Kurva eliptik: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) Perbaikan terjemahan |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. Tag: VisualEditor Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Tugas pengguna baru Disarankan: tambahkan pranala |
||
| (4 revisi perantara oleh 3 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 7:
Kurva eliptik harus [[Titik tunggal kurva|taksingular]], yakni tidak memiliki [[Taring (kesingularan)|taring]] atau berpotongan dengan dirinya sendiri. Hal tersebut sama dengan memenuhi keadaan <math>4a^3 + 27b^2 \ne 0.</math>
Kurva eliptik ''bukanlah'' [[elips]]: lihat [[integral eliptik]] untuk asal mula istilahnya. Secara [[topologi]], kurva eliptik kompleks adalah [[torus]], sedangkan elips kompleks adalah [[Bola (geometri)|bola]].
== Aturan grup ==
Baris 18:
Jika titik ''P'' dan ''Q'' adalah dua titik pada kurva, kita dapat definisikan titik ketiga, {{math|''P'' + ''Q''}}, sebagai berikut. Pertama, kita buat garis yang memotong ''P'' dan ''Q''. Lalu, garis tersebut akan memotong kurva pada titik lain yang kita sebut ''R''. Kemudian, kita definisikan {{math|''P'' + ''Q'' {{=}} -''R''}}, yaitu lawan dari ''R''.
Definisi di atas dapat berlaku, kecuali untuk beberapa kasus khusus seperti pertambahan dengan titik di takhingga dan penggandaan titik. Untuk titik di takhingga, kita definisikan {{math|''P'' + ''O'' = ''O'' + ''P'' = ''P''}} sehingga ''O'' adalah identitas grup. Jika ''P'' dan ''Q'' saling berlawanan, kita definisikan {{math|''P'' + ''Q'' {{=}} ''O''}}. Untuk penggandaan titik, kita tidak bisa membuat garisnya karena hanya ada satu titik. Karenanya, kita bisa memakai [[garis singgung]] kurva eliptik pada titik tersebut untuk mencari perpotongan lain dengan kurva. Titik perpotongan tersebut juga menjadi lawan hasil penggandaannya. Namun, bila ''P'' berada pada [[titik belok]], kita ambil ''R'' sebagai ''P'' sehingga {{math|''P'' + ''P''}} adalah lawan dirinya sendiri.
== Kurva eliptik dalam bilangan riil ==
Baris 26:
: <math>y^2 = x^3 + ax + b</math>
dengan ''a'' dan ''b'' [[bilangan riil]].
Definisi kurva eliptik juga mewajibkan kurva untuk [[Titik tunggal kurva|nonsingular]]. Secara geometris, itu berarti bahwa grafiknya tidak memiliki [[Taring (singularitas)|taring]], tidak memotong dirinya sendiri, dan tidak punya titik yang sendirian (terputus/terisolasi). Secara aljabar, itu hanya berlaku [[jika dan hanya jika]] diskriminannya
: <math>\Delta = -16(4a^3 + 27b^2)</math>
Baris 34:
tidak sama dengan nol.
Grafik (riil) suatu kurva yang nonsingular memiliki dua komponen jika diskriminannya positif dan satu komponen jika diskriminannya negatif. Contohnya, pada grafik di samping, [[diskriminan]] kasus I adalah 64 dan diskriminan kasus II adalah -368.
== Kurva eliptik dalam bilangan kompleks ==
Baris 66:
== Algoritme yang memakai kurva eliptik ==
Kurva eliptik dalam [[Medan hingga|medan berhingga]] dipakai dalam [[kriptografi]] dan juga [[faktorisasi prima]]. Biasanya, algoritme berikut adalah [[algoritme]] yang sudah ada, tetapi memakai sifat-sifat kurva eliptik.
* [[Kriptografi kurva eliptis|Kriptografi kurva eliptik]]
* [[Diffie–Hellman kurva eliptis|Diffie–Hellman kurva eliptik]]
Baris 95:
* {{cite book |last=Koblitz |first=Neal |author-link=Neal Koblitz |year=1994 |title=A Course in Number Theory and Cryptography |edition=2 |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=114 |publisher=Springer-Verlag |isbn=0-387-94293-9 |chapter=Chapter 6}}
* {{cite book |author=Serge Lang |author-link=Serge Lang |year=1978 |title=Elliptic curves: Diophantine analysis |series=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften |volume=231 |publisher=Springer-Verlag |isbn=3-5400-8489-4}}
* {{cite book|author1=Henry McKean |author2=Victor Moll |year=1999 |title=Elliptic curves: function theory, geometry and arithmetic |url=https://archive.org/details/ellipticcurvesfu0000mcke |publisher=Cambridge University Press |isbn=0-5216-5817-9}}
* {{cite book |author1=Ivan Niven |author2=Herbert S. Zuckerman |author3=Hugh Montgomery |year=1991 |chapter=Section 5.7 |title=An introduction to the theory of numbers |edition=5 |publisher=[[John Wiley & Sons|John Wiley]] |isbn=0-4715-4600-3 |chapter-url=https://archive.org/details/introductiontoth0000nive |chapter-url-access=registration}}
* {{cite book |last=Silverman |first=Joseph H. |author-link=Joseph H. Silverman |year=1986 |title=The Arithmetic of Elliptic Curves |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=106 |publisher=Springer-Verlag |isbn=0-3879-6203-4}}
* {{cite book |last=Silverman |first=Joseph H. |author-link=Joseph H. Silverman |year=1994 |title=Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=151 |publisher=Springer-Verlag |isbn=0-3879-4328-5}}
* {{cite book |last=Silverman |first=Joseph H. |author-link=Joseph H. Silverman |author2=John Tate |author2-link=John Tate |year=1992 |title=Rational Points on Elliptic Curves |url=https://archive.org/details/rationalpointson0000silv |publisher=Springer-Verlag |isbn=0-3879-7825-9}}
* {{cite journal |last=Tate |first=John |author-link=John Tate |year=1974 |title=The arithmetic of elliptic curves |journal=[[Inventiones Mathematicae]] |volume=23 |issue=3–4 |pp=179–206 |doi=10.1007/BF01389745 |bibcode=1974InMat..23..179T}}
* {{cite book |last=Washington |first=Lawrence |year=2003 |title=Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography |publisher=Chapman & Hall/CRC |url=https://archive.org/details/ellipticcurvesnu0000wash |url-access=registration |isbn=1-58488-365-0}}
[[Kategori:Kurva
[[Kategori:Teori bilangan analitis]]
[[Kategori:Teori grup]]
| |||