Matriks simetrik: Perbedaan antara revisi

{{for|matriks dengan simetri atas lapangan [[bilangan kompleks]]|Matriks HermitianHermite}}

[[Berkas:Matrix_symmetry_qtl1.svg|jmpl|Simetri pada matriks simetrissimetrik berukuran 5×5.]]

Dalam [[aljabar linear]], '''matriks simetrissimetrik''' adalah jenis [[matriks persegi]] yang sama dengan matriks hasil [[Transpos|transposnya]]. Secara formal, matriks <math>A</math>didefinisikan matriks simetrissimetrik jika <math>A=A^\text{T}</math>. Karena sifat kesamaan pada matriks memerlukan kedua matriks memiliki ukuran yang sama, hanya matriks persegi yang dapat simetrissimetrik.

Elemen-elemen pada matriks simetrissimetrik saling simetrissimetrik sepanjang [[Diagonal utama|diagonal utamanya]]. Secara lebih formal, misal <math>a_{ij}</math> menyatakan elemen matriks <math>A</math> pada baris ke-<math>i</math> dan kolom ke-<math>j</math>. Matriks <math>A</math> simetrissimetrik [[jika dan hanya jika]] untuk setiap <math>i,\,j</math> berlaku <math>a_{ij} = a_{ji}</math>.

Setiap [[Matriks diagonal|matriks persegi diagonal]] bersifat simetrissimetrik, karena setiap elemen non-diagonal utama bernilai nol.

Berikut adalah contoh matriks simetrissimetrik ukuran <math>3 \times 3</math> :

* Penjumlahan dan pengurangan dua matriks simetrissimetrik menghasilkan matriks simetrissimetrik

* Hal ini tidak selalu benar untuk [[Perkalian matriks|hasil perkalian]]: untuk sebarang matriks <math>A</math> dan <math>B</math>, matriks <math>AB</math> bersifat simetrissimetrik [[jika dan hanya jika]] <math>A</math> dan <math>B</math> saling ''commute''komutatif, yakni, jika <math>AB=BA</math>.

* Untuk bilangan bulat <math>n</math>, <math>A^n</math> matriks simetrissimetrik jika <math>A</math> matriks simetrissimetrik.

* Jika <math>A^{-1}</math> ada, maka matriks tersebut simetrissimetrik jika dan hanya jika <math>A</math> simetrissimetrik.

===DekomposisiPenguraian menjadi matriks simetrissimetrik dan simetrissimetrik-miring===

Setiap [[matriks persegi]] dapat dituliskan secara tunggal sebagai penjumlahan matris simetrissimetrik dan [[matriks simetrissimetrik-miring]]. Misal <math>\mbox{Mat}_n</math> menyatakan [[Ruang (matematika)|ruang]] matriks ukuran <math>n \times n</math>. Jika <math>\mbox{Sym}_n</math> adalah ruang matriks simetrissimetrik ukuran <math>n \times n</math> dan <math>\mbox{Skew}_n</math> adalah ruang matriks simetrissimetrik-miring ukuran <math>n \times n</math>, maka <math>\mbox{Mat}_n = \mbox{Sym}_n + \mbox{Skew}_n</math> dan <math>\mbox{Sym}_n \cap \mbox{Skew}_n = \{0\}</math>; yakni,

Perhatikan bahwa <math>\frac{1}{2}\left(X + X^\textsf{T}\right) \in \mbox{Sym}_n</math> dan <math>\frac{1}{2}\left(X - X^\textsf{T}\right) \in \mbox{Skew}_n</math>. Hal ini benar untuk semua matriks persegi <math>X</math> dengan elemen dari sebarang [[Medan (matematika)|lapangan]] dengan nilai [[Karakteristik aljabar|karakteristik]] bukan 2. Matriks simetrissimetrik ditentukan oleh <math>\tfrac{1}{2}n(n+1)</math> skalar (banyaknya elemen di dan dan di atas [[diagonal utama]]). Mirip dengan itu, [[matriks simetrissimetrik-miring]] ditentukan dari <math>\tfrac{1}{2}n(n-1)</math> skalar (banyaknya elemen di atas diagonal utama).

=== Matriks yang kongruen dengan matriks simetrissimetrik ===

Setiap matriks yang [[Kekongruenan matriks|kongruen]] dengan matriks simetrissimetrik juga merupakan matriks simetrissimetrik: jika <math>X</math> adalah matriks simetrissimetrik, begitu pula matriks <math>A X A^{\mathrm T}</math> untuk sebarang matriks <math>A</math>.