Ranah integral: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
Fitur saranan suntingan: 2 pranala ditambahkan. Tag: VisualEditor Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan Tugas pengguna baru Disarankan: tambahkan pranala |
||
| (2 revisi perantara oleh 2 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{short description|Struktur aljabar dengan dua operasi biner}}
{{Short description|Gelanggang komutatif tanpa pembagi nol selain nol}}
{{distinguish |text= [[
{{Teori gelanggang sidebar}}
Dalam [[matematika]], khususnya [[aljabar abstrak]], sebuah '''ranah integral''' atau '''domain integral''' adalah [[gelanggang komutatif]] [[gelanggang nol|bukan nol]] dimana produk dari dua elemen bukan nol yang merupakan bukan nol.<ref>Bourbaki, p. 116.</ref><ref>Dummit dan Foote, hal. 228.</ref> Ranah integral adalah generalisasi dari [[gelanggang bilangan bulat]] dan pengaturan untuk mempelajari [[Keterbagian (teori gelanggang)|keterbagian]]. Dalam ranah integral, setiap elemen bukan nol ''a'' memiliki [[sifat pembatalan]], yaitu jika {{nowrap|''a'' ≠ 0}}, persamaan {{nowrap|''ab'' {{=}} ''ac''}} mengartikan {{nowrap|''b'' {{=}} ''c''}}.
Baris 32:
* Gelanggang [[polinomial]] adalah ranah integral, jika koefisien berasal dari ranah integral. Misalnya, gelanggang <math>\Z[x]</math> dari semua polinomial dalam satu variabel dengan koefisien bilangan bulat adalah ranah integral; begitu pula dengan gelanggang <math>\Complex[x_1,\ldots,x_n]</math> dari semua polinomial dalam variabel-''n'' dengan koefisien [[Bilangan kompleks|kompleks]].
* Contoh sebelumnya dapat dieksploitasi lebih lanjut dengan mengambil hasil bagi dari ideal utama. Misalnya, gelanggang <math>\Complex[x,y]/(y^2 - x(x-1)(x-2))</math> dengan medan [[kurva elips]] adalah domain integral. Integralitas dapat ditunjukkan dengan <math>y^2 - x(x-1)(x-2)</math> yang merupakan [[polinomial tak tersederhanakan]].
* Gelanggang <math>\Z[x]/(x^2 - n) \cong \Z[\sqrt{n}]</math> adalah ranah integral untuk bilangan bulat yang bukan kuadrat <math>n</math>. Jika <math>n > 0</math> maka gelanggang ini merupakan subgelanggang dari <math>\R</math>, jika tidak, ini adalah subgelanggang dari <math>\Complex.</math>
* Gelanggang [[bilangan p-adik|bilangan bulat p-adik]] <math>\Z_p</math> adalah ranah integral.
* Jika <math>U</math> adalah [[himpunan bagian terbuka]] yang [[keterhubungan|terhubung]] dari [[bilangan kompleks|bidang kompleks]] <math>\Complex</math>, maka gelanggang <math>\mathcal{H}(U)</math> terdiri dari semua [[fungsi holomorfik]] adalah ranah integral. Hal yang sama berlaku untuk gelanggang [[fungsi analitik]] pada himpunan bagian terbuka yang terhubung dari [[lipatan]] analitik yang terhubung.
* [[Gelanggang lokal reguler]] adalah ranah integral. Faktanya, gelanggang lokal biasa adalah [[ranah faktorisasi unik|RFU]].<ref>{{cite journal |last1=Auslander |first1=Maurice |last2=Buchsbaum |first2=D. A. | title=Unique factorization in regular local rings | journal=Proc. Natl. Acad. Sci. USA | volume=45 | pages=733–734 | year=1959 | doi= 10.1073/pnas.45.5.733 | pmid= 16590434 | issue= 5 | pmc= 222624 }}</ref><ref>{{cite journal |author=Masayoshi Nagata | author-link=Masayoshi Nagata | title=A general theory of algebraic geometry over Dedekind domains. II | journal=Amer. J. Math. | volume=80 | year=1958 | pages=382–420 | doi=10.2307/2372791 | jstor=2372791 | issue=2 | publisher=The Johns Hopkins University Press }}</ref>
Baris 47 ⟶ 42:
* [[Gelanggang nol]] yang merupakan <math>0=1</math>.
