Fungtor: Perbedaan antara revisi

Dalam [[matematika]], khususnya [[teori kategori]], '''funktorfungtor''' atau sering disebut '''({{Lang-en|functor'''}}) adalah peta antara [[Kategori (matematika)|kategori]]. Fungtor pertama kali dipertimbangkan dalam [[topologi aljabar]], dimana objek aljabar (yaitu [[grup fundamental]]) terkait dengan [[ruang topologi]], dan peta antara objek aljabar dikaitkan dengan [[fungsi kontinu|kontinu]] peta ruang. Saat ini, fungtor digunakan di seluruh matematika modern untuk menghubungkan berbagai kategori. Dengan demikian, fungtor penting dalam semua bidang dalam matematika yang [[teori kategori]] diterapkan.

Kata ''kategori'' dan ''fungtor'' dipinjam oleh matematikawan dari para filsuf [[Aristoteles]] dan [[Rudolf Carnap]].<ref>{{citation|first1=Saunders|last1=Mac Lane|authorlink1=Saunders Mac Lane|title=Categories for the Working Mathematician|publisher=Springer-Verlag|location=New York|year=1971|isbn=978-3-540-90035-1|page=30}}</ref> Yang terakhir menggunakan ''functor'' dalam konteks [[Linguistik|linguistik]];<ref>[[Rudolf Carnap|Carnap, Rudolf]] (1937). ''The Logical Syntax of Language'', Routledge & Kegan, pp.&nbsp;13–14.</ref>

Artinya, functor harus mempertahankan [[Morfisme#Definisi|morfisme identitas]] dan [[Komposisi fungsi|komposisi]] ​​morfismemorfisme.

Ada banyak konstruksi dalam matematika yang akan berfungsi tetapi karena fakta bahwa mereka "mengubah morfisme" dan "komposisi terbalik". KamiKita kemudian mendefinisikan '' 'contravariant functor' '' '' F '' dari '' C '' ke '' D '' sebagai pemetaan yang

*mengaitkan ke setiap objek <math>X</math> in ''C'' wengandengan objek <math> F(X) </math> di '' D '',

* terkait dengan setiap morfisme <math>f \colon X\to Y</math> di '' C '' dengan morfisme <math>F(f) \colon F(Y) \to F(X)</math> pada '' D '' sehingga dua kondisisyarat berikut berlaku:

Fungsi biasa juga disebut '''fungsi kovarian''' untuk membedakannya dari fungsi kontravarian. Perhatikan bahwa seseorang juga dapat mendefinisikan fungsi kontravarian sebagai fungsi '' kovarian '' pada [[kategori berlawanan]] <math>C^\mathrm{op}</math>.{{sfnp|Jacobson|2009|pp=19–20}} Beberapa penulis lebih suka menulis semua ekspresi secara kovarian. Artinya, alih-alih mengatakan <math>F \colon C\to D</math> adalah functorfungtor kontravarian, mereka hanya menulis <math>F \colon C^{\mathrm{op}} \to D</math> (atau terkadang <math>F \colon C \to D^{\mathrm{op}}</math>) dan menyebutnya sebagai functor.

Fungsional kontravarian juga kadang-kadang disebut '' kofunktorkofungtor ''.<ref name="Popescu1979">{{cite book|last1=Popescu|first1=Nicolae|last2=Popescu|first2=Liliana|title=Theory of categories|date=1979|publisher=Springer|location=Dordrecht|isbn=9789400995505|page=12|url=https://books.google.com/books?id=YnHwCAAAQBAJ&q=cofunctor+covariant&pg=PA12|accessdate=23 April 2016|archive-date=2023-07-26|archive-url=https://web.archive.org/web/20230726141656/https://books.google.com/books?id=YnHwCAAAQBAJ&q=cofunctor+covariant&pg=PA12|dead-url=no}}</ref>

