Lemma Zorn: Perbedaan antara revisi

[[Berkas:4x4 grid spanning tree.svg|thumb|Lemma Zorn dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa setiap [[grafik (matematika diskrit) | grafik]] yang terhubung memiliki [[pohon rentang]]. Himpunan semua sub-grafik yang merupakan pohon diurutkan dengan penyertaan, dan penyatuan rantai adalah batas atas. Lemma Zorn mengatakan bahwa pohon maksimal harus ada, yaitu pohon rentang sejak grafik terhubung.<ref name="serre">{{citation|title=Trees|first=Jean-Pierre|last=Serre|authorlink=Jean-Pierre Serre|page=23|publisher=Springer|series=Springer Monographs in Mathematics|year=2003}}</ref> Lemma Zorn tidak diperlukan untuk grafik terbatas, seperti yang digambarkan di sini.]]

'''Lemma Zorn''', juga dikenal sebagai '''Kuratowski–Zorn lemma''', diambil dari nama [[Max August Zorn | Max Zorn]] dan [[Kazimierz Kuratowski]], adalah proposisi dari [[teori himpunan]]. Ini menyatakan bahwa [[himpunan terurut sebagian]] berisi [[batas atas]] untuk setiap [[Kaidah (teori urutan) | kaidah]] (yaitu, setiap [[order total | terurut total]] [[himpunan bagian]] harus berisi setidaknya satu [[elemen maksimal]].

Dibuktikan oleh Kuratowski pada tahun 1922 dan secara independen oleh Zorn pada tahun 1935,<ref name="Moore 2013 168">{{harvnb|Moore|2013|p=168}}</ref> ini [[Lemma (matematika) | lemma]] muncul dalam bukti beberapa teorema yang sangat penting, misalnya [[Teorema Hahn–Banach]] dalam [[analisis fungsional]], teorema bahwa setiap [[ruang vektor]] memiliki [[basis (aljabar linier) | basis]],<ref>{{cite book |first=Albert |last=Wilansky |title=Functional Analysis |url=https://archive.org/details/functionalanalys0000wila |publisher=Blaisdell |location=New York |year=1964 |pages=16–17[https://archive.org/details/functionalanalys0000wila/page/16 16]–17 }}</ref> [[Teorema Tychonoff]] dalam [[topologi]] yang menyatakan bahwa setiap hasil kali [[ruang kompak]] adalah kompak, dan teorema dalam [[aljabar abstrak]] bahwa dalam [[gelanggang (aljabar) | cincin]] dengan identitas setiap ideal yang tepat terkandung dalam [[ideal maksimal]] dan bahwa setiap [[bidang (matematika) | bidang]] memiliki [[aljabar tertutup]].<ref>{{harvnb|Jech|2008|loc=ch. 2, §2 Some applications of the Axiom of Choice in mathematics}}</ref>

Lemma Zorn setara dengan [[teorema yang tertata dengan baik]] dan juga [[aksioma pilihan]], dalam arti bahwa salah satu dari ketiganya, bersama dengan [[aksioma Zermelo–Fraenkel]] dari [[teori himpunan]], cukup untuk membuktikan dua lainnya.<ref>{{harvnb|Jech|2008|p=9}}</ref> Rumusan awal dari lemma Zorn adalah [[prinsip maksimum Hausdorff]] yang menyatakan bahwa setiap total himpunan bagian dari himpunan berurutan sebagian terdapat dalam himpunan bagian terurut total maksimal dari himpunan order sebagian.<ref>{{harvnb| name="Moore| 2013|p= 168}}<"/ref>

Untuk membuktikan keberadaan objek matematika yang dapat dilihat sebagai elemen maksimal dalam beberapa [[himpunan berurutan | poset]] dalam beberapa cara, seseorang dapat mencoba membuktikan keberadaan objek tersebut dengan mengasumsikan tidak ada elemen maksimal dan menggunakan [[induksi transfinite]] dan asumsi situasinya untuk mendapatkan kontradiksi. Lemma Zorn merapikan kondisi yang perlu dipenuhi situasi agar argumen seperti itu berfungsi dan memungkinkan matematikawan tidak harus mengulangi argumen induksi transfinite dengan tangan, tapi periksa saja kondisi lemma Zorn.

Varian dari formulasi ini terkadang digunakan, seperti mensyaratkan himpunan '' P '' dan rantai tidak kosong.<ref>Sebagai contoh, {{cite book|last1=Lang|first1=Serge|author-link1=Serge Lang|title=Algebra|edition=Revised 3rd|publisher=Springer-Verlag|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=211|date=2002|isbn=978-0-387-95385-4|page=880}}, {{cite book|last1=Dummit|first1=David S.|last2=Foote|first2=Richard M.|title=Abstract Algebra|url=https://archive.org/details/abstractalgebra0000dumm|edition=2nd|publisher=Prentice Hall|date=1998|isbn=978-0-13-569302-5|page=[https://archive.org/details/abstractalgebra0000dumm/page/875 875]}}, dan {{cite book|last1=Bergman|first1=George M|author-link1=George Bergman|title=An Invitation to General Algebra and Universal Constructions|edition=2nd|publisher=Springer-Verlag|series=Universitext|date=2015|isbn=978-3-319-11477-4|page=162|url=https://math.berkeley.edu/~gbergman/245/}}.</ref>

Meskipun formulasi ini tampaknya secara formal lebih lemah (karena menempatkan pada '' P '' kondisi tambahan yang tidak kosong, tetapi diperoleh kesimpulan yang sama tentang '' P ''), ternyata kedua formulasi tersebut setara. Untuk memverifikasi ini, anggap pertama bahwa '' P '' memenuhi syarat bahwa setiap kaidah di '' P '' memiliki batas atas di '' P ''. Kemudian subset kosong dari '' P '' adalah sebuah rantai, karena ia memenuhi definisi [[kebenaran hampa | hampa]]; jadi [[hipotesis]] menyiratkan bahwa himpunan bagian ini harus memiliki batas atas di '' P '', dan batas atas ini menunjukkan bahwa '' P '' sebenarnya tidak kosong. Sebaliknya, jika '' P '' diasumsikan tidak kosong dan memenuhi hipotesis bahwa setiap kaidah yang tidak kosong memiliki batas atas pada '' P '', maka '' P '' juga memenuhi syarat bahwa '' setiap '' kaidah memiliki batas atas, sebagai elemen sembarang '' P '' berfungsi sebagai batas atas untuk kaidah kosong (yaitu, subset kosong dipandang sebagai sebuah kaidah).

