Wikipedia

Gelanggang (matematika): Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
123569yuuift (bicara | kontrib)
2.955 suntingan
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan
Kim Nansa (bicara | kontrib)
3.331 suntingan
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan.
 
(12 revisi perantara oleh 6 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{short description|Struktur aljabar dengan penjumlahan dan perkalian}}
{{about|struktur aljabar|gelanggang geometris|Annulus (matematika)|konsep teori himpunan|gelanggang himpunan}}
 
{{Teori gelanggang sidebar}}
 
Dalam [[matematika]], '''gelanggang''' ({{asal kata|Inggris|ring}}) merupakan salah satu [[struktur aljabar]] yang dibahas dalam [[aljabar abstrak]]. Sebuah gelanggang terdiri dari sebuah himpunan dan dua [[operasi biner]] yang didasarkan pada [[operasi aritmetika]] [[penjumlahan]] dan [[perkalian]]. Pendasaran tersebut memudahkan teorema-teorema yang berlaku pada [[aritmetika]] diterapkan juga dalam objek-objek non-numerik, seperti [[polinomial]], [[Deret (matematika)|deret]], [[Matriks (matematika)|matriks]], dan [[Fungsi (matematika)|fungsi]].
 
Baris 8 ⟶ 13:
 
== Definisi ==
[[Berkas:Number-line.svg|alt=|jmpl|410x410px|[[Bilangan bulat]], dengan operasi [[penjumlahan]] dan [[perkalian]], membentuk contoh prototipikal dari gelanggang.]]Sebuah '''gelanggang''' adalah sebuah [[Himpunan (matematika)|himpunan]] ''R'' dengan dua [[operasi biner]] + dan '''·''' yang memenuhi ketiga aksioma berikut, juga disebut '''aksioma gelanggang'''<ref>{{cite book|author=Nicolas Bourbaki|title=Algebra|publisher=Springer-Verlag|section=§I.8|year=1970}}</ref><ref>{{cite book|title=Algebra|author1=Saunders MacLane|author2=Garrett Birkhoff|publisher=AMS Chelsea|page=85|year=1967|author1-link=Saunders MacLane}}</ref><ref>{{cite book|author=Serge Lang|title=Algebra|url=https://archive.org/details/algebra00slan_986|publisher=Springer-Verlag|page=[https://archive.org/details/algebra00slan_986/page/n97 83]|year=2002|edition=Third|author-link=Serge Lang}}</ref>
[[Berkas:Number-line.svg|alt=|jmpl|410x410px|[[Bilangan bulat]], dengan operasi [[penjumlahan]] dan [[perkalian]], membentuk contoh prototipikal dari gelanggang.]]
 
Contoh gelanggang yang paling mudah dikenali adalah himpunan semua bilangan bulat, <math>\mathbb{Z}</math>, yang terdiri dari bilangan-bilangan
 
: …&nbsp;, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,&nbsp;…
 
Sifat-sifat penjumlahan dan perkalian bilangan bulat merupakan model untuk aksioma-aksioma gelanggang.
 
=== Definisi utama ===
Sebuah '''gelanggang''' adalah sebuah [[Himpunan (matematika)|himpunan]] ''R'' dengan dua [[operasi biner]] + dan '''·''' yang memenuhi ketiga aksioma berikut, juga disebut '''aksioma gelanggang'''<ref>{{cite book|author=Nicolas Bourbaki|title=Algebra|publisher=Springer-Verlag|section=§I.8|year=1970}}</ref><ref>{{cite book|title=Algebra|author1=Saunders MacLane|author2=Garrett Birkhoff|publisher=AMS Chelsea|page=85|year=1967|author1-link=Saunders MacLane}}</ref><ref>{{cite book|author=Serge Lang|title=Algebra|publisher=Springer-Verlag|page=83|year=2002|edition=Third|author-link=Serge Lang}}</ref>
 
