center valign=top
|style="padding:0 1em"|[[Berkas:GroupDiagramMiniC3GroupDiagramMiniA4.svg|200px]]<BRbr>A<sub>3</submath>\mathrm = Z<sub>3A_4</submath> (urutan 312)
|style="padding:0 1em"|[[Berkas:GroupDiagramMiniA4GroupDiagramMiniA4xC2.svgpng|200px]]<BRbr>A<submath>4\mathrm A_4 \times \mathrm Z_2</submath> (orderurutan 1224)
|- align=center valign=top ▼
| [[Berkas:GroupDiagramMiniA4xC2.png|200px]]<BR>A<sub>4</sub> × Z<sub>2</sub> (urutan 24)
|style="padding:0 1em"|[[Berkas:GroupDiagramMiniD6.svg|200px]]<br><math>\mathrm S_3 = \operatorname{Dih}_3</math> (urutan 6)
▲|- align=center valign=top
|style="padding:0 1em"|[[Berkas:GroupDiagramMiniD6Symmetric group 4; cycle graph.svg|200px]]<BRbr>S<sub>3</submath>\mathrm = Dih<sub>3S_4</submath> (urutan 624)
|style="padding:0 1em"|[[Berkas:SymmetricAlternating group 4; cycle graph; subgroup of S4.svg|200px]]<BRbr>S<submath>4\mathrm A_4</math> di <math>\mathrm S_4</submath> (urutandi 24)kiri
|[[Berkas:Alternating group 4; cycle graph; subgroup of S4.svg|200px]]<BR>A<sub>4</sub> di S<sub>4</sub> di kiri
|}
 
== Contoh A<submath>5\mathrm A_5</submath> sebagai subgrup rotasi 3-ruang-3 ==
[[Berkas:A5_in_SO(3).gif|thumb|<math>\mathrm A_5 < SO_3\operatorname{SO}_3(\mathbb{R})</math>
{{legend|gray|[[bola (matematika) | bola]] -– jari-jari {{<math> \pi}} -</math> – [[ruang homogen utamaprinsip]] dari <math> \operatorname{SO}(3) </math>}}
{{legend|yellow|[[icosidodecahedronikosidodehahedron]] -– jari-jari {{<math> \pi}} -</math> – kelas konjugasisekawan 2siklus-2-cycles2}}
{{legend|purple|[[icosahedronikosahedron]] -– jari jari 4{<math> \frac{4 \pi}{5} </5math> -– setengah dari [https://groupprops.subwiki.org/wiki/Splitting_criterion_for_conjugacy_classes_in_the_alternating_group membagi] kelas konjugasisekawan 5-siklus-5}}
{{legend|green|[[dodecahedrondodekahedron]] -– jari-jari 2{<math> \frac{2 \pi}{3} </3 -math> – kelas konjugasisekawan 3-siklus-3}}
{{legend|red|icosahedronikosahedron -– jari jari 2{<math> \frac{2 \pi}{5} </5math> -– setengah detik dari pembagian 5-siklus-5}}
]]
[[Berkas:Compound of five tetrahedra.png|thumb|Senyawa lima tetrahedra. <math> \mathrm A_5 </math> bekerja pada dodecahedrondodekahedron dengan mengubah 5 tetrahedra yang tertulis. Bahkan permutasi tetrahedra ini adalah persis rotasi simetrissimetrik dodecahedrondari dodekahedron dan mencirikan pemadanan <math>\mathrm A_5 < SO_3\operatorname{SO}_3(\mathbb{R})</math> korespondensi.]]
 
<math>\mathrm A_5</math> adalah grup isometri dodecahedrondodekahedron dalam 3 ruang, jadi ada representasiwakilan <math>\mathrm A_5 \to SO_3\operatorname{SO}_3(\mathbb{R})</math>
 
Dalam gambar ini simpulverteks polihedra mewakili elemen grup, dengan pusat bola mewakili elemen identitas. Setiap simpulverteks mewakili rotasi pada sumbu yang menunjuk dari pusat ke simpulverteks itutersebut, dengan sudut yang sama dengan jarak dari titik asal, dalam radian. SimpulVerteks dalam polihedron yang sama berada dalam kelas konjugasisekawan yang sama. Karena persamaan kelas konjugasisekawan untuk <math> \mathrm A_5 </math> adalah <math>1 + 12 + 12 + 15 + 20 = 60</math>, kita mendapatkan empat polihedra (nontrivialtaktrivial) berbeda.
 
Simpul dari setiap polihedron berada dalam korespondensi bijektivabijektif dengan elemen kelas konjugasinyasekawannya, dengan pengecualian kelas konjugasisekawan siklus-<math>(2,2)-siklik</math>, yang diwakili oleh sebuah icosidodecahedronikosidodekahedron di permukaan luar, dengan simpulverteks antipodal yang diidentifikasi satu sama lain. Alasan redundansi ini adalah bahwa rotasi terkait oleh <math> \pi </math> radian, sehingga dapat diwakili oleh vektor dengan panjang <math> \pi </math> di salah satu dari dua arah. Jadi kelas dari siklus-<math>(2,2)-siklik</math> mengandung 15 elemen, sedangkan icosidodecahedronikosidodekahedron memiliki 30 simpulverteks.
 
Dua kelas konjugasisekawan dari dua belas 5-siklus-5 dalam <math> \mathrm A_5 </math> diwakili oleh dua icosahedraikosahedra, dari jari-jari berturut-turut, <math>\frac{2\pi/}{5}</math> dan <math>\frac{4\pi/}{5}</math>, masing-masing. Automorfisme luar nontrivialtaktrivial pada <math>\textoperatorname{Out}(\mathrm A_5)\simeq \mathrm Z_2</math> mempertukarkan kedua kelas ini dan ikosahedra yang sesuaiberpadanan.
 
== Catatan ==
Baris 129 ⟶ 132:
* {{mathworld | urlname = AlternatingGroupGraph | title = Alternating group graph}}
 
{{DEFAULTSORT:AlternatingGrup Groupselang-seling}}
[[Kategori: Grup hingga]]
[[Kategori: Grup permutasi]]
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Grup_selang-seling"