Deret harmonik (matematika): Perbedaan antara revisi

Namanya diturunkan dari konsep [[nada tambahan]], atau harmoinkharmonik [[Deret harmonik (musik)|dalam musik]]ː [[panjang gelombang]]<nowiki/>nya dari nada tambahan dari sebuah dawai yang bergetar adalah <math display="inline">\frac 1 2</math>, <math display="inline">\frac 1 3</math>, <math display="inline">\frac 1 4</math>, dst., dari [[Frekuensi dasar|panjang gelombang dasar]] dawai. Setiap suku dari deretnya setelah pertamanya adalah [[purata harmonik]] dari suku-suku tetangga, frasa ''purata harmonik'' juga diturunkan dari musik.

Divergensi dari deret harmonik pertama kali dibuktikan dalam abad ke-14 oleh [[Nikolas Oresme|Nicole Oresme]],<ref>{{cite book|last=Oresme|first=Nicole|date=c. 1360|title=Quaestiones super Geometriam Euclidis|trans-title=Questions concerning Euclid's Geometry|authorlink=Nicole Oresme}}</ref> tetapi prestasi ini jatuh dalam ketidakjelassanketidakjelasan. Bukti-bukti diberikan dalam abad ke-17 oleh [[Pietro Mengoli]]<ref>{{cite book|last=Mengoli|first=Pietro|date=1650|title=Novae quadraturae arithmeticae, seu De additione fractionum|location=Bologna|publisher=Giacomo Monti|trans-title=New arithmetic quadrature (i.e., integration), or On the addition of fractions|chapter=Praefatio [Preface]|authorlink=Pietro Mengoli|chapter-url=https://books.google.com/books?id=f9eM5uQvRucC&pg=PP9}}Mengoli's proof is by contradiction:</ref> dan oleh [[Johann Bernoulli]],<ref>{{cite book|last=Bernoulli|first=Johann|date=1742|title=Opera Omnia|location=Lausanne & Basel|publisher=Marc-Michel Bousquet & Co.|at=vol. 4, p. 8|chapter=Corollary III of ''De seriebus varia''|authorlink=Johann Bernoulli|chapter-url=https://books.google.com/books?id=sxUOAAAAQAAJ&pg=PA6}}Johann Bernoulli's proof is also by contradiction. It uses a telescopic sum to represent each term {{sfrac|1|n}} as</ref> bukti terakhir dipublikasikan dan dipopoluerkandipopulerkan oleh saudara laki-lakinya [[Jacob Bernoulli]].<ref>{{cite book|last=Bernoulli|first=Jacob|date=1689|title=Propositiones arithmeticae de seriebus infinitis earumque summa finita|location=Basel|publisher=J. Conrad|trans-title=Arithmetical propositions about infinite series and their finite sums|authorlink=Jacob Bernoulli}}</ref><ref>{{cite book|last1=Bernoulli|first=Jacob|date=1713|url=https://books.google.com/books?id=CF4UAAAAQAAJ&pg=PA250|title=Ars conjectandi, opus posthumum. Accedit Tractatus de seriebus infinitis|location=Basel|publisher=Thurneysen|pages=250–251|trans-title=Theory of inference, posthumous work. With the Treatise on infinite series…|authorlink=Jacob Bernoulli}}From p. 250, prop. 16:</ref>

Menurut sejarah, barisan harmonik memiliki popularitas tertentu dengan arsitek-arsitek. Ini sanagatsangat khusus dalam periode [[Barok]], ketika arsitek-arsitek menggunakan mereka untuk medirikan [[Proporsi (arsitektur)|proporsi]] [[Gambar arsitektur#Denah lantai|denah lantai]], [[Gambaran arsitektur#Ketinggian|ketinggian]], dan untuk membangun hubungan harmonik antara detail arsitektur interior dan eksterior gereja dan istana.<ref>{{cite book|last=Hersey|first=George L.|title=Architecture and Geometry in the Age of the Baroque|pages=11–12, 37–51}}</ref>

| style="border-left:none;padding-left:0;" |/2|| {{0|~}}{{bartable|1.,5||20}}

| style="border-left:none;padding-left:0;" |/6|| ~{{bartable|1.,83333||20}}

| style="border-left:none;padding-left:0;" |/12|| ~{{bartable|2.,08333||20}}

| style="border-left:none;padding-left:0;" |/60|| ~{{bartable|2.,28333||20}}

| style="border-left:none;padding-left:0;" |/20|| {{0|~}}{{bartable|2.,45||20}}

| style="border-left:none;padding-left:0;" |/140|| ~{{bartable|2.,59286||20}}

| style="border-left:none;padding-left:0;" |/280|| ~{{bartable|2.,71786||20}}

| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|2520}}|| ~{{bartable|2.,82897||20}}

| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|2520}}|| ~{{bartable|2.,92897||20}}

| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|27720}}|| ~{{bartable|3.,01988||20}}

| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|27720}}|| ~{{bartable|3.,10321||20}}

| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|360360}}|| ~{{bartable|3.,18013||20}}

| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|360360}}|| ~{{bartable|3.,25156||20}}

| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|360360}}|| ~{{bartable|3.,31823||20}}

| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|720720}}|| ~{{bartable|3.,38073||20}}

| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|12252240}}|| ~{{bartable|3.,43955||20}}

| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|4084080}}|| ~{{bartable|3.,49511||20}}

| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|77597520}}|| ~{{bartable|3.,54774||20}}

| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|15519504}}|| ~{{bartable|3.,59774||20}}

| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|5173168}}|| ~{{bartable|3.,64536||20}}

| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|5173168}}|| ~{{bartable|3.,69081||20}}

| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|118982864}}|| ~{{bartable|3.,73429||20}}

| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|356948592}}|| ~{{bartable|3.,77596||20}}

| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|8923714800}}|| ~{{bartable|3.,81596||20}}

| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|8923714800}}|| ~{{bartable|3.,85442||20}}

| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|80313433200}}|| ~{{bartable|3.,89146||20}}

| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|80313433200}}|| ~{{bartable|3.,92717||20}}

| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|2329089562800}}|| ~{{bartable|3.,96165||20}}

| style="border-left:none;padding-left:0;" |/{{Val|2329089562800}}|| ~{{bartable|3.,99499||20}}

Deret harmonik bolak-balik, sementara [[Keonvergenan bersyarat|konvergen bersyarat]], tidak [[Kekonvergenan mutlak|sepenuhnya konvergen]]: jika asuku-suku dalam deret diatur ulang secara sistematis, secara umum jumlahnya menjadi berbeda dan , bergantung pada penyusunan kembali, bahkan mungkin takhingga.

Rumus deret harmonik bolak-balik adalah sebuah kasus spesial dari [[deret Mercator]], [[deret Taylor]] untuk [[Logaritma alami|logaritma natural]].

untuk setiap bilangan real <math>p</math>. Ketika <math>p = 1</math>, deret-''p'' adalah deret harmonik, yang divergen. Baik itu [[uji integral]] atau [[uji kondensasi Cauchy]] menunjukkan bahwa deret-''p'' konvergen untuk semua <math>p > 1</math> (dalam hal ini disebut '''deret lebih-harmonik''') dan divergen untuk semua <math>p \le 1</math>. Jika <math>p > 1</math> maka jumlah dari deret-''p'' adalah <math>\zeta(p) </math>, yaitu [[fungsi zeta Riemann]] dievaluasi sebagai <math>p</math>

dimana <math>s_n</math> adalah [[Independensi statistik|independen]], variabel acak terdistribusi identik yang mengambil nilai <math>+1</math> dan <math>-1</math> dengan propabilitas sama dengan <math>\frac 1 2</math>, dikenal sebagai sebuah contoh dalam teori probabilitas [[Hampir pasti|dengan probabilitas 1]]. Fakta kekonvergenan ini adalah konsekuensi mudah dari [[teorema tiga deret Kolmogorov]] atau dari [[Pertidaksamaan Kolmogorov|pertidaksamaan maksimal Kolmogorov]] yang terkait erat. Borin Schmuland dari Universitas [[Alberta]] lebih lanjut<ref>{{cite journal|last=Schmuland|first=Byron|date=May 2003|title=Random Harmonic Series|url=http://www.stat.ualberta.ca/people/schmu/preprints/rhs.pdf|journal=American Mathematical Monthly|volume=110|issue=5|pages=407–416|doi=10.2307/3647827|jstor=3647827|access-date=2020-11-25|archive-date=2011-06-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20110608070922/http://www.stat.ualberta.ca/people/schmu/preprints/rhs.pdf|dead-url=yes}}</ref> memeriksa sifat-sifat dari deret harmonik acak, dan menunjukkan bahwa deret konvergen adalah sebuah [[variabel acak]] dengan beberapa sifat-sifat yang menarik. Khususnya, [[fungsi kepekatan probabilitas]] dari variabel acak ini dievalusi pada <math>+2</math> atau pada <math>-2</math> mengambil nilai <math>0.124\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 764\dots</math>, berbeda dari <math>\frac 1 8</math> kurang dari <math>10^{-42}</math>. Makalah Schmuland menjelaskan mengapa probabilitas ini sangat dekat, tetapi tidak persis, <math>\frac 1 8</math>. Nilai pasti dari probabilias ini diberikan oleh integral produk kosinus takhingga <math>C_2</math><ref>{{MathWorld|title=Infinite Cosine Product Integral|id=InfiniteCosineProductIntegral|access-date=November 9, 2020}}</ref> dibagi oleh <math>\pi</math>.