# ''R'' merupakan [[grup abelian]] terhadap penjumlahan, artinya:
Baris 26 ⟶ 22:
# ''R'' merupakan [[monoid]] terhadap perkalian, artinya:
#* (''a'' · ''b'') · ''c'' = ''a'' · (''b'' · ''c'') untuk setiap ''a'', ''b'', ''c'' dalam ''R''&nbsp;&nbsp;&nbsp;(dengan kata lain, · bersifat asosiatif).
#* Terdapa sebuah unsur 1 dalam ''R'' yang menyebabkan ''a'' · 1 = ''a'' dan 1 · ''a'' = ''a'' untuk setiap ''a'' dalam ''R''&nbsp;&nbsp;&nbsp;(dengan kata lain, terdapat 1 sebagai [[identitas perkalian]]).<ref>Keberadaan 1 tidak diharuskan oleh setiap pengarang; di sini, istilah ''[[rngRng (aljabar)|rng]]'' apabila keberadaan 1 tidak diperlukan.<!-- This is the most common convention, and is adopted throughout wikipedia, please do not change --> Lihat [[Gelanggang (matematika)#Catatan mengenai definisi|subbagian berikutnya]]</ref>
# Perkalian bersifat [[distributif]] terhadap penjumlahan, artinya:
#* ''a'' ⋅ (''b'' + ''c'') = (''a'' · ''b'') + (''a'' · ''c'') untuk setiap ''a'', ''b'', ''c'' dalam ''R''&nbsp;&nbsp;&nbsp;(distributif kiri).
#* (''b'' + ''c'') · ''a'' = (''b'' · ''a'') + (''c'' · ''a'') untuk setiap ''a'', ''b'', ''c'' dalam ''R''&nbsp;&nbsp;&nbsp;(distributif kanan).
 
=== Catatan mengenai definisi ===
Seperti dijelaskan dalam bagian {{section link||Sejarah}}, sebagian penulis memakai ketentuan berbeda di mana sebuah gelanggang tidak perlu memiliki identitas perkalian. Artikel ini menggunakan ketentuan, kecuali ketika disebutkan sebaliknya, bahwa sebuah gelanggang harus memiliki identitas tersebut.<!--- This is also the convention in [[Wikipedia:Manual of Style/Mathematics]]. ---> Sebagian penulis yang menggunakan ketentuan ini menyebut struktur yang memenuhi semua aksioma ''kecuali'' syarat identitas perkalian sebagai [[rng (aljabar)|rng]] (biasa dibaca ''rung'') dan sebagian menyebutnya [[gelanggang semu]]. Contohnya, himpunan semua bilangan genap dengan operasi + dan ⋅ yang biasa merupakan sebuah rng, tapi bukan sebuah gelanggang.
 
Baris 48 ⟶ 42:
 
== Contoh ==
[[Berkas:Number-line.svg|alt=|thumb|410x410px|[[Bilangan bulat]], dengan dua operasi [[penambahan]] dan [[perkalian]], membentuk contoh prototipe gelanggang.]]
 
Contoh paling familiar dari sebuah gelanggang adalah himpunan dari semua bilangan bulat <math>\mathbf{Z}</math>, terdiri dari [[bilangan]]
 
: ...&nbsp;, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,&nbsp;...
 
Sifat familiar untuk penjumlahan dan perkalian bilangan bulat berfungsi sebagai model untuk aksioma gelanggang.
 
=== Contoh: Bilangan bulat modulo 4 ===
{{see also| Aritmetika modular}}
Baris 73 ⟶ 75:
 
=== Dedekind ===
Penelitian gelanggang berawal dari teori [[gelanggang polinomial]] dan teori [[bilangan bulat aljabar]].<ref name="history">[{{Cite web |url=http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Ring_theory.html |title=The development of Ring Theory] |access-date=2020-05-21 |archive-date=2017-04-24 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170424234340/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Ring_theory.html |dead-url=yes }}</ref> Pada 1871, [[Richard Dedekind]] mendefinisikan konsen gelanggang bilangan bulat dari medan bilangan.<ref>{{sfn|Kleiner |1998, |p.&nbsp;=27.</ref>}} Dalam konteks ini, dia memperkenalkan istilah "ideal" (terinspirasi dari istilah angka ideal dari [[Ernst Kummer]]) dan "modul" dan mempelajari sifat-sifat mereka. Namun, Dedekind tidak mengguanakan istilah "''ring''" dan tidak mendefinisikan konsep gelanggang secara umum.
 
