Bijeksi: Perbedaan antara revisi

{{Fungsi}}[[Berkas:Bijection.svg|jmpl|200x200px| Fungsi bijektif, ''f'' : ''X'' → ''Y'', di mana himpunan X adalah {1, 2, 3, 4} dan himpunan Y adalah {A, B, C, D}. Misalnya, ''f'' (1) = D. ]]

Dalam [[matematika]], '''bijeksi''', '''fungsi bijektif''', '''korespondensi satu-ke-satu''', atau '''fungsi invertibleterbalikkan''', adalah [[Fungsi (matematika)|fungsi]] yang melibatkan elemen-elemen dari dua [[Himpunan (matematika)|himpunan]]. Setiap elemen dari satu himpunan dipasangkan dengan tepat ke satu elemen dari himpunan lainnya. dan setiapSetiap elemen dari himpunan lainnya dipasangkan dengan tepat ke satu elemen dari himpunan pertama. Tidak ada elemen yang tidak berpasangan atau memiliki lebih dari satu pasangan. Dalam istilah matematika, fungsi bijektif {{Nowrap|''f'': ''X'' → ''Y''}} adalah pemetaan satu-ke-satu (injeksi) dan ''onto'' (surjektif) dari himpunan ''X'' ke himpunan ''Y.''<ref name=":0">{{Cite web|url=https://mathvault.ca/math-glossary/#otoc|title=The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — One-to-One Correspondence|last=|first=|date=2019-08-01|website=Math Vault|language=en-US|archive-url=|archive-date=|access-date=2019-12-07|url-status=live}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://www.mathsisfun.com/sets/injective-surjective-bijective.html|title=Injective, Surjective and Bijective|website=www.mathsisfun.com|access-date=2019-12-07}}</ref> Istilah ''korespondensi satu-ke-satu'' tidak boleh disalahartikan dengan ''fungsi satu-ke-satu'' (fungsi injeksi) (lihat gambar). {{Gallery|Image:Injection.svg|Sebuah fungsi injektif non-surjektif (injeksi, '''bukan bijeksi''')|Image:Bijection.svg|Sebuah fungsi injektif subjektif ([[bijeksi]])|Image:Surjection.svg|Sebuah fungsi non-injektif surjektif ([[surjeksi]], '''bukan bijeksi''')|Image:Not-Injection-Surjection.svg|Sebuah fungsi non-injektif non-surjektif (juga '''bukan sebuah bijeksi''')|lines=4|align=center|title=}}

Sebuah bijeksi dari himpunan ''X'' ke himpunan ''Y'' memiliki [[fungsi invers]] dari ''Y'' ke ''X.'' Jika ''X'' dan ''Y'' adalah [[himpunan hingga]], maka keberadaan suatu bijeksi berarti bahwa kedua himpunan tersebut memiliki jumlah elemen yang sama. Untuk himpunan tak berhingga, digunakan konsep [[bilangan kardinal]]—cara untuk membedakan berbagai ukuran himpunan tak berhingga. Fungsi bijektif dari suatu himpunan ke dirinya sendiri disebut [[permutasi]] dan himpunan semua permutasi dari suatu himpunan membentuk sebuah [[Grup simetrik|grup simetris]]. Fungsi bijektif sangat penting dalam berbagai bidang matematika termasuk definisi isomorfisme, [[homeomorfisme]], difeomorfisme, [[Grup permutasi|kelompok permutasi]], dan peta projektif.

