Teori grup: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Rachmawati (bicara | kontrib) |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. |
||
| (60 revisi perantara oleh 32 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{hatnote|Artikel ini mencakup pengertian lanjutan. Untuk topik dasar, lihat [[Grup (matematika)]].}}
{{for|teori grup dalam ilmu sosial|Grup sosial}}
[[Gambar:Rubik's cube.svg|thumb|Teka-teki populer [[kubus Rubik]] yang ditemukan pada tahun 1974 oleh [[rubik Ernő]] telah digunakan sebagai ilustrasi [[grup permutasi]]. Lihat [[Grup Kubus Rubik]].]]
{{Group theory sidebar}}
Dalam [[matematika]] dan [[aljabar abstrak]], '''teori grup''' mempelajari [[struktur aljabar]] yang dikenal sebagai [[grup (matematika)|grup]].
Konsep grup sangat penting dalam aljabar abstrak: struktur aljabar terkenal lainnya, seperti [[gelanggang (matematika)|gelanggang]], [[medan (matematika)|medan]], dan [[ruang vektor]], semua dilihat sebagai grup yang diberkahi dengan tambahan [[operasi (matematika)|operasi]] dan [[aksioma]]. Grup dalam matematika, dan metode teori grup mempengaruhi banyak bagian aljabar. [[Grup aljabar linear]] dan [[grup Lie]] adalah dua cabang teori grup yang telah mengalami kemajuan dan menjadi bidang subjek dengan sendiri.
Berbagai sistem fisik, seperti [[kristal]] dan [[atom bakhidrogen]] yang dimodelkan dengan [[grup simetri]]. Jadi teori grup dan [[teori representasi]] yang terkait erat memiliki banyak aplikasi penting dalam [[fisika]], [[kimia]], dan [[ilmu material]]. Teori grup juga penting untuk [[kriptografi kunci publik]].
[[Sejarah teori grup]] awal berasal dari abad ke-19. Salah satu pencapaian matematika terpenting abad ke-20<ref>{{citation|last=Elwes|first=Richard|url=http://plus.maths.org/issue41/features/elwes/index.html|title=An enormous theorem: the classification of finite simple groups|journal=[[Plus Magazine]]|issue=41|date=December 2006}}</ref> adalah upaya kolaboratif, mengambil lebih dari 10.000 halaman jurnal dan sebagian besar diterbitkan antara 1960 dan 1980, yang memuncak dalam [[klasifikasi grup sederhana hingga]] kompleks.
==Sejarah==▼
▲== Sejarah ==
Ada tiga akar sejarah dalam teori grup: teori ''[[persamaaan aljabar]]'', ''[[teori angka]]'' dan ''[[geometri]]''. ''[[Euler]]'', ''[[Gauss]]'', ''[[Lagrange]]'', ''[[Abel]]'', dan ''[[Galois]]'' merupakan para peneliti pertama dalam bidang teori grup. Galois dianugrahi sebagai ahli matematika pertama yang terjun dalam bidang teori grup dan ''[[teori medan]]'', dengan teorinya yang sekarang disebut ''[[teori Galois]]''.▼
▲Ada tiga akar sejarah
Sumber pertama muncul dalam hal cara membuat suatu persamaan tingkat ke-m yang memiliki akar m seperti akar dari suatu persamaan tingkat ke-n (m<n). Untuk sederhananya, persoalan itu dikembalikan pada ''[[Hudde]]''(1659). ''[[Saunderson]]''(1740) menyatakan bahwa penentuan faktor kuadratik dari peernyataan bikuadratik biasanya menghasilkan suatu persamaan sektik, dan ''[[Le Soeur]]'' (1748) dan ''[[Waring]]'' (1762 sampai 1782) masih menganalisi data lebih lanjut.
Fondasi umum yang digunakan dalam teori persamaan dasar dari ''[[permutasi grup]]'' ditemukan oleh ''[[Lagrange]]''(1770, 1771), dan berhasil merumuskan teori substitusi. Lagrange menemukan bahwa akan dari seluruh resolvent yang dia periksa merupakan [[fungsi rasional]] dari akar persamaan yang bersangkutan. Untuk mempelajari sifat-sifat dari fungsi-fungsi ini, Lagrange mengusulkan suatu Calcul des Combinaisons. Hasil kerja dari ''[[Vandermonde]]'' (1770) juga turut mewarnai teori-teori berikutnya. Ruffini (1799) berusaha membuktikan kemungkinan untuk menyelesaikan persamaan quintic dan persamaan lain dengan tingkat lebih tinggi.
''[[Ruffini]]'' (1799) membedakan intransitif dan ''[[transitif]]'', dan grup ''[[imprimitif]]'' dan primitif, dan (1801) menggunakan grup dari suatu persamaan
''[[Galois]]'' menemukan bahwa jika r_1, r_2, \Idots r_n merupakan akar-akar n dari suatu persamaan, maka selalu ada suatu grup permutasi dari r yang (1) setiap fungsi akar yang bersifat invariabel dengan cara substitusi grup diketahui secara rasional, dan (2), kebalikannya, setiap fungsi akar yang dapat ditentukan secara rasioanl bersifat invarian dalam proses substitusi grup. Galois juga merumuskan teori ''[[persamaan modular]]'' dan ''[[fungsi eliptik]]''. Punlikasi pertama Galois dalam bidang teori grup diluncurkan saat usianya mencapai 18 tahun (1829), namun kontribusinya tidak begitu menarik perhatian sebelum publikasi paper-paper koleksinya pada tahun 1846 (Liouville, Vol. XI).
