Bola (geometri): Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
|||
(19 revisi perantara oleh 12 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{disambiginfo|Bola (disambiguasi)}}
{{Redirect|Globosa|struktur neuroanatomik|nukelus globosa}}{{Periksa terjemahan|en|Sphere (geometry)}}{{Cleanup}}
'''{{Infobox polyhedron|name=Bola|image=Image:Sphere wireframe 10deg 6r.svg|caption=Sebuah perspektif 3 dimensi dari bola|euler=|symmetry=[[Orthogonal group|<math>O(3)</math>]]|surface_area=<math>4 \pi r^2</math>|volume=<math>\frac{4}{3} \pi r^3</math>|type=}}'''<table class="infobox"><tr><th colspan="2" class="infobox-above" style="background:#e7dcc3">Bola</th></tr><tr><td colspan="2" class="infobox-image">[[Berkas:Sphere_wireframe_10deg_6r.svg|nirbing]]<div class="infobox-caption">Sebuah perspektif 3 dimensi dari bola</div></td></tr><tr><th scope="row" class="infobox-label">[[Daftar grup simetri sferis|Grup simetri]]</th><td class="infobox-data">[[Orthogonal group|<math>O(3)</math>]]</td></tr><tr><th scope="row" class="infobox-label">[[Luas permukaan]]</th><td class="infobox-data"><math>4 \pi r^2</math></td></tr><tr><th scope="row" class="infobox-label">[[Volume]]</th><td class="infobox-data"><math>\frac{4}{3} \pi r^3</math></td></tr></table>
'''Bola''' adalah objek [[geometri]] [[geometri padat|tiga dimensi]] yang serupa dengan objek melingkar dua dimensi, yaitu "[[lingkaran]]" adalah batas dari [[Cakram (matematika)|"cakram"]]. Pada umumnya, bola didefinisikan sebagai [[Lokus (matematika)|himpunan titik]] yang memiliki jarak sama dari pusat bola ke permukaan bola. Jarak yang sama dalam bola bisa dikenal dengan [[Jari-jari|jari-jari (radius)]] dan disimbolkan dengan huruf <math>r</math>.<ref name="Albert54">{{harvnb|Albert|2016|loc=hal. 54}}.</ref> Ruas garis lurus terpanjang melalui bola, menghubungkan dua titik di permukaan bola, melewati pusat dan panjangnya dua kali jari-jari disebut sebagai[[diameter]].
Sementara di luar matematika istilah "bola" dan "bola" terkadang digunakan secara bergantian, dalam [[matematika]] perbedaan di atas dibuat dengan antara ''bola'', yang merupakan [[permukaan tertutup]] dua dimensi [[pembenaman]] dalam [[ruang Euklides]] tiga dimensi, dan ''bola'', yang merupakan bentuk tiga dimensi yang mencakup bola dan segala sesuatu ''di dalam'' bola (''bola tertutup''), atau, lebih sering, hanya titik ''di dalam'', namun ''bukan di'' antara bola (''bola terbuka''). Ini sejalan dengan situasi dalam [[Bidang (geometri)|bidang]], dimana istilah "lingkaran" dan "cakram" juga dapat dikacaukan.▼
▲Sementara di luar matematika istilah
Bola adalah objek fundamental dalam banyak bidang matematika. Bentuk bola dan hampir bulat juga muncul di alam dan industri. Gelembung seperti gelembung sabun berbentuk bola dalam keadaan seimbang. Bumi sering kali didekati sebagai bola dalam geografi, dan bola langit merupakan konsep penting dalam astronomi. Barang-barang yang diproduksi termasuk bejana tekan dan sebagian besar cermin dan lensa melengkung didasarkan pada bola. Bola menggelinding dengan mulus ke segala arah, sehingga sebagian besar bola yang digunakan dalam olahraga dan mainan berbentuk bola, begitu pula bantalan bola.