=== Hilbert ===
Istilah "''Zahlring''" (gelanggang angka) dibuat oleh [[David Hilbert]] pada 1892 dan diterbitkan pada 1897.<ref>{{sfn|Hilbert |1897.</ref>}} Menurut Harvey Cohn, Hilbert menggunakan istilah gelanggang yang memiliki sifat "berputar kembali" ke unsur itu sendiri.<ref>{{Citation|last=Cohn|first=Harvey|title=Advanced Number Theory|publisher=Dover Publications|location=New York|year=1980|page=[https://archive.org/details/advancednumberth00cohn_0/page/49 49]|isbn=978-0-486-64023-5|url=https://archive.org/details/advancednumberth00cohn_0/page/49}}</ref> Secara khusus, dalam sebuah gelanggang bilangan bulat aljabar, semua pangkat yang tinggi dari bilangan bulat aljabar bisa ditulis sebagai kombinasi integral dari pangkat-pangkat yang rendah, jadi pangkatnya "berputar". Contohnya, jika {{nowrap|1=''a''<sup>3</sup> − 4''a'' + 1 = 0}} maka {{nowrap|1=''a''<sup>3</sup> = 4''a'' − 1}}, {{nowrap|1=''a''<sup>4</sup> = 4''a''<sup>2</sup> − ''a''}}, {{nowrap|1=''a''<sup>5</sup> = −''a''<sup>2</sup> + 16''a'' − 4}}, {{nowrap|1=''a''<sup>6</sup> = 16''a''<sup>2</sup> − 8''a'' + 1}}, {{nowrap|1=''a''<sup>7</sup> = −8''a''<sup>2</sup> + 65''a'' − 16}}, dan seterusnya; secara umum, ''a''<sup>''n''</sup> adalah [[kombinasi linear]] integral dari 1, ''a'', dan ''a''<sup>2</sup>.
 
=== Fraenkel dan Noether ===
Definisi aksiomatik gelanggang yang pertama diberikan oleh [[Abraham Fraenkel|Adolf Fraenkel]] pada 1914,<ref>{{sfn|Fraenkel, |1915|pp.&nbsp;=143–145</ref><ref>}}{{sfn|Jacobson (|2009), |p. =86, |loc=footnote 1.</ref>}} tapi aksiomanya lebih ketat daripada yang terdapat di definisi modern. Contohnya, dia menetapkan setiap [[pembagi nol|pembagi bukan nol]] harus memiliki [[invers perkalian]].<ref>{{sfn|Fraenkel, |1915|p.&nbsp;=144,|loc=axiom axiom&nbsp;''R''<sub>8)</sub>.</ref>}} Pada 1921, [[Emmy Noether]] memberikan definisi aksiomatik modern dari gelanggang (komutatif) dan mengembangkan dasar dari teori gelanggang komutatif dalam makalahnya ''Idealtheorie in Ringbereichen''.<ref name="{{sfn|Noether, |1921|p. =29">Noether, p.&nbsp;29.</ref>}}
 
=== Identitas perkalian: wajib vs. pilihan ===
Fraenkel menetapkan sebuah gelanggang harus memiliki identitas perkalian 1,<ref>{{sfn|Fraenkel, |1915|p.&nbsp;=144, |loc=axiom&nbsp; ''R''<sub>7)</sub>.</ref>}} sedangkan Noether tidak.<ref name="{{sfn|Noether, |1921|p. =29"/>}}
 
Sebagian besar buku aljabar<ref>Van{{sfn|van der Waerden, |1930.</ref><ref>}}{{sfn|Zariski and |Samuel, |1958.</ref>}} sampai sekitar tahun 1960 mengikuti definisi Noether yang tidak memerlukan 1. Mulai dari 1960-an, menjadi lebih banyak buku yang memerlukan 1 dalam definisi gelanggang, terutama di buku lanjutan oleh penulis terkenal seperti Artin,<ref>{{sfn|Artin, |2018|p.&nbsp;=346.</ref>}} Atiyah dan MacDonald,<ref>{{sfn|Atiyah and |MacDonald, |1969|p.&nbsp;=1.</ref>}} Bourbaki,<ref>{{sfn|Bourbaki, |1989|p.&nbsp;=96.</ref>}} Eisenbud,<ref>{{sfn|Eisenbud, ||p.&nbsp;=11.</ref>}} dan Lang.<ref>{{sfn|Lang, ||p.&nbsp;=83.</ref>}} Meskipun begitu, sekarang masih banyak buku yang tidak memerlukan 1.<ref>{{sfn|Gallian, |2006|p.&nbsp;=235.</ref><ref>}}{{sfn|Hungerford, |1997|p.&nbsp;=42.</ref><ref>}}{{sfn|Warner, |1965|p.&nbsp;=188.</ref>}}
 
Menghadapi ambiguitas ini, sebagian penulis mencoba menekankan pandangkan mereka, sementara sebagian yang lainya mencoba memakai istilah yang lebih persis.
 
