Aritmetika modular: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
melakukan perbaikan gaya bahasa pada →Kekongruenan bilangan bulat: dan menambahkan bagian →Perkembangan teoritis: didasarkan pada konten Wikipedia bahasa Perancis fr:Arithmétique_modulaire. |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. |
||
| (7 revisi perantara oleh 5 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 2:
[[Berkas:Clock group.svg|thumb|250px|right|Pengatur waktu pada jam ini menggunakan aritmetika modulo 12.]]
Dalam [[matematika]] dan khususnya pada [[teori bilangan aljabar]], '''aritmetika modular''' adalah metode [[aritmetika]] untuk menyelesaikan permasalahan mengenai [[bilangan bulat]]. Ide dasar dari aritmetika modular adalah bekerja dengan sisa hasil pembagian bilangan, bukan dengan bilangan itu sendiri. Salah satu contoh dari aritmetika modular ada pada [[sistem 12-jam]], di mana hari dibagi menjadi dua periode 12-jam. Jika sekarang jarum jam menunjukan pukul 7:00, maka 8 jam kemudian akan menunjukan pukul 3:00. Penambahan sederhana akan menghasilkan {{nowrap|7 + 8 {{=}} 15}}. Namun karena jam "berulang" setiap 12 jam, angka 15 "sama dengan" angka 3; ini adalah contoh ''aritmetika modulo'' 12.
Walau sudah dipelajari sejak kuno, sejarawan umumnya mengasosiasikan kemunculan aritmetika modular dengan tahun 1801, tahun publikasi buku ''[[Disquisitiones Arithmeticae]] '' karya [[Carl Friedrich Gauss]]. Pendekatan yang ia gunakan mempermudah penjelasan [[Konjektur|konjektur-konjektur]] terkenal, dan menyederhanakan bukti-bukti penting. Implikasi karya Gauss juga ditemukan pada bidang selain [[teori bilangan]], seperti [[aljabar]] dan [[geometri]].
Baris 18:
[[Qin Jiushao]] (1202-1261) mengembangkan [[teorema sisa Cina]] dalam [[Risalah Matematika dalam Sembilan Bab|risalah matematika yang ia tulis]]. Materi pada risalah tesebut sangat dalam; membahas sistem kekongruenan linear pada kasus [[Operasi modulus|modulus-modulus]] pada sistem tidak saling koprima. [[George Sarton]] menyatakan bahwa karyanya pada sistem kekongruenan melebihi [[Leonhard Euler]] dan [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]].<ref>{{Cite book|last=Chen|first=Joseph C. Y.|date=1996-03-01|url=https://books.google.co.id/books?id=2Wxj0SW9hBgC&pg=PA224&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false|title=Early Chinese Work in Natural Science: A Re-examination of the Physics of Motion, Acoustics, Astronomy and Scientific Thoughts|location=|publisher=Hong Kong University Press|isbn=978-962-209-385-0|pages=224|language=en|url-status=live}}</ref> Namun, karya Qin Jiushao tidak tedengar di luuar Cina sebelum abad ke-20. Karyanya ditemukan ulang oleh sejarawan [[Joseph Needham]]. Di sisi lain, kemiripan notasi yang digunakan di Arab dan Cina mengusulkan ada kontak yang terjadi pada periode-periode sebelumnya.<ref>{{Cite journal|last=Chemla|first=Karine|date=1994|title=Similarities between chineese and arabic mathematical writings : (I) root extraction|url=|journal=Arabic Sciences and Philosophy|volume=4|issue=2|pages=207-266|doi=}}</ref>
[[India]] juga memiliki tradisi kuat dalam aritmetika. [[Aryabhata]] (476 - 550) secara sistematik mencari solusi bilangan bulat dari persamaan linear dengan dua variabel dan koefisien bilangan bulat. Algoritmanya dirujuk sebagai "Kuttaka" pada bukunya ''Âryabhatîya.''<ref>Agathe Keller. [http://halshs.ccsd.cnrs.fr/docs/00/04/96/19/PDF/Analyse.pdf Un commentaire indien du VIIème siècle, Bhâskara et le ganitapada de l’aryabhatiya. Histoire, Philosophie et Sociologie des sciences]. [[Universitas de Paris (2019)|Université Paris 7 - Denis Diderot]], 2000. Français. ffhalshs-00006349f</ref> Persamaan Diofantin derajat dua dipelajari [[Brahmagupta]] (598 - 668).<ref>{{Cite book|last=Sarasvati|first=S. S. Prakash|date=1986|url=|title=A critical study of Brahmagupta and his works|location=Delhi|publisher=|isbn=|pages=|url-status=live}}</ref> Pada abad ke-12, [[Bhāskara II]] menyempurnakan [[metode Chakravala]].
