Grup kuaternion: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k v2.04b - Fixed using Wikipedia:ProyekWiki Cek Wikipedia (Templat dengan kontrol karakter Unicode - Spasi dalam kategori - Kode en dash atau em dash - Kesalahan pranala pipa) |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. |
||
| (Satu revisi perantara oleh satu pengguna lainnya tidak ditampilkan) | |||
Baris 2:
[[Gambar:GroupDiagramQ8.svg|240px|thumb|[[Grafik siklus (grup) | Diagram siklus]] dari Q<sub>8</sub>. Setiap warna menentukan rangkaian kekuatan elemen apa pun yang terhubung ke elemen identitas e = 1. Misalnya, siklus berwarna merah mencerminkan fakta bahwa i<sup>2</sup> = {{overline|e}}, i<sup>3</sup> = {{overline|i}} dan i<sup>4</sup> = e. Siklus merah juga mencerminkan bahwa {{overline|i}}<sup>2</sup> = {{overline|e}}, {{overline|i}}<sup>3</sup> = i dan {{overline|i}}<sup>4</sup> = e.]]
Dalam [[teori grup]], '''grup angka empat''' Q<sub>8</sub> (terkadang hanya dilambangkan dengan Q) adalah [[grup non-abelian]] dari [[Urutan grup | urutan]] delapan, isomorfik ke [[himpunan bagian]] delapan elemen
<math>\{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}</math> dari [[angka empat]] di bawah perkalian. Ini diberikan oleh [[presentasi grup]]
:<math>\mathrm{Q}_8 = \langle \bar{e},i,j,k \mid \bar{e}^2 = e, \;i^2 = j^2 = k^2 = ijk = \bar{e} \rangle ,</math>
di mana e adalah [[elemen identitas]] dan {{overline|e}} [[komutatif]] dengan elemen lain dalam grup.
[[Presentasi grup#Contoh | Presentasi Q<sub> 8 </sub>]] lainnya adalah:
Baris 35:
== Tabel Cayley ==
[[Tabel Cayley]] (tabel perkalian) untuk Q<sub> 8 </sub> diberikan oleh:<ref>See also [http://www.wolframalpha.com/input/?i=Quaternion+group a table] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180428182021/http://www.wolframalpha.com/input/?i=Quaternion+group |date=2018-04-28 }} dari [[Wolfram Alpha]]</ref>
{|class="wikitable" style="text-align:right"
Baris 73:
Seseorang mungkin mengambil, misalnya, <math>i = x, j = y</math>, dan <math>k = xy</math>.
Grup quaternion memiliki properti yang tidak biasa sebagai [[grup Hamiltonian | Hamiltonian]]: Q<sub>8</sub> non-abelian, tetapi setiap [[subgrup]] adalah [[subgrup normal | normal]].<ref>See Hall (1999), [https://books.google.com/books?id=oyxnWF9ssI8C&pg=PA190 p. 190] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230809152949/https://books.google.com/books?id=oyxnWF9ssI8C&pg=PA190 |date=2023-08-09 }}</ref> Every Hamiltonian group contains a copy of Q<sub>8</sub>.<ref>See Kurosh (1979), [https://books.google.com/books?id=rp9c0nyjkbgC&pg=PA67 p. 67]</ref>
Grup angka empat Q<sub> 8 </sub> dan grup dihedral D<sub> 4 </sub> adalah dua contoh terkecil dari grup non-abelian [[grup nilpoten | nilpoten]].
Baris 122:
== Representasi matriks ==
[[Berkas:Quaternion group; Cayley table; subgroup of SL(2,C).svg|thumb|Tabel perkalian grup quaternion sebagai subkelompok [[Grup linier khusus | SL]] (2, [[Bilangan kompleks|'''C''']]). Entri diwakili oleh sektor yang sesuai dengan argumennya: 1 (hijau), '' i '' (biru), -1 (merah), -'' i '' (kuning).]]
Kompleks tak tersederhanakan dua dimensi [[representasi grup | representasi]] yang dijelaskan di atas memberikan grup kuatnion Q<sub>8</sub> sebagai subgrup dari [[grup linier umum]] <math>\operatorname{GL}_2(\Complex)</math>. Grup kuaternion adalah subgrup perkalian dari aljabar quaternion <math>\mathbb H=\mathbb R1+\mathbb Ri+\mathbb Rj+\mathbb Rk= \mathbb C1+\mathbb Cj</math>, yang memiliki [[representasi reguler]] <math>\rho:\mathbb H\to \mathrm{M}_2(\mathbb{C})</math> perkalian kiri dengan sendirinya dianggap sebagai [[ruang vektor]] kompleks dengan basis <math>\{1,j\}</math>, sehingga <math>z\in \mathbb H</math> sesuai dengan '''C'''-pemetaan linier <math>\rho_z:a{+}jb\mapsto z\cdot(a{+}jb)</math>. Representasi yang dihasilkan <math>\rho:\mathrm{Q}_8 \to \mathrm{GL}_{2}(\Complex),\ g\mapsto\rho_g,</math> diberikan oleh:
:<math>\begin{matrix}
Baris 368:
== Pranala luar ==
* {{MathWorld | urlname = QuaternionGroup | title = Quaternion group}}
* [http://groupnames.org/#?quaternion Quaternion groups on GroupNames] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230809151837/https://people.maths.bris.ac.uk/~matyd/GroupNames/#?quaternion |date=2023-08-09 }}
* Quaternion group on [https://groupprops.subwiki.org/wiki/Quaternion_group GroupProps] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230514031705/http://groupprops.subwiki.org/wiki/Quaternion_group |date=2023-05-14 }}
* Conrad, Keith. [https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/grouptheory/genquat.pdf "Generalized Quaternions"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230602170727/https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/grouptheory/genquat.pdf |date=2023-06-02 }}
[[Kategori:Teori grup]]
| |||