* [[Gelanggang hasil bagi]] <math>\Z/m\Z</math> ketika ''m'' adalah [[bilangan komposit]]. Memilih faktorisasi <math>m = xy</math>: artinya <math>x</math> dan <math>y</math> tidak sama dengan <math>1</math> or <math>m</math>. Maka <math>x \not\equiv 0 \bmod{m}</math> dan <math>y \not\equiv 0 \bmod{m}</math>, melainkan <math>xy \equiv 0 \bmod{m}</math>.
* [[gelanggang produk|Produk]] adalah dua gelanggang komutatif bukan nol. Dalam produk <math>R \times S</math>, memiliki <math>(1,0) \cdot (0,1) = (0,0)</math>.
* [[Gelanggang hasil bagi]] <math>\Z[x]/(x^2 - n^2)</math> untuk <math>n \in \mathbb{Z}</math>. Citra dari <math>x+n</math> dan <math>x-n</math> adalah bukan nol, sedangkan produknya adalah 0 di gelanggang ini.
* [[gelanggang matriks|Gelanggang]] dari [[Matriks (matematika)|matriks]] ''n'' × ''n'' untuk setiap [[gelanggang nol|gelanggang bukan nol]] ''n'' ≥ 2. Jika <math>M</math> dan <math>N</math> adalah matriks sedemikian rupa sehingga citra <math>N</math> dimuat dalam kernel <math>M</math>, maka <math>MN = 0</math>. Misalnya, untuk <math>M = N = (\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix})</math>.
* Gelanggang hasil bagi <math>k[x_1,\ldots,x_n]/(fg)</math> untuk setiap medan <math>k</math> dan semua polinomial tidak konstan <math>f,g \in k[x_1,\ldots,x_n]</math>. Citra dari {{math|''f''}} dan {{math|''g''}} dalam gelanggang hasil bagi ini adalah elemen bukan nol yang hasil kalinya 0. Argumen ini menunjukkan, secara ekuivalen, bahwa <math>(fg)</math> bukanlah [[prima ideal]]. Interpretasi geometris dari hasil ini adalah bahwa [[nol fungsi|nol]] dari {{math|''fg''}} bentuk [[himpunan aljabar affin]] yang tidak direduksi (yaitu, bukan [[variasi aljabar]]) secara umum. Satu-satunya kasus dimana himpunan aljabar ini mungkin tidak direduksi adalah ketika {{math|''fg''}} adalah pangkat dari [[polinomial tak tereduksi]], yang mendefinisikan himpunan aljabar yang sama.
* Gelanggang [[fungsi kontinu]] pada [[interval unit]]. Pertimbangkan fungsi
::<math> f(x) = \begin{cases} 1-2x & x \in \left [0, \tfrac{1}{2} \right ] \\ 0 & x \in \left [\tfrac{1}{2}, 1 \right ] \end{cases} \qquad g(x) = \begin{cases} 0 & x \in \left [0, \tfrac{1}{2} \right ] \\ 2x-1 & x \in \left [\tfrac{1}{2}, 1 \right ] \end{cases}</math>
Baris 72 ⟶ 61:
''[[Unit (teori gelanggang)|Unit]]'' dari ''R'' adalah elemen yang membagi 1; tepatnya elemen invers di ''R''. Unit membagi semua elemen lainnya.
Jika ''a'' membagi ''b'' dan ''b'' membagi ''a'', maka ''a'' dan ''b'' adalah '''elemen asosiasi''' atau '''asosiasi'''.<ref>{{cite book |last=Durbin |first=John R. |title=Modern Algebra: An Introduction |url=https://archive.org/details/modernalgebraint0000durb_t6d3 |edition=3rd |date=1993 |publisher=John Wiley and Sons |isbn=0-471-51001-7 |page=[https://archive.org/details/modernalgebraint0000durb_t6d3/page/224 224] |quote=Elemen ''a'' dan ''b'' dari [domain integral] disebut ''asosiasi'' jika ''a''|''b'' dan ''b''|''a''.}}</ref> Secara ekuivalen, ''a'' dan ''b'' adalah asosiatif jika {{nowrap|1=''a'' = ''ub''}} untuk beberapa [[unit (teori gelanggang)|unit]] ''u''.