Masa [[Ilmu pengetahuan Islam abad pertengahan|Islam abad pertengahan]] memegang peran ganda dalam perkembangan aritmetika: menggabungkan pengetahuan yang didapatkan di Yunani, India, Cina, dan Eropa,<ref>{{Cite book|last=Pinès|first=Shlomo|date=1986|url=|title=Studies in Arabic versions of Greek texts and in Medieval science.|location=Leiden|publisher=|isbn=|pages=|url-status=live}}</ref> dan menciptakan penemuan baru. Hal ini termasuk studi mengenai sifat dari himpunan bilangan, seperti [[Bilangan prima|prima]], [[Bilangan sempurna|sempurna]], ramah (''amicable''), dan [[Bilangan poligonal|poligonal]].<ref name=":1">{{Cite book|date=2005|url=https://www.worldcat.org/oclc/317446627|title=L'âge d'or des sciences arabes : exposition présentée à l'Institut de monde arabe, Paris, 25 octobre 2005-19 mars 2006|location=[Arles]|publisher=Actes Sud|isbn=2-7427-5672-8|others=Alaoui, Brahim., Institut du monde arabe (France)|oclc=317446627}}</ref> Dalam konteks ini, Qusta bin Lûqâ melakukan terjemahan parsial buku ''[[Arithmetica]]'' milik [[Diofantos|Diofantos dari Alexandria]], di akhir abad ke-9.<ref name=":1" /> Pada masa yang sama, Al-Hajjaj menerjemahkan ''Elemen'' milik Euclid.<ref>{{Cite book|last=Berggren|first=John Lennart|date=1986|url=https://archive.org/details/episodesinmathem0000berg|title=Episodes in the Mathematics of Medieval Islam|location=|publisher=Springer|isbn=|pages=[https://archive.org/details/episodesinmathem0000berg/page/70 70]-71|url-status=live}}</ref> Koleganya, [[Al-Khwarizmi|Al-Kharizmi]] (sekitar 783 - 850), menulis buku mengenai numerisasi. Terjemahan bahasa Latin dari buku ini adalah ''Algoritmi de numero Indorum''.<ref>{{Cite journal|last=Crossley|first=John|last2=Henry|first2=Alan|date=1990|title=Thus Spake al-Khwārizimī: A Translation of the Text of Cambridge University Library Ms. li.vi.5|url=|journal=Historia Mathematica|volume=17|issue=|pages=103-131|doi=}}</ref> [[Tsabit bin Qurrah]] (836-901) mempelajari bilangan ''amicable'' dan bilangan sempurna.<ref>{{Cite book|last=Carmody|first=Francis J.|date=1941|url=|title=Thabit b. Qurra, Four Astronomical Tracts in Latin|location=Berkeley|publisher=|isbn=|pages=|url-status=live}}</ref> [[Ibnu Haitham]] (965 - 1039) melanjutkan hasil kerjanya dan menemukan [[teorema Wilson]].<ref>{{Cite journal|last=Rashed|first=Roshdi|date=1980|title=Ibn al-haytham et le théorème de Wilson|url=|journal=Archive for History of Exact Sciences|volume=22|issue=4|pages=305-321|doi=}}</ref>
=== Perkembangan di Eropa ===
Baris 26:
Pada tahun 1621, Claude-Gaspard Bachet de Méziriac <!-- Mungkin ada alih bahasa yang lebih baik, dari nama orang ini? -->menerjemahkan buku Diofantos ke bahasa Latin, yang memicu ketertarikan matematikawan saat itu. [[Pierre de Fermat]] banyak memberikan pernyataan matematika, tiga yang terkenal adalah [[Teorema Terakhir Fermat|teorema terakhir]]-nya, teorema jumlah dua persegi, dan [[Teorema kecil Fermat|teorema kecil]]-nya. [[Marin Mersenne]] mencari [[Bilangan prima Mersenne|bilangan prima yang mememiliki sifat unik]]. Fermat berkorespodensi dengannya, menulis [terjemahan] "Jika saya mengetahui alasan fundamental mengapa 3, 5, 7, 17, 257, 65537, ..., adalah bilangan prima, sepertinya saya akan menemukan hal yang sangat indah dalam masalah ini, karena saya sudah menemukan hal hebat yang saya bagikan kepadamu saat ini".<ref>Fermat, ''Korespodensi'', sebuah surat kepada Marin Mersenne, 25 Desember 1640.</ref> Bilangan tersebut dikenal sebagai [[bilangan Fermat]], walau sifat keprimaannya bilangan-bilangan tersebut ternyata hanya tebakan yang keliru dari Fermat. [[René Descartes|Rene Descartes]] melakukan penelitian tanpa hasil, dalam membuktikan jika sisa pembagian [[bilangan prima]] dengan 8 bernilai 1 atau 3, bilangan prima tersebut dapat ditulis dalam bentuk <math>x^2+2y^2</math>.