Deret harmonik habis dimana semua dari suku-suku yang digit 9 muncul dimana saja dalampenyebut dihapus dapat ditampilkan untuk konvergen ke nilai <math>22.92067\ 66192\ 64150\ 34816\dots</math>.. <ref>{{cite journal|author=Robert Baillie|date=May 1979|title=Sums of Reciprocals of Integers Missing a Given Digit|journal=[[The American Mathematical Monthly]]|volume=86|pages=372&ndash;374372–374|doi=10.1080/00029890.1979.11994810|jstor=2321096|number=5}}</ref> Faktanya, ketika semua suku berisi setiap deretan bilangan tertentu (dalam setiap [[Dasar bilangan|basis]]) dihilangkan, deretnya konvergen.<ref>{{cite journal|author=Thomas Schmelzer and Robert Baillie|date=Jun 2008|title=Summing a Curious, Slowly Convergent Series|journal=The American Mathematical Monthly|volume=115|pages=545&ndash;540545–540|jstor=27642532|number=6}}</ref>

Deret harmonik bisa [[berlawanan dengan intuisi]] siswa yang pertama kali menjumpainya, itu adalah sebuah [[deret divergen]] meskipun limit dari suku ke-<math>n </math> saat <math>n </math> menuju ke takhingga adalah nol. Kedivergenan dari deret harmonik juga merupakan sumber dari beberapa [[paradoks]] yang jelas. Salah satu dari contoh-contoh ini adalah "[[Semut di atas tali karet|cacing di gelang karet]]".<ref name="autogenerated258">{{Citation|last1=Graham|first1=Ronald|author1-link=Ronald Graham|last2=Knuth|first2=Donald E.|author2-link=Donald Knuth|last3=Patashnik|first3=Oren|author3-link=Oren Patashnik|title=Concrete Mathematics|publisher=[[Addison-Wesley]]|edition=2nd|isbn=978-0-201-55802-9|year=1989|pages=258–264}}</ref> Andaikan bahwa sebuah cacing merangkak di sekitar karet gelang satu meter dengan elastis takhingga pada saat yang sama saat karet gelang direngangkan terdistribusi secara merata. Jika cacing berjalan 1 &nbsp;cm per meint dan karetnya meregang 1 meter per menit, akankah cacing mencapai akhir dari gelang karet? Jawabannya. secara berlawanan, "ya", untuk setelah <math>n </math> menit, rasionya dari jarak berpergian oleh cacing dengan panjang totoal dari gelang karet adalah

Contoh lain adalah [[masalah penumpukan balok]], diberikan sebuah kumpulan domino yang identik, ini jelas mungkin untuk menumpukkan mereka pada tepi dari sebuah meja sehingga mereka menggantung di tepi dari meja tanpa jatuh. Hasil yang berlawanan dengan intuisi adalah bahwa salah satu bisa menumpukkan mereka sedemikian rupa untuk membuat bergantungan menjadi besar, asalkan ada domnio yang cukup.<ref name="autogenerated2582autogenerated258">{{Citation|last1=Graham|first1=Ronald|author1-link=Ronald Graham|last2=Knuth|first2=Donald E.|author2-link=Donald Knuth|last3=Patashnik|first3=Oren|author3-link=Oren Patashnik|title=Concrete Mathematics|publisher=[[Addison-Wesley]]|edition=2nd|isbn=978-0-201-55802-9|year=1989|pages=258–264}}</ref><ref>{{cite journal|last=Sharp|first=R. T.|year=1954|title=Problem 52: Overhanging dominoes|url=http://www.pme-math.org/journal/issues/PMEJ.Vol.1.No.10.pdf|journal=Pi Mu Epsilon Journal|volume=1|issue=10|pages=411–412}}</ref>

Sebuah contoh yang lebih sederhana, di samping itu, adalah perenang yang tetap menambahkan lebih banyak kecepatan ketika menyentuh tembok dari kolam. Perenang mulai melintasi sebuah kolam 10 meter pada sebuah kecepatan 2 m.s, dan dengan setiap lintasan, 2 &nbsp;m/s lainnya ditambahkan ke kecepatan. Dalam teori, kecepatan perenang adalah tak terbatas, tetapi jumlah lintasan yang dibutuhkan untuk mencapai kecepatan itu menjadi sangat besar; contohnya, untuk mencapai [[kecepatan cahaya]] (abaikan [[relativitas khusus]]), perenang membutuhkan untuk melintasi kolam 150 juta kali. Berbeda dengan jumlah besar ini, waktu yang dibutuhkan untuk mencapai sebuah keceptan yang diberikan tergantung pada penjumlahan dari deretnya pada setiap diberikan jumlah lintasan kolam (berulang)ː

== TautanPranala eksternalluar ==