Resolusi (teori Galois): Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. |
||
| (2 revisi perantara oleh 2 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 12:
== Definisi ==
Misalkan {{mvar|''n''}} adalah [[Bilangan asli|bilangan bulat positif]], derajat dari persamaan yang dipertimbangkan, dan {{math|(''X''<sub>1</sub>, ..., ''X<sub>n</sub>'')}} daftar [[tak tentu (variabel)|tak tentu]]. Hal ini mendefinisikan ''polinomial generik'' dari derajat {{mvar|''n''}}
:<math>F(X)=X^n+\sum_{i=1}^n (-1)^i E_i X^{n-i} = \prod_{i=1}^n (X-X_i),</math>
dimana {{math|''E''<sub>''i''</sub>}} adalah ''i''<sup>ke</sup> [[polinomial simetris dasar]].
[[Grup simetris]] {{math|''S''<sub>''n''</sub>}} dari tindakan {{math|''X''<sub>''i''</sub>}} dengan menggunakan induksi tindakan pada polinomial {{math|''X''<sub>''i''</sub>}}. [[Pemusat (teori grup)|Pemusat]] dari polinomial tertentu di bawah tindakan trivial, tetapi beberapa polinomial memiliki penstabil yang lebih besar. Misalnya, penstabil polinomial simetris elementer adalah grup {{math|''S''<sub>''n''</sub>}}. Jika penstabil non-trivial, polinomial ditetapkan oleh beberapa [[subgrup]] non-trivial {{mvar|''G''}}; sebagai ''invarian'' dari {{mvar|'' lG''}}. Sebaliknya, subgrup {{mvar|''G''}} dari {{math|''S''<sub>''n''</sub>}}, invarian dari {{mvar|''G''}} adalah '''resolusi invarian''' untuk {{mvar|''G''}} jika bukan merupakan invarian dari subgrup dari {{math|''S''<sub>''n''</sub>}}.<ref>http://www.alexhealy.net/papers/math250a.pdf</ref>
Invarian untuk subgrup tertentu {{mvar|''G''}} dari {{math|''S''<sub>''n''</sub>}} relatif mudah; menjumlahkan [[Orbit (teori grup)|orbit]] dari sebuah monomial di bawah {{math|''S''<sub>''n''</sub>}}. Namun mungkin terjadi bahwa polinomial yang dihasilkan adalah invarian untuk grup. Misalnya, pertimbangkan kasus subgrup {{math|''G''}} dari {{math|''S''<sub>''4''</sub>}} dari urutan 4, terdiri dari {{math|(12)(34)}}, {{math|(13)(24)}}, {{math|(14)(23)}} dan identitas (untuk notasinya, lihat [[grup permutasi]]). Monomial tersebut {{math|''X''<sub>1</sub>''X''<sub>2</sub>}} memberikan invarian {{math|2(''X''<sub>1</sub>''X''<sub>2</sub> + ''X''<sub>3</sub>''X''<sub>4</sub>)}}. Hal ini bukan invarian penyelesai untuk {{math|''G''}}, sebagai invarian oleh {{math|(12)}}, pada kenyataannya, ini adalah invarian resolusi untuk subgrup dihedral {{math|⟨(12), (1324)⟩}}, dan digunakan untuk mendefinisikan [[resolusi kubik]] dari [[persamaan kuartik]].
Baris 28:
dengan koefisien di bidang tertentu {{mvar|''K''}} (biasanya [[bidang rasional]]) dan akar {{math|''x''<sub>''i''</sub>}} dalam ekstensi [[bidang tertutup aljabar]]. Mengganti {{math|''X''<sub>''i''</sub>}} oleh {{math|''x''<sub>''i''</sub>}} dan koefisien {{mvar|''F''}} oleh {{mvar|''f''}} yang mendahului, polinomial <math>R_G^{(f)}(Y)</math>, juga disebut ''resolusi'' atau ''resolusi khusus'' dalam kasus ambiguitas). Jika [[grup Galois]] dari {{mvar|''f''}} ke {{mvar|''G''}}, maka spesialisasi dari resolusi invarian adalah invarian oleh {{mvar|''G''}} dan dengan akar dari <math>R_G^{(f)}(Y)</math> yang dimiliki {{mvar|''K''}} (rasional pada {{mvar|''K''}}). Sebaliknya jika <math>R_G^{(f)}(Y)</math> adalah akar rasional, yang bukan merupakan akar ganda, grup Galois dari {{mvar|''f''}} ke {{mvar|''G''}}.
▲Beberapa varian dalam terminologi tersebut.
* Bergantung pada penulis atau pada konteks, ''resolusi'' merujuk ke ''resolusi invarian'' dari ''resolusi persamaan''.
* '''Resolusi Galois''' adalah pemecah sehingga invarian penentu [[Lincoln Near-Earth Asteroid Research|linear]] di akarnya.
* '''{{vanchor|Resolusi Lagrange}}''' mengacu pada polinomial linear
::<math>\sum_{i=0}^{n-1} X_i \omega^i</math>
Baris 49 ⟶ 48:
* {{Cite journal | last1 = Girstmair | first1 = K. | title = On the computation of resolvents and Galois groups | doi = 10.1007/BF01165834 | journal = Manuscripta Mathematica | volume = 43 | issue = 2–3 | pages = 289–307 | year = 1983 }}
[[Kategori:
[[Kategori:
[[Kategori:
[[Kategori:
| |||