Ada konvensi yang mengacu pada "vektor" yaitu, [[bidang vektor]] s, elemen ruang bagian <math>\Gamma(TM)</math> dari [[paket tangen]] <math>TM</math>—sebagai "contravariant" dan untuk "covectors" yaitu, [[1-bentuk]], elemen ruang bagian <math>\Gamma(T^*M)</math> dari [[bundel kotangen]] <math>T^*M</math> sebagai "kovarian". Terminologi ini berasal dari fisika, dan alasannya berkaitan dengan posisi indeks ("atas" dan "lantai bawah") dalam [[penjumlahan Einstein | ekspresi]] seperti <math>x'^{\, i} = \Lambda^i_j x^j</math> for <math>\mathbf{x}' = \boldsymbol{\Lambda}\mathbf{x}</math> or <math>\omega'_i = \Lambda^j_i \omega_j</math> untuk <math>\boldsymbol{\omega}' = \boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\Lambda}^T.</math> Dalam formalisme ini diamati bahwa simbol transformasi koordinat <math>\Lambda^j_i</math> (representingmewakili the matrixmatriks <math>\boldsymbol{\Lambda}^T</math>) bertindak atas dasar vektor "dengan cara yang sama" seperti pada "koordinat kovektor": <math>\mathbf{e}_i = \Lambda^j_i\mathbf{e}_j</math>—sedangkan ia bertindak "dengan cara yang berlawanan" pada "koordinat vektor" (tetapi "dengan cara yang sama" seperti pada covektor dasar: <math>\mathbf{e}^i = \Lambda^i_j \mathbf{e}^j</math>). Terminologi ini bertentangan dengan yang digunakan dalam teori kategori karena covectors-lah yang memiliki '' kemunduran '' secara umum dan dengan demikian menjadi '' kontravarian '', sedangkan vektor pada umumnya adalah '' kovarian '' karena dapat '' didorong ke depan ''. Lihat pula [[Kovarian dan kontradiksi vektor]].

== FunctorFungtor berlawanan ==

Setiap functor <math>F \colon C\to D</math> menginduksi '''fungsi berlawanan''' <math>F^\mathrm{op} \colon C^\mathrm{op}\to D^\mathrm{op}</math>, dimana <math>C^\mathrm{op}</math> dan <math>D^\mathrm{op}</math> adalah [[kategori berlawanan | kategori berlawanan]] ke <math> C </math> dan <math>D</math>.<ref>{{citation|first1=Saunders|last1=Mac Lane|authorlink1=Saunders Mac Lane|first2=Ieke|last2=Moerdijk|authorlink2=Ieke Moerdijk|title=Sheaves in geometry and logic: a first introduction to topos theory|publisher=Springer|year=1992|isbn=978-0-387-97710-2}}</ref> Menurut definisi, <math>F^\mathrm{op}</math> memetakan objek dan morfisme secara identik ke <math> F </math>. Karena <math>C^\mathrm{op}</math> tidak sesuai dengan <math> C </math> sebagai kategori, dan juga untuk <math> D </math>, <math>F^\mathrm{op}</math> is dibedakan dari <math> F </math>. Misalnya saat menulis <math>F \colon C_0\to C_1</math> with <math>G \colon C_1^\mathrm{op}\to C_2</math>, seseorang harus menggunakan keduanya <math>G\circ F^\mathrm{op}</math> or <math>G^\mathrm{op}\circ F</math>. Perhatikan bahwa, mengikuti properti [[kategori berlawanan]], <math>(F^\mathrm{op})^\mathrm{op} = F</math>.

'''bifunctorBifungtor''' (juga dikenal sebagai '''functorfungtor biner''') adalah functorfungtor yang domainnyaranahnya adalah [[kategori produk]]. Misalnya, [[Homfungtor functorHom]] adalah tipe {{nowrap|''C^op'' × ''C'' → '''Set'''}}. Ini dapat dilihat sebagai functorfungtor dalam argumen '' dua ''. [[Fungtor Hom functor]] adalah contoh alami; itu bertentangan dalam satu argumen, kovarian di argumen lain.

