Wikipedia

Faktorial: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
HsfBot (bicara | kontrib)
Bot
1.172.010 suntingan
k +{{Authority control}}
Memperbaiki typo di tulisan
 
(10 revisi perantara oleh 7 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 86:
| [[googol|{{val|e=100}}]] ||10<sup>{{val|e=101.9981097754820}}</sup>
|}
{{Terjemahan kaku|en|Factorial}}
 
Dalam [[matematika]], '''Faktorial''' dari [[bilangan bulat]] positif dari {{mvar|n}} yang dilambangkan dengan {{math|''n''!}}, adalah [[Produk (matematika)|produk]] dari semua bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan {{mvar|n}}:
:<math>n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3) \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1 \,. </math>
Baris 95:
 
Operasi faktorial digunakan sebagai bidang matematika, terutama di [[kombinatorik]], [[aljabar]], dan [[analisis matematika]]. Penggunaannya yang paling dasar menghitung kemungkinan [[urutan]] dan [[permutasi]] dari {{mvar|n}}
yang berada di objekkobjek yang berbeda.
 
Faktorial pada [[Fungsi (matematika)|fungsi]] juga dapat berupa [[Faktorial#Faktorial nilai bukan bilangan bulat|nilai ke argumen non-bilangan bulat]] sambil mempertahankan properti terpentingnya dengan cara mendefinisikan {{math|1=''x''! = Γ(''x'' + 1)}}, dimanadi mana {{math|Γ}} adalah [[fungsi gamma]]; ini tidak ditentukan saat {{mvar|x}} adalah bilangan bulat negatif.
 
== Sejarah ==
{{Expand section|date=November 2019}}
Faktorial digunakan untuk menghitung permutasi setidaknya sejak abad ke-12, oleh para sarjana [[Matematika India]].<ref>{{Cite journal |last=Biggs |first=Norman L. |author-link=Norman L. Biggs |date=May 1979 |title=The roots of combinatorics |journal=Historia Mathematica |volume=6 |issue=2 |pages=109–136 |doi=10.1016/0315-0860(79)90074-0 |issn=0315-0860 }}</ref> Pada tahun 1677, [[Fabian Stedman]] mendeskripsikan faktorial yang diterapkan pada [[mengubah dering]], seni musik yang melibatkan dering dari banyak lonceng yang disetel.{{sfn|Stedman|1677|pages=6–9}} Setelah menggambarkan pendekatan rekursif, Stedman memberikan pernyataan faktorial (menggunakan bahasa aslinya):
{{quote
| quote = Sekarang sifat dari metode ini adalah sedemikian rupa, sehingga perubahan pada satu angka mencakup [termasuk] perubahan pada semua angka yang lebih kecil ... sedemikian rupa sehingga Peal yang lengkap dari perubahan pada satu nomor tampaknya dibentuk dengan menyatukan Peal yang lengkap pada semua nomor yang lebih kecil menjadi satu keseluruhan tubuh..{{sfn|Stedman|1677|p=8}}
Baris 160:
== Aplikasi ==
Meskipun fungsi faktorial berakar pada [[kombinatorik]], rumus yang melibatkan faktorial terjadi di banyak bidang matematika.
* Terdapat nilai {{math|''n''!}} dengan cara yang berbeda untuk menyusun {{mvar|n}} objek yang berbeda menjadi sebuah urutan, [[permutasi]] dari objek tersebut.<ref>{{Cite book |title=Beyond Infinity: An expedition to the outer limits of the mathematical universe |url=https://archive.org/details/beyondinfinityex0000chen |last=Cheng |first=Eugenia |date=2017-03-09 |publisher=Profile Books |isbn=9781782830818 |language=en |author-link=Eugenia Cheng}}</ref><ref name="ConwayGuy1998">{{Cite book |title=The Book of Numbers |last=Conway |first=John H. |last2=Guy |first2=Richard |date=1998-03-16 |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=9780387979939 |language=en |author-link=John Horton Conway |author-link2=Richard K. Guy |url-access=registration |url=https://archive.org/details/bookofnumbers0000conw }}</ref>
* Seringkali faktorial muncul di [[penyebut]] rumus untuk menjelaskan fakta bahwa pengurutan harus diabaikan. Contoh klasik menghitung nilai {{mvar|k}} [[kombinasi]] (himpunan bagian dari elemen nilai {{mvar|k}}) dari himpunan dengan elemen {{mvar|n}}. Seseorang bisa mendapatkan kombinasi seperti itu dengan memilih {{mvar|k}} sebagai permutasi: secara berturut-turut memilih dan menghapus satu elemen himpunan, {{mvar|k}} kali, dengan total
::<math>(n-0)(n-1)(n-2)\cdots\left(n-(k-1)\right) = \frac{n!}{(n-k)!} = n^{\underline k}</math>
:Namun, hal ini menghasilkan kombinasi {{mvar|k}} dalam urutan tertentu yang ingin dinyalakan; karena setiap {{mvar|k}} - kombinasi diperoleh dengan {{math|''k''!}} cara yang berbeda, jumlah yang benar dari {{mvar|k}} kombinasi adalah
::<math>\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1} = \frac{n^{\underline k}}{k!}= \frac{n!}{(n-k)!k!} = \binom {n}{k}.</math>
:Nomor ini diketahui<ref name="Knuth1997">{{Cite book |title=The Art of Computer Programming: Volume 1: Fundamental Algorithms |last=Knuth |first=Donald E. |date=1997-07-04 |publisher=Addison-Wesley Professional |isbn=9780321635747 |language=en |author-link=Donald Knuth}}</ref> sebagai [[koefisien binomial]], karena ia juga merupakan koefisien dari {{math|''x''<sup>''k''</sup>}} pada {{math|(1 + ''x'')<sup>''n''</sup>}}. Syarat <math>n^{\underline k}</math> sering disebut [[faktorial jatuh dan naik:en:Falling_and_rising_factorials|faktorial jatuh]] (dilafalkan "''n'' menjadi penurunan ''k''").
* Faktorial terjadi di [[aljabar]] karena berbagai alasan, seperti melalui koefisien yang telah disebutkan dari [[Binomial (polinomial)|rumus binomial]], atau melalui [[rata-rata]] lebih dari [[permutasi]] untuk [[simetri]] operasi tertentu.
* Faktorial juga muncul di [[kalkulus]]; misalnya, mereka muncul di penyebut suku-suku [[Deret Taylor|rumus Taylor]],<ref>{{Cite web|url=https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/lecture-notes/|title=18.01 Single Variable Calculus, Lecture 37: Taylor Series|last=|first=|date=Fall 2006|website=MIT OpenCourseWare|archive-url=https://web.archive.org/web/2012170613340020160919172730/http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/lecture-notes/|archive-date=20182016-0409-2619|url-status=live|access-date=2017-05-03|df=|dead-url=unfit}}</ref> di mana mereka digunakan sebagai persyaratan kompensasi karena {{mvar|n}} [[turunan]] dari {{math|''x''<sup>''n''</sup>}} setara dengan {{math|''n''!}}.
* Faktorial juga digunakan secara ekstensif di [[teori probabilitas]]<ref>{{Cite book |title=Statistical Physics of Particles |url=https://archive.org/details/statisticalphysi00kard_125 |last=Kardar |first=Mehran |date=2007-06-25 |publisher=Cambridge University Press |isbn=9780521873420 |pages=[https://archive.org/details/statisticalphysi00kard_125/page/35 35]–56 |language=English |chapter=Chapter 2: Probability |author-link=Mehran Kardar}}</ref> dan [[teori bilangan]] ([[Faktorial#Teori bilangan|lihat di bawah]]).
* Faktorial dapat berguna untuk memfasilitasi manipulasi ekspresi. Misalnya jumlah {{mvar|k}} permutasi dari {{mvar|n}} dapat ditulis sebagai
Baris 175:
* Fungsi faktorial dapat ditampilkan, menggunakan [[aturan pangkat]], sebagai
::<math>n! = D^n\,x^n = \frac{d^n}{dx^n}\,x^n</math>
:wheredimana {{math|''D''<sup>''n''</sup> ''x''<sup>''n''</sup>}} isadalah [[Notasi untuk diferensiasi#Notasi Euler.27s|Notasi Euler]] untuk {{mvar|n}} [[turunan]] dari {{math|''x<sup>n</sup>''}}.<ref>{{Cite web|url=https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/lecture-notes/|title=18.01 Single Variable Calculus, Lecture 4: Chain rule, higher derivatives|last=|first=|date=Fall 2006|website=MIT OpenCourseWare|archive-url=https://web.archive.org/web/2012170613340020160919172730/http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/lecture-notes/|archive-date=20182016-0409-2619|url-status=live|access-date=2017-05-03|df=|dead-url=unfit}}</ref>
 