''[[Elemen tak tereduksi]]'' adalah bukan nol yang tidak dapat dituliskan sebagai produk dari dua bukan satuan.
Bukan nol bukan unit ''p'' adalah ''[[elemen prima]]'', jika setiap ''p'' membagi produk ''ab'', maka ''p'' membagi ''a'' atau ''p'' membagi ''b''. Secara ekuivalen, elemen ''p'' adalah bilangan prima jika dan hanya jika [[ideal utama]] (''p'') adalah ideal prima bukan nol.
Kedua gagasan tentang elemen tak tersederhanakan dan elemen prima menggeneralisasi definisi biasa dari [[bilangan prima]] di gelanggang <math>\Z,</math> jika kita menganggap bilangan prima negatif sebagai prima.
Baris 85 ⟶ 74:
== Sifat ==
* Gelanggang komutatif ''R'' adalah domain integral [[jika dan hanya jika]] ideal (0) dari ''R'' adalah ideal prima.
* Jika ''R'' adalah gelanggang komutatif dan ''P'' adalah [[ideal (teori gelanggang)|ideal]] dalam ''R'', maka [[gelanggang hasil bagi]] ''R/P'' adalah ranah integral jika dan hanya jika ''P'' adalah [[prima ideal]].
* Misalkan ''R'' sebagai ranah integral. Maka [[gelanggang polinomial]] di atas ''R'' (dalam jumlah tak tentu) adalah ranah integral. Ini khususnya terjadi jika ''R'' adalah [[medan (matematika)|medan]].
Baris 92 ⟶ 81:
* Ranah integral sama dengan perpotongan [[lokalisasi gelanggang|lokalisasi]] pada ideal maksimalnya.
* [[Limit induktif]] dari ranah integral merupakan ranah integral.
* Jika <math>A, B</math> adalah ranah integral di atas medan tertutup aljabar ''k'', maka <math>A \otimes_k B</math> adalah ranah integral. Ini adalah konsekuensi dari [[nullstellensatz Hilbert]],<ref group=catatan>Bukti: Pertama, asumsikan ''A'' yang dihasilkan secara halus sebagai aljabar-''k'' dan pilih basis-<math>k</math> dengan <math>g_i</math> dari <math>B</math>. Seharusnya <math display="inline">\sum f_i \otimes g_i \sum h_j \otimes g_j = 0</math> (hanya <math>f_i, h_j</math> yang bukan nol). Untuk setiap ideal maksimal <math>\mathfrak{m}</math> dari <math>A</math>, pertimbangkan homomorfisme gelanggang <math>A \otimes_k B \to A/\mathfrak{m} \otimes_k B = k \otimes_k B \simeq B</math>. Maka citranya adalah <math display="inline">\sum \overline{f_i} g_i \sum \overline{h_i} g_i = 0</math> dan dengan demikian <math display="inline">\sum \overline{f_i} g_i = 0</math> atau <math display="inline">\sum \overline{h_i} g_i = 0</math> dan, dengan kebebasan linear, <math>\overline{f_i} = 0</math> untuk semua <math>i</math> atau <math>\overline{h_i} = 0</math> untuk semua <math>i</math>. Karena <math>\mathfrak{m}</math> adalah arbitrari, maka <math display="inline">(\sum f_iA) (\sum h_iA) \subset \operatorname{Jac}(A) = </math> persimpangan dari semua ideal maksimal <math>= (0)</math> dimana persamaan terakhir adalah oleh Nullstellensatz. Karena <math>(0)</math> adalah ideal utama, ini berarti <math display="inline">\sum f_iA</math> atau <math display="inline">\sum h_iA</math> adalah ideal nol; yaitu, baik <math>f_i</math> semuanya nol atau <math>h_i</math> semuanya nol. Terakhir, <math>A</math> adalah batas induktif dari ''k'' yang dihasilkan secara hingga aljabar yang merupakan ranah integral dan karenanya, menggunakan sifat sebelumnya, <math>A \otimes_k B = \varinjlim A_i \otimes_k B</math> adalah ranah integral. <math>\square</math></ref> dan, dalam [[geometri aljabar]], ini menyiratkan pernyataan bahwa gelanggang koordinat dari hasil kali dua varietas aljabar affin di atas medan tertutup secara aljabar merupakan ranah integral.
== Medan pecahan ==
| |||