'''multifunctorMultifungtor''' adalah generalisasi dari konsep functorfungtor ke variabel '' n ''. Jadi, misalnya, bifunctorbifungtor adalah multifunctormultifungtor dengan {{nowrap|1=''n'' = 2}}.

'''[[PresheafPragemal (teori kategori)|(Teori kategori) presheaf]]''': Untuk kategori '' C '' dan '' J '', a '' J ''-presheaf pada '' C '' adalah fungsi kontravarian <math>D \colon C\to J</math>.

'''PresheavesPragemal:''' Jika '' X '' adalah [[ruang topologi]], maka [[sethimpunan terbuka]] di '' X '' membentuk [[himpunan orderterurut sebagianparsial]] BukaOpen('' X '') di bawah penyertaan. Seperti setiap himpunan yang diurutkan sebagian, Open('' X '') membentuk kategori kecil dengan menambahkan satu panah {{nowrap|''U'' → ''V''}} jika dan hanya jika <math>U \subseteq V</math>. Fungsional kontravarian pada Open ('' X '') disebut '' [[presheaf|presheavepragemal]] '' pada '' X ''. Misalnya, dengan menetapkan ke setiap set terbuka '' U '' [[aljabar asosiatif]] dari fungsi kontinu bernilai nyata pada '' U '', seseorangsalah satunya memperoleh presheafpragemal dari aljabar di '' X ''.

'''FunctorFungtor konstan:''' FunctorFungtor {{nowrap|''C'' → ''D''}} yang memetakan setiap objek '' C '' ke objek tetap '' X '' di '' D '' dan setiap morfisme di '' C '' ke morfisme identitas di '' X ''. Functor seperti itu disebut functor '' konstan '' atau '' pilihan ''.

'''EndofunctorEndofungtor''': FunctorFungtor yang memetakan kategori ke kategori yang sama; misalnya, [[fungsi polinomial]].

'''FunctorFungtor identitas''': dalam kategori '' C '', tertulis 1_''C'' atau id_''C'', memetakan objek ke dirinya sendiri dan morfisme ke dirinya sendiri. Functor identitas adalah endofunctorendofungtor.

'''FunctorFungtor diagonal''': [[FunctorFungtor diagonal]] didefinisikan sebagai functor dari '' D '' ke kategori functorfungtor '' D ''^''C'' yang mengirimkan setiap objek dalam '' D '' ke Functor konstan pada objek itu.

'''Limit fungsi''': Untuk tetap [[kategori indeks]] '' J '', jika semua functor {{nowrap|''J'' → ''C''}} memiliki [[limit (teori kategori)|limit]] (misalnya jika '' C '' selesai), maka fungsi limit {{nowrap|''C''^''J'' → ''C''}} menetapkan batasnya ke setiap functorfungtor. Keberadaan functorfungtor ini dapat dibuktikan dengan menyadari bahwa ini adalah [[Fungsional penyesuaian | adjointadjoin kanan]] ke [[diagonal functorfungtor]] dan menjalankan [[Freydteorema menggabungkanfungtor teoremaadjoin functorFreyd]]. Ini membutuhkan versi yang sesuai dari [[aksioma pilihan]]. Komentar serupa berlaku untuk colimitfungotor functorkolimit (yang menetapkan kolom ke setiap functor, dan merupakan kovarian).

'''Himpunan daya:''' Himpunan functorfungtor daya {{nowrap|''P'' : '''Set''' → '''Set'''}} memetakan setiap sethimpunan ke [[himpunan daya]] dan setiap fungsinya <math> f \colon X \to Y</math> ke peta order <math>U \in \mathcal{P}(X)</math> to itske imagecitranya <math>f(U) \in \mathcal{P}(Y)</math>. SeseorangSalah satunya juga dapat mempertimbangkan '''functorfungtor himpunan daya kontravarian''' order <math> f \colon X \to Y </math> toke thepeta mapyang whichmengirim <math>V \subseteq Y</math> ke [[Citra (matematika)#Citra balikan|citra balikan]]<nowiki/>nya <math>f^{-1}(V) \subseteq X.</math>

Misalkan '' C '' dan '' D '' menjadi kategori. Kumpulan semua fungsi dari '' C '' hingga '' D '' membentuk objek dari kategori: [[kategori functorfungtor]]. Morfisme dalam kategori ini adalah [[transformasi alami]] antara fungsi.