Dari kategori pertama, salah satu contohnya adalah Gardner dan Wiegandt, yang mengatakan bahwa apabila semua gelanggang harus memiliki 1, maka salah satu akibatnya adalah tidak adanya [[jumlah langsung]] tak terhingga dari gelanggang, dan yang dijumlah langsung dari gelanggang bukanlah subgelanggang. Mereka menyimpulkan bahwa "dalam banyak, mungkin kebanyakan, cabang teori gelanggang dibutuhkannya keberadaan unsur satuan tidaklah berakal sehat, dan sebab itu tidak bisa diterima."<ref>{{sfn|Gardner and |Wiegandt |2003.</ref>}} [[Bjorn Poonen|Poonen]] membuat argumen bantahan: gelanggang tanpa identitas perkalian tidak bersifat asosiatif secara total (hasil kali dari barisan terhingga manapun yang terdiri dari unsur-unsur gelanggang, termasuk barisan kosong, didefinisikan dengan baik, tidak tergantung urutan operasi) dan menulis "lanjutan alamiah dari sifat asosiatif memerlukan gelanggang yang mengandung hasil kali kosong, jadi wajar bila gelanggang memerlukan sebuah 1".<ref>{{sfn|Poonen |2018.</ref>}}
 
Dalam kategori kedua, beberapa penulis menggunakan istilah-istilah berikut:<ref>{{sfn|Wilder |1965, |p. =176.</ref><ref>}}{{sfn|Rotman |1998, |p. =7.</ref>}}
 
:* gelanggang dengan identitas perkalian: ''unital ring'', ''unitary ring'', ''unit ring'', ''ring with unity'', ''ring with identity'', atau ''ring with 1''
:* gelanggang tanpa identitas perkalian: ''rng'' atau ''pseudo-ring'',<ref>{{sfn|Bourbaki, |1989|p.&nbsp;=98.</ref>}} tapi yang kedua bisa jadi membingungkan karena punya arti lain.
 
== Modul ==
Baris 110 ⟶ 112:
Meskipun didefinisikan serupa, teori modul jauh lebih rumit daripada ruang vektor, terutama, karena, tidak seperti ruang vektor, modul tidak dikarakterisasi (hingga isomorfisme) oleh invarian tunggal ([[dimensi (ruang vektor)|dimensi ruang vektor]]). Secara khusus, tidak semua modul memiliki [[basis (aljabar linear)|basis]].
 
Aksioma modul menyiratkan bahwa {{math|1=(−1)''x'' = −''x''}}, di mana minus pertama menunjukkan [[aditif invers]] di dalam gelanggang dan minus kedua menunjukkan invers penjumlahan di modul. Menggunakan ini dan menunjukkan penambahan berulang dengan perkalian dengan [[Bilangan asli|bilangan bulat positif]] memungkinkan mengidentifikasi kelompok abelian dengan modul di atas gelanggang bilangan bulat.
 