<!-- ===Perkembangan metode yang digunakan=== -->
=== Kontribusi Carl Friedrich Gauss ===
Baris 36:
Aritmetika modular awalnya diterapkan kepada bilangan bulat, lalu ke polinomial, dilanjutkan kepada himpunan bilangan baru yang sekarang disebut dengan [[bilangan Gaussian]].
Semua persamaan Diofantin Fermat sudah terselesaikan saat ini, kecuali untuk teorema terakhirnya. Beberapa konjektur baru muncul. Sebagai contoh, jika ''a'' dan ''b'' saling [[Koprima (bilangan)|koprima]], apakah barisan aritmetika dengan nilai awal ''a'' dan kelipatan ''b'' memiliki bilangan prima, jika iya berapa banyak? Gauss dan matematikawan lain seperti Legendre berhipotesis bahwa ada takhingga prima di barisan tersebut, namun mereka tidak mampu membuktikannnya.
Aritmetika modular juga semakin diperkaya. Dirichlet, seorang siswa Gauss membuktikan teorema ''aritmetic progression''<ref>{{Cite journal|last=Dirichlet|first=|date=1840|title=Recherches de diverses applications de l'analyse infinitésimale à la théorie des nombres|url=|journal=Journal de Crelle|volume=21|issue=|pages=|doi=}}</ref> dengan mengembangkan konsep [[Karakter Dirichlet|karakter]], sekaligus memberi dasar formal untuk ilmu [[teori bilangan analitik]]. <!-- belum semuanya dialihbahasakan -->
Baris 53:
Kriptografi bukan satu-satunya bidang yang menggunakan istilah "aritmetika modular". Bidang ilmu [[teori informasi]] muncul pada akhir [[Perang Dunia II]]. Dalam kepemimpinan [[Claude Shannon]], bidang tersebut menjadi cabang dari [[matematika terapan]].<ref>{{Cite journal|last=Shannon|first=Claude|date=1948|title=A Mathematical Theory of Communications|url=|journal=Bell System Techical Journal|volume=27|issue=|pages=379-428 dan 623-656|doi=}}</ref> Walau kerahasiaan adalah salah satu topik diskusi, reabilitas (keandalan) juga menjadi tema utama bidang tersebut. [[Richard Hamming]] membuat algoritma pertama pada tahun 1950.<ref>{{Cite journal|last=Hamming|first=Richard|date=1950|title=Error Detecting and Correcting Codes|url=|journal=Bell System Techical Journal|volume=29|issue=|pages=150-163|doi=}}</ref> Sekali lagi, modulus bilangan buat digunakan teknik pengkodean sederhana seperti ''checksum''. Pada tahun 1960, [[Kode siklik|pengkodean]] yang lebih kuat dikembangkan, didasarkan pada polinomal dengan koefisien atas ''finite field''.<ref>{{Cite journal|last=Bose|first=Raj Chandra|last2=Ray-Chaudhuri|first2=D. K.|date=1960|title=On a class of error-correcting. Binary group codes|url=|journal=Information Control|volume=3|issue=|pages=68-79|doi=}}</ref> Aritmetika yang digunakan untuk objek tersebut umumnya menggunakan kata "modular".