''[[Arthur Cayley]]'' dan ''[[Augustin Louis Cauchy]]'' merupakan orang-oarang pertama yang menghargai pentingnya teori itu, yang selanjutnya secara khusu berhubungan dengan teori-teori
Pada tahun 1882, ''[[Walther von Dyck]]'' berhasil merumuskan definisi modern dari suatu grup.
Baris 25 ⟶ 33:
Ahli matematika lainnya yang turut berkecimpung dalam masalah ini adalah ''[[Emil Artin]]'', ''[[Emmy Noether]]'', ''[[Sylow]]'' dan masih banyak lagi.
== Pengenalan Elementer ==
Grup digunakan dalam dunia matematika dan ilmu pengetahuan alam, di antaranya untuk menemukan simetri internal dari struktur lain, dalam bentuk [[grup automorfis]]. Sebuah simetri internal dari suatu struktur biasanya diasosiasikan dengan satu sifat [[invarian]], dan berbagai macam transformasi yang mengubah sifat invarian ini, bersama dengan oprasi komposisi suatu transformasi, dari sebuah grup yang disebut [[grup simetri]].
Baris 31 ⟶ 39:
Dalam teori Galois, yang merupakan origin sejarah konsep grup, seseorang menggunakan grup untuk menggambarkan simetri persamaan yang diselesaikan dengan suatu persamaan polinom. Grup yang dapat diselesaikan dinamai seperti itu karena sifat-sifatnya yang tetap dalam teori ini.
[[Grup Abelian]] mencakup beberapa struktur yang dipelajari dalam aljabar abstark, seperti sinsin, medan, dan modul.
Dalam [[topologi aljabar]], grup
Konsep [[grup Lie]]( yang dinamai sesuai ahli matematika [[Sophus Lie]]) bersifat penting untuk mempelajari [[persamaan diferensial]] dan [[manifold
Dalam [[kombinatorik]], grup [[permutasi]] dan konsep
Pemahaman terhadap teori grup juga sangat penting dalam ilmu-ilmu fisik. Dalam [[kimia]], grup digunakan untuk mengklasifikasikan [[struktur kristal]], polihedra reguler, dan simetri molekul. Dalam fisika, grup bersifat penting karena dapat menggambarkan simetri yang bisasanya ada dalam fisika. Para ahli fisika sangat tertarik pada representasi grup, terutama grup Lie, karena representasinya sering kali membuka celah munculnya teori fisika baru.
Contoh dalam fisika: [[Model Standar]], [[Teori Gauge]].
=== Beberapa teori yang Bermanfaat ===
Beberapa hasil dasar
*[[Teori grup elementer]]
*[[Lemma kupu-kupu]]
*[[Teorema fundamental homomorfik]]
*[[Teorema Jordan–Hölder]]
*[[Teorema Krull–Schmidt]]
*[[Teorema Lagrange]]
*[[Teorema Sylow]]
== Hal-hal umum ==▼
▲==Hal-hal umum==
Dalam [[aljabar abstrak]], kita mendapatkan beberapa struktur yang mirip dengan suatu grup dengan melonggarkan beberapa aksioma yang diberikan di awal artikel ini.
Baris 54 ⟶ 67:
· Oleh karena itu, jika kita melonggarkan persyaratan yang menyebutkan bahwa operasi bersifat [[asosiatif]] sementara masih mensyaratkan kemungkinan suatu [[divisi]], maka kita dapatkan sebuah [[loop(algebra)|loop]].
· Jika kita juga mengabaikan identitas, maka kita dapatkan suatu [[quasigrup]]
· Jika kita abaikan seluruh aksioma [[operasi biner]], maka kita mendapatkan suatu [[magma(algebra)|magma]]
[[Grupoid]], yang bersifat mirip dengan grup kecuali dalam hal komposisi
[[Supergrup]] dan [[aljabar Hopf]] merupakan hal umum lainnya.
Baris 62 ⟶ 75:
[[Grup Lie]], [[grup aljabar]], dan [[grup topologis]] merupakan contoh [[grup objek]]: struktur seperti grup yang menempati kategori selain kategori yang lumrah.