== Persamaan dalam tiga dimensi ==
[[Berkas:Sphere and Ball.png|ka|jmpl|Dua jari-jari ortogonal (tegak lurus) dari suatu bola]]
{{Lihat pula|Fungsi trigonometri|Sistem koordinat bola}}
Dalam geometri analitik
:<math> (x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 = r^2.</math>
Jika variabel <math display="inline">a</math>, <math display="inline">b</math>, <math display="inline">c</math>, <math display="inline">d</math>, dan <math display="inline">e</math> adalah [[bilangan real]] dengan nilai <math>a \ne 0</math> dan nilai titik tengah <math>(x_0, y_0, z_0)</math> didefinisikan sebagai:
:<math>x_0 = \frac{-b}{a}, \quad y_0 = \frac{-c}{a}, \quad z_0 = \frac{-d}{a}, \quad \rho = \frac{b^2 +c^2+d^2 - ae}{a^2}.</math>
Lalu persamaan
:<math>f(x,y,z) = a(x^2 + y^2 +z^2) + 2(bx + cy + dz) + e = 0</math>
tidak memiliki poin nyata sebagai solusi jika <math>\rho < 0</math> dan disebut persamaan '''bola imajiner'''. Jika <math>\rho = 0</math>, satu-satunya solusi <math>f(x,y,z) = 0</math> adalah
Jika
Titik-titik di bola dengan jari-jari <math>r > 0</math> dan pusat <math>(x_0,y_0,z_0)</math> dapat diparameterisasi via
Baris 28 ⟶ 29:
z &= z_0 + r \cos \theta \,\end{align}</math><ref>{{harvtxt|Kreyszig|1972|p=342}}.</ref>
[[Keliling]] <math> \theta </math> dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung
Bola dari jari-jari yang berpusat di nol adalah permukaan [[integral]] dari bentuk [[diferensial]] berikut:
:<math> x \, dx + y \, dy + z \, dz = 0.</math>
Persamaan ini mencerminkan bahwa vektor posisi dan kecepatan suatu titik,
Sebuah bola juga dapat dibangun sebagai permukaan yang dibentuk dengan memutar [[lingkaran]] tentang semua [[diameter]]nya
== Rumus bola ==
Baris 42 ⟶ 43:
:<math>L = 4\pi r^2 \,</math>
[[Archimedes]] pertama kali memperoleh rumus ini<ref name=MathWorld_Sphere>{{MathWorld |title=Sphere |id=Sphere}}</ref> dari fakta bahwa proyeksi ke permukaan lateral dari silinder yang dibatasi adalah pengawet area.<ref>{{harvnb|Steinhaus|1969|loc=p. 221}}.</ref> Pendekatan lain untuk memperoleh rumus berasal dari fakta bahwa rumus tersebut sama dengan turunan rumus untuk volume sehubungan dengan <math>r</math> karena volume total di dalam bola jari-jari <math>r</math> dapat dianggap sebagai penjumlahan dari luas permukaan jumlah yang tidak terbatas dari cangkang bola dengan ketebalan sangat kecil yang ditumpuk secara konseptual di dalam satu sama lain dari jari jari <math>0</math> hingga jari jari <math>r</math>. Pada ketebalan sangat kecil perbedaan antara luas permukaan bagian dalam dan luar setiap
Pada jari-jari tertentu <math>r</math>, volume tambahan
:<math>\delta V \approx
Volume total adalah penjumlahan dari semua volume cangkang:
:<math>V \approx \sum
Dalam batas ketika
|author1=E.J. Borowski |author2=J.M. Borwein |title=Collins Dictionary of Mathematics
|year=1989 |url=https://archive.org/details/dictionaryofmath0000boro |isbn=978-0-00-434347-1|pages=[https://archive.org/details/dictionaryofmath0000boro/page/141 141], 149}}</ref> persamaan ini menjadi:
:<math>V = \int_0^r
Masukkan <math>V</math> (lihat bagian [[Bola (geometri)#Volume|rumus volume bola]]):
:<math>\frac43\pi r^3 = \int_0^r
:<math>4\pi r^2 = L(r).</math>
di mana <math>r</math> sekarang dianggap sebagai jari-jari bola yang tetap.