== Lihat pula ==
Baris 129 ⟶ 131:
* [[Gelanggang Dedekind]]
* [[Gelang diferensial]]
* [[Bidang eksponensial | Gelanggang eksponensial]]
* [[Gelanggang terbatas]]
* [[Gelanggang Lie]]
* [[Gelanggang lokal]]
* [[Gelanggang Noetherian | Noetherian]] dan [[Gelanggang Artinian]]
* [[Gelanggang urutan]]
* [[Gelanggang Poisson]]
Baris 158 ⟶ 160:
| edition=2nd
| year=2018
| ref=harv
}}
* {{Cite book
Baris 163 ⟶ 166:
| first1=Michael
| author1-link=Michael Atiyah
| last2=MacdonaldMacDonald
| first2=Ian G.
| author2-link=Ian G. MacdonaldMacDonald
| title=Introduction to commutative algebra
| publisher=Addison–Wesley
| year=1969
| ref=harv
}}
* {{Cite book
Baris 177 ⟶ 181:
| year=1964
| publisher=Hermann
| ref=harv
}}
* {{Cite book
Baris 185 ⟶ 190:
| publisher=Springer
| year=1989
| ref=harv
}}
* {{Citation
Baris 199 ⟶ 205:
| author-link=David Eisenbud
| title=Commutative algebra with a view toward algebraic geometry
| url=https://archive.org/details/commutativealgeb0000eise
| publisher=Springer
| year=1995
| ref=harv
}}
}}
* {{Cite book
| last1=Gallian
| first1=Joseph A.
| title=Contemporary Abstract Algebra, Sixth Edition.
| url=https://archive.org/details/contemporaryabst0000gall
| publisher=Houghton Mifflin
| year=2006
| isbn=9780618514717
| ref=harv
}}
}}
* {{Cite book
| title=Radical Theory of Rings
Baris 219 ⟶ 229:
| year=2003
| isbn=0824750330
| ref=harv
}}
* {{Cite book
Baris 232 ⟶ 243:
| orig-year=reprint of the 1968 original
| isbn=0-88385-015-X
| ref=harv
}}
* {{Cite book
Baris 240 ⟶ 252:
| year=1997
| isbn=9780030105593
| ref=harv
}}
* {{Cite book
Baris 251 ⟶ 264:
| year=2009
| isbn=978-0-486-47189-1
| ref=harv
}}
* {{Cite journal
Baris 261 ⟶ 275:
| edition=Revised
| year=1964
| ref=harv
}}
* {{Cite journal
Baris 270 ⟶ 285:
| volume=I
| year=1943
| ref=harv
}}
* {{Citation
Baris 294 ⟶ 310:
| year=2001
| isbn=0-387-95183-0
| ref=harv
}}
* {{Cite book
Baris 305 ⟶ 322:
| year=2003
| isbn=0-387-00500-5
| ref=harv
}}
* {{Cite book
Baris 316 ⟶ 334:
| year=1999
| isbn=0-387-98428-3
| ref=harv
}}
* {{Lang Algebra|edition=3r}}.
Baris 327 ⟶ 346:
| year=1989
| isbn=978-0-521-36764-6
| ref=harv
}}
* {{Cite web
Baris 333 ⟶ 353:
| title=A primer of commutative algebra
| url=http://www.jmilne.org/math/xnotes/ca.html
| access-date=2021-02-01
}}
| archive-date=2023-05-30
| archive-url=https://web.archive.org/web/20230530132032/https://www.jmilne.org/math/xnotes/ca.html
| dead-url=no
}}
* {{Citation
| last1=Rotman
Baris 363 ⟶ 387:
| year=1965
| isbn=9780486663418
| ref=harv
}}
* {{Cite book
Baris 368 ⟶ 393:
| last1=Wilder
| title=Introduction to Foundations of Mathematics
| url=https://archive.org/details/introductiontofo0000wild_t0a3
| publisher=Wiley
| year=1965
| ref=harv
}}
}}
* {{Cite book
| last1=Zariski
Baris 380 ⟶ 407:
| publisher=Van Nostrand
| year=1958
| ref=harv
}}
{{refend}}
Baris 418 ⟶ 446:
| pages=222–227
| year=1947
| ref=harv
}}
* {{Cite book
Baris 427 ⟶ 456:
| publisher=Cambridge University Press
| year=2000
| ref=harv
}}
* {{Citation
Baris 439 ⟶ 469:
| url-access=registration
| url=https://archive.org/details/skewfieldstheory0000cohn
}}
* {{Citation
| last1=Eisenbud
Baris 464 ⟶ 494:
| doi=10.3792/pja/1195519146
| doi-access=free
| ref=harv
}}
* {{Cite book
Baris 471 ⟶ 502:
| first2=H.
| title=Handbook of Mathematics and Computational Science
| url=https://archive.org/details/handbookofmathem00harr
| publisher=Springer
| year=1998
| ref=harv
}}
}}
* {{Cite book
| last=Isaacs
Baris 481 ⟶ 514:
| isbn=978-0-8218-4799-2
| year=1994
| ref=harv
}}
* {{Citation
Baris 506 ⟶ 540:
| publisher=Addison–Wesley
| year=1998
| ref=harv
}}
* {{Cite book
Baris 517 ⟶ 552:
| isbn=9780486411477
| url=https://books.google.com/books?id=xUQc0RZhQnAC&q=ring
| ref=harv