Apabila sifat nomor (1) dan (2) terpenuhi, maka pasangan tersebut adalah sebuah [[Fungsi (matematika)|fungsi]] dengan [[Domain fungsi|domain]] ''X.'' Pada umumnya, sifat nomor (1) dan (2) lebih umum ditulis sebagai pernyataan tunggal berupa "setiap elemen ''X'' dipasangkan dengan tepat ke satu elemen ''Y."'' Fungsi yang memenuhi sifat nomor (3) dikatakan "''onto'' ''Y''" atau disebut surjeksi (atau '''fungsi surjektif'''). Fungsi yang memenuhi sifat nomor (4) dikatakan sebagai "fungsi satu-ke-satu" dan disebut injeksi (atau '''fungsi injektif''').<ref>There are names associated to properties (1) and (2) as well. A relation which satisfies property (1) is called a ''total relation'' and a relation satisfying (2) is a ''single valued relation''.</ref> Dengan terminologi ini, bijeksi adalah fungsi gabungan antara surjeksi dan injeksi. Dengan kata lain, bijeksi adalah fungsi "satu-ke-satu" sekaligus fungsi "onto".<ref name=":0">{{Cite web|url=https://mathvault.ca/math-glossary/#otoc|title=The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — One-to-One Correspondence|last=|first=|date=2019-08-01|website=Math Vault|language=en-US|archive-url=|archive-date=|access-date=2019-12-07|url-status=live}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://brilliant.org/wiki/bijection-injection-and-surjection/|title=Bijection, Injection, And Surjection {{!}} Brilliant Math & Science Wiki|website=brilliant.org|language=en-us|access-date=2019-12-07}}</ref>

* Fungsi ''f'': ''R'' → (−π/2, π/2) untuk ''f(x'') = arctan(''x'') adalah fungsi bijektif karena setiap bilangan real ''x'' dipasangkan dengan tepat ke satu sudut ''y'' dalam interval (−π/2,&nbsp;π/2) sehingga terpenuhi tan(''y'') = ''x'' (atau ''y'' = arctan(''x'')). Apabila kodomain (-π/2, π/2) dibuat lebih besar untuk menyertakan kelipatan [[bilangan bulat]] dari π/2, maka fungsi ini tidak lagi menjadi onto (surjektif) karena tidak ada lagi bilangan real yang dapat dipasangkan dengan kelipatan π/2 oleh fungsi arctan ini.

* Fungsi ''h'' : '''R''' → '''R''' ⁺, ''h'' ( ''x'' ) = ''x'' ² bukan fungsi bijektif: misalnya, ''h'' (−1) = ''h'' (1) = 1, menunjukkan bahwa ''h'' bukan fungsi satu-ke-satu (injeksi). Namun, jika [[Domain fungsi|domain]] dibatasi <math>\scriptstyle\R^+_0 \;\equiv\; \left[0,\, +\infty\right)</math>, maka ''h'' akan menjadi fungsi bijektif; kebalikannya adalah fungsi [[akar kuadrat]] positif.

[[Berkas:Bijective_compositionBijective composition.svg|jmpl|300x300px| Bijeksi terdiri dari injeksi (kiri) dan surjeksi (kanan). ]]

Jika ''X'' dan ''Y'' adalah himpunan berhingga, maka terdapat bijeksi antara dua himpunan ''X'' dan ''Y'' [[jika dan hanya jika]] ''X'' dan ''Y'' memiliki jumlah elemen yang sama. Dalam [[Teori himpunan|teori himpunan aksiomatik]] kondisi ini memiliki definisi "jumlah elemen yang sama" (''equinumerosity''), dan generalisasi definisi ini ke himpunan tak berhingga mengarah ke konsep [[bilangan kardinal]] (cara untuk membedakan berbagai ukuran himpunan tak berhingga).<ref>{{Cite web|last=Quinlan|first=Rachel|date=2019|title=Section 2.3: Infinite sets and cardinality|url=http://www.maths.nuigalway.ie/~rquinlan/MA180calculus/section2-3.pdf|website=<nowiki>http://www.maths.nuigalway.ie/</nowiki>|access-date=31 Agustus 2020}}</ref>

* {{Cite book|title=Mathematical Reasoning: Writing and Proof|url=https://archive.org/details/mathematicalreas0000sund|last=Sundstrom|publisher=Prentice-Hall|year=2003}}

* {{Cite book|title=Chapter Zero: Fundamental Notions of Abstract Mathematics|url=https://archive.org/details/chapterzerofunda0000schu|last=Schumacher|publisher=Addison-Wesley|year=1996}}

* {{Cite book|title=Mathematical Thinking: Problem Solving and Proofs|url=https://archive.org/details/isbn_8800003757534|last=D'Angelo|last2=West|publisher=Prentice Hall|year=2000}}

* {{Cite book|title=A Primer of Abstract Mathematics|year=1998|url=https://archive.org/details/primerofabstract0000ashr|last=Ash|publisher=MAA}}