[[Ilmu komputer]] menjadi kajian akademik pada awal tahun 1960.<ref>{{Cite book|last=Denning|first=Peter J.|date=2000|url=
Teknik yang dikembangkan untuk kriptografi, [[teori kode]], dan aritmetika komputer, didasarkan pada konsep yang sama, memberikan suatu kesatuan di matematika terkait teori informasi.
Baris 69:
Tanda kurung mengartikan bahwa {{math|(mod ''n'')}} berlaku untuk kedua ruas persamaan. Notasi ini berbeda dengan notasi {{math|''b'' mod ''n''}} (tanpa tanda kurung), yang mengacu pada [[operasi modulus]]. Notasi {{math|''b'' mod ''n''}} merujuk pada sebuah bilangan bulat unik <math>a</math> dengan <math>0 \leq a < n</math> dan memenuhi <math>a \equiv b \; (\text{mod}\; n)</math> (Dengan kata lain, sisa <math>b</math> ketika dibagi dengan <math>n</math><ref name=":0">{{Cite web|date=2020-03-25|title=Comprehensive List of Algebra Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/algebra-symbols/|access-date=2020-08-12|website=Math Vault|language=en-US}}</ref>).
Sebagai contoh, dalam modulus 12 seseorang dapat menyatakan bahwa <math>38 \equiv 14 \ \ (\text{mod}\ \ 12)</math>, karena {{math | 38 - 14 {{=}} 24}}
:<math>a = kn + b,</math>▼
yang secara eksplisit menunjukkan hubungannya dengan [[pembagian Euklides]]. Namun, suku <math>b</math> tersebut bukanlah sisa pembagian <math>a</math> oleh <math>n</math>. Dalam pengartian yang lebih tepat, <math>a \equiv b \ \ (\text{mod}\, n)</math> bahwa {{math | '' a ''}} dan {{math | '' b ''}} memiliki sisa yang sama ketika dibagi dengan{{math | '' n ''}}, yakni▼
:<math>a = pn + r,</math>▼
:<math>b = qn + r,</math>▼
dengan {{math|0 ≤ ''r'' < ''n''}} adalah sisa pembagian keduanya. Mengurangkan kedua ekspresi diatas, kita dapat menemukan hubungan <math>a - b = kn</math> sebelumnya, dengan memilih {{math|1 = ''k'' = ''p'' − ''q''.}}▼
Himpunan
[[Gelanggang (matematika)|Gelanggang]] ini didefinisikan untuk '' n ''> 0 sebagai:
▲karena {{math | 38 - 14 {{=}} 24}}, yang merupakan kelipatan 12. Cara lain untuk menyatakannya adalah dengan mengatakan bahwa 38 dan 14 memiliki sisa yang sama, yakni 2, ketika dibagi dengan 12.
Definisi kekongruenan juga berlaku untuk nilai negatif. Sebagai contoh:▼
:<math> \begin{align}▼
2 &\equiv -3 \pmod 5\\▼
-8 &\equiv 7 \pmod 5\\▼
-3 &\equiv -8 \pmod 5.▼
\end{align}</math>▼
▲Himpunan dari semua [[Modular aritmatika#Kelas kesesuaian|kelas kekongruenan]] dari bilangan bulat untuk modulus {{math | '' n ''}} disebut '''gelanggang bilangan bulat modulo {{math |''n''}} ''',<ref>Ini adalah [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]], ditunjukkan di bawah.</ref> dan dilambangkan <math display="inline">\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>, <math>\mathbb{Z}/n</math>, atau <math>\mathbb{Z}_n</math>.<ref name=":0" /><ref>{{Cite web|date=2013-11-16|title=2.3: Integers Modulo n|url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Abstract_and_Geometric_Algebra/Book%3A_Introduction_to_Algebraic_Structures_(Denton)/02%3A_Groups_I/2.03%3A_Integers_Modulo_n|website=Mathematics LibreTexts|language=en|access-date=2020-08-12}}</ref> Notasi <math>\mathbb{Z}_n</math> adalah, bagaimanapun, tidak disarankan karena bisa disalahartikan dengan himpunan [[P-adik#Pendekatan Aljabar|bilangan bulat adic-{{math | '' n ''}}]]. Gelanggang <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> adalah fundamental untuk berbagai cabang matematika (lihat {{section link|#Aplikasi}} di bawah).