}}
| access-date=2021-02-01
| archive-date=2023-07-29
| archive-url=https://web.archive.org/web/20230729211757/https://books.google.com/books?id=xUQc0RZhQnAC&q=ring
| dead-url=no
}}
* {{Cite web
| last=Milne
Baris 523 ⟶ 563:
| title=Class field theory
| url=http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/cft.html
| access-date=2021-02-01
}}
| archive-date=2023-03-14
| archive-url=https://web.archive.org/web/20230314232125/https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/cft.html
| dead-url=no
}}
* {{Citation
| last1=Nagata
Baris 547 ⟶ 591:
| isbn=0-387-90693-2
| url=https://archive.org/details/associativealgeb00pier_0
| ref=harv
}}
}}
* {{Citation
| last=Poonen
Baris 556 ⟶ 601:
| arxiv=1404.0135
| url=https://math.mit.edu/~poonen/papers/ring.pdf
| accessdate=2021-02-01
}}
| archive-date=2023-05-05
| archive-url=https://web.archive.org/web/20230505065100/https://math.mit.edu/~poonen/papers/ring.pdf
| dead-url=no
}}
* {{Citation
| last=Serre
Baris 577 ⟶ 626:
| url=https://books.google.com/books?id=pTV7CwAAQBAJ&q=ring
| isbn=9783540373704
| accessdate=2021-02-01
}}
| archive-date=2023-07-29
| archive-url=https://web.archive.org/web/20230729211758/https://books.google.com/books?id=pTV7CwAAQBAJ&q=ring
| dead-url=no
}}
* {{Cite web
| last=Weibel
Baris 583 ⟶ 636:
| title=The K-book: An introduction to algebraic K-theory
| url=http://www.math.rutgers.edu/~weibel/Kbook.html
| access-date=2021-02-01
}}
| archive-date=2017-01-05
| archive-url=https://web.archive.org/web/20170105041334/http://www.math.rutgers.edu/~weibel/Kbook.html
| dead-url=no
}}
* {{Cite book
| last1=Zariski
Baris 597 ⟶ 654:
| year=1975
| isbn=0-387-90089-6
| ref=harv
}}
{{refend}}
Baris 611 ⟶ 669:
| pages=139–176
| year=1915
| ref=harv
}}
* {{Cite journal
Baris 620 ⟶ 679:
| volume=4
| year=1897
| ref=harv
}}
* {{Cite journal
Baris 634 ⟶ 694:
| s2cid=121594471
| url=https://zenodo.org/record/1428306
| ref=harv
| access-date=2021-02-01
| archive-date=2023-05-26
| archive-url=https://web.archive.org/web/20230526213845/https://zenodo.org/record/1428306
| dead-url=no
}}
{{refend}}
Baris 639 ⟶ 704:
=== Referensi sejarah ===
{{refbegin}}
* [http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Ring_theory.html History of ring theory at the MacTutor Archive] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170424234340/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Ring_theory.html |date=2017-04-24 }}
* [[Garrett Birkhoff]] anddan [[Saunders Mac Lane]] (1996) ''A Survey of Modern Algebra'', 5thedisi edke-5. New York: Macmillan.
* Bronshtein, I. N. anddan Semendyayev, K. A. (2004) [[Bronshtein and Semendyayev|Handbook of Mathematics]], 4thedisi edke-4. New York: Springer-Verlag {{isbn|3-540-43491-7}}.
* Faith, Carl (1999) ''Rings and things and a fine array of twentieth century associative algebra''. Mathematical Surveys and Monographs, 65. [[American Mathematical Society]] {{isbn|0-8218-0993-8}}.
* Itô, K. editor (1986) "Rings." §368 indalam ''Encyclopedic Dictionary of Mathematics'', 2ndedisi edke-2., Vol. 2. Cambridge, MA: [[MIT Press]].
* [[Israel Kleiner (mathematicianmatematikawan)|Israel Kleiner]] (1996) "The Genesis of the Abstract Ring Concept", [[American Mathematical Monthly]] 103: 417–424 {{doi|10.2307/2974935}}
* Kleiner, I. (1998) "From numbers to rings: the early history of ring theory", [[Elemente der Mathematik]] 53: 18–35.
* [[B. L. van der Waerden]] (1985) ''A History of Algebra'', Springer-Verlag,
{{refend}}
 
{{Aljabar}}
{{Authority control}}
 
{{DEFAULTSORT:RingGelanggang (MathematicsMatematika)}}
{{Aljabar}}
 
[[Kategori:Struktur aljabar]]
[[Kategori:Teori gelanggang]]
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Gelanggang_(matematika)"