Lemma Zorn dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa setiap cincin nontrivial '' R '' dengan [[Gelanggang Unital | kesatuan]] mengandung [[ideal maksimal]].

Misalkan '' P '' menjadi himpunan yang terdiri dari semua (dua sisi) [[ideal (teori gelanggang) | ideal]] di '' R '' kecuali '' R '' itu sendiri. '' R '' yang ideal dikeluarkan karena cita-cita maksimal menurut definisi tidak sama dengan '' R ''. Karena '' R '' tidak sepele, himpunan '' P '' berisi ideal sepele {0}, dan karena itu '' P '' tidak kosong. Selanjutnya, '' P '' sebagian diurutkan oleh [[himpunan bagian | set inklusi]] (lihat [[urutan penyertaan]]). Menemukan ideal maksimal dalam '' R '' sama dengan mencari elemen maksimal dalam '' P ''.

Untuk menerapkan lemma Zorn, ambil rantai '' T '' di '' P '' (yaitu, '' T '' adalah bagian dari '' P '' yang diurutkan seluruhnya). Jika '' T '' adalah [[himpunan kosong]], maka ideal sepele {0} adalah batas atas untuk '' T '' dalam '' P ''. Asumsikan bahwa '' T '' tidak kosong. Perlu untuk menunjukkan bahwa '' T '' memiliki batas atas, yaitu, ada ideal '' I '' ⊆ '' R '' yang lebih besar dari semua anggota '' T '' tetapi masih lebih kecil dari '' R '' (jika tidak, tidak akan ada di '' P ''). Anggap '' I '' sebagai [[union (set theory) | union]] dari semua idealisme di '' T ''. Kami ingin menunjukkan bahwa '' I '' adalah batas atas untuk '' T '' dalam '' P ''. Kami pertama-tama akan menunjukkan bahwa '' I '' adalah ideal dari '' R '', dan kemudian itu adalah ideal yang tepat dari '' R '' dan begitu juga elemen dari '' P ''. Karena setiap elemen '' T '' terkandung dalam '' I '', ini akan menunjukkan bahwa '' I '' adalah batas atas untuk '' T '' dalam '' P '', seperti yang diperlukan.

Pembuktian bergantung pada fakta bahwa cincin '' R '' memiliki satuan perkalian 1. Tanpa ini, pembuktian tidak akan berhasil dan memang pernyataan itu salah. Misalnya gelanggang dengan <math>\Q</math> sebagai grup penjumlahan dan perkalian trivial (yaitu <math>a b=0</math> untuk <math>a,b</math>) tidak memiliki cita-cita maksimal (dan tentu saja tidak ada 1): ideal tepatnya adalah subkelompok aditif. [[Grup faktor]] <math>\Q/A</math> oleh [[subgrup]] yang tepat <math> A </math> adalah [[grup yang dapat dibagi]], oleh karena itu tentu saja bukan [[grup abelian yang dihasilkan secara terbatas | dihasilkan secara terbatas]], karenanya memiliki subgrup non-trivial yang tepat, yang memunculkan subgrup dan ideal yang berisi <math> A </math>.

Sketsa bukti lemma Zorn berikut, dengan asumsi [[aksioma pilihan]]. Misalkan lemma salah. Kemudian ada himpunan terurut sebagian, atau poset, '' P '' sedemikian rupa sehingga setiap himpunan bagian yang dipesan seluruhnya memiliki batas atas, dan untuk setiap elemen di '' P '' ada elemen lain yang lebih besar darinya. Untuk setiap subset terurut total '' T '' kita kemudian dapat mendefinisikan elemen yang lebih besar '' b ''('' T ''), karena '' T '' memiliki batas atas, dan batas atas itu memiliki elemen yang lebih besar. Untuk benar-benar mendefinisikan [[fungsi (matematika) | fungsi]] '' b '', kita perlu menggunakan aksioma pilihan.

Menggunakan fungsi '' b '', kita akan mendefinisikan elemen ''a''₀ < ''a''₁ < ''a''₂ < ''a''₃ < ... di '' P ''. Urutan ini adalah '''sangat panjang''': indeksnya bukan hanya [[bilangan asli]], tetapi semua [[bilangan ordinal | ordinal]]. Faktanya, urutannya terlalu panjang untuk himpunan '' P ''; ada terlalu banyak ordinal (sebuah [[kelas sesuai]]), lebih dari jumlah elemen di set mana pun, dan set '' P '' akan habis tak lama kemudian dan kemudian kita akan mengalami kontradiksi yang diinginkan.

Film tahun 1970, '' [[Zorns Lemma (film) | Zorns Lemma]] '', dinamai menurut lemma.

*{{cite book |title=Set Theory for the Working Mathematician |url=https://archive.org/details/settheoryforwork0000cies |last=Ciesielski |first=Krzysztof |location= |publisher=Cambridge University Press |year=1997 |isbn=978-0-521-59465-3 }}