:<math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \left\{ \overline{a}_n \mid a \in \mathbb{Z}\right\} = \left\{ \overline{0}_n, \overline{1}_n, \overline{2}_n,\ldots, \overline{n{-}1}_n \right\}.</math>
▲Kami mendefinisikan penjumlahan, pengurangan, dan perkalian di <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> dengan aturan berikut:
* <math>\overline{a}_n + \overline{b}_n = \overline{(a + b)}_n</math>
Baris 105 ⟶ 83:
* <math>\overline{a}_n \overline{b}_n = \overline{(ab)}_n.</math>
▲Maka, <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> menjadi [[gelanggang komutatif]]. Misalnya, di gelanggang <math>\mathbb{Z}/24\mathbb{Z}</math>, maka
:<math>\overline{12}_{24} + \overline{21}_{24} = \overline{33}_{24}= \overline{9}_{24}</math>
seperti dalam
=== Polinomial ===
{{Main|polinomial siklotomik}}
[[Berkas:Heptadecagone.jpg|jmpl|Konstruksi dengan penggaris dan jangka dari poligon reguler 17 sisi, dengan menggunakan teknik aritmatika modular.]]
Gauss menyadari aritmetika modular juga dapat diterapkan pada himpunan [[polinomial]] dengan koefisien [[bilangan pecahan]], karena himpunan tersebut memiliki penjumlahan, perkalian, dan pembagian Euklides. Kekongruenan pada himpunan ini didasarkan dari sisa hasil bagi Euklides sebuah polinomial dengan polinomial lain.
Gauss menerapkan pendekatan ini ke polinomial <math>x^n-1</math> dan menemukan [[Faktorisasi|faktor-faktor primitifnya]], yang disebut dengan ''polinomial siklotomik''. Hal ini digunakan untuk menemukan konstruksi penggaris dan jangka dari [[heptadekagon]], sebuah poligon reguler dengan 17 sisi. Namun, ia ragu untuk menganggap penerapan ini termasuk dalam aritmetika; ia menulis: "Teori pembagian pada lingkaran, atau pada poligon reguler ..., bukan bagian dari aritmetika dengan sendirinya, namun prinsipnya didapatkan dari aritmetika tingkat lanjut".<ref>[[Carl Friedrich Gauss]] (<abbr>trad.</abbr> A.-C.-M. Poullet-Delisle, éd. Courcier, 1807), [ [[Disquisitiones Arithmeticae]] ], 1801</ref>
===
{{Main|Bilangan Gaussian}}
Pada kasus polinomial dengan koefisien bilangan bulat, sifat pembagian hanya berlaku untuk polinomial dengan koefisien derajat tersebesar bernilai 1 atau -1. Bagian ini membahas modulus berupa polinomial <math>X^2+1</math>, dengan struktur modular yang didapatkan masih bagian dari [[Gelanggang (matematika)|gelanggangnya]]. Gelanggang ini berisi himpunan bilangan dalam bentuk <math>\alpha + i \beta</math>, dengan <math>\alpha</math> dan <math>\beta</math> berupa bilangan bulat dan <math>i</math> berupa [[Bilangan imajiner|unit bilangan imajiner]], yang berkorespodensi dengan monomial <math>X</math>. Himpunan tersebut dikenal sebagai bilangan
=== Sistem residu ===
Baris 147 ⟶ 129:
== Sifat kekongruenan bilangan bulat ==
{{See also|Relasi kekongruenan|Operasi modulus}}Hubungan kekongruenan bilangan bulat dapat ditulis sebagai
▲:<math>a = kn + b,</math>
▲yang secara eksplisit menunjukkan hubungannya dengan [[pembagian Euklides]]. Namun, suku <math>b</math> tersebut bukanlah sisa pembagian <math>a</math> oleh <math>n</math>. Dalam pengartian yang lebih tepat, <math>a \equiv b \ \ (\text{mod}\, n)</math> bahwa {{math | '' a ''}} dan {{math | '' b ''}} memiliki sisa yang sama ketika dibagi dengan{{math | '' n ''}}, yakni
▲:<math>a = pn + r,</math>
▲:<math>b = qn + r,</math>
▲dengan {{math|0 ≤ ''r'' < ''n''}} adalah sisa pembagian keduanya. Mengurangkan kedua ekspresi diatas, kita dapat menemukan hubungan <math>a - b = kn</math> sebelumnya, dengan memilih {{math|1 = ''k'' = ''p'' − ''q''.}}
▲Definisi kekongruenan juga berlaku untuk nilai negatif. Sebagai contoh:
▲:<math> \begin{align}
▲2 &\equiv -3 \pmod 5\\
▲-8 &\equiv 7 \pmod 5\\
▲-3 &\equiv -8 \pmod 5.