Functor sering didefinisikan oleh [[sifat universal | properti universal]]; contohnya adalah [[produk tensor]], [[jumlah langsung modul | jumlah langsung]] dan [[produk langsung]] dari grup atau ruang vektor, konstruksi grup dan modul bebas, bataslimit [[limit langsung | langsung]] dan [[limit invers| invers]]. Konsep [[limit (teori kategori) | bataslimit dan bataskolimit]] menggeneralisasimerampat beberapa hal di atas.

Konstruksi universalsemesta sering kali memunculkan pasangan.

Functor terkadang muncul di [[pemrograman fungsional]]. Misalnya, bahasa pemrograman [[Haskell (bahasa pemrograman) | Haskell]] memiliki [[jenis kelas | kelas]] <code>Functor</code> where [[Peta (fungsi tingkat tinggi)#Generalisasi|<code>fmap</code>]] adalah [[fungsi politik]] yang digunakan untuk memetakan [[fungsi (pemrograman komputer) | fungsi]] ('' morphisms morfisme'' on pada'' Hask '', kategori tipe Haskell)<ref>Tidak sepenuhnya jelas bahwa tipe data Haskell benar-benar membentuk sebuah kategori. Lihat https://wiki.haskell.org/Hask {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230717080308/https://wiki.haskell.org/Hask |date=2023-07-17 }} for more details.</ref> betweendi existingantara typestipe-tipe toyang functionsada betweenuntuk somefungsi newdi typesantara suatu tipe-tipe baru.<ref>See https://wiki.haskell.org/Category_theory/Functor#Functors_in_Haskell {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230206160357/http://wiki.haskell.org/Category_theory/Functor#Functors_in_Haskell |date=2023-02-06 }} for more information.</ref>

* [[Kategori FunctorFungtor]]

* [[PseudofunctorPseudofungtor]]

* [[André Joyal]], [http://ncatlab.org/nlab CatLab] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230726141658/https://ncatlab.org/nlab/show/HomePage |date=2023-07-26 }}, a wiki project dedicated to the exposition of categorical mathematics

* J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, [http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf Abstract and Concrete Categories-The Joy of Cats] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150421081851/http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf |date=2015-04-21 }}

* [[Stanford Encyclopedia of Philosophy]]: "[http://plato.stanford.edu/entries/category-theory/ Category Theory] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20211121231337/https://plato.stanford.edu/entries/category-theory/ |date=2021-11-21 }}" — by Jean-Pierre Marquis. Extensive bibliography.

* [http://www.mta.ca/~cat-dist/ List of academic conferences on category theory] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230207082059/https://www.mta.ca/~cat-dist/ |date=2023-02-07 }}

* Baez, John, 1996,"[http://math.ucr.edu/home/baez/week73.html The Tale of ''n''-categories.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230604004803/https://math.ucr.edu/home/baez/week73.html |date=2023-06-04 }}" An informal introduction to higher order categories.

* [http://wildcatsformma.wordpress.com/ WildCats] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210101171045/http://wildcatsformma.wordpress.com/ |date=2021-01-01 }} is a [[category theory]] package for [[Mathematica]]. Manipulation and visualization of objects, [[morphism]]s, categories, functors, [[natural transformation]]s, [[universal properties]].

* [https://www.youtube.com/user/TheCatsters The catsters] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230522202901/https://www.youtube.com/user/TheCatsters |date=2023-05-22 }}, a YouTube channel about category theory.

* [http://categorieslogicphysics.wikidot.com/events Video archive] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120727085338/http://categorieslogicphysics.wikidot.com/events |date=2012-07-27 }} of recorded talks relevant to categories, logic and the foundations of physics.