Akar fungsi: Perbedaan antara revisi

{{periksa terjemahan|1=en|2=Zero of a function}}{{short description|Elemen domain yang nilai fungsinya nol}}

{{redirect|Akar polinomial|cara menemukan akar polinomialpersamaan|Akar-menemukanMetode polinomialpencarian akar|sifat lanjutan|Sifat dari akar polinom}}

Dalam bidang [[matematika]], '''akar suatu fungsi''' atau '''nilai-nilai nol fungsi''<ref>{{Cite book|last=Rinaldi Munir|date=2015|title=Metode Numerik|location=Bandung|publisher=Informatika|url-status=live}}</ref>''''' adalah nilai input ''x'' di dalam suatu fungsi yang menghasilkan angka nol (0).<ref name="Foerster">{{cite book | last = Foerster | first = Paul A. | title = Algebra and Trigonometry: Functions and Applications, Teacher's Edition | edition = Classics | year = 2006 | page = 535 | publisher = [[Prentice Hall]] | location = Upper Saddle River, NJ | url = https://www.amazon.com/Algebra-Trigonometry-Functions-Applications-Prentice/dp/0131657100 | isbn = 0-13-165711-9}}</ref> Dalam kata lain:

'''Akar''' dari sebuah [[polinomial]] adalah nol dari [[fungsi polinomial]] yang sesuai.<ref name=":0">{{Cite web|title=Algebra - Zeroes/Roots of Polynomials|url=http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/ZeroesOfPolynomials.aspx|website=tutorial.math.lamar.edu|access-date=2019-12-15}}</ref> [[Teorema dasar aljabar]] mengatakanmenyatakan bahwa setiap [[polinomial|sukubanyak]] yang bukan nol memiliki paling tidakakar saturiil paling banyak sama dengan [[Derajat polinomial|derajat]] sukubanyak tersebut, dan akar kompleks sebanyak derajat sukubanyak tersebut. Contohnya polinomial ''f'' berderajat dua yang didefinisikan sebagai berikut<math display="inline">f(x)=x^2-5x+6</math> memiliki dua akar, yaitu 2 dan 3, karena:

:<math>f(x2) =x 2^2 -5x 5 \cdot 2 + 6 = 0 \quad \textstyle{\rm {dan} }\quad f(3) = 3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 0.</math>

Untuk mencari akar suatu [[fungsi polinomial]], diperlukan metode [[aproksimasi]] (seperti [[metode Newton]]). Namun, beberapa fungsi polinomial dengan derajat yang tidak lebih tinggi dari 4 dapat dicari akarnya dengan menggunakan [[aljabar]].

Setiap [[persamaan]] dalam [[tidak diketahui (matematika) | tidak diketahui]] <math> x </math> dapat ditulis ulang sebagai

Setiap polinom nyata ganjil [[Derajat polinomial | derajat]] memiliki bilangan ganjil dari akar nyata (menghitung [[Multiplisitas (matematika)#Keragaman dari sebuah akar polinomial | multiplisitas]]); demikian pula, polinomial nyata dengan derajat genap harus memiliki bilangan genap dari akar nyata. Akibatnya, polinomial ganjil nyata harus memiliki setidaknya satu akar nyata (karena [[bilangan bulat]] ganjil terkecil adalah 1), sedangkan polinomial genap mungkin tidak memiliki. Prinsip ini dapat dibuktikan dengan mengacu pada [[teorema nilai tengah]]: karena fungsi polinomial adalah [[Fungsi kontinu | kontinu]], nilai fungsi harus melewati nol, dalam proses perubahan dari negatif ke positif atau sebaliknya (yang selalu terjadi untuk [[Fungsi ganjil dan genap|fungsi ganjil]]).

Teorema dasar aljabar menyatakan bahwa setiap polinomial derajat <math> n </math> memiliki <math> n </math> akar kompleks, dihitung dengan kelipatannya. Akar non-nyata dari polinomial dengan koefisien nyata berasal dari pasangan [[konjugasi kompleks | konjugasi]].<ref name="Foerster" /> [[Rumus Vieta]] menghubungkan koefisien polinomial dengan jumlah dan hasil kali akarnya.

Dalam berbagai bidang matematika, '''himpunan nol''' dari sebuah [[fungsi (matematika) | fungsi]] adalah himpunan dari semua nolnya. Lebih tepatnya, jika <math>f:X\to\mathbb{R}</math> adalah [[fungsi bernilai nyata]] (atau, lebih umum, fungsi yang mengambil nilai di beberapa [[grup Abelian | grup aditif]]), himpunan nolnya adalah <math>f^{-1}(0)</math>, [[galeri invers]] dari <math>\{0\}</math> in <math>X</math>.

Istilah '' himpunan nol '' umumnya digunakan ketika ada banyak angka nol yang tak terhingga, dan mereka memiliki beberapa [[topologi | sifat topologi]] yang tidak sepele. Misalnya, [[level set]] dari sebuah fungsi <math> f </math> adalah himpunan nol dari <math>f-c</math>. '''Himpunan Cozero''' dari <math> f </math> adalah [[komplemen (teori himpunan) | komplemen]] dari himpunan nol <math> f </math> (mis., bagian dari <math> X </math> di mana <math> f </math> bukan nol).

Dalam [[geometri aljabar]], definisi pertama dari [[variasi aljabar]] adalah melalui himpunan nol. Secara khusus, sebuah [[set aljabar affine]] adalah [[set intersection | intersection]] dari himpunan nol beberapa polinomial, dalam [[gelanggang polinomial]] <math>k\left[x_1,\ldots,x_n\right]</math> di atas [[bidang (matematika) | bidang]]. Dalam konteks ini, himpunan nol terkadang disebut '' lokus nol ''.

Dalam [[Analisis matematika | analisis]] dan [[geometri]], setiap [[himpunan tertutup]] dari <math>\mathbb{R}^n</math> adalah himpunan nol dari [[fungsi mulus]] yang ditentukan di semua <math>\mathbb{R}^n</math>. Ini meluas ke setiap [[lipatan halus]] sebagai akibat wajar dari [[parakompak]]. <!-- Ada tumpang tindih yang jelas antara paragraf ini dan paragraf berikutnya, tetapi dibutuhkan seseorang yang lebih berpengalaman untuk menggabungkan keduanya. -->

Dalam [[geometri diferensial]], himpunan nol sering digunakan untuk menentukan [[berjenis]]. Kasus khusus yang penting adalah kasus di mana <math> f </math> adalah [[fungsi mulus]] dari <math>\mathbb{R}^p</math> ke <math>\mathbb{R}^n</math>. Jika nol adalah [[nilai reguler]] dari <math> f </math>, maka himpunan nol dari <math> f </math> adalah banyak dimensi <math>m=p-n</math> by the [[Perendaman (matematika)#Bentuk normal lokal | teorema nilai reguler]].

[[Kategori:Fungsi dan pemetaanmatematika]]