▲\end{align}</math>
=== Sifat dasar ===
Baris 156 ⟶ 150:
Untuk sebarang nilai <math>a, b, c</math>. Lebih lanjut, operasi penjumlahan dan perkalian tetap berlaku pada relasi kekongruen modulo <math>n</math>. Jika <math>a_1, b_1, a_2, b_2 </math> memenuhi <math>a_1 \equiv b_1</math> dan <math>a_2 \equiv b_2</math>, maka <math>a_1 + a_2 \equiv b_1 + b_2</math> dan <math>a_1a_2 \equiv b_1b_2</math>. Hal ini juga menyebabkan beberapa operasi lain tetap berlaku:
* Penjumlahan skalar: <math>a+k \equiv b+k</math> dan <math>a-k \equiv b-k</math>
*[[Perkalian skalar]]: <math>ak \equiv bk</math>
* Perpangkatan: <math>a^k \equiv b^k</math>, untuk bilangan bulat non-negatif <math>k</math>
* Untuk polinomial <math>p(x)</math> dengan koefisien-koefisien bilangan bulat, berlaku <math>p(a) \equiv p(b)</math>
Baris 167 ⟶ 161:
=== Invers perkalian ===
Tidak semua relasi kekongruenan modulo <math>n</math> memiliki [[invers perkalian]]. Eksistensi bilangan bulat <math>a^{-1}</math> (sehingga <math>aa^{-1} \equiv 1</math>) ada jika dan hanya jika <math>a</math> saling koprima dengan modulus <math>n</math>. Secara khusus, jika <math>p</math> adalah bilangan prima maka <math>a</math> (yang terletak diantara <math>0 < a < p</math>) akan selalu koprima dengan <math>p</math>. Dalam kasus ini, invers perkalian kekongruenan modulo <math>p</math> ada untuk semua bilangan yang tidak kongruen dengan nol. Bilangan bulat <math>a^{-1}</math> disebut'' [[invers perkalian modular]] ''dari <math>a</math> modulo <math>n</math>. Berikut beberapa sifat invers perkalian modular:
* Jika <math>a \equiv b</math> dan <math>a^{-1}</math> ada, maka berlaku <math>a^{-1} \equiv b^{-1} \pmod{n}</math>. Pada kasus <math>a= b</math>, hal ini dapat digunakan untuk menunjukkan ketunggalan invers perkalian.
Baris 190 ⟶ 184:
Dalam matematika teoretis, aritmatika modular adalah salah satu fondasi [[teori bilangan]], menyentuh hampir setiap aspek studinya, dan itu juga digunakan secara luas dalam [[teori grup]], [[teori gelanggang]], [[teori simpul]], dan [[aljabar abstrak]]. Dalam matematika terapan, ini digunakan dalam [[aljabar komputer]], [[kriptografi]], [[ilmu komputer]], [[kimia]] dan [[seni visual|visual]] dan seni [[musik]]al.
Aplikasi yang sangat praktis adalah menghitung checksum dalam pengenal bilangan deret. Misalnya, [[Nomor Buku Standar Internasional]] (ISBN) menggunakan aritmatika modulo 11 (untuk 10 digit ISBN) atau modulo 10 (untuk ISBN 13 digit) untuk deteksi kesalahan. Demikian juga, [[Nomor Rekening Bank Internasional]] (IBAN), misalnya, menggunakan aritmatika modulo 97 untuk melihat kesalahan input pengguna di nomor rekening bank. Dalam kimia, digit terakhir dari [[nomor registrasi CAS]] (nomor pengenal unik untuk setiap [[senyawa kimia]]) adalah [[digit pemeriksa]], yang dihitung dengan mengambil digit terakhir dari dua bagian pertama [[Nomor CAS]] dikalikan 1, digit sebelumnya dikalikan 2, digit sebelumnya dikali 3 dll., menjumlahkan semua ini dan menghitung.