Atau, elemen luas pada bola diberikan dalam [[koordinat bola]] oleh
:
Total luas dengan demikian dapat diperoleh dengan [[integral]]:
Baris 80 ⟶ 82:
:<math>V = \frac{4}{3}\pi r^3</math>
Pada setiap <math>x</math> yang diberikan
: <math>\delta V \approx \pi y^2 \cdot \delta x.</math>
Baris 86 ⟶ 88:
: <math>V \approx \sum \pi y^2 \cdot \delta x.</math>
Dalam batas ketika
: <math>V = \int_{-r}^{r} \pi y^2 dx.</math>
Pada setiap
: <math>y^2 = r^2 - x^2.</math>
Baris 106 ⟶ 108:
= 4\pi \int_0^r r'^2\, dr'\
=\frac43\pi r^3.</math>
Untuk tujuan paling praktis, volume di dalam bola yang tertulis dalam kubus dapat diperkirakan sekitar 52,4% dari volume kubus, karena
== Kurva pada bola {{anchor|Kurva}} ==
Baris 128 ⟶ 129:
=== Kurva Clelia ===
[[Berkas:Kugel-spirale-1-2.svg|thumb|upright=1.1|spiral bulat dengan <math>c=8</math>]]
Jika bola
:<math>\vec x=(r\cos \theta \cos\varphi, r\cos\theta \sin\varphi, r\sin\theta)^T</math>
maka akan mendapat [[Clélie|kurva Clelia]], jika sudut-sudutnya dihubungkan dengan persamaan <math>\varphi=c\;\theta \;, \ c>0\;.</math>
Kasus khususnya adalah: [[kurva Viviani]] (<math>c=1</math>) dan [[spiral bola]] (<math>c>2</math>), sebagai contohnya [[spiral Seiffert]].
===
[[Berkas:Loxodrome.png|thumb|upright=0.7|Loxodrome]]
{{main|
Dalam [[navigasi]], '''
=== Persimpangan bola dengan permukaan yang umum ===
Baris 152 ⟶ 154:
== Sifat geometris ==
Bola secara unik ditentukan oleh empat titik yang bukan [[koplanar]]. Secara lebih umum, bola secara unik ditentukan oleh empat kondisi seperti melewati suatu titik, bersinggungan dengan bidang,
Maka, sebuah bola unik ditentukan oleh sebuah lingkaran dan sebuah titik yang tidak berada di bidang lingkaran itu.
Baris 163 ⟶ 165:
{{main|Pensil (matematika)#Pensil bola}}
Jika
:<math>s f(x,y,z) + t g(x,y,z) = 0</math>
juga persamaan bola untuk nilai arbitrer dari parameter
== Generalisasi ==
Baris 171 ⟶ 173:
=== Dimensi ===
Bola dapat digeneralisasikan ke ruang dengan jumlah [[dimensi]] berapa pun. Untuk [[bilangan asli]]
*
*
*
*
Bola untuk
Luas permukaan unit (
:<math>\frac{2 \pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}</math>
dimana
Ekspresi lain untuk luas permukaan adalah
:<math> \begin{cases}
\displaystyle \frac{(2\pi)^{n/2}\,r^{n-1}}{2 \cdot 4 \cdots (n-2)}, & \text{
\displaystyle \frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^{n-1}}{1 \cdot 3 \cdots (n-2)}, & \text{
\end{cases}</math>
dan volume adalah kali luas permukaan
:<math> \begin{cases}
\displaystyle \frac{(2\pi)^{n/2}\,r^n}{2 \cdot 4 \cdots n}, & \text{
\displaystyle \frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^n}{1 \cdot 3 \cdots n}, & \text{
\end{cases}</math>
Rumus rekursif umum juga ada untuk [[volume bola-n|
=== Ruang metrik ===
Secara lebih umum, dalam [[ruang metrik]]
Jika pusatnya adalah titik dibedakan yang dianggap sebagai asal dari
Tidak dengan [[bola (matematika)|bola]], bahkan sebuah bola besar dapat berupa himpunan kosong. Misalnya, dalam
== Geometri bola ==
[[Gambar:Sphere halve.png|thumb|right|[[Lingkaran besar]] pada bola]]
