Persamaan kuadrat: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Perbaikan tata bahasa Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan aplikasi seluler Suntingan aplikasi Android App select source |
|||
| (10 revisi perantara oleh 6 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 6:
|below=[[Rumus kuadrat]] untuk akar dari persamaan kuadrat umum
}}
'''Persamaan kuadrat''' adalah suatu
<math>y = ax^2 + bx + c \,\!</math>
Baris 172:
Suatu persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien ''riil'' dapat memiliki hanya sebuah akar atau dua buah [[akar]] yang berbeda, di mana akar-akar yang dimaksud dapat berbentuk [[bilangan riil]] atau [[bilangan kompleks|kompleks]]. Dalam hal ini diskriminan menentukan jumlah dan sifat dari akar-akar persamaan kuadrat. Terdapat tiga kasus yang mungkin:
* Jika diskriminan bersifat [[positif]], akan terdapat dua akar berbeda yang kedua-duanya merupakan bilangan riil. Untuk persamaan kuadrat dengan koefisien berupa [[bilangan bulat]], apabila diskriminan merupakan suatu [[kuadrat sempurna]], maka akar-akarnya merupakan [[bilangan rasional]]
* Jika diskriminan bernilai [[nol]], terdapat [[eksak]] satu akar, dan akar yang dimaksud merupakan bilangan riil. Hal ini kadang disebut sebagai [[akar ganda]], di mana nilainya adalah:
Baris 290 ⟶ 289:
:<math> a(-\frac{b^2}{4a^2} + \frac{4ac}{a^2}) = y \!</math>
:<math> -\frac{b^2-4ac}{4a} = y \!</math> atau <math> -\frac{D}{4a} = y \!</math>
Baris 304 ⟶ 302:
[[Berkas:Excel quadratic error.PNG|thumb|350px|Gambar 5. Grafik perbedaan antara pendekatan Vieta untuk akar persamaan kuadrat yang lebih kecil {{math|''x''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c'' {{=}} 0}} dibandingkan dengan nilai yang dihitung menggunakan rumus kuadrat. Perkiraan Vieta tidak akurat untuk yang kecil {{math|''b''}} tetapi akurat untuk ukuran besar {{math|''b''}}. Evaluasi langsung menggunakan rumus kuadrat akurat untuk yang kecil {{math|''b''}} dengan akar dari nilai yang sebanding tetapi mengalami hilangnya kesalahan signifikansi yang besar {{math|''b''}} dan akar berjarak lebar. Perbedaan antara perkiraan Vieta ''versus'' penghitungan langsung mencapai minimum pada titik-titik besar, dan pembulatan menyebabkan coretan di kurva melebihi minimum ini.|alt=Gambar 5. Grafik perbedaan antara pendekatan Vieta untuk akar persamaan kuadrat yang lebih kecil x kuadrat plus b x plus c sama dengan nol dibandingkan dengan nilai yang dihitung menggunakan rumus kuadrat. Selisihnya diplot sebagai fungsi dari b untuk dua nilai c yang berbeda, c sama dengan 4, dan c sama dengan 400.000. Grafik adalah grafik log log, dengan sumbu vertikal, perbedaannya, mulai dari sepuluh hingga. Sumbu horizontal, b, berkisar dari 10 di kiri hingga sepuluh hingga kedelapan di kanan. Pendekatan Vieta untuk akar yang lebih kecil tidak akurat untuk b kecil tetapi akurat untuk b besar. Evaluasi langsung dari akar yang lebih kecil menggunakan rumus kuadrat akurat untuk b kecil dengan nilai akar yang sebanding, tetapi mengalami hilangnya kesalahan signifikansi untuk b besar dan spasi lebar. Ketika c sama dengan 4, pendekatan Vieta dimulai dengan buruk di sebelah kiri, tetapi menjadi lebih baik dengan b yang lebih besar, perbedaan antara pendekatan Vieta dan rumus kuadrat mencapai minimum pada perkiraan. Perkiraan Vieta dan rumus kuadrat kemudian mulai divergen lagi karena rumus kuadrat mengalami error loss of signifikan. Jika c sama dengan empat ratus ribu, perbedaan antara pendekatan Vieta dan rumus kuadrat mencapai minimum pada kira-kira b sama dengan sepuluh pangkat tujuh. Kedua kurva tersebut lurus ke kiri minimum, menunjukkan hubungan kekuatan monomial sederhana antara selisih dan b. Demikian juga, kedua kurva tersebut kira-kira lurus ke kanan minimum, yang menunjukkan hubungan kekuatan, kecuali bahwa garis lurus memiliki coretan di dalamnya karena hilangnya signifikansi]]
[[Rumus Vieta]] memberikan hubungan sederhana antara akar polinomial dan koefisiennya. Dalam kasus polinomial kuadrat, mereka mengambil bentuk berikut:
:<math> x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} </math>
dan
Baris 318 ⟶ 316:
:<math> y_V = - \frac{b^2}{4a} + c = - \frac{ b^2 - 4ac} {4a}.</math>
Sebagai masalah praktis, rumus Vieta menyediakan metode yang berguna untuk menemukan [[akar kuadrat]] dalam kasus di mana satu akar jauh lebih kecil dari yang lain. Bila {{math|{{!}} ''x'' <sub>2</sub>{{!}} << {{!}} ''x'' <sub>1</sub>{{!}}}}, maka {{math|''x'' <sub>1</sub> + ''x'' <sub>2</sub> ≈ ''x'' <sub>1</sub>}}, dan kami memiliki perkiraan:
:<math> x_1 \approx -\frac{b}{a} .</math>
Rumus Vieta kedua kemudian memberikan:
Baris 327 ⟶ 325:
==== Solusi trigonometri ====
Pada hari-hari sebelum kalkulator, orang akan menggunakan [[tabel matematika]] daftar angka yang menunjukkan hasil kalkulasi dengan berbagai argumen untuk menyederhanakan dan mempercepat. Tabel logaritma dan [[Fungsi trigonometrik|fungsi trigonometri]] biasa ditemukan dalam buku teks matematika dan sains. Tabel khusus diterbitkan untuk aplikasi seperti astronomi, navigasi angkasa, dan statistik. Ada metode perkiraan numerik, yang disebut [[prosthaphaeresis]], yang menawarkan jalan pintas di sekitar operasi yang memakan waktu seperti perkalian dan pengambilan kekuatan dan akar.<ref name=Ballew2007>{{cite web|last=Ballew|first=Pat|title=Memecahkan Persamaan Kuadrat - Dengan metode analitik dan grafik; Termasuk beberapa metode yang mungkin belum pernah Anda lihat|url=http://www.pballew.net/quadsol.pdf|accessdate=18 April 2013|archive-url=https://web.archive.org/web/20110409173024/http://www.pballew.net/quadsol.pdf|archive-date=9 April 2011|url-status=dead}}</ref> Para astronom, khususnya, prihatin dengan metode yang dapat mempercepat rangkaian panjang penghitungan yang terlibat dalam penghitungan [[mekanika angkasa]].
Dalam konteks inilah kita dapat memahami perkembangan cara memecahkan persamaan kuadrat dengan bantuan substitusi trigonometri. Pertimbangkan bentuk alternatif kuadrat berikut,
Baris 347 ⟶ 345:
'''[5]''' <math> \sin 2 \theta_p = - 2 \frac{\sqrt{ac}}{b} ,</math>
Dimana tulisan di bawah garis {{math|''n''}} and {{math|''p''}} sesuai, masing-masing, dengan penggunaan tanda negatif atau positif dalam persamaan '''[1]'''. Mengganti nilai dua {{math|''θ''<sub>n</sub>}} atau {{math|''θ''<sub>p</sub>}} ditemukan dari persamaan '''[4]''' atau '''[5]''' menjadi '''[2]''' memberikan akar yang dibutuhkan '''[1]'''. Akar kompleks terjadi dalam solusi berdasarkan persamaan '''[5]''' bila nilai absolut {{math|sin 2''θ''<sub>p</sub>}} melebihi persatuan. Jumlah upaya yang terlibat dalam menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan strategi pencarian tabel trigonometri dan logaritmik campuran ini adalah dua pertiga dari upaya menggunakan tabel logaritmik juga..<ref name=Seares1945>{{cite journal|last=Seares|first=F. H.|title=Solusi Trigonometri dari Persamaan Kuadrat|journal=Publikasi Astronomical Society of the Pacific |year=1945 |volume=57 |issue=339 |page=
:Untuk mengilustrasikan, mari kita asumsikan bahwa kita memiliki tabel logaritma tujuh tempat dan tabel trigonometri yang tersedia, dan ingin menyelesaikan hal-hal berikut ini untuk akurasi enam angka penting:
Baris 430 ⟶ 428:
== Referensi ==
{{Reflist}}
== Bacaan lebih lanjut ==
* {{cite book|last= Kurnianingsih|first= Sri|authorlink=|coauthors=Kuntarti, Sulistiyono|title=Matematika SMA dan MA 1A Untuk Kelas X Semester 1|year= 2007|publisher= Esis/Erlangga|location= Jakarta|id= ISBN 979-734-500-9 }} {{id icon}}
* {{cite book|last= Junaidi|first= Syamsul|authorlink=|coauthors=Eko Siswono|title=Matematika SMP Untuk Kelas IX|year= 2004|publisher= Esis/Erlangga|location= Jakarta|id= ISBN 979-308-232-1 }} {{id icon}}
== Pranala luar ==
Baris 443 ⟶ 445:
* {{en}} [http://www.mathsisfun.com/quadratic-equation-solver.html Quadratic equation solver].
* {{en}} [http://www.algebra.com/algebra/homework/quadratic/ Solve quadratic equations, see work shown and draw graphs].
* {{en}} 101 uses of a quadratic equation [http://plus.maths.org/issue29/features/quadratic/index-gifd.html part I] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20071110232247/http://plus.maths.org/issue29/features/quadratic/index-gifd.html |date=2007-11-10 }} [http://plus.maths.org/issue30/features/quadratic/index-gifd.html Part II] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20071022022143/http://plus.maths.org/issue30/features/quadratic/index-gifd.html |date=2007-10-22 }}.
* {{en}} [http://www.mathopenref.com/quadraticexplorer.html Quadratic graphical explorer] Applet interaktif. Ubah-ubah nilai a, b, c untuk melihat efeknya pada sebuah grafik.
* {{en}} [http://www.phy.ilstu.edu/~mnorton/Quadratic.txt Kode FORTRAN untuk menyelesaikan persamaan kuadrat] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20061117235854/http://www.phy.ilstu.edu/~mnorton/Quadratic.txt |date=2006-11-17 }}.
| |||