Dalam kriptografi, aritmatika modular secara langsung mendukung sistem [[Kriptografi kunci publik|kunci publik]] seperti [[RSA (algoritme)|RSA]] dan [[Pertukaran kunci Diffie–Hellman|Diffie–Hellman]], dan menyediakan [[finite field]] yang mendasari [[kurva elips]], dan digunakan dalam berbagai [[algoritma kunci simetris]] termasuk [[Standar Enkripsi Lanjutan]] (AES), [[Algoritma Enkripsi Data Internasional]] (IDEA), dan [[RC4]]. RSA dan Diffie–Hellman menggunakan [[eksponen modular]].
Dalam aljabar komputer, aritmatika modular biasanya digunakan untuk membatasi ukuran koefisien integer dalam penghitungan dan data menengah. Digunakan dalam [[faktorisasi polinomial]], masalah di mana semua algoritma efisien yang diketahui menggunakan aritmatika modular. Digunakan oleh implementasi yang paling efisien dari algoritma [[pembagi persekutuan terbesar polinomial]], eksak [[aljabar linear]] dan [[basis Gröbner]] di atas bilangan bulat dan [[bilangan rasional]]. Seperti yang diposting di [[Fidonet]] pada tahun 1980-an dan diarsipkan di [[Rosetta Code]], aritmatika modular digunakan untuk menyangkal [[konjektur jumlah pangkat Euler]] pada [[Sinclair QL]] [[mikrokomputer]] menggunakan hanya seperempat dari presisi integer yang digunakan oleh [[CDC 6600]] [[superkomputer]] untuk membantahnya dua dekade sebelumnya melalui [[pencarian brute force]].<ref>{{Cite web|title=Euler's sum of powers conjecture|url=https://rosettacode.org/wiki/Euler%27s_sum_of_powers_conjecture#QL_SuperBASIC|access-date=2020-11-11|website=rosettacode.org|language=en}}</ref>
Dalam ilmu komputer, aritmatika modular sering diterapkan dalam [[operasi bitwise]] dan operasi lain yang melibatkan lebar tetap, [[struktur data]] siklik. [[Operasi modulo]], seperti yang diterapkan di banyak [[bahasa pemrograman]] dan [[kalkulator]], adalah aplikasi aritmetika modular yang sering digunakan dalam konteks. Operator logika [[XOR]] menjumlahkan 2 bit, modulo 2.
Baris 303 ⟶ 297:
* [[Thomas H. Cormen]], [[Charles E. Leiserson]], [[Ronald L. Rivest]], and [[Clifford Stein]]. ''[[Introduction to Algorithms]]'', Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. {{isbn|0-262-03293-7}}. Section 31.3: Modular arithmetic, pp. 862–868.
* [http://genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=3545 Anthony Gioia], ''Number Theory, an Introduction'' Reprint (2001) Dover. {{isbn|0-486-41449-3}}.
* {{cite book |last=Long |first=Calvin T. |year=1972 |title=Elementary Introduction to Number Theory |url=https://archive.org/details/elementaryintrod0000long_m1z0_2ndedi |edition=2nd |publisher=[[D. C. Heath and Company]] |location=Lexington |lccn=77171950}}
* {{cite book |last1=Pettofrezzo |first1=Anthony J. |last2=Byrkit |first2=Donald R. |year=1970 |title=Elements of Number Theory |url=https://archive.org/details/elementsofnumber0000pett |url-access=registration |publisher=[[Prentice Hall]] |location=Englewood Cliffs |lccn=71081766}}
* {{cite book |last=Sengadir |first=T. |title=Discrete Mathematics and Combinatorics |year=2009 |publisher=Pearson Education India |location=Chennai, India |isbn=978-81-317-1405-8 |oclc=778356123}}
== Pranala luar ==
* Dalam [https://web.archive.org/web/20060101075602/http://britton.disted.camosun.bc.ca/modart/jbmodart.htm modular art] artikel, seseorang dapat mempelajari lebih lanjut tentang aplikasi aritmatika modular dalam seni.
* An [https://web.archive.org/web/20160220061222/http://mersennewiki.org/index.php/Modular_arithmetic article] tentang aritmatika modular di wiki GIMPS
| |||