Grup Abelian atau grup komutatif, yang membentuk
[[Hukum grup formal]] merupakan [[
== Lain-lain ==▼
== Lihat pula ==
* [[Daftar topik teori grup]]
* [[Contoh grup]]
== Referensi ==
* {{Citation | last1=Borel | first1=Armand | author1-link=Armand Borel | title=Linear algebraic groups | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=2nd | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-97370-8 | mr=1102012 | year=1991 | volume=126 | doi=10.1007/978-1-4612-0941-6}}
* {{Citation | last1=Carter | first1=Nathan C. | title=Visual group theory | url=http://web.bentley.edu/empl/c/ncarter/vgt/ | publisher=[[Mathematical Association of America]] | series=Classroom Resource Materials Series | isbn=978-0-88385-757-1 | mr=2504193 | year=2009}}
* {{Citation | last1=Cannon | first1=John J. | title=Computers in group theory: A survey | mr=0290613 | year=1969 | journal=Communications of the ACM | volume=12 | pages=3–12 | doi=10.1145/362835.362837}}
* {{Citation | last1=Frucht | first1=R. | title=Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe | url=http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=CM_1939__6__239_0 | year=1939 | journal=Compositio Mathematica | issn=0010-437X | volume=6 | pages=239–50 | url-status=dead | archive-url=https://web.archive.org/web/20081201083831/http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=CM_1939__6__239_0 | archive-date=2008-12-01 }}
* {{Citation | last1=Golubitsky | first1=Martin| last2=Stewart | first2=Ian | author1-link=Ian Stewart (mathematician)| title =Nonlinear dynamics of networks: the groupoid formalism |mr=2223010 |journal= Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) |volume=43 | year= 2006 | pages=305–364 | doi=10.1090/S0273-0979-06-01108-6 | issue=03| doi-access=free }} Shows the advantage of generalising from group to [[groupoid]].
* {{Citation | last1=Judson | first1=Thomas W. | title=Abstract Algebra: Theory and Applications | year=1997 | url=http://abstract.ups.edu }} An introductory undergraduate text in the spirit of texts by Gallian or Herstein, covering groups, rings, integral domains, fields and Galois theory. Free downloadable PDF with open-source [[GNU Free Documentation License|GFDL]] license.
* {{Citation | doi=10.2307/2690312 | last1=Kleiner | first1=Israel | title=The evolution of group theory: a brief survey | mr=863090 | year=1986 | journal=[[Mathematics Magazine]] | issn=0025-570X | volume=59 | issue=4 | pages=195–215 | jstor=2690312}}
* {{Citation | last1=La Harpe | first1=Pierre de | title=Topics in geometric group theory | publisher=[[University of Chicago Press]] | isbn=978-0-226-31721-2 | year=2000}}
*{{Citation | author=Livio, M. | author1-link=Mario Livio | title=The Equation That Couldn't Be Solved: How Mathematical Genius Discovered the Language of Symmetry | publisher=Simon & Schuster | year=2005 | isbn=0-7432-5820-7 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/equationthatcoul0000livi }} Conveys the practical value of group theory by explaining how it points to [[symmetries]] in [[physics]] and other sciences.
* {{Citation | last1=Mumford | first1=David | author1-link=David Mumford | title=Abelian varieties | publisher=[[Oxford University Press]] | isbn=978-0-19-560528-0 | oclc=138290 | year=1970}}
* [[Mark Ronan|Ronan M.]], 2006. ''Symmetry and the Monster''. Oxford University Press. {{ISBN|0-19-280722-6}}. For lay readers. Describes the quest to find the basic building blocks for finite groups.
*{{Citation | author=Rotman, Joseph | title=An introduction to the theory of groups | location=New York | publisher=Springer-Verlag | year=1994 | isbn=0-387-94285-8}} A standard contemporary reference.
* {{Citation|author-link1=Paul Schupp|author-link2=Roger Lyndon | last1=Schupp | first1=Paul E. | last2=Lyndon | first2=Roger C. | title=Combinatorial group theory | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-3-540-41158-1 | year=2001}}
*{{Citation | author=Scott, W. R. | title= Group Theory | location=New York | publisher=Dover | year=1987 | orig-year=1964 | isbn=0-486-65377-3}} Inexpensive and fairly readable, but somewhat dated in emphasis, style, and notation.
* {{Citation | last1=Shatz | first1=Stephen S. | title=Profinite groups, arithmetic, and geometry | publisher=[[Princeton University Press]] | isbn=978-0-691-08017-8 | mr=0347778 | year=1972}}
* {{Weibel IHA}}
== Pranala luar ==
▲[[Hukum grup formal]] merupakan [[seri kekuatan formal]] yang memiliki sifat seperti operasi grup.
* {{en}}[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Abstract_groups.html History of the abstract group concept]
* {{en}}[http://www.bangor.ac.uk/r.brown/hdaweb2.htm Higher dimensional group theory] {{Webarchive|url=https://archive.today/20120723235509/http://www.bangor.ac.uk/r.brown/hdaweb2.htm |date=2012-07-23 }}
* {{en}}[http://plus.maths.org/issue48/package/index.html Plus teacher and student package: Group Theory]
{{Authority control}}
▲==Lain-lain==
[[Kategori:Teori grup| ]]
▲James Newman merumuskan teori grup sebgai berikut:
▲ Teori grup merupakan cabang matematik di mana seseorang melakukan sesuatu terhadap sesuatu dan kemudian membandingkan hasilnya dengan hasil pekerjaan yang sama dari objek yang berbeda, atau pekerjaan yang beda pada objek yang sama.
[[ml:ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം]]
▲Salah satu aplikasi teori grup adalah dalam teori set musik.
| |||