== Tingkat pertumbuhan dan perkiraan untuk yang besar ''{{mvar|n}}'' ==
Baris 192:
:<math> n\ln\left(\frac{n}{e}\right)+1 \leq \ln n! \leq (n+1)\ln\left( \frac{n+1}{e} \right) + 1 \,.</math>
 
Karenanya {{math|ln ''n''! ∼ ''n'' ln ''n''}} (lihat [[Notasi Big O#Keluarga Bachmann–Notasi Landau|Notasi Big {{mvar|O}}]]). Hasil ini memainkan peran kunci dalam analisis [[teori kompleksitas komputasi|kompleksitas komputasi]] dari [[Algoritma penyortiran|algoritma pengurutan]] (lihat [[jenis perbandingan]]). Dari batas {{math|ln ''n''!}} disimpulkan di atas kita mendapatkan
 
:<math>\left(\frac ne\right)^n e \leq n! \leq \left(\frac{n+1}e\right)^{n+1} e \,.</math>
Baris 241:
or, equivalently,
:<math>\frac{n - s_p(n)}{p - 1},</math>
dimanadi mana {{math|''s<sub>p</sub>''(''n'')}} menunjukkan jumlah dari basis standar {{mvar|p}} digit {{mvar|n}}.
 
Menambahkan 1 ke faktorial {{math|''n''!}} Menghasilkan bilangan yang hanya habis dibagi oleh bilangan prima yang lebih besar dari {{mvar|n}}. Fakta ini dapat digunakan untuk membuktikan [[Teorema Euklides]] bahwa bilangan prima tidak terbatas.{{sfn|Bostock |Chandler |Rourke |2014|pages=168}} Bentuk prima {{math|''n''! ± 1}} disebut [[prima faktorial]].
Baris 254:
 
== Lihat pula ==
*[[Faktorion]]
* [[Ledakan Kombinatorial]]
* [[Pendekatan Stirling]]
Baris 266 ⟶ 267:
 
== Pranala luar ==
* [http://factorielle.free.fr/index_en.html "factorielle.free.fr"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120119094723/http://factorielle.free.fr/index_en.html |date=2012-01-19 }}
* [http://www.elektro-energetika.cz/new/calculations/faktorial.php?language=id Online kalkulator faktorial] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230717153223/http://www.elektro-energetika.cz/new/calculations/faktorial.php?language=id |date=2023-07-17 }}
 
{{Deret (matematika)}}
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Faktorial"