{{Artikel|Geometri bola}}
Elemen dasar geometri bidang Euclidean adalah titik dan garis
Banyak teorema dari geometri klasik juga berlaku untuk geometri bola, tetapi tidak semua melakukannya karena bola gagal memenuhi beberapa postulat geometri klasik
== Lokus jumlah konstan ==
Baris 225 ⟶ 227:
Nilai dari <math>m</math> bergantung pada jumlah simpul <math>n</math> dari padatan Platonis dan sama:
'''•''' <math display="inline">m=1,2</math>
'''•''' <math display="inline">m
'''•''' <math display="inline">m
== Gambar ==
<gallery mode="packed" heights="200" style="text-align:left">
</gallery>
==
{{see also|Bola (matematika)#Bagian}}
* [[N-Bola]]▼
* [[Tutup bola]]
* [[Poligon bola]]
* [[Sektor bola]]
* [[Segmen Bulat]]
* [[Baji bulat]]
* [[Zona bola]]
== Lihat pula ==
{{div col||colwidth=20em}}
* [[Tribola]]
* [[Bola Affin]]
* [[Bola bertanduk Alexander]]
* [[Bola kelestial]]
* [[Kubus]]
* [[Lengkungan]]
* [[Statistik arah]]
* [[Lengkungan puncak (matematika)]]
* [[Bola Dyson]]
* [[Tangan dengan bola refleksi]], [[M.C. Escher]] gambar potret diri yang menggambarkan refleksi dan sifat optik bola cermin
* [[Bola Hoberman]]
* [[Bola homologi]]
* [[Grup bola homotopi]]
* [[Hiperbola]]
* [[Bola Lenart]]
* [[Masalah cincin serbet]]
* [[Orb (optik)]]
* [[Pseudobola]]
* [[Bola Riemann]]
* [[Sudut padat]]
* [[Pengepakan bola]]
* [[Koordinat bola]]
* Heliks bola, [[indikator tangen]] dari kurva presesi konstan
* [[Kebulatan]]
* [[Teorema bola tenis]]
* [[Permukaan Zoll|Bola Zoll]]
* [[Frustum bola]]
{{div col end}}
== Catatan dan referensi ==
===
<!--
{{NoteFoot}}-->Bagian ini kosong
=== Referensi ===
{{Reflist}}
=== Bacaan lebih lanjut ===
{{Wikisource1911Enc|Sphere}}
* {{citation|first=Abraham Adrian|last=Albert|title=Solid Analytic Geometry|year=2016|orig-year=1949|publisher=Dover|isbn=978-0-486-81026-3}}.
* {{cite book|first=William |last=Dunham |pages=[https://archive.org/details/mathematicaluniv00dunh/page/n34 28], 226 |title=The Mathematical Universe: An Alphabetical Journey Through the Great Proofs, Problems and Personalities |url=https://archive.org/details/mathematicaluniv00dunh |url-access=limited |journal= Wiley|location=New York |isbn=978-0-471-17661-9 |year=1997 |bibcode=1994muaa.book.....D }}
* {{citation | first1 = Erwin | last1 = Kreyszig | year = 1972 | isbn = 978-0-471-50728-4 | title = Advanced Engineering Mathematics | edition = 3rd | publisher = [[John Wiley & Sons|Wiley]] | location = New York | url-access = registration | url = https://archive.org/details/advancedengineer00krey }}.
* {{citation|first=H.|last=Steinhaus|title=Mathematical Snapshots|year=1969|publisher=Oxford University Press|edition=Third American}}.
* {{citation|first=Frederick S.|last=Woods|title=Higher Geometry / An Introduction to Advanced Methods in Analytic Geometry|year=1961|orig-year=1922|publisher=Dover}}.
== Pranala luar ==
Baris 262 ⟶ 314:
{{Use dmy dates|date=March 2011}}
{{bangun}}
{{geometri-stub}}▼
{{Authority control}}
[[Kategori:Geometri]]
[[Kategori:Bentuk]]
▲{